Didáctica de la matemática

• si se responde que no, ¿cómo se pasa de las competencias infantiles, de los elementos cognitivos en posesión de un niño, al saber científicamente entendido?

En todo caso, ¿qué vínculo existe entre los elementos primarios adquiribles por el niño y los elementos primarios de las ciencias?

[Estas preguntas son relativamente modernas; es bien conocida la frase atribuida a Euclides según la cual no existen caminos reales a la matemática. A esta frase han sido atribuidos en el tiempo varios significados, uno de los cuales es el siguiente: el único modo de aprender la matemática es repetirla y ejercitarse en sus textos, hasta… absorberla. Esto requiere tiempo, esfuerzo y no se trata ciertamente de un proceso que se pueda acortar (por otra parte, no estamos lejos de la posición de G. Gentile, aún hoy bastante compartida por muchos maestros en este campo, el específico de la matemática: no existe un problema de la didáctica de la matemática; el maestro no debe hacer otra cosa más que repetir sus teoremas, y los estudiantes aprenderlos)].

Desde mi punto de vista, a partir de este debate se comienza a delinear una terna de contenidos:

• los contenidos de la disciplina d, establecidos por ella misma, por su historia;

• los contenidos de la didáctica de esa disciplina, digamos para entendernos: Dd; esta tiene como objeto de estudio la sistema­tización (en la óptica: enseñanza → aprendizaje eficaz) de los elementos de la disciplina d, pero los contenidos específicos de Dd no son más los contenidos de la disciplina d, son nuevos con respecto a d;

• los contenidos de otra teoría, más general, que se podría identificar en la que pone el problema de como pasar, más allá del caso específico, de los contenidos de d a los contenidos de Dd, independientemente de la disciplina d; se podría entonces comenzar a pensar en una especie de didáctica general, entendida en este sentido.

Yo, aquí, me ocuparé sólo de didáctica de la matemática, aunque me permitiré muchas divagaciones hacia la didáctica general un poco en todos lados, pero en particular en el cap 13. Por lo tanto suspendo la historia del nacimiento de una didáctica general, para decir en cambio algo sobre el nacimiento de las didácticas disciplinarias.

Casi todos hoy consideran los Elementos de Euclides una obra con objetivos didácticos; pero también el contenido del Papiro de Rhind (en su forma original, 1850 a.C.) podría ser una obra destinada a la didáctica en cuanto que posee varias características de este tipo de obra. Esto para decir que el problema tiene miles de años de historia. No sólo, sino que al paso de los siglos se han desarrollado ideas y concepciones diferentes relativas a la didáctica de la matemática (en particular de la geometría). Sin embargo toda propuesta didáctica se resolvía siempre en propuestas concretas de recorridos, modalidades, cambios de axiomáticas, proyectos, y por lo tanto perspectivas diferentes; es por esto que se usa decir que sólo en las primeras décadas del siglo XX nacieron verdaderos y propios estudios sobre la didáctica entendida como disciplina en sí (Chervel, 1988). Por medio de los estudios de historia de las didácticas disciplinarias, se aprende que la escuela sólo ha tendido desde entonces a “escolarizar los saberes”, dándoles una apariencia particular, precisamente con el objetivo de volverlos enseñables. Dicho en otras palabras, el esfuerzo del docente en precedencia había sido siempre el y sólo el de repetir la disciplina, en la lengua, en los modos y en las formas consideradas peculiares de ella, si acaso de manera personal, por lo tanto exponiendo implíci­tamente un propio modo de ver las cosas. Quien, por alguna forma misteriosa de... osmosis, aprendía, bien: podía considerarse un afortunado. Quien no hubiese aprendido, daba con toda probabilidad de sí mismo la simple idea de no tener la famosa “predisposición natural” para la disciplina (y, en el caso de la matemática, es fácil constatar a cuantos les falta la famosa “predisposición natural”, dado que parece ser que son muy pocos los que están dispuestos a admitir de haber siempre ¡comprendido la matemática!).

Chervel discute además de la libertad de la creación de la disciplina, con fines escolares, por parte del maestro: “en el cuadro de una finalidad bien definida, la libertad teórica de creación disciplinaria del maestro se ejercita en un lugar y sobre un público determinado, el aula por una parte, los estudiantes por la otra” (Chervel, 1988).

Este punto, una vez más, me empuja por un lado a confirmar que sólo consideraciones de este tipo (sobre la disciplina) permiten decir que, desde mi punto de vista, se está desarrollando un discurso crítico que define los contenidos de una didáctica disciplinaria; por otro lado que existen necesidades de reconocer una teoría que garantice la legitimidad de estudios generales de este tipo, su coherencia, las fronteras entre lo posible y lo correcto (y esto, para mí, no se refiere a la disciplina en sentido estricto y podría en cambio constituir un puente entre la didáctica disciplinaria y la didáctica general).

Es por medio de las formas del saber escolarizado (o, mejor: que deben escolarizarse) que se concretiza la necesidad de las fases de transición: ¿Cuáles son las claves de acceso al saber disponibles? ¿Cómo usarlas? ¿Porqué? ¿Con qué objetivos?

Preguntas de este tipo deben tener respuestas disciplinarias; sería un desastre si no fuera así: tendríamos una didáctica vacía, inaceptable. Pero no sería correcto ni responsable confiar la respuesta a estas preguntas sólo a los expertos de didáctica disciplinaria: es necesario haber hecho reflexiones mucho más amplias, incluso independientes de cada disciplina. Aún más temible, en un cierto sentido, es pretender confiar las respuestas a estas preguntas a los que sólo son disciplinaristas, sin otra experiencia de didáctica de su disciplina sino la rutinaria de sí mismos como estudiantes o como docentes o basada en la observación de los propios hijos vistos a la obra. El experto de disciplina podría no tener la sensibilidad (afinada en los años, gracias a una investigación específica constante) o mejor la capacidad para distinguir entre las dos formas de elementos primarios, o entre las diferentes acepciones de simple, y por lo tanto proponer soluciones didácticas destinadas al fracaso (desgraciadamente, la historia de la didáctica de la matemática está llena de ejemplos de este tipo)13.

Aún más interesante parece ser la perspectiva que se delinea cuando se tiene el valor de aceptar la idea de “simplicidad” y de “elementos” en la fase de primer aprendizaje, llamando conceptos a todo eso y aceptar de estudiar directamente el desarrollo de los conceptos en la enseñanza. Este es ciertamente el punto de vista de Vigotsky que estudia la diferencia entre el concepto científicamente entendido y el que podríamos llamar (que llamaremos en algún capítulo) “misconcepción” poseída por el estudiante: entonces, en este sentido, se puede decir que el aprendizaje escolar produce la transformación del pensamiento conceptual (Vigotsky, 1966, cap. IV).

Para entender plenamente los contenidos de los que se trata en didáctica de la matemática, se necesita hacer algunas distinciones y un poco de historia muy reciente; es lo que haré, en los párrafos siguientes.

Antes de abandonar las consideraciones generales y adentrarme cada vez más en el dominio de la didáctica de la matemática, haré aún algunas consideraciones que tomaré en cuenta más adelante. La didáctica general, con el sentido aludido precedentemente, tiene varios reenvíos:

• remite a un cierto tipo de discusión acerca de cuestiones de pedagogía, que se refieren al aprendizaje y a la enseñanza, específicas de la formación de los maestros;14

• remite a unas actitudes teóricas y prácticas concernientes al “oficio de maestro”; afronta la cuestión de la clase y de la enseñanza por medio de consideraciones de tipo general, si se le problematiza en modo general; no se dan, es decir, las ya citadas “recetas”, sino que se evidencian los problemas y se enseña a reconocerlos y a circunscribirlos;

• remite a un programa que se refiere a la didacticización de la ciencia de la educación; en particular, la didáctica reivindica para ella la cuestión de la formación inicial de los maestros y no la remite a las ciencias de la educación, consideradas demasiado generales.

La investigación en didáctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por ejemplo a través de las siguientes preguntas: ¿qué se debe hacer y saber para hacer más eficaz la enseñanza? ¿Cómo aprenden los estudiantes? ¿Cuáles son los instrumentos metodológicos para adaptar la enseñanza a las capacidades individuales? ¿Cómo valorar la eficacia de la elección metodológica? ¿Cómo y con cuáles instrumentos evaluar? (Sólo para dar un contraejemplo, el “qué” evaluar, desde mi punto de vista, se refiere a la didáctica disciplinaria; pero el análisis de los instrumentos posibles para la evaluación puede estar a cargo del teórico de la didáctica general) (Fandiño Pinilla, 2002).

Pero todo esto es banal si no se basa en profundas y sólidas bases teóricas. Se deben construir tales bases a partir de investigaciones en las que estudiosos de didáctica general y disciplinaria colaboren, para entender la teoría y las ejemplificaciones, útiles a ambos. Por ejemplo, es obvio y aceptado por todos hoy en día que la epistemología disciplinaria es el fundamento para estudiar los obstáculos al aprendizaje y la naturaleza de los errores, lo que tiene fuertes repercusiones en las valoraciones de la eficacia de la acción didáctica y en las evaluaciones del nivel de aprendizaje alcanzado. Pero la epistemología disciplinaria debe ser estudio y objetivo no sólo de los didactas de la disciplina: el estudioso de didáctica general que ignora las características peculiares fundamentales de las epistemologías disciplinarias corre el riesgo de hablar al vacío de la misma didáctica general. Obviamente eso no significa que el estudioso de la didáctica general deba saberlo todo: estoy sólo diciendo que ¡necesita informaciones peculiares de las cuales poder extraer ejemplos significativos en el caso de necesidad!

Esto ha llevado a desarrollar una larga serie de paradigmas metodoló­gicos en el mundo de la didáctica de la matemática, y dado que de esto hablaré largamente después, aquí evito toda cita; pero ha llevado también a evidenciar estudios y papeles de la investigación en didáctica general.

• Según Vergnaud (Vergnaud, Holbwachs, Rouchier, 1977): “Se necesita descartar todo esquema reduccionista: la didáctica no es reducible ni al conocimiento de una disciplina ni a la psicología, ni a la pedagogía, ni a la historia, ni a la epistemología. Supone todo eso, pero no se le puede reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus métodos. Este es ahora un punto aceptado por los investigadores que se hallan empeñados en este camino”;

• según Brun (1981): “La renovación del término “didáctica” en ciencias de la educación contiene la voluntad de volver a dar importancia al análisis de los contenidos de enseñanza”;

• según Lacombe (1985): “La didáctica se refiere esencialmente a la transmisión de los conocimientos y de las capacidades; esta constituye, como consecuencia, el núcleo cognitivo de las investigaciones sobre la enseñanza”;

• según Audigier (1990): “La didáctica se diferencia de la pedagogía por su tomar en cuenta de manera sistemática los contenidos disciplinarios”.

Esto en lo que respecta a la didáctica general y su interés por las disciplinas. Si en cambio se quiere intentar definir, al menos para iniciar, qué es una didáctica disciplinaria, veamos qué afirman otros autores:

• Douady (1984): la Didáctica de la matemática es “el estudio de los procesos de transmisión y de adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia (la matemática) [y] se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y su aprendizaje. No se reduce a buscar una buena forma de enseñar una determinada noción”;

• Vergnaud (1985a): “La didáctica de una disciplina estudia los procesos de transmisión y de adquisición relativos al dominio específico de esta disciplina, o de las ciencias cercanas con las cuales esa interactúa”.

Pero creo que la mejor forma para evidenciar el contenido, los objetivos y las metodologías de la didáctica de la matemática y, al menos en parte, de la actual investigación en didáctica de la matemática, es el de profundizar, paso a paso, algunos de sus contenidos sobresalientes. Incluso porque acerca de la especificidad de la investigación en didáctica de la matemática el debate fue en el pasado reciente tan fuerte que se han producidos estudios interesantes. En vía preliminar, podrían leerse Brun y Conne (1990) y Boero (1992a).

Para una historia de la idea de didáctica, tal como se le entiende hoy, remito a Artigue y Douady (1986) que, aunque con algunas diferencias, remontan su nacimiento en Francia en 1974.

Todo lo expuesto antes ha abierto varias veces la cuestión de que no es para nada trivial la preparación de los maestros de matemática. Las diferentes naciones del mundo han decidido recorrer caminos diferentes, muchas veces incluso muy diferentes entre ellas, aunque no es aquí el caso de entrar en particulares (Fandiño Pinilla, 2003). Este libro quisiera contribuir a desmontar la idea, aún viva, que para enseñar matemática basta saber matemática. No puede ser así, nunca ha sido así: ya en el siglo XVIII se había entendido que no es así.

Mientras que remito a Godino (1996) y a D’Amore y Martini (1999) para una profundización, aquí me limito a observar que el gran matemático Felix Klein [1849-1925] se lamentaba ya a finales del siglo XIX de la falta de una preparación a la profesión de maestro de matemáticas en las universidades (Loria, 1933).

Según Klein el período de los estudios universitarios constituye simplemente un paréntesis, al que él llamó el paréntesis universitario. Antes, el futuro maestro es un estudiante de escuela secundaria superior, después vive este paréntesis, y finalmente regresa, como maestro, a la escuela secundaria; no habiendo tenido ninguna preparación para esta profesión, no puede más que adecuarse al modelo preuniversitario que había ya vivido (Bernardi, 1995a).

1.3. La didáctica de la matemática como arte

De lo que sabemos a partir de los documentos disponibles, podemos decir que Wittgenstein se dedicó a la enseñanza con una intensidad desconocida y con el sentido de un deber absoluto. No perdonó ni siquiera a sí mismo; y fue severo con sus estudiantes. (…) Vivió pobre con los pobres; los respetó; hizo de tal manera que sus muchachos llegasen a pensar por sí mismos; les dio lo que tenía: su saber, su abnegación, y su canasta de naranjas.

Dario Antiseri,

Introducción a la Edición italiana de: Ludwig Wittgenstein, Dizionario per le scuole elementari.

La didáctica de la matemática como arte produjo, como veremos, resultados interesantes. El objeto del trabajo de quien eligió esta forma de didáctica es esencialmente el siguiente: la enseñanza de la matemática; y el objetivo: crear situaciones (bajo forma de clases, actividades, objetos, ambientes, juegos...) para una mejor enseñanza de la matemática. La suposición más o menos explícita parecía ser la siguiente: si mejora la enseñanza, mejorará también el aprendizaje, y la validez de dicha suposición se daba por descontada. El peso “artístico” de la actividad de enseñanza, por lo tanto, pesa completamente en los hombros del maestro. Pero en el fondo de esta elección se halla la convicción que la atracción ejercida sobre la atención y sobre la motivación del estudiante son las características esenciales para que éste último aprenda. Eso ¿corresponde a la verdad o se trata de una ilusión, un poco ingenua? A este propósito escribe Moreno Armella (1999): “La enseñanza, como simple proceso de instrucción, agravada por hipótesis sobre la capacidad del estudiante de absorber lo que se dice “bien”, no es una concepción: es una ilusión”.

Nótese la acentuación del “bien”: dirigir todo hacia la enseñanza, independientemente de que se le conciba como resultado de una reflexión artística, no ofrece garantías en el plano de los aprendizajes. Esta es la opinión compartida hoy en día, por parte de los estudiosos de didáctica. Sin embargo, en el pasado, más de un autor ha sostenido que enseñar es un arte, fruto de dotes personales que no se pueden ni aprender ni transmitir, con la conclusión que la investigación didáctica no sirve. Se trata de una concepción perniciosa que ciertamente no abre el camino a reflexiones interesantes y que por el contrario cancela toda esperanza de mejorar los aprendizajes por medio de estudios específicos, constituyendo una involución que no se puede evitar. Afortunadamente los indudables éxitos obtenidos por la investigación contemporánea han mostrado que se trata de una posición ampliamente superada sobre la cual no vale la pena perder más tiempo.

Como es normal, es necesario hacer algunas distinciones para no caer en equivocaciones: lo afirmado líneas arriba no significa que no existan docentes que muestran indudables dotes naturales en la comunicación y en el atraer la atención de los estudiantes (¡cada uno de nosotros tiene, afortunadamente, memoria de su vida escolar!). Lo que se quiere decir es que

• la eficacia de los aprendizajes no es exclusiva sólo de estos “artistas de la didáctica” aunque si, obviamente, partiendo de una base de atención e interés, es fácil que crezca la motivación y por lo tanto la volición;

• no se da por descontado que un maestro perfecto obtenga, sólo por este motivo, el resultado deseado en el plano de la calidad del aprendizaje por parte de sus propios estudiantes.

Regresemos a los resultados de la didáctica dirigida exclusivamente a la enseñanza; dije líneas arriba que ella obtuvo, en las últimas décadas, resultados interesantes.

¿Cómo no reconocer, por ejemplo, los obtenidos con la matemática viviente de Zoltan P. Dienes (1972) que tanto éxito tuvo en las décadas pasadas, en todo el mundo? El estudiante vive la matemática, no se limita a aprenderla: el maestro crea para él un ambiente favorable, adecuado, perfectamente estructurado; y actividades, por ejemplo juegos lógicos, juegos de movimiento, incluso bailes, cuya estructura es matemática. Los famosos “bloques lógicos” dieron la vuelta al mundo y muchos maestros los consideraron incluso como prototipo y sinónimo de lógica; se trata de objetos predispuestos, confeccionados previamente para efectuar activamente ejercicios de lógica, de diferentes tipos; por ejemplo juegos en los cuales se evidenciaba una parte proposicional y una parte predicativa, operaciones sobre conectivos y sobre cuantificadores, operaciones en una versión ingenua de la teoría de conjuntos elemental, etcétera. El maestro preordenaba la actividad, el estudiante encontraba placer en hacerla porque podía manipular objetos, dialogar en modo activo con el maestro y con sus compañeros, sentirse en el centro de la atención, un protagonista.

En esta misma categoría pondría el muy famoso trabajo de Emma Castelnuovo, a quien dediqué los trabajos de un Congreso nacional en noviembre de 1990 sobre la didáctica de la matemática (D’Amore, 1990). En aquella ocasión, llamándola por primera al palco de los oradores, declaré que Emma había sido ciertamente para todos los investigadores italianos en didáctica de la matemática una fuente de inspiración. Y pienso en verdad que es así. Entre las tantas maravillas que Emma ha regalado a la escuela y a la didáctica, recuerdo aquí sólo una de las más famosas, extraordinariamente precisa en su simplicidad y genialidad: el paralelogramo articulado con el cual se estudian muchas propiedades, entre otras algunas que ligan isoperimetría y equiextensión, o ciertas transformaciones geométricas, o rectángulos y paralelogramos. Emma, desde hace décadas activa, tiene miles de seguidores, grupos que llevan su nombre casi en todo el mundo, escuelas intituladas a ella. Algunas de sus intuiciones son verdaderamente geniales y son por tanto matemáticas como artísticas.

A propósito de ambientes artificiales creados a medida para ciertos aprendizajes específicos, ¿cómo no recordar los que se inspiran en Maria Montessori [1870-1952]? He tenido forma de dialogar con maestros que se inspiran en las ideas de este grande personaje y de admirar su trabajo; aseguran que los niños se hallan contentos con estas experiencias tan concretas, tan fascinantes, de exploración; y que los aprendizajes que poco a poco se realizan son estables y profundos, para nada epidérmicos.15

1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica de la matemática: didáctica A y didáctica B

Alguna vez de niños atravesábamos el bosque hasta su viñedo: fingíamos robar uvas e higos, él fingía enojarse y nos amenazaba, imagínense, con el libro que estaba leyendo a la sombra del higo. Terminada la broma, nos sentábamos en la tierra alrededor de su sillón de bejuco; y su esposa, ánima dulce también ella, nos llevaba el pan para comer con higos. Él creía de divertirnos, en realidad era él quien se divertía con juegos matemáticos; nosotros fingíamos de interesarnos para darle gusto.

Giulio Carlo Argan, Presentación a: Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti.

Antes de proseguir con otros ejemplos significativos, quisiera intentar una descripción general en primera aproximación, por ahora más bien banal, de lo que se entiende hoy acerca de la investigación en didáctica de la matemática16.

Se podría hipotizar un doble modo de ver a la didáctica de la matemática:

A: como divulgación de las ideas, fijando por lo tanto la atención en la fase de la enseñanza (A aquí esta por Arte);

B: como investigación empírica, fijando la atención en la fase del aprendizaje (algo que más adelante definiré mejor y que podríamos llamar: epistemología del aprendizaje de la matemática).

Ahora, todas las experiencias vistas hasta este punto y brevemente consideradas en el párrafo precedente, son pertinentes a la tipología A, en cuanto que el esfuerzo del estudioso e investigador está totalmente dirigido a transformar un discurso especializado (y por lo tanto complejo dado que hace uso de un lenguaje técnico no natural) en uno comprensible y más adecuado a la naturaleza del estudiante. Quien se ubica en la tipología A es sensible al estudiante, lo pone al centro de su atención, pero su acción didáctica no está en el estudiante sino en el argumento en juego.

La didáctica A puede servir a plantear y a veces a resolver problemas de grande importancia como: mejorar la imagen de la matemática, mejorar la imagen de sí mismo al hacer matemática, mejorar la atención, activar interés y motivación.

A este propósito, creo poder afirmar que todo esto, visto y considerado siempre como algo relativo a los estudiantes, pueda, en cambio, transferirse también a los maestros. En otras palabras: me parece que también hay maestros de matemática, en todos los niveles escolares, que tienen problemas de imagen de la matemática por cuanto concierne a sí mismo, a los estudiantes, y frente a los colegas, a las familias, a la sociedad.

Una imagen negativa de la matemática es nociva para el mismo maestro. Clases inútiles, repetitivas, aburridas, tienen consecuencias negativas en los estudiantes y en los otros componentes del mundo de la escuela, y terminan por dar al mismo maestro de matemáticas una mala imagen de la matemática, de sí mismo como maestro, lo que vuelve negativo el trabajo didáctico.

Pues bien: personalmente he visto varias veces como el entusiasmo por las propuestas didácticas de Dienes, Castelnuovo, Montessori es real y contagioso. Los maestros que aplican, convencidos, un método de divulgación que captura la atención y vuelve agradable el hacer matemáticas, resultan más activos, más positivos, más convencidos. Todo el mundo de la escuela se beneficia de las ventajas descritas.

1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas

¿Cómo se comporta un gato asustado?

Puede huir a la derecha o a la izquierda, puede subirse a un árbol, puede meterse en un agujero, también puede decidir de mantener su posición erizando el pelo y soplando. Para nosotros el gato parece indudablemente dotado de una facultad de elección que nos impide