4. Completa los siguientes cuadrados mágicos teniendo en cuenta que la suma de tres casillas de cada columna, fila y diagonal en ambos sentidos debe ser la misma.

5. Resuelve los siguientes problemas.

a) Un radar registra el movimiento de un submarino. Si inicialmente el submarino se encuentra a 32 m bajo el nivel del mar y luego desciende 23 m, ¿a qué profundidad se encuentra el submarino?

b) La parte más profunda de una mina está a 120 m por debajo del nivel de la Tierra. ¿A qué distancia de la superficie se encuentran dos mineros que ascendieron 85 m a partir del punto más hondo de la mina?

c) Un termómetro marcaba 8 grados bajo cero a las 7 de la mañana. Cinco horas más tarde subió 9 grados y 6 horas después bajó 5 grados. ¿Qué temperatura marcó finalmente?

d) El Partenón de Atenas se construyó aproximadamente en el año 432 a. C. y la Torre Eiffel se terminó de levantar en 1889. ¿Cuántos años transcurrieron entre la construcción de ambas edificaciones?

e) En la mañana la temperatura de una ciudad fue de 3 grados bajo cero. Si durante el día la temperatura se incrementó en 5 °C, ¿cuál fue la temperatura al final del día?

1.4 Multiplicación y división en

Multiplicación en

Para calcular el producto de dos números enteros se puede considerar la regla de los signos:

• Si los factores tienen el mismo signo, el producto es positivo.

• Si los factores tienen distinto signo, el producto es negativo.

Regla de los signos + • + = + + • – = – – • – = + – • + = –

Actividades resueltas

1. Calcula el producto en cada caso.

a) (–12) • (–6)

Como 12 • 6 = 72, entonces al usar la regla de los signos se tiene: (–12) • (–6) = 72.

b) (–15) • 7

Como 15 • 7 = 105, entonces, al usar la regla de los signos se tiene: (–15) • 7 = –105.

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Una tortuga marina desciende 2 metros cada minuto. ¿A qué profundidad estará después de 4 minutos?

Resolución: se representan los datos con números enteros.

Por cada minuto desciende 2 m: –2.

Después de 4 minutos: 4.

Luego, la tortuga estará a: 4 • (–2) = –8.

Respuesta: La tortuga estará a 8 metros de profundidad.

b) Un agente financiero observa que las acciones de la compañía en que pensaba invertir hace tres semanas tuvieron una pérdida de $ 5.000 por acción semanalmente. ¿Cuánto dinero no perdió el agente, por concepto de acción, gracias a que no invirtió en esa compañía?

Resolución: se representan los datos con números enteros.

Por cada semana la acción pierde $ 5.000, es decir, –5.000.

Hace tres semanas: –3

Luego, se tiene que: (–5.000) • (–3) = 15.000.

Respuesta: El agente no perdió $ 15.000 por acción.

División en

Para calcular el cociente de dos números enteros se puede considerar la regla de los signos:

• Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, entonces, el cociente es positivo.

• Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, entonces, el cociente es negativo.

Regla de los signos + : + = + + : – = – – : – = + – : + = –

Actividad resuelta

Calcula las siguientes divisiones entre números enteros.

a) (–165) : 11

Como 165 : 11 = 15, entonces por la regla de los signos (–165) : 11 = –15.

b) (–325) : (–13)

Como 325 : 13 = 25, entonces, por la regla de los signos (–325) : (–13) = 25.

Actividades

1. Calcula el producto en cada caso.

a) (–3) • (4) • (–6)

b) (–10) • (9)

c) (–4) • (–2) • (–6) • (–3)

d) (6) • (5) • (–3) • (–1)

e) 9 • (–8)

f) (4) • (3) • (–12)

2. Analiza la siguiente expresión. Luego, resuelve.

x @ y = –7 • x • (108 : y)

a) 4 @ 2

b) 6 @ 4

c) 7 @ 9

d) –5 @ 3

e) –3 @ 6

f) –8 @ 12

g) 2 @ 4

h) 5 @ 1

i) 6 @ –6

j) 0 @ 1

3. Determina el término desconocido en cada caso.

4. Resuelve los siguientes problemas.

a) La temperatura de un refrigerador disminuye 3 °C cada hora. ¿En cuánto disminuirá la temperatura del refrigerador al cabo de 8 horas?

b) Con una perforadora de petróleo se excavó un pozo de 1.248 metros en 12 días trabajando 8 horas diarias. Si cada hora se profundizó la misma cantidad de metros, ¿cuántos metros se excavaron en una hora?

c) Si las acciones de cierta compañía disminuyen su rentabilidad en $ 18 cada mes, ¿cuánto habrá perdido al cabo de 3 años?

5. Responde.

a) Una multiplicación tiene 136 factores y todos son negativos. ¿Cuál es el signo del producto?

b) En una división el dividendo es negativo y el divisor es positivo. ¿Cuál es el signo del cociente?

6. Ejemplifica cada afirmación.

a) El producto de cinco factores pares negativos es negativo.

b) El doble de un número entero puede ser menor que el número.

c) La quinta parte de un número divisible por 10 puede ser un entero negativo menor que –20.

d) La división exacta entre un número de la forma –1.2

y –4 es un número positivo.

7. Encuentra el camino que siguió Miguel para salir del laberinto, teniendo en cuenta que lo recorrió en el orden de los cocientes de las siguientes divisiones y que no pasó dos veces por el mismo punto del trayecto.

a) (–12) : (–3)

b) (–15) : (5)

c) (21) : (–3)

d) (–45) : (15)

e) (48) : (–12)

f) (–72) : (–9)

g) (80) : (16)

h) (66) : (–11)

2. Números racionales (

)

2.1 El conjunto de los números racionales

Definición

El conjunto de números racionales, que se simboliza

, se puede representar como

Entre los conjuntos numéricos estudiados se tiene que:

Actividad resuelta

Escribe el número racional asociado a la siguiente situación.

Si un pastel se divide en 8 partes iguales, ¿qué fracción del pastel representa cada una de ellas?

El número racional

representa una parte del pastel. En este caso, el numerador indica una parte y el denominador el número total de partes.

Orden y comparación

Dados los números racionales

con b, d ≠ 0, se puede establecer solo una de las siguientes relaciones de orden:

Para que

, se debe cumplir que a • d = b • c. Entonces se dice que las fracciones

representan un mismo número racional, es decir, son equivalentes. Además se cumple que si

entonces a • d < b • c.

Las fracciones irreducibles son aquellas en que el numerador y el denominador no tienen divisores comunes distintos de 1, es decir, no se pueden simplificar.

Por ejemplo,

es irreducible porque los divisores de 4 son {1, 2, 4} y los divisores de 9 son {1, 3, 9}.

Para ordenar números racionales, se pueden escribir estos números como una fracción de igual denominador. Luego, se determina el orden entre los numeradores de las fracciones equivalentes.

Actividades resueltas

1. Determina si las siguientes fracciones representan el mismo número racional. Justifica tu respuesta.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales

y
.

Se expresan los números como fracciones equivalentes con igual denominador.

Se ordenan las fracciones equivalentes:

Representación en la recta numérica

Para representar en la recta numérica un número racional escrito como fracción, se pueden considerar los siguientes pasos:

1° Se determina entre qué números enteros consecutivos está el número racional.

2° Se divide la unidad que hay entre los dos números enteros en tantas partes como indica el denominador.

3° A partir del menor de los dos números enteros, se consideran hacia la derecha tantas partes como indica el numerador, si el número es positivo. Si el número es negativo, a partir del entero mayor se toma hacia la izquierda tantas partes como indica el numerador.

Actividad resuelta

Representa en la recta numérica el número racional

Para representar en la recta numérica

, primero se determina el par de enteros consecutivos entre los cuales está la fracción. Como

se ubica entre –3 y –2, porque

, y como el denominador es 2, se divide la unidad en dos partes y se cuenta a partir de –2 una parte a la izquierda dado que el numerador es 1 como se muestra en la figura.

Actividades

1. Escribe tres fracciones equivalentes a cada número racional.

2. Compara cada par de fracciones y escribe >, < o = según corresponda.

3. Ordena de mayor a menor en cada caso.

4. Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

5. Escribe los números racionales representados con un • en cada recta.

2.2 Representación decimal de un número racional

Clasificación de números racionales decimales

Un número racional escrito como fracción se puede representar como un número decimal si se divide el numerador por el denominador. Los números racionales decimales se clasifican en:

• Finitos: son aquellos que tienen una cantidad finita de cifras decimales.

• Infinitos: son aquellos que tienen una o varias cifras que se repiten infinitamente (período).

Los números decimales infinitos se clasifican como decimales periódicos cuando el período comienza a partir de la primera cifra decimal, y como decimales semiperiódicos cuando hay una o varias cifras decimales antes del período, denominadas anteperíodo.

Representación de un número decimal finito como una fracción

1˚ Se escriben en el numerador todas las cifras del número sin considerar la coma.

2˚ En el denominador se escribe el valor de la potencia de 10 que tiene tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.

Actividad resuelta

Representa el número 5,29 como una fracción.

Como 5,29 es un decimal finito, se puede verificar que 5,29 =

resolviendo la división 529 : 100 = 5,29.

Representación de un número decimal infinito periódico como una fracción

1˚ Se escribe en el numerador la diferencia entre el número formado por las cifras hasta el final del primer período, sin considerar la coma, y la parte entera del número.

2˚ En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período.

3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.

Actividad resuelta

Representa el número

como una fracción.

es un decimal infinito periódico.

Se puede comprobar resolviendo la división, esto es, 511 : 99 = 5,161616...

Representación de un número decimal infinito semiperiódico como una fracción

1˚ Se escribe en el numerador la diferencia entre el número formado por las cifras hasta el final del primer período, sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo.

2˚ En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

3˚ Si es posible, se simplifica hasta obtener una fracción irreducible.

Actividad resuelta

Representa el número

como una fracción.

es un decimal infinito semiperiódico.

Se puede comprobar resolviendo la división, esto es, 1.299 : 990 = 1,31212...

Actividades

1. Completa la tabla. Parte entera

2. Expresa cada número decimal como una fracción irreducible.

3. Expresa cada número decimal como una fracción irreducible. Luego, represéntalo en la recta numérica.

a) 2,5

b) 0,25

c) 4,5

d) 3,5

e) 1,5

f) 1,25

4. Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tu respuesta.

5. Escribe un número decimal que cumpla cada condición. Luego, represéntalo como una fracción.

a) Es decimal finito y tiene 38 milésimas.

b) Es decimal periódico y tiene parte entera 6.

c) Es decimal semiperiódico y su anteperíodo es 13.

6. Los resultados de una prueba académica se obtuvieron dividiendo la cantidad de respuestas correctas por la cantidad de preguntas de la prueba (90). Si respondieron toda la prueba y considerando la siguiente tabla que muestra los resultados de tres estudiantes: