Didáctica de la matemática

Según Piaget, en la base de tales dificultades, se hallaría la incapacidad del niño de aferrar la “conexión uno-a-uno” entre objetos de diferentes conjuntos. He aquí entonces que la idea de correspondencia biunívoca entre conjuntos se elige como base, como piedra fundamental de toda la didáctica de los números, desde preescolar. Y eso comporta que haya existido una sobrevaloración del concepto cardinal de número con respecto al ordinal. Se vuelve institucional un gran retraso en la introducción del número en sus aspectos usuales, para poderlo construir por medio de complejos procedimientos “de abstracción”: concepto de equipotencia entre conjuntos finitos, clases de equivalencia, representante de cada clase27.

No entraré en ulteriores detalles técnicos, visto que ya existe sobre este argumento un trabajo muy profundo y detallado de Michele Pellerey (1989), al cual remito.

Quisiera sólo recordar brevemente lo que escribí ya en otros artículos (D’Amore, 1994a; Aglí, D’Amore, 1995). Rehice personalmente varias veces un experimento juzgado probatorio, en la dirección precedente. A niños entre los 5 y los 5 años y medio (último año de preescolar) mostré una fila de 5 platitos junto a otra fila de 5 tacitas. A la pregunta: “¿Hay más platitos o más tacitas?”, todos respondían correctamente (aunque, obviamente, con modalidades lingüísticas diferentes). Dejando en su lugar los platitos, redistribuía las tacitas sobre la mesa, dejando más espacio entre ellas. A la misma pregunta de antes, todos los niños efectivamente respondían, de acuerdo a las supuestas dificultades señaladas por Piaget, que ahora había más tacitas. Pero no concluía aquí mi prueba: volvía a colocar en su lugar las tacitas, acercándolas a los platitos, como estaban antes, y rehacía la misma pregunta. De nuevo todos los niños daban la respuesta correcta. Cuando de nuevo (por lo tanto: por segunda vez) separaba entre ellas las tacitas y rehacía la misma pregunta, ya la mitad de los niños presentes reconocía con absoluta, sorprendente, desconcertante seguridad que había tantas tacitas como platitos y buscaban convencer a los demás, anclados en la misma respuesta precedente “¿Hay más tacitas?”, con argumentos convincentes28.

La grande fortuna de este lenguaje de conjuntos se halla ligada también a los diferentes materiales predispuestos que la acompañaron, los así llamados “materiales estructurados”, que dieron la vuelta al mundo (alguien lo ha ya recordado precedentemente). Pero también a las teorizaciones de Zoltan Dienes y de Jerome Bruner. Si del primero ya he mencionado algo, el segundo fue sólo citado en una nota. Bruner, en su Teoría de la instrucción (1966), sostiene que se debe desarrollar en los estudiantes la estructura misma del conocimiento; en particular, en matemáticas no se debe dirigir hacia habilidades mecánicas o algorítmicas, ni limitarse a dar simples informaciones; se debe estructurar la mente exactamente como se halla estructurada la matemática misma, para poder después “componer” cada pieza, en el interior de esta estructura ya predispuesta.

Pero desde 1970 comenzaron a circular fuertes señales de rechazo de todas estas hipótesis didácticas.

En 1970 se publicó en francés el muy célebre artículo del matemático René Thom (1970), Matemáticas Modernas: ¿un error educativo y filosófico? Debe recordarse que en 1958 Thom había ya ganado la Medalla Fields, el equivalente del Premio Nobel para la matemática; por lo que su ingreso en campo tuvo un peso para nada despreciable. Tal artículo contenía, en muy pocas páginas, un conciso análisis sumamente crítico que despertó repentinamente el interés de los matemáticos en los problemas de la educación matemática. Sucesivamente, en 1972 el mismo Thom confirmó su pensamiento en el II Congreso Internacional sobre Educación Matemática que se tuvo en Exeter, Inglaterra (Thom, 1973).

Otro golpe decisivo llegó por parte de otro célebre personaje, el famoso histórico de la matemática estadounidense Morris Kline [1908-1992] (1973). El trabajo, con título: ¿Por qué Juanito no sabe sumar?, tenía como subtítulo un explícito: El fracaso de las Nuevas Matemáticas29.

Después del ataque de los matemáticos, llegó el ataque de los psicólogos que no hallaban para nada convincente la teoría piagetiana del número. Comenzó quizás, como ya he recordado, C. J. Brainerd (1973) y después fue S. Mogdil (1974) los que sacudieron el edificio “estructuralista”; pero después tantos otros intentaron experimentos para probar o desmentir las hipótesis piagetianas sobre la construcción de los conceptos, especialmente el de número, culminando con el célebre trabajo ya recordado hace poco, de Gelman y Gallistel (1978), hoy muy citado por doquier30.

Para decirlo brevemente, parece ser sólo un prejuicio el hecho que se deba considerar al niño como incapaz de usar símbolos o de pensar lógicamente, y circunscribir sus habilidades y sus capacidades sólo a los procesos empíricos, perceptivos y motrices. El hecho es que la capacidad lingüística se desarrolla más lentamente de estas habilidades y por lo tanto, si nos confiamos en las declaraciones verbales de los niños, se tienen informaciones distorsionadas acerca de la realidad de lo que piensan y de lo que saben hacer: es decir, tales declaraciones condicionan negativamente nuestras observaciones [véase también Gardner (1993), p. 57 de la edic. it.].

Otro grave error de evaluación es el relativo al juicio; se juzga lo que un niño pequeño no sabe hacer, con respecto a otros niños más grandes o a un adulto; falseando la lectura de los resultados de las pruebas empíricas. En resumidas cuentas, la unidad y sobretodo las modalidades de medida seleccionadas falsifican el juicio.

Ahora, no entraré en detalles de este tipo, para los cuales remito una vez más al texto ya citado de Pellerey (1989) (capítulo VII) y al libro de Resnick y Ford (1981).

Diré sólo que nacieron sucesivamente varios proyectos didácticos en todo el mundo y, sobretodo, una nueva visión de la investigación en didáctica de la aritmética y del número (como veremos, aunque sólo de manera aproximada, en lo que sigue de este libro). Ellos no sólo han dado una nueva vitalidad a la idea ordinal, al número al interior de la recursividad, sino también al número pensado como término del lenguaje por denominar, al número en sus acepciones temporales, en el uso del dinero, etcétera.

Muchas de estas instancias fueron recogidas en las diferentes naciones, al momento de reformar los programas nacionales de aritmética, sobretodo para las escuelas primarias.

Por ejemplo, en la escuela italiana, los programas ministeriales de 1985 citaban, en la voz Aritmética: “El desarrollo del concepto de número debe estimularse valorizando las precedentes experiencias de los estudiantes en el contar y en el reconocer símbolos numéricos, hechas en el contexto de juego y de la vida familiar y social. Debe tenerse presente que la idea de número natural es compleja y requiere por lo tanto de un acercamiento que utilice diferentes puntos de vista (ordinalidad, cardinalidad, medida, etcétera); su adquisición se da en niveles siempre más elevados de interiorización y de abstracción durante el entero curso de escuela primaria, pero también después”.

Es obvio que tales palabras fueron inspiradas por la precedente historia.

Ciertamente, lo mismo puede decirse del cambio histórico de los programas franceses en 1985 y que actualmente ya no rigen antes consagrados totalmente a la teoría elemental de los conjuntos, cuestión que ahora se halla totalmente ausente. Por lo demás, ninguna referencia a los conjuntos aparece en los programas ingleses nacionales [1988] que, como es sabido, son básicamente indicaciones de los requerimientos mínimos.

5 Por otro lado, es precisamente el continuo surgir de nuevas terminologías lo que distingue a las lenguas modernas con respecto a las lenguas muertas.

6 Sobre esta dicotomía, se puede ver D’Amore y Frabboni (1996). Regresaré varias veces sobre este tema, en particular en el capítulo 13.

7 Agradezco a varios colegas de lengua inglesa, por la consultoría y por las interesantes discusiones sobre tal cuestión. Sin embargo sobre este punto, de las varias denominaciones de la disciplina, deberé regresar, ampliamente, más adelante.

8 Sobre las relaciones entre didáctica general y didácticas disciplinarias regresaré continuamente y en particular en el capítulo 13, no casualmente el último, para intentar dar una personal vía de salida a la cuestión.

9 La “receta” está hoy muy presente en las revistas de difusión (es decir: no de investigación) o en los cursos para maestros impartidos por personas con experiencia didáctica pero carentes de capacidades científicas en didáctica de la disciplina (los que en ocasiones en Italia se llaman con un eufemismo “cursos de actualización”).

10 El lector habrá notado que hasta ahora me he esforzado de no usar el sustantivo “pedagogista”, usando el sustantivo “estudioso”.

11 Remito al lector interesado en este debate a seguir muchos de los trabajos que se publican sobre este tema, tan actualmente en fermento, especialmente en Italia. En particular, sugiero Calonghi (1993) (y ahí en particular el artículo de Cesare Scurati que, precisamente, se ocupa de la relación entre didáctica y ciencias de la educación justo en el sentido que estoy buscando de precisar); véase además Bertolini (1994).

12 Aquí al menos podría ponerse como base el hecho que, desde hace unos cuantos centenares de años, las disciplinas, de cualquier manera, se enseñan...

13 Me gusta afirmar que, en un cierto sentido, todo este libro sirve sólo para intentar convencer que la didáctica de la matemática es una disciplina autónoma, ni didáctica general ni matemáticas ni, sobretodo, banal recetario de buen sentido. No hay nada peor que una didáctica basada en la simple experiencia de enseñanza aunque sea de muchos años, es decir, no ligada a profundos estudios específicos y sobretodo de investigación en el sector.

14 Este es un punto sumamente delicado, sobre el cual regresaré críticamente varias veces en todo el libro.

15 Parece lícito manifestar alguna duda al respecto, no tanto por el ambiente creado, sino por una especie de ingenuidad crítica presente entre algunos de sus adeptos.

16 Estoy seguro, aunque no tenga una real competencia, que algo análogo se puede hacer también para algunas didácticas disciplinarias. Nótese el énfasis que quise dar a ese hoy: no tengo la mínima idea de cómo evolucionarán las cosas, mañana…

17 Este sector de estudios ha adquirido hoy un interés notable (sobretodo en didáctica B, como veremos). Lo atestigua la cantidad de Congresos y Seminarios internacionales de estudio, como el ICMI Study 1998, en Luminy (Marsella, Francia). Véase, por ejemplo, Weil (1980), Fauvel (1990, 1991), Fauvel y Van Maanen (1997), Furinghetti y Somaglia (1997) y Bagni, Barbin et al. (1999). Cito de Fauvel y Van Maanen (1997), p. 8: “Como todo proyecto educativo, el entender la historia de la matemática como una componente de la enseñanza de la matemática implica una esperanza más o menos explícita en términos de un mejor aprendizaje. La investigación acerca del uso de la historia de la matemática en la enseñanza es por lo tanto una parte importante de la investigación en didáctica de la matemática”. Cito de Furinghetti y Somaglia (1997, p. 43): “Nos parece que se pueden identificar dos niveles de trabajo en la introducción de la historia en la didáctica: uno que podríamos asociar a una imagen social de la matemática y otro que concierne más bien a una imagen ‘interna’ de la misma. El primer nivel se refiere a las intervenciones destinadas a proporcionar motivaciones al estudio de la matemática mediante la contextualización en lo social (geográfico, histórico, comercial, lingüístico) (…) El segundo nivel es aquel que recupera (…) la dimensión cultural de la matemática como método, también en estrecha conexión con métodos de trabajo propios también de otras disciplinas”.

18 [Ndt] Este nombre propio y los tres siguientes se refieren a localidades en la región italiana llamada Emilia-Romagna de la que Bolonia es la capital.

19 Debe decirse que a finales de los años 90 se asistió a un regreso al interés por la didáctica en los laboratorios, como lo atestigua el creciente número de publicaciones sobre el argumento.

20 Se trata de lo siguiente. Supongamos que tenemos un polígono cuyos vértices sean nodos de una cuadrícula (por ejemplo en el geoplano). Sean entonces: C el número de vértices del geoplano que se hallan en el Contorno del polígono; I el número de los vértices del geoplano Internos al polígono. Pues bien, en 1899 Georg Pick demostró que, tomando como unidad de medida el cuadrado del geoplano, el área del polígono vale: C: 2 + I - 1. Se puede ver el trabajo original de Georg Pick (1899) pero, no es tan fácil de hallar. Una investigación didáctica sobre el teorema de Pick se halla en Bagni (1996).

21 Se trata de una corriente que hoy podríamos llamar de epistemología de la matemática que obligó a reescribir desde el principio toda la matemática, buscando basarse en muy pocas estructuras algebraicas consideradas fundamentales (D’Amore, Matteuzi, 1975). Esta investigación, iniciada en los años 40 y aún hoy en curso (aunque ya sin el vigor y las violentas motivaciones iniciales), ha influenciado profundamente no sólo la matemática, sino muchas otras disciplinas que la tomaron como ejemplo (D’Amore, 1981, 1987a). El fenómeno estructuralista, que ha involucrado a múltiples disciplinas, tiene aquí ciertamente su origen; en él se inspiran, por ejemplo, muchos de los más célebres trabajos de Jean Piaget.

22 Sobre este muy delicado punto, me limito a citar sólo las primeras investigaciones críticas (las de la segunda mitad de los años 70, que hicieron tanto ruido en la medida en la que minaban las bases de teorías que parecían absolutamente indiscutibles) y, entre las últimas, sólo las nacidas al interior del Núcleo de Investigación que coordino; se pueden ver, por ejemplo, entre los precursores: Brainerd (1973), Mogdil (1974), Feldman y Toulmin (1976), Gelman y Gallistel (1978); y, entre las más recientes: Sandri (1992), Aglí, D’Amore, Martini y Sandri (1997) y Sbaragli (1999). Pero las investigaciones de este tipo son muy numerosas. Una crítica más general a las investigaciones de tipo piagetiano, se puede hallar en Gardner (1993), p. 57 y sig. de la edic. it.

23 Para análisis críticos en los planos lingüístico, fundacional y didáctico, se pueden ver: D’Amore y Plazzi (1990b, 1992, 1998) y D’Amore (1991a, 1991b). Para un resumen fuertemente crítico de una experiencia sobre este tema en la escuela primaria: D’Amore (1975), sobre el que regresaré en una nota sucesiva.

24 ¡Atención al adjetivo “consciente”! Denominaciones colectivas de entes matemáticos se hallan presentes también en obras precedentes.

25 Estoy pensando a límites técnicos, sobre los que por ahora no me extiendo. Véase, por ejemplo: Lolli (1985), Mangione y Bozzi (1993), D’Amore y Plazzi (1998).

26 En los años 1969-70 y 1970-71 hice un experimento de enseñanza de los y con los conjuntos con un primer año de primaria y luego con un segundo. Los resultados fueron muy satisfactorios desde el punto de vista humano, pero más bien negativos en el plano cognitivo (en la vertiente aritmética). Repetí entonces el experimento, con mayor cognición de causa, pero con resultados aún no muy diferentes, en los años sucesivos. En Italia, entonces, todo el ambiente didáctico que conocía parecía favorable a esta metodología y por lo tanto yo mismo tenía dificultades para admitir los resultados no precisamente positivos y para buscar las causas. No circulaban aún ideas sobre la didáctica B, que presentaré dentro de poco. Pero escribí un pequeño libro en el que contaba la experiencia en una especie de diario, poniendo en evidencia los lados negativos (D’Amore, 1975). El título de ese libro [La matematica inventata (La matemática inventada)] es un intento de explicar la metodología didáctica usada, entonces de gran moda: el estudiante que construye por sí mismo el propio conocimiento.

27 Hoy se sabe bien cuales son los límites lógicos de tal construcción (Lolli, 1985). Pero también desde el punto de vista puramente didáctico, la espera de varios meses para hacer usar el número natural en sus diferentes aspectos, ya tan presente en el lenguaje del niño, esperando una construcción formal (por otro lado en ruinas), es al menos bastante discutible. Es además obvio que corre el riesgo de volverse algo monstruoso si se le aplica, como alguien ha incluso intentado de hacer, con niños de 6 años, a su ingreso en primero de primaria. Hoy se tiende a mostrar el número en sus numerosos aspectos, en modo del todo informal, desde el nivel preescolar. Sobre este tema se han escrito numerosos artículos, tantos que me es imposible citarlos todos. Me limito por lo tanto a recordar sólo Bartolini Bussi (1992), Aglì y D’Amore (1995) y Martini (1998).

28 De esta experiencia hice varias pruebas en diferentes localidades. En particular, de la llevada a cabo en Ozzano Emilia (Bolonia) tengo disponible un videocasete que he mostrado al público en varias ocasiones, por ejemplo en algunos seminarios impartidos en los Congresos Nacionales de Castel San Pietro Terme.

29 [Ndt] De este texto existe una versión en español, publicada en México por la Editorial Siglo XX.

30 Una presentación de los principios didácticos que se pueden recuperar del trabajo de Gelman y Gallistel, se halla en Pontecorvo y Pontecorvo (1985), pp. 289-293. Ahí, todo el capítulo VI se halla dedicado a Matematización y capacidades lógicas y proporciona un cuadro de las investigaciones sobre este campo específico entre 1972-3 y 1985. Véase también Resnick y Ford (1981).

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.