Didáctica de la matemática

Este estudio es una revisión de diversos problemas de investigación que surgen de los distintos ámbitos de reflexión en la Didáctica de la Matemática.

El profesor D’Amore viene realizando desde hace años un esfuerzo meritorio por conectar con el mundo hispano parlante de profesores de matemáticas, expertos en educación matemática e investigadores en didáctica de la matemática. En este manual hace una selección de algunas de sus reflexiones y preocupaciones de estos últimos años; en su transcurso se esfuerza por transmitirnos de manera amena y detallada sus indagaciones y conclusiones. Pone a nuestro alcance parte del trabajo realizado por los investigadores italianos en Didáctica de la Matemática, conectado con las aportaciones de otros grupos europeos; todo ello permite ampliar la perspectiva de los trabajos que se vienen realizando en este área en el espacio europeo.

Estamos seguros de que estos estudios tendrán el alcance y difusión que merecen y serán de utilidad para profesores e investigadores.

Rico L., Sierra M., Castro E. (2000). La Didáctica de la Matemática. En: Rico L., Madrid D. (edts.). Fundamentos Didácticos de las Áreas Curriculares. Madrid: Editorial Síntesis.

Rico L., Sierra M. (2000). Didáctica de la Matemática e Investigación. En: Carrillo J., Contreras L.C. (edts.). Matemática española en los albores del siglo XXI. Huelva: Hergué Editores.

Luis Rico Romero

Universidad de Granada

Prefacio

–Estoy totalmente de acuerdo contigo, –dijo la Duquesa–

y la moraleja de esto es: “Tienes que ser aquello que quisieras parecer” o, más simplemente: “No pienses jamás de no ser diferente de lo que podrías parecer a los demás, que lo que eras o hubieras podido ser no era diferente de lo que hubieras sido si tú les hubieras parecido diferente”.

–Me parece que comprendería mejor este precepto

–dijo gentilmente Alicia– si la pudiera tener escrita;

pero sin duda, seguiré igualmente su consejo.

Lewis Carroll,

Las aventuras de Alicia en el País de las maravillas.

¿Enseñar a enseñar?

Muchos creen que la tarea de los expertos de didáctica de la matemática sea la de “enseñar a enseñar” y que los destinatarios de este “enseñar” deban ser o aspirantes a maestros (en formación inicial, como se suele decir) o maestros en activo (cuando se hallan en la fase llamada formación en servicio).

Más allá de cuanto se halle radicada esta creencia, por ejemplo entre los colegas matemáticos, las cosas no son así; pero si dicha creencia se halla hoy tan difundida, alguna raíz, alguna justificación, algún origen debe tener… Creo que este origen puede rastrearse en las actividades que han caracterizado con mucha evidencia la didáctica de la matemá­tica en los años de la primera grande revolución, la que va de 1950 a 19801, y a la cual aún muchos hacen referencia, no teniendo ulteriores y más actuales informaciones.

En esos años, presuntos “expertos” dictaban cátedra y, proponiendo técnicas e ideas, sugiriendo argumentos y modalidades, inventando trucos y juegos, efectivamente parecían querer “enseñar a enseñar”… Estos “expertos” eran o matemáticos (a veces también psicólogos o pedagogos) que habían decidido dedicar su tiempo (o parte de su tiempo) a la relación directa con los maestros; o eran maestros con mucha experiencia que, fuertes de su militancia en el campo, consideraban poder proponer ideas a los colegas o a los que aspiraban a tales2.

Pero, alrededor de finales de los años 70, se tuvo una segunda, y mucho más radical revolución:

• se clarificaron mejor las relaciones entre enseñanza y aprendizaje;

• se comprendió más a fondo que el aprender no depende sólo de la disciplina y de la metodología de enseñanza, sino también de fenómenos ligados a problemas de comunicación, sociológicos, antropológicos…;

• se entendió que la idea didáctica que había dominado hasta el momento, es decir: “si se enseña bien a los estudiantes estos aprenderán”, no sólo era ingenua, sino falsa: una pura ilusión (Moreno Armella, 1999);

• …

Se comenzó también a reflexionar de manera seria y constructiva sobre los objetivos de la enseñanza de la matemática. Hans Freudenthal [1905-1990] escribía, ya en 1969: “La matemática es más que una técnica. Aprender la matemática significa conquistar la disposición a un comportamiento matemático” (Freudenthal, 1969), dirigiendo ya la atención sobre el aprendizaje, más que sobre la enseñanza.

Las problemáticas del aprendizaje y las investigaciones

En este sentido, un hecho es desde mi punto de vista emblemático; desde el inicio de los años 50 y hasta los años 80, obviamente todos los congresos nacionales e internacionales se referían a la enseñanza, dado que se dirigían a maestros. Pero a partir del inicio de los años 80 se comenzaron a intitular los congresos con una doble denominación: enseñanza-aprendizaje. Ahora, muchos títulos de congresos han incluso perdido el primer sustantivo…

Pero si la tarea de los estudiosos de didáctica de la matemática no es la de enseñar a enseñar la matemática, entonces ¿cuál es?

Este es el punto: ¿cómo podría yo tener la pretensión de enseñar a maestros de primaria, o a profesores de preparatoria, cómo enseñar la matemática, yo que jamás he enseñado ni en primaria ni en preparatoria?

En cambio, lo que puedo hacer, es más bien diferente. Puedo estudiar las problemáticas del aprendizaje con base en la experiencia de los colegas de las escuelas preuniversitarias y, junto con ellos, entenderlas. Entenderlas quiere decir crear dispositivos de investigación científica­mente significativos que expliquen los fenómenos de lo ocurrido o de la falta de aprendizaje, en ámbito de investigación. Entenderlas quiere decir entrar en el salón en calidad de investigador y conducir pruebas, discutiendo después los resultados de tales pruebas con maestros militantes.

Un estudioso de didáctica no puede más que limitarse a esto.

Pero el conocimiento de estos fenómenos, el análisis de los resultados de las experiencias y de las investigaciones hechas, difundidas cada vez más entre los maestros por medio de libros, revistas, congresos, cursos… no puede ser mas que útil, promoviendo una mayor conciencia de la acción didáctica cotidiana, o sea la enseñanza, pero con una meta bien precisa y delineada: mejorar (en todos los sentidos posibles) el aprendizaje.

No es verdad que el experto de didáctica deba ser necesaria y exclusivamente aquel que desde hace mucho milita en el mundo de la enseñanza; es más, en un cierto sentido, pensar así es peligroso y de cualquier manera, a la prueba de los hechos, es muy difícil que eso suceda. La “didáctica de la matemática” es hoy en todos los sentidos una verdadera y propia disciplina y por lo tanto se le puede y se le debe aprender: no se trata para nada de buen sentido, o sólo de hacer experiencia como maestros, como padres o como observadores de hijos de amigos o familiares.

Me permito un ejemplo. Una vez se usaba decir que el histórico o el filósofo de la ciencia debía ser un viejo científico que, al final de su gloriosa experiencia de investigador, dedicaba los últimos años de actividad a la reflexión histórica o filosófica de su investigación y, más en general, a la epistemología de su disciplina. Esta posición, aunque halla sido correcta en el pasado, pero lo dudo, ciertamente no lo es ahora. Si un científico ha dedicado todo su tiempo más fértil a la investigación científica, no ha tenido tiempo para estudiar seriamente la historia o la epistemología de su disciplina, a lo más lo habrá hecho sólo en sus ratos libres o como aficionado; y si comenzará a hacerlo de viejo, no podrá más que producir resultados provenientes de la experiencia, cierto, pero con mucha probabilidad sin una verdadera y propia profundidad original. Hoy el histórico o el filósofo de la ciencia se forma desde joven, dedicando toda su vida, todo su empeño y vitalidad juvenil al estudio explícito y específico de la historia o de la filosofía de la ciencia (naturalmente, en la “formación” incluyo la disciplinaria: hallo ridículo pensar en un histórico de la matemática que no sea matemático como formación de base…). Lo que no quita, ¡póngase atención!, que existan ejemplos excelsos de ilustres científicos pasados a la reflexión histórica y filosófica con resultados excelentes; lo que digo es que no se puede generalizar y que, de cualquier manera, el pasaje delineado, por la larga militancia en la ciencia a la producción histórica o filosófica, no es ni obligatorio ni estrictamente necesario.

Pues bien, yo pienso que lo mismo valga para la didáctica; la analogía es desde mi punto de vista obvia.

Existen jóvenes en todo el mundo que sólo han tenido experiencia universitaria, que han adquirido una fortísima preparación técnica en “didáctica de la matemática”, así como sucede en las otras disciplinas matemáticas, gracias al estudio y a la experiencia de investigación (en el aula y con los maestros titulares), incluso sin tener experiencia directa o cotidiana, con un grupo escolar propio. Aquí no hablo de experiencia vendible bajo forma de anécdotas o de ejemplos, aquí hablo de verdadera y propia formación científica específica.

Creo que esta puntualización explica cómo las cosas han cambiado mucho en los últimos 20 años y que por lo tanto la respuesta a la pregunta que aún queda en el aire (“si la tarea de los estudiosos de didáctica de la matemática no es la de enseñar a enseñar la matemática, entonces ¿cuál es?”) requiera una respuesta mucho más profunda que no una simple ocurrencia.

En un cierto sentido, todo este libro tiene como objetivo responder a esta pregunta.

Este libro

Ahora, precisamente la novedad constituida por la existencia de una disciplina autónoma, confiada a matemáticos y no a expertos de la educación, es uno de los motivos que me han empujado a escribir este libro.

Otra novedad son los cursos universitarios oficiales que se dirigen a estudiantes aspirantes a maestros (cursos de licenciatura para maestros del nivel preescolar y de primaria; cursos de especialización para maestros de secundaria).

Otro impulso lo tuve del hecho que los maestros que encuentro con frecuencia continuamente me preguntan donde poder hallar explicados los términos que ahora se asoman por todas partes y que ellos oyen usar en nuestro ambiente (contrato didáctico, imágenes, modelos, conflictos, obstáculos,…) pero que no conocen.

Claro está, escribir y hacer público un libro como este es un gran riesgo; más allá de que existan ahora tanto una comunidad de estudiosos del sector como un vocabulario compartido, poner todo por escrito, ejemplificando y citando es una operación no inmune a críticas.

Sin embargo: alguien debía asumir este riesgo.

Pido a los lectores la clemencia de considerar este libro como un primer intento, más como una forma de servicio y de apuntes que no una verdadera y propia redacción definitiva. Eso implica que después tomaré en cuenta las críticas que llegarán puntuales y abundantes, y que espero sean de cualquier manera constructivas. Más adelante, una vez que las habré recogido, las usaré para escribir un verdadero y propio texto que idealmente verá coautores a todos aquellos que habrán contribuido en tal modo a extenderlo, clarificando, mejorando, modificando, corrigiendo lo que aparece ahora aquí de manera provisional.

Este primer intento tiene muchas lagunas de las que estoy plenamente consciente. No obstante su volumen, al límite de la aceptabilidad por parte de cualquier editor de hoy en día, tiene notables ausencias. Eso depende en parte de mi incompetencia sobre ciertos argumentos de investigación, en parte del hecho que estos argumentos a veces se hallan aún en fase de sistematización, a veces que sé muy bien que muchos otros mejores que yo podrían escribir con mayor eficacia y capacidad. Por ejemplo, muy poco se dedica a las didácticas específicas, por ejemplo de la aritmética y de la geometría; nada se dedica a la didáctica del álgebra; nada a la didáctica asistida por instrumentos informáticos; nada se dedica a didácticas aún más específicas: trigonometría, valor absoluto, ecuaciones, límites, etcétera. Lo que busqué hacer fue dar sólo algunos de los elementos de la disciplina que considero básicos; cubrir o querer cubrir todos los argumentos posibles hubiera sido una empresa vana y presuntuosa, de carácter enciclopédico. Sin embargo, espero que al menos en parte la bibliografía específica pueda favorecer la investigación de los textos que el lector, estimulado por una frase aquí o allá, querrá leer para profundizar.

Una ausencia grave en verdad está ligada a las cuestiones que se refieren a los factores metacognitivos y afectivos, hoy tan centrales en los estudios de didáctica de la matemática. Pero ese sector constituye un ejemplo de ausencia que una cuidadosa bibliografía puede colmar: ¿porqué escribir de este argumento, cuando en el mercado existe ya un libro autorizado que lo trata?, libro que se puede consultar fácilmente. Se trata de Zan (1998). Yo aconsejo de verlo y después, utilizando la bibliografía ahí reportada, eventualmente partir para estudios personales y más específicos.

Las citas

Es un deber que diga que la aparente extrañeza de las citas respeta en cambio algunas reglas que me puse y que el lector no tardará en reconocer. Indico siempre en el texto la edición que utilicé, para facilitar la investigación y para tener la confirmación de mis citas. Por lo que, por ejemplo, en general tiendo a citar al Autor extranjero usando el año de la edición del texto original para situar cronológicamente la intervención; pero cuando existe una traducción española, y yo la conozco, la indico en la bibliografía de manera extendida. En la bibliografía me permití también, aunque no es usanza difundida, hacer aquí y allá algunos comentarios personales por ejemplo a las ediciones, o a las fechas, o a situaciones editoriales que hallé curiosas.

En muchos casos la traducción del texto que reporto es del traductor, otras veces, cuando existe, es la del traductor oficial.

Claro está, al lector podrá molestarle el hecho que yo me cite a mí mismo tantas veces. No se trata de una claudicación senil ni de una ridícula forma de complaciente auto-historización; sé bien que eso provoca si acaso el efecto contrario: no consagra, sino que por el contrario causa fastidio y críticas. El hecho es que este libro es un poco la historia de mi experiencia de 35 años de relación con maestros y estudiantes de los grupos donde pasé largas horas de pruebas empíricas; de tantos y tantos encuentros con maestros para discutir las pruebas antes y después de su realización. Lentamente pasé de situaciones experimentales ingenuas (las que publicaba bajo forma de informes en los años 70 y primeros años 80) a estudios más vinculados a lo que hoy se llama “didáctica de la matemática”; honestamente, ¿cómo no citar estos trabajos, que constituyen el esqueleto del libro, que constituyen su trama? Y además, aunque llevan mi nombre, muchas son simples ediciones de Memorias y por lo tanto colecciones de trabajos de otros… Habría podido simplemente escribir las partes que puedo incluir en mis investigaciones personales, evitando con cuidado de citarme. Pero muchas veces estos fragmentos son el resumen de algo más profundo y específico que un lector curioso podría querer leer directamente en la fuente. Por lo que, me pareció serio citarlas, y por lo tanto citarme, corriendo el riesgo de molestar un poco a alguien pero dando en cambio la oportunidad de profundizar, más que esconder las fuentes personales. O, al menos, esto es lo que creo.

El lector ideal

Considero importante una advertencia explícita sobre el modo en el que se redactó este libro: ¿a quién considero como lector?, ¿para quién fue escrito el libro?, ¿cómo sugiero leerlo?

En el libro se sobreponen dos niveles y por lo tanto dos estilos muy evidentes.

El primer nivel es el que podría definir explicativo, de primera lectura, pensado para quien accede por primera vez a este argumento: estudiantes de didáctica, maestros, curiosos. Hay entonces una abundancia de ejemplos, incluso bastante elementales, descripción de situaciones, de casos, ejemplos de investigaciones que considero elementales, básicas, dirigidas a explicar cómo dar los primeros pasos en este ambiente.

El segundo nivel es un poco más docto, diría de profundización; me he preguntado y me han preguntado, a lo largo de los años, de contestar a preguntas relativas a investigaciones bibliográficas, en el intento de reconstruir la historia de los eventos didácticos que, considero, no nacen de manera repentina, sino que tienen siempre largos períodos de gestación.

Dos diferentes niveles implican también dos estilos lingüísticos, dos pesos diferentes, incluso dos esfuerzos diferentes por parte del lector. Habría podido (o quizás, ¿habría debido?) distinguir en manera neta las dos partes, pero este no es mi estilo personal… Y además vi que, también en los muy numerosos encuentros que tengo con maestros, existen muchas ocasiones en las que partiendo de cuestiones elementales, una pregunta, un estímulo, una intervención, me obligan inmediatamente a penetrar en profundidad en los conceptos: es un modo de proceder que, oralmente, tiene ventajas y, debo decir, una cierta eficacia. Decidí entonces mantener ese mismo estilo, aunque si, me doy cuenta, en una primera lectura un neófito puede hallarse cohibido al escoger cómo y qué cosa leer: confío esta elección a su inteligencia, a su curiosidad, a su interés real.

Por lo tanto, el libro está escrito, por así decirlo, en forma de espiral. Existen argumentos que se proponen primero de manera incompleta y provisional, pero que se retoman en capítulos posteriores de manera más profunda, también gracias a nuevos elementos que he propor­cionado entre el primero y el sucesivo contacto. Y sin embargo puede suceder que, en el mismo párrafo, de un concepto se dé una presentación elemental, incluso recurriendo a ejemplos, e inmediata­mente se pase a una profundización aparentemente pedante. En tal caso, en primera lectura se puede incluso saltar y proceder, posponiendo la profundización para una eventual segunda lectura. En resumen, creo mucho en la teorización de Stanley Fish (1980) relativa al involucra­miento creativo del lector, por parte de quien escribe; en efecto, el lector se considera “corresponsable en la producción del significado” (p. 7 de la edic. it.3). Creo entonces que el modo mejor para favorecer esta corresponsabilidad creadora sea el no dar al propio lector todo ya pre-construido; el autor puede dejarse ir, ser totalmente sí mismo, confiando en una lectura cómplice: la elección de cuándo y qué cosa saltar, en una primera lectura, se deja al lector.

Intenté limitar al mínimo el uso de la matemática, incluso en un libro de didáctica de la matemática, con el fin de no impedir la lectura por parte de dos categorías de potenciales lectores que me interesan mucho: a) maestros y futuros maestros de la escuela primaria y preescolar; b) colegas expertos de didácticas disciplinarias diferentes y de didáctica general.

En los primeros creo mucho porque sé que a ellos se encomendó un encargo educativo determinante para la formación del individuo; basta pensar en lo que escribe Gardner (1993): “(…) en casi todos los estudiantes existe la mente “no escolarizada” de un niño de cinco años que lucha por emerger y por expresarse” (p. 14 de la edic. it.), lo que debe hacernos reflexionar mucho a todos, maestros de cualquier nivel escolar o universitario.

A los colegas expertos de didácticas disciplinarias diferentes y especial­mente a los colegas expertos de didáctica general, a lo largo de todo el libro busco promover ideas para posibles conexiones, para colabo­raciones al menos ideales. Podría en todo caso decir que todo el libro nació con base en el deseo, muy vivo en mí, de crear un recorrido de acercamiento teórico entre la didáctica general y las didácticas disciplinarias: ciertas elecciones de contenidos hechas en el libro y en mis investigaciones de los últimos años pueden explicarse en esta dirección.

Agradecimientos

Y ahora tendría unas mil personas a las cuales agradecer, pero sería largo e inútil hacerlo, aburriendo ulteriormente al lector. Me limito sólo a agradecer a aquellas personas a las que debo en verdad mucho, reservándome estrictamente a este libro.

Desde un punto de vista general, debo decir que Raymond Duval, Hermann Maier, Maria Luisa Schubauer-Leoni y Gérard Vergnaud me han enseñado mucho personalmente, con paciencia e incisividad; el haber aceptado tener seminarios de estudio e investigación en el Núcleo de Investigación en Didáctica de la Matemática en Bolonia, del que soy responsable científico, fue para mí una gran ocasión de crecimiento y de reflexión. Quiero recordar que Gérard incluso generosamente escribió el Prefacio de mi libro Problemas (D’Amore, 1993a).

A propósito de esto, ¿cómo no agradecer de manera explícita a Colette Laborde por haber aceptado siempre las colaboraciones que le propuse y en particular por el Prólogo de este libro?

Otros colegas y amigos que me han ayudado a reflexionar sobre los temas generales que trato, son Athanasios Gagatsis, Luis Rico, Juan Godino, Ubiratan D’Ambrosio, Bernard Sarrazy, Ricardo Cantoral, Rosa María Farfán, Luis Radford y en particular Guy Brousseau; la relación con cada uno de ellos es profunda y fecunda. Desgraciadamente Francesco Speranza, que fue muy importante para mí, y no sólo en lo que concierne a mi formación matemática, no podrá ver este libro: con él discutí los capítulos 6 y 13; pero gran parte de mi preparación actual se debe a lecturas que él me aconsejó y, más en general, a reflexiones a las que él me condujo durante años.

Para no entrar aún en detalles demasiado específicos, puedo decir que aproveché siempre las invitaciones que me pude permitir como director científico del Congreso Nacional de Castel San Pietro Terme4, para contactar estudiosos de varias nacionalidades y de alto prestigio. Basta dar una hojeada a las Memorias para ver la calidad de los nombres que se hallan listados como Autores y por lo tanto como Relatores; entre estos, quisiera citar sólo a Efraim Fischbein (que conocí ya en un Congreso en Cognola de Trento, Italia, a finales de los años 70), con el que tuve siempre una relación de sincero afecto: cuando alguna vez le pedí que leyera mis trabajos, lo hizo siempre con increíble disponibilidad.

Entre los estudiosos italianos, deseo agradecer a Mario Ferrari y a Rosetta Zan por haber leído pacientemente todas estas páginas en una versión preliminar y por haberlas criticado contribuyendo así a hacer que el libro asumiera la versión actual. Se trató de una prueba de amistad y disponibilidad que mal recambiaría si no advirtiera que considero que de cualquier manera es mía la culpa de eventuales inexactitudes o errores que el lector pudiese hallar.

Naturalmente, un agradecimiento lo debo también a mis más estrechos colaboradores a los que confié estos capítulos en varias fases de su escritura, en particular a Giorgio Bagni, Silvia Sbaragli y Berta Martini, los cuales se han mostrado siempre generosos al regalarme su tiempo y su atención.

Finalmente, debo agradecer por la ayuda más específica, más circunscrita, pero no por eso menos significativa, de mi hijo Pier Luigi (por haber controlado ciertas congruencias y por haberme ayudado pacientemente durante las vacaciones en Oberinn y en otros lados).

En ocasión de la edición en idioma español, un agradecimiento especial va dirigido a los colegas Luis Rico Romero por la estupenda presentación y a Ángel Balderas Puga y Martha Isabel Fandiño Pinilla quienes no se limitaron a una simple traducción, sino que interpretaron cada frase de mi libro, discutiendo entre ellos, en el intento de respetar mis posiciones a veces no tan sencillas de entender.

Nota a la edición en español

Este libro se publicó en Italia en 1999 y fue de inmediato un éxito editorial, tan es así que hasta el momento de la traducción había tenido ya varias reediciones. En el año 2000 ganó el primer premio en el concurso nacional de pedagogía “Lo stilo d’oro”. Es claro que sufrió algunas pequeñas modificaciones, por ejemplo, se cancelaron las referencias específicas a la realidad italiana; además, siendo publicado en el 2006, se agregaron algunas notas bibliográficas, sobretodo de unos de mis libros y artículos que se publicaron mientras tanto. El primero (D’Amore, 2001a) (en italiano) es, simplemente, el resumen de éste (más o menos una tercera parte), resumen destinado a un público formado por futuros maestros de primaria que se hallan actualmente bajo formación universitaria y para los cuales estudiar un libro de esta complejidad hubiera resultado excesivo. El segundo (D’Amore, 2003) (en italiano) contiene una colección de mis artículos sobre epistemología de la matemática y de la didáctica de la matemática (escritos entre 1980 y 2001) y que ayudarían mucho al lector a entender mis posiciones, no siempre evidenciadas en esta sede. Para ver otros, se puede mirar la Apostilla 2.