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Didáctica de la matemática
Bartholomeus II: – La obra no cuenta –
Bartholomeus I: – Cuentan sólo los principios –
Bartholomeus II: – Es decir, lo que se piensa de una obra –
Bartholomeus I: – Ya que la obra en sí misma … –
Bartholomeus II: – No existe … –
Bartholomeus I: – Está en lo que se piensa … –
Bartholomeus II: – En lo que se dice de ella … –
Bartholomeus I: – En la interpretación que se le quiere dar… –
Bartholomeus II: – Que se le impone … –
Bartholomeus I: – Que se impone al público –
Ionesco: – De acuerdo, señores, de acuerdo, señores, los apruebo… se los repito, los obedeceré, se los demostraré –
Bartholomeus II: – Se necesita también conocer la noción de sinceridad–
Bartholomeus I: – ¡Que no es lo que comúnmente se cree!–
Bartholomeus II: – Lo que se toma empíricamente … –
Bartholomeus Los: – No científicamente … –
Bartholomeus II: – Estúpidamente … –.
Eugène Ionesco, L’improvviso dell’Alma ovvero Il camaleonte del pastore. En: E. Ionesco, Teatro 1. Turín, Einaudi, pp. 410-411.
1 En la Presentación a (Sitia, 1979, p. 3) se lee: “Desde hace cerca de treinta años (exactamente desde 1950) la enseñanza de la matemática se halla en fermento. El progreso científico y los procesos industriales y tecnológicos están influenciando cada vez más nuestra forma de vivir en esta sociedad. La escuela se halla condicionada de manera particular y, desde las agitaciones de 1968 a los trastornos de estos últimos años, es sede de una evolución (¿o involución?) cada vez más rápida”. Como se ve, se hace explícita referencia precisamente a un período de aproximadamente 30 años, el que va de 1950 a finales de los años 70.
2 No quiero aquí culpabilizar a nadie; en aquellos años la tendencia era esta y no existían requerimientos o propuestas diferentes. No existía aún la disciplina “didáctica de la matemática” y por lo tanto, en buena fe, se pensaba que esa era la tarea y la forma óptima de la colaboración con los maestros. Vacilaba el despegue del inicio de alguna forma científicamente significativa de investigación. Yo mismo formé parte del grupo de esos presuntos “expertos”.
3 [Ndt] Esta abreviación quiere decir “edición italiana”.
4 [Ndt] El Autor se refiere al Congreso italiano de Didáctica de la Matemática más frecuentado de ese país. Este Congreso anual (que lleva 20 años en el 2005), se lleva a cabo en Castel San Pietro Terme perteneciente a la provincia de Bolonia. El Director científico de este Congreso es el autor; la Comunidad de Castel San Pietro y la Universidad de Bolonia son los principales entes promotores.
Capítulo 1 Introducción a la didáctica de la matemática
Comiencen por lo tanto por estudiar mejor a sus estudiantes; dado que ciertamente no los conocen para nada.
Jean-Jacques Rousseau,
Emilio o de la educación.
1.1. El sustantivo didáctica
No busquen satisfacer su vanidad, enseñándoles demasiadas cosas. Despierten en ellos su curiosidad. Es suficiente abrir la mente, no sobrecargarla. Pongan sólo una chispa. Si existe buena materia inflamable, se prenderá.
Anatole France,
Le jardin d’Épicure.
Parece ser que, tradicionalmente, el término didáctica deba necesaria y únicamente referirse a la actividad de la enseñanza. En una reciente edición del Vocabulario de la lengua italiana de N. Zingarelli [Bolonia, Zanichelli, 1999], en la voz didáctica se halla: “Sector de la pedagogía que tiene por objeto el estudio de los métodos de enseñanza”.
El término “didáctico” sólo aparece como adjetivo, mientras que hoy en día tiende a ser usado, entre los estudiosos que pertenecen al sector, incluso como sustantivo precisamente para distinguir a aquellos que se ocupan de la didáctica como ámbito científico de investigación5.
No muy diferente es la situación en el Gran diccionario de la lengua italiana, obra monumental aún incompleta (escribo estas páginas entre 1995 y 1999), iniciada por Salvatore Battaglia [Turín, Utet; el Tomo IV, que cito, es nada menos que de 1966]; pero aquí, se hace referencia a una didáctica general (que implícitamente parece ser la misma que aparece en el Zingarelli) y a una especial (que parece ser la que hoy en día se llamaría disciplinaria)6.
Puede ser interesante una muy breve e introductoria reseña acerca del uso y de las ideas expresadas por famosos Autores del pasado con este propósito (evito aquí y en lo sucesivo hacer referencias bibliográficas completas dado que se trata de obras que no son estrictamente pertinentes con el tema del libro, con el fin de no cargar demasiado la lectura y la ya amplia bibliografía específica):
Antonio Rosmini [1797-1855]:
El método didáctico se halla contenido en un complejo de reglas subordinadas entre ellas y reducidas a una, principio de las demás, observando las cuales el maestro, que comunique la verdad por medio de signos, ordinariamente por la palabra, obtiene que sean recibidas por el discípulo con la mayor posible facilidad, distinción, convencimiento y persuasión.
Niccolò Tommaseo [1802-1874]:
Las normas de la didáctica; no las enseñan los libros de método, sino el corazón, el ejemplo, la experiencia.
Giovanni Gentile [1875-1944]:
Toda la didáctica, como didáctica general y como didáctica especial, se ha reducido así a una crítica del concepto de escuela, como objeto propio de la didáctica.
Una reseña de este tipo podría continuar largamente, incluso considerando otras voces no italianas. Pero me detengo aquí porque mi objetivo era sólo el de introducir de alguna manera el discurso sobre el término. Debe decirse una vez más que la raíz etimológica es voz docta griega, didakticós, participio pasado de didáskein (enseñar), de no cierto origen indoeuropeo; y en eso parecen estar todos de acuerdo.
Como se ha visto, el sustantivo didáctica tiene varias acepciones y significados, tanto que su traducción en algunas lenguas extranjeras presenta muchas veces inconvenientes. Basta pensar que a la denominación académica italiana “didáctica de la matemática” corresponde”casi siempre, en inglés, “mathematics education” en cuanto “didactics” (que también existe) parece tener otro sutil tipo de significado que incluye características hoy del todo indeseables, por ejemplo la directividad7.
Cuando quise parafrasear en broma a Agostino de Tagaste por acuñar el lema: “¿Qué es la didáctica de la matemática? Si nadie me lo pregunta, lo sé; si quiero explicarlo a quien me lo está preguntando, ya no lo sé”, un colega latinista de gran fama en mi Universidad, al cual me dirigí para un consejo, desaprobó el “didáctica”, muy poco... del estilo de Cicerón, proponiéndome en cambio varias alternativas, entre las cuales aconsejaba “docendi ars”, “el arte de enseñar”. Ahora, ese “ars” comporta desde mi punto de vista una situación de ambigüedad en la que nos hemos hallado a debatir por muchos años toda didáctica disciplinaria (en particular, precisamente la de la matemática); algunos estudiosos, en efecto, solían afirmar: “La didáctica no es una ciencia, sino un arte”, una posición que, aún siendo para nada trivial, cercana a la de Tommaseo (vista antes) o de otros estudiosos de pedagogía, como Edmondo De Amicis [1846-1908], crea no pocos problemas de identificación cultural, precisamente en la vertiente científica...
Afortunadamente nadie me obliga a referirme al latino de Cicerón; para mí estaba bien incluso el latín tardío del Renacimiento; por lo que decidí que mi fuente etimológica sería, declaradamente, Jan Amos Komensky [1592-1670] y (precisamente) su Didactica magna (1632).
Todo esto sólo para confirmar la primera, y más bien trivial, dificultad en la que se hallan todos aquellos que deben usar el término “didáctica”.
Cierto, de nada sirve buscar verificaciones o desmentidos de todo eso en un diccionario de lengua extranjera: no hay modo de tener al paso las voces que pueden rastrearse (con una cierta estabilidad consolidada) con el cambio continuo ligado a los resultados de la profundización de los estudios de las varias disciplinas. Las palabras nacen y se estabilizan al interior de una estrecha comunidad que las usa en un modo nuevo, y sólo a distancia de años se expanden y se vuelven comunes incluso al externo de la primitiva comunidad.
Por ejemplo en una reciente edición del Diccionario inglés-italiano italiano-inglés de G. Ragazzini [Bolonia, Zanichelli, 1999], en la voz italiana didattica corresponde didactics y basta; pero después, al adjetivo didáctico se halla didactic; educational; teaching. Será el culto y atento traductor a escoger las diferencias de significado (por demás sutiles), en el momento de la traducción.
Un ejemplo más, en una reciente edición del Diccionario francés-italiano italiano-francés de R. Boch [Bolonia, Zanichelli, 1999], en correspondencia de la voz italiana didattica se halla didactique, pero es señalada todavía como neologismo; el término aceptado y propuesto en su lugar es pédagogie; el adjetivo didactique en cambio se proporciona sin reservas y con varios ejemplos. Y sin embargo, ningún estudioso francés de estas cosas, desde finales de los años 70, tenía duda alguna en usar tal palabra.
El “caso” de la lengua francesa es particularmente interesante. En efecto, precisamente en Francia se ha desarrollado el uso de este término, a partir de reflexiones sobre el debate acerca de las finalidades y objetivos diferentes que parecían tener la pedagogía general y la pedagogía especial. En los años 60, la pedagogía general parecía corresponder esquemáticamente a la teoría que se ocupa de los problemas de organización, desde varios puntos de vista, pero siempre generales, de la clase antes y de la escuela después, también entendidas en sentido abstracto; la pedagogía especial parecía referirse en cambio de manera específica a cada disciplina. Pero dada la excesiva generalidad del sentido de la pedagogía general y su refugiarse en el seno de la filosofía, en Francia se desarrolló y se usó después cada vez más el término “didáctica” para distinguir, al interior de la pedagogía, todo lo que concierne a la instrucción, y de cualquier manera a la relación con la enseñanza.
Como ejemplo, nótese la definición múltiple que P. Foulquié (1971) da, en su Dictionnaire de la langue pédagogique, del término “didáctica”: “-que se refiere o tiene por objetivo la enseñanza; -técnica o arte de la enseñanza; -estudio de los métodos de enseñanza”; se halla el doble aspecto de prácticas de enseñanza y de investigación sobre tales prácticas.
Es quizás desde 1700, y sobretodo con las primeras obras sobre la enseñanza del latín, que en Francia comienza a hacerse uso explícito del sustantivo “didáctica” y del adjetivo “didáctico”. Pero es mucho más reciente el debate sobre el sentido que tiene una didáctica general y sobretodo lo que representa, sus contenidos, sus objetivos8. Pero, en este punto, desde hace algunas décadas el nombre de “pedagogía especial” se ha reservado en todo el mundo a la pedagogía que se ocupa de situaciones particulares (sobretodo de desventaja, de malestar o de limitación física) mientras que el nuevo nombre de “didácticas disciplinarias” se dio a aquellas didácticas que se ocupan de cada una de las materias.
Debe señalarse además el hecho que ninguna de estas denominaciones es estable. Es obvio que una más difundida reflexión crítica no puede más que llevar a consideraciones siempre más sutiles y a precisas puntualizaciones. Por ejemplo, desde hace algún tiempo se está abriendo paso otra terminología, la de “matemática educativa”, que parece tener todo otro significado aún y es el que se refiere al estudio de la matemática en ámbito didáctico, pero entendida no como “disciplina que debe ser enseñada y aprendida”, sino como “disciplina apta para educar”. Es decir: el interés no estaría tanto en las problemáticas relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, sino en la matemática misma, entendida como instrumento para la educación.
1.2. Los contenidos de la didáctica
Recuerden siempre que el principio de mi educación no es el de enseñar al joven muchas cosas, sino el de no permitir jamás penetrar en su cabeza ideas que no sean claras ni precisas. Aunque no supiese nada, poco me importa, basta que no se engañe: las verdades que le inculco deben sólo protegerlo del riesgo de acoger los errores correspondientes, porque la razón y el juicio se forman lentamente, pero mientras tanto de todas partes los prejuicios asedian al joven, y es de ellos que se necesita preservarlo. Si en cambio miran a la ciencia como fin en sí mismo, entrarán en un océano sin fondo, sin riberas, lleno de escollos, de donde ya no saldrán.
Jean-Jacques Rousseau,
Emilio o de la educación.
Si así de complejo es hablar del término, no diferente situación parece reservada a los contenidos. Para discutir este punto, debo necesariamente regresar a cuestiones generales relativas a la pedagogía.
Es compartida la idea que el término pedagogía se deriva de la palabra griega paidagogós que indicaba al esclavo que tenía la tarea de conducir al estudiante a seguir sus clases, llevando en su lugar los objetos necesarios. Pero ya en el siglo VIII a.C. el término había asumido la idea metafórica de educador: el maestro acompaña al estudiante en su crecimiento, sobretodo ocupándose del comportamiento y de la educación del estudiante mismo; pero, mientras el esclavo griego tenía papeles bien delimitados y simples, en la acepción moderna la relación entre acompañador y acompañado ha sufrido sustanciales modificaciones: de relación individual se transformó en colectiva y luego en institucional. En los siglos XVI y (sobretodo) XVII nacen exigencias que llaman a la pedagogía a ocuparse del oficio de instruir al interior de instituciones.
Me parece poder sostener que existen dos raíces muy diversas de estas caracterizaciones teóricas:
• la especulación filosófica alrededor de este tipo de problemáticas más bien nuevas;
• la institucionalización de las problemáticas de la enseñanza (es decir al interior de verdaderas y propias escuelas).
Quizás, como dice Emile Durkheim [1858-1917], es al interior de estas nuevas instituciones que se desarrolla la idea de “teoría práctica”, ni sólo arte ni sólo ciencia: conocimiento de los hechos educativos y reflexión sobre la práctica de la enseñanza colectiva institucionalizada. Sin entrar en demasiados detalles, es obvio entonces que la pedagogía haya desarrollado el interés por cultivar contemporáneamente dos tipos de aspectos concernientes la educación colectiva institucionalizada:
• aspectos descriptivos (por ejemplo el conocimiento de las instituciones)
• aspectos normativos (por ejemplo los principios generales de la educación: métodos y finalidades).
Es más, a largo andar, la continua militancia en este tipo de estudios ha llevado a la pedagogía, más que a cualquier otra disciplina, a volverse promotora de renovaciones institucionales, tanto en lo que concierne a los aspectos descriptivos como a los aspectos normativos.
Esta doble característica, con un espectro tan amplio, es evidente también en los casos en los que el estudio se considera esencialmente ligado a los aspectos prácticos: se halla bajo el nombre de pedagogía una cantidad enorme de teorizaciones con exigencias más o menos elaboradas y con varias pretensiones, que van desde la banal “receta”9 hasta enunciados y reglas didácticas profundas y generales; se va de técnicas de estudio a metodologías de enseñanza; etcétera; lo que atestigua, por una parte la variedad inmensa de los campos posibles, y por la otra la ambición científica de este tipo de estudios, evidenciada aún más por los múltiples intentos de crear modelos o de efectuar verificaciones experimentales.
Desde mi punto de vista aquí está la diferencia que se ha venido reforzando cada vez más entre los teóricos (pedagogistas) y los prácticos (pedagogos):10 esta distinción, no del todo entrada aún en la práctica cotidiana, es historia muy reciente de cualquier lengua, tan es así que aparece sólo en algunos diccionarios de las lenguas y no en todos (por ejemplo, aparece en el Zingarelli, vocabulario de italiano, pero sólo en ediciones recientes), y no existe en ciertas lenguas modernas, independientemente de cuanto se hallen difundidas.
Ahora, se podría pensar que, así como la pedagogía logró finalmente liberarse del “yugo” de la filosofía y llegó a constituirse como disciplina autónoma, la didáctica logró en el mismo sentido liberarse del “yugo” de la pedagogía y llegó a constituirse como disciplina autónoma. Aquí el discurso sería largo y complejo, también porque, mientras tanto, han nacido las ciencias de la educación reivindicando una fuerte autonomía con respeto a la pedagogía. Debe decirse para ser correcto que es verdad que existe quien ve a la didáctica como parte de las ciencias de la educación, pero que también existe quien ve el viceversa (Mialaret, 1982)11.
¿Qué comprende?, ¿de qué se ocupa la didáctica? No es fácil contestar estas preguntas, tan simple, quizás tal vez a causa de su simplicidad e inmediatez.
Según diferentes Autores
• la didáctica es la parte de las ciencias de la educación que tiene como objetivo el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje en su globalidad independientemente de la disciplina en objeto, pero teniendo en cuenta la relación institucional;
• otros eliminarían la citación de la relación institucional, pero darían en cambio más peso a las disciplinas;
• otros insisten en la peculiaridad del hecho que la relación tenga lugar en instituciones formalizadas;
• otros hablan de didáctica de todas formas, en cualquier situación de enseñanza-aprendizaje;
• otros más dicen que la didáctica sería de nuevo la pedagogía pero sin filosofía;
• ...
En Brun (1996a) se halla: “La didáctica, en cuanto ciencia de la producción, organización y gestión de los bienes del sistema de enseñanza-aprendizaje, se reconduce a la cuestión epistemológica relativa a la transformación de los conocimientos”.
En Schubauer-Leoni (1996) se hace una doble distinción entre:
• ciencias cognitivas y didáctica;
• psicología y didáctica.
La primera se obtiene aceptando las tesis de Conne (1996): “El reto del epistemólogo genético consiste en mostrar cómo el desarrollo de los conocimientos de un sujeto epistémico, que responde a los mecanismos de adaptación al ambiente y de equilibrio de las estructuras cognitivas, impone su marca hasta en la construcción social de los saberes científicos más elaborados (…); el reto que se refiere al didacta es, por el contrario, mostrar como las formas y las normas preestablecidas del saber, considerado en cuanto producto histórico-cultural, pueden a su vez adaptarse a estos mecanismos sin desnaturalizar el conocimiento y sobretodo sin hacer perder el sentido cultural del saber”.
La segunda distinción es explicada por la misma Schubauer-Leoni (1996): “El individuo, sujeto de la psicología cognitiva o socio-cognitiva, es por lo tanto estudiado en cuanto estudiante frente a una situación didáctica y por lo tanto con un saber específico. Asistimos entonces a un desplazamiento de la función de la cognición en los estudios de didáctica respecto a los de la psicología. En efecto, en el caso de la didáctica, los procedimientos cognitivos, los “gestos mentales” de los sujetos, la emergencia de concepciones nuevas se analizan no sólo en cuanto productos de los controles internos que los sujetos ejercitan sobre el problema, si no también en función de los controles externos provenientes de la situación. No se trata por lo tanto de producir una teoría psicológica del sujeto frente a un problema matemático pretexto; se necesita en cambio progresar en la comprensión de las condiciones que vuelven posible el encuentro del estudiante con el problema y la relativa asunción por parte del estudiante mismo”.
La tentación más fuerte para mi sería la de partir de las didácticas disciplinarias, independientemente de lo que éstas sean12, e intentar definir la didáctica general por abstracción respecto a las didácticas disciplinarias; algunos estudiosos de didáctica general parecen aprobar este modo de pensar (Genovesi, 1996), otros son contrarios porque, dicen, haciendo así se volvería a dar a la didáctica general (en las comparaciones con las didácticas disciplinarias) el papel pernicioso que fue de la pedagogía (precisamente en las comparaciones con la didáctica).
Ahora, no es mi tarea definir y resolver esta cuestión tan espinosa y aún tan violentamente debatida: pienso por el contrario que quedará abierta durante un largo tiempo...
Creo en cambio que interese sobretodo saber que, en un cierto sentido, este debate comenzó desde hace siglos; intentaré demostrarlo.
En el siglo XVIII se apasionaron con la pregunta: ¿qué quiere decir “simple de entender”? El “simple” ¿es un hecho absoluto o relativo? El “simple” ¿es tal indiferentemente tanto para el científico como para el niño? ¿O existe diferencia? Si es así, ¿cuál?
Estas preguntas hallan intentos de respuesta incluso en la Encyclopédie de Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert [1717-1783] y Denis Diderot [1713-1784], y sobretodo en los artículos Análisis, Síntesis, Método, Elementos de las ciencias. Se trata, desde mi punto de vista, ya de un estudio de didáctica que se diferencia de los intereses de la pedagogía. [Insisto: si, por ejemplo, se tratara de ejemplos tomados de la química, sería didáctica de la química (es decir la especificidad viene del objeto de conocimiento tratado)]. Podría ser interesante, tanto para tener una idea de la cosa, ver como d’Alembert, autor de la voz Elementos de las ciencias, trata de hacer nacer ideas didácticas de la hipótesis cartesiana de síntesis, de lo simple a lo complejo, pero como se halla obligado él mismo a admitir que la cosa se complica inmediatamente.
Soy consciente de forzar un poco las cosas, comenzando por admitir que existe una profunda diferencia entre:
• la disciplina en sí (prosiguiendo con nuestro ejemplo, la química) a partir de cómo se le conoce y de cómo es practicada por los especialistas, por los científicos, por parte de los químicos, en resumidas cuentas;
• la didáctica general en sí, por como consta de aserciones generales creíbles y garantizadas por reflexiones significativas conducidas por expertos en el sector;
• la didáctica disciplinaria en sí, que tiene otros parámetros, paradigmas y objetivos.
El verdadero punto en discusión se evidencia cuando d’Alembert trata de ver qué significa que un concepto precede a otro: ¿de cuál partir, de dónde comenzar los primeros movimientos, cuáles son los conceptos primarios?
Por ejemplo, en matemáticas, el científico acostumbra comenzar con ideas tales como espacio, plano, recta, punto, número... y algunas “conexiones” entre ellos; ¿estamos seguros que en la didáctica de la matemática esto es conveniente? ¿Los elementos primarios del científico son o deben ser necesariamente los elementos primarios del estudiante?
Más que aceptar los elementos primarios del científico, ¿no vale la pena quizás recorrer la generación de las ideas que han llevado a escoger esos objetos como objetos primarios? No es aquí el caso de profundizar, pero es singular como precisamente este debate de tipo didáctico haga pasar a d’Alembert de una posición totalmente cartesiana a una lockiana y después como intenta conciliar ambas: “Las ideas simples pueden reducirse a dos categorías: unas son las ideas abstractas (...) el segundo tipo de ideas simples se halla en las ideas primitivas que nosotros adquirimos por medio de nuestras sensaciones”.
Pero: los elementos que los niños (que se acercan por primera vez al estudio de las ciencias) se hallan en grado de comprender, ¿son o no los elementos de las ciencias? O: ¿son al menos de la misma naturaleza?
• Si se responde que sí, entonces el método didáctico es una reestructuración, una sistematización, una puesta en escena progresiva de los elementos de las ciencias, del saber de los científicos (Kintzler, 1989);