Manual de preparación PSU Matemática

El Manual de preparación PSU es una obra colectiva, creada y diseñada en alianza entre Ediciones UC y el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.

Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones

Dirección de contenidos

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Subdirección editorial

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Jefatura de área Matemática

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Edición

Patricio Loyola Martínez

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Alejandro Cisternas Ulloa

Corrección de estilo

Equipo de estilo Santillana

Subdirección de diseño

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Jefatura de diseño

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Daniel Monetta Moscoso

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Ediciones UC

Dirección Ediciones UC

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Coordinación editorial

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Subgerencia Comercial

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Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

La editorial ha hecho todo lo posible por conseguir los permisos correspondientes para las obras con copyright que aparecen en el presente texto. Cualquier error u omisión será rectificado en futuras impresiones a medida que la información esté disponible.

©2015 Pontificia Universidad Católica de Chile Alameda 390, Santiago, Chile / Santillana del Pacífico S. A. de Ediciones Andrés Bello 2299 Piso 10, oficinas 1001 y 1002, Providencia, Santiago (Chile).

ISBN edición impresa: 978-956-15 2527-6 / ISBN edición digital: 978-956-14-2677-1 / Inscripción Nº 248.582

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PRESENTACIÓN GENERAL PROYECTO PSU

La colección de Manuales de preparación PSU elaborada por Editorial Santillana y Ediciones UC tiene como objetivo ser un apoyo eficiente y práctico para el postulante que prepara la Prueba de Selección Universitaria. Cada manual aborda los contenidos de los temarios correspondientes a la respectiva área (Lenguaje y Comunicación, Matemática, Ciencias e Historia, Geografía y Ciencias Sociales) y profundiza en la comprensión y aplicación de las habilidades exigidas por el Marco Curricular vigente.

Además de lo anterior, los manuales constituyen un aporte efectivo para quienes cursan Educación Media, ya que facilitan la adquisición de contenidos y el desarrollo de competencias y habilidades requeridas por el Currículum de estos niveles. Asimismo, es un material de apoyo y orientación para los docentes que necesitan sistematizar, reforzar y aplicar los contenidos abordados en la PSU.

Finalmente, se debe destacar que cada manual está alineado con el actual proceso de admisión, tanto en lo que respecta al temario como a la estructura de las secciones que componen la Prueba.

La Prueba de Selección Universitaria en la asignatura de Matemática está compuesta por 80 preguntas de opción múltiple organizadas por eje temático (%) y distribuidas según las habilidades de comprensión, aplicación, análisis, síntesis y evaluación.

Prueba de Matemática Eje temático (%) Números 21 Álgebra 27 Geometría 30 Datos y azar 22

El Manual de preparación PSU Matemática se ha creado con el objetivo de preparar al estudiante para rendir la PSU correspondiente a esta asignatura. Este material se ha distribuido en virtud de los ejes temáticos considerando los Objetivos Fundamentales (OF) y los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que propone el temario DEMRE para la asignatura de Matemática y que han sido definidos en el Marco Curricular.

El Cuaderno de ejercicios PSU se ha estructurado según los siguientes ejes temáticos: Números, Álgebra, Geometría y Datos y azar. Para cada eje se han propuesto preguntas resueltas y un grupo de test con 30 preguntas tipo PSU cada uno, lo que hace un total de aproximadamente 1.100 ejercicios. Al final del cuaderno el estudiante podrá encontrar un ensayo tipo PSU de 80 preguntas alineado con el temario DEMRE.

Ediciones UC fue creada en 1975 con el objetivo de prestar un servicio editorial de apoyo a la docencia, la investigación y la creación literaria realizada en la Pontificia Universidad Católica de Chile (PUC), y se ha consolidado como la principal editorial universitaria del país, con distribución en Chile y América Latina que evidencia la investigación de vanguardia y el trabajo de excelencia de los académicos de la PUC, así como de autores externos.

Su misión consiste en ser un actor relevante en el diálogo con la cultura y una ventana a la sociedad, brindando un espacio efectivo para la publicación de libros de la más alta calidad que amplíen y difundan las fronteras del conocimiento, todo de acuerdo a los principios que rigen a la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Editorial Santillana ha estado presente en nuestro país durante los últimos 46 años como líder en el acompañamiento a numerosas generaciones en su educación escolar.

El motor y principal foco de Santillana ha sido y sigue siendo apoyar la tríada enseñanza-aprendizaje-evaluación en todos los niveles de escolaridad y en las principales áreas curriculares. De esta forma asume el desafío constante de contribuir a la formación académica de los niños y adolescentes de Chile, con textos adecuados a sus niveles de comprensión, atractivos, desafiantes y rigurosos, y de ser un aporte relevante para los docentes por medio de la elaboración de guías didácticas y otros materiales de apoyo a su labor, especialmente diseñados según sus necesidades.

Editorial Santillana, siempre a la vanguardia en detectar y apoyar los requerimientos de una educación de calidad, ha ido incorporando distintas herramientas y soportes que amplían las posibilidades de interactuar con los contenidos, migrando desde el texto impreso al mundo digital, lo que se enmarca en la necesaria adecuación a las demandas que la sociedad del siglo XXI impone a los educandos. Asimismo, Santillana ha ido diversificando la oferta de proyectos y materiales complementarios para responder a distintos desafíos educativos, como en este caso la preparación para el ingreso a la Educación Superior.

ÍNDICE

Índice

Simbología Matemática

Estructura del Manual

Capítulo I • Números

1. Números enteros (

)

1.1 El conjunto de los números enteros

1.2 Representación, comparación y orden en

1.3 Adición y sustracción en

1.4 Multiplicación y división en

2. Números racionales (

)

2.1 El conjunto de los números racionales

2.2 Representación decimal de un número racional

2.3 Operatoria en

2.4 Operaciones con números decimales

3. Números reales (

)

3.1 El conjunto de los números reales

3.2 Potencias y sus propiedades

3.3 Notación científica

3.4 Raíces

3.5 Operaciones con raíces

3.6 Racionalización

3.7 Aproximación en

3.8 Números irracionales en la recta numérica

3.9 Logaritmos

3.10 Propiedades de los logaritmos

4. Números complejos (

)

4.1 Números imaginarios

4.2 Números complejos (

)

4.3 Representación gráfica de números complejos

4.4 Adición en

4.5 Sustracción en

4.6 Multiplicación en

4.7 División en

4.8 Potencias de números complejos

4.9 Raíces cuadradas de números complejos

4.10 Números complejos en forma polar

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar

Capítulo II • Álgebra

1. Álgebra

1.1 Introducción al Álgebra

1.2 Operaciones básicas con expresiones algebraicas

1.3 Multiplicación de expresiones algebraicas

1.4 Productos notables

1.5 Factorización de expresiones algebraicas

2. Expresiones algebraicas fraccionarias

2.1 Expresión algebraica fraccionaria

2.2 Análisis de expresiones algebraicas fraccionarias

2.3 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

2.4 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

2.5 División de expresiones algebraicas fraccionarias

2.6 Adición y sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias

2.7 Operaciones combinadas de expresiones algebraicas

3. Ecuaciones e inecuaciones lineales

3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

3.2 Ecuaciones literales

3.3 Ecuaciones racionales

3.4 Ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.5 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.6 Representación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.7 Análisis de la existencia de la solución de un sistema de ecuaciones lineales

3.8 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.9 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

3.10 Desigualdades

3.11 Intervalos en

3.12 Inecuaciones de primer grado con una incógnita

3.13 Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

4. Ecuaciones cuadráticas

4.1 Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

4.2 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas

4.3 Soluciones de una ecuación de segundo grado con una incógnita

4.4 Fórmula general de una ecuación de segundo grado con una incógnita

4.5 Soluciones complejas de una ecuación cuadrática

5. Funciones

5.1 Concepto de función

5.2 Análisis del gráfico de una función y = f(x)

5.3 Función lineal

5.4 Función afín

5.5 Función cuadrática

5.6 Análisis del gráfico de la función cuadrática

5.7 Resolución de problemas con funciones cuadráticas

5.8 Función raíz cuadrada

5.9 Función exponencial

5.10 Función logarítmica

5.11 Función potencia

5.12 Composición de funciones

5.13 Función inyectiva

5.14 Función sobreyectiva y biyectiva

5.15 Función inversa

Capítulo III • Geometría

1. Plano y espacio cartesiano

1.1 Coordenadas cartesianas

1.2 Polígonos en el plano cartesiano

1.3 Distancia entre dos puntos

2. Vectores

2.1 Vectores en el plano y en el espacio

2.2 Magnitud de un vector

2.3 Operatoria vectorial en el plano y en el espacio

3. Transformaciones isométricas

3.1 Traslación

3.2 Rotación

3.3 Reflexión

3.4 Composición de transformaciones isométricas

4. Ángulos en la circunferencia

4.1 Elementos de una circunferencia

4.2 Medida angular de arcos de circunferencia

4.3 Teorema del ángulo inscrito

4.4 Teorema del ángulo semiinscrito

4.5 Teorema del ángulo interior

4.6 Teorema del ángulo exterior

5. Rectas y planos

5.1 Pendiente de una recta

5.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

5.3 Ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto de ella

5.4 Ecuación principal de la recta

5.5 Ecuación general de la recta

5.6 Posiciones relativas de dos rectas en el plano

5.7 Análisis gráfico de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

5.8 Ecuación vectorial y paramétrica de una recta en el plano y en el espacio

5.9 Ecuación vectorial y paramétrica del plano en el espacio

5.10 Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

6. Cuerpos geométricos

6.1 Cuerpos generados por rotación y traslación

6.2 Prismas

6.3 Área y volumen de un prisma

6.4 Pirámides

6.5 Área y volumen de una pirámide

6.6 Cilindro

6.7 Área y volumen de un cilindro

6.8 Cono

6.9 Área y volumen de un cono

6.10 Esfera

6.11 Área y volumen de una esfera

7. Congruencia y semejanza de figuras planas

7.1 Congruencia de figuras planas

7.2 Criterios de congruencia de triángulos

7.3 Semejanza de figuras planas

7.4 Criterios de semejanza de triángulos

7.5 Homotecia

8. Teoremas

8.1 Teorema de Thales

8.2 Teorema particular de Thales

8.3 División interior de un segmento

8.4 División exterior de un segmento

8.5 Teorema de Euclides

8.6 Teorema de Pitágoras

8.7 Recíproco del teorema de Pitágoras

9. Relaciones entre trazos en una circunferencia

9.1 Teorema de las cuerdas

9.2 Teorema de las secantes

9.3 Teorema de la secante y la tangente

Capítulo IV • Estadística y probabilidad

1. Estadística

1.1 Población y muestra

1.2 Tablas de frecuencias

1.3 Tablas de frecuencias para datos agrupados

1.4 Representaciones gráficas

1.5 Medidas de tendencia central para datos no agrupados

1.6 Medidas de tendencia central para datos agrupados

1.7 Medidas de posición para datos no agrupados

1.8 Medidas de posición para datos agrupados y diagrama de cajón

1.9 Medidas de dispersión

1.10 Comparación de muestras

2. Probabilidad

2.1 Conceptos básicos

2.2 Probabilidad

2.3 Cálculo de probabilidad: técnicas de conteo I

2.4 Cálculo de probabilidad: técnicas de conteo II

2.5 Propiedades de la probabilidad

2.6 Probabilidad condicional e independencia

2.7 Variables aleatorias

2.8 Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta

2.9 Distribución binomial

2.10 Función de probabilidad de una variable aleatoria continua

2.11 Distribución normal

2.12 Distribución de las medias muestrales

2.13 Intervalos de confianza

Anexos

1. Razones y proporciones

2. Proporcionalidad

3. Porcentajes

4. Trigonometría

5. Tabla de distribución normal estándar (N(0, 1))

Solucionario

Capítulo I: Números

Capítulo II: Álgebra

Capítulo III: Geometría

Capítulo IV: Estadística y probabilidad

Anexos

SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA