Некоторые аспекты оценки эффективности функционирования систем. Вторая редакция, исправленная и дополненная

При снятии воздействия с объекта последний может или продолжить свободное (при отсутствии каких-либо воздействий) затухающее движение в параметрическом пространстве, или может произвести возвращение на исходные позиции или в направлении исходных позиций, поэтому, по всей видимости, величину инерционного (или коррекционного, или компенсирующего) смещения следует внести в качестве слагаемого в интегральный результат воздействия.

Следует отметить, что инерционное смещение, не сопровождающееся ускорением, может рассматриваться как процесс, если этого требует решаемая задача, но в других случаях, для удобства анализа, описание такого движения следует преобразовать в набор статичных параметров – изменение координат (в частности, евклидовых или географических) можно преобразовать в статичные скорости по направлениям.

Если объект испытывает множественные воздействия, то общая величина воздействия, равно как и их общий результат, будет определяться векторным сложением отдельных воздействий и результатов.

Если удается зафиксировать устойчивую связь между величиной воздействия и результатом воздействия в период непосредственного воздействия, то можно говорить о выявленной поведенческой функции объекта (6, 6.1):

выражение 6

выражение 6.1

Выражение (6) показывает, что величина смещения объекта (обозначенная в соответствии со строкой 2 таблицы 1) в пространстве состояний за период непосредственного воздействия (обозначенного в соответствии со строкой 3 таблицы 1, далее по тексту будет просто указываться номер строки таблицы 1 в формате см. к/1, где к – номер строки, 1 – номер таблицы) по всем параметрам, по которым не происходит взаимодействия (N – M), определяется всей совокупностью параметров M воздействия, по которой (совокупности параметров) происходит взаимодействие объекта и источника воздействия.

Это означает, что за период непосредственного воздействия, пока имеет место взаимный захват параметров-реципиентов объекта и соответствующих параметров источника воздействия, остальные параметры меняют свое состояние на величину, определяемой проекцией поведенческой функции на соответствующий параметр.

Величина направляющих косинусов смещения определяется проекциями поведенческой функции на соответствующие параметры объекта.

Если существует обратная функция для выражения (6), то выражение (7) определяет величину воздействия для параметра, которое обеспечит за период непосредственного воздействия (см. 3/1) по всем параметрам (N— M) необходимое смещение (см. 4/1) объекта:

выражение 7

В заключение раздела автор полагает необходимым ввести несколько дополнительных показателей:

1. Абсолютное единичное воздействие. Это воздействие, модуль вектора которого, исчисленный по всем параметрам, равен единице.

2. Действующее единичное воздействие. Это воздействие, модуль вектора которого, исчисленный по тем параметрам, по которым осуществляется взаимодействие между источником воздействия и объектом, равен единице.

3. Единичное параметрическое воздействие. Это проекция воздействия на параметр, по которому осуществляется воздействие, причем длина проекции равна единице шкалы измерения данного параметра. Очевидно, что если по всем M параметрам, поддерживающим взаимодействие, имеет место единичное параметрическое воздействие, то величина самого воздействия определяется выражением (8):

выражение 8

В отличие от воздействий из предыдущих двух пунктов, которые могут быть получены в результате неограниченного количества комбинаций значений параметров, данный вид воздействия (8) имеет единственный вариант своего получения и, поэтому, в дальнейшем будет использоваться именно этот вариант, именуясь при этом либо обобщенное единичное параметрическое воздействие, либо единичное воздействие.

4. Инерционная временная характеристика (ударение на последний слог) параметра (постоянная времени параметра), см. 5/1. Это период времени, который необходим параметру объекта для изменения своего значения на единицу (по принятой для данного параметра шкалы измерения) при наличии единичного параметрического воздействия.

5. Постоянная времени объекта, см. 6/1. Это период времени, необходимый объекту для смещения в пространстве состояний на единичную длину при наличии единичного параметрического воздействия по всем параметрам объекта. Представляется вполне очевидным, что объект полностью перейдет в целевое состояние тогда, когда требуемое значение примет самый медленно перестраивающийся из параметров, то есть в качестве показателя можно принять максимальную величину из всех вариантов значений постоянной времени параметров (9):

выражение 9

1.3.6. Минимально необходимая величина воздействия. Стартовое воздействие.

Под минимально необходимой величиной воздействия будет пониматься та величина воздействия, которая обеспечивает решение поставленной задачи без учета иных воздействий.

Под стартовым воздействием будет пониматься величина воздействия, обеспечивающая начало движения объекта.

Необходимость оценки этого фактора вполне может вставать как перед источниками внешнего воздействия, так и перед системами управления объекта.

Расчет или оценка минимально необходимой величины воздействия производится на основании выражений (6) и (7).

Вопрос оценки минимально необходимого воздействия может иметь место для объектов любого рода, но со своими нюансами.

В случае объектов, имеющих хотя бы один дискретный параметр, как указывалось ранее и показано на рисунках 3.2 и 3.3, контент состояний объекта становится либо дискретно-непрерывным, либо дискретным, если все параметры являются дискретными.

При этом между отдельными состояниями, для полностью дискретного варианта контента, или изолированными областями непрерывных субконтентов (для дискретно-непрерывных контентов) появляются разрывы, протяженность которых определяется шагом дискретности параметров.

Следует отметить что, в результате проведения нормализации параметров, шаг дискретности для любого дискретного параметра численно равен единичному значению данного параметра.

Изменение значений дискретных параметров требует преодоления разрывов между значениями этих параметров. В интервалах между значениями параметров объект не может находиться, так как разрешенными значениями параметров для объектов с дискретными параметрами являются только эти значения.

Обычно переход по дискретному параметру осуществляется на одно деление шкалы или несколько делений шкалы параметра.

По различным причинам могут возникать случаи, когда величины воздействия чуть-чуть не хватает для достижения цели.

Если, при этом, требуется переход на одно деление шкалы параметра, то такой переход не состоится.

Если величина воздействия недостаточна для перехода в требуемое состояние, расстояние до которого больше единичного перехода, то переход будет осуществлен до ближайшего, гарантированного величиной воздействия, к цели значения параметра. При этом может иметь место остаточное воздействие, недостаточное для преодоления одного дискретного интервала. Остаточное воздействие, если таковое вообще будет иметь место, недостаточное для перехода в соседнее состояние, скорее всего не будет реализовано в рамках изменения значений данного параметра (но вполне может быть реализовано в других направлениях, если объект обладает системой управления и возможности системы управления позволяют перенаправить остаточное воздействие на изменение других параметров).

Из сказанного следует, что для дискретных объектов минимально необходимая величина воздействия должна гарантированно обеспечивать величину перехода, кратную шагу дискретности значений соответствующего параметра.

Стартовое воздействие для дискретных объектов – полностью или частично – это такое воздействие, которое обеспечивает переход на один шаг дискретности.

Для объектов, имеющих все непрерывные значения параметров (непрерывные объекты) задача становится тривиальной – минимально необходимое воздействие должно обеспечивать достижение цели без учета шагов дискретизации параметров, а стартовое воздействие должно отвечать условию (10):

выражение 10

Еще один случай, когда возникает необходимость оценки минимального воздействия или стартового воздействия, – это случай организации смены режима движения объекта. В этом случае отслеживается не текущее состояние объекта, а изменение таких характеристик движения как скорость или ускорение. Указанные характеристики могут быть получены из выражения (6) как первая для скорости или вторая для ускорения производные указанного выражения (если оно, конечно, вообще дифференцируемо).

1.3.6.1. Особенности поведения дискретных систем в окрестности значения параметра.

Существует еще один фактор, который вносит определенный нюанс в результаты воздействия. Это, выражаясь инженерным языком, конечная добротность систем.

Конечность добротности реально существующих дискретных систем приводит к тому, что значения параметров в пространстве состояний представляют собой не точки, а интервалы той или иной длины (чем ниже добротность системы, тем интервалы шире).

Наличие таких интервалов приводит к уменьшению расстояния между значениями параметра, но, в то же время, текущее значение параметра (до начала перестроения) может находится в любой точке окрестности значения параметра, в том числе и на границе интервала, противоположной целевому значению, также и само перестроение может произойти в любую точку окрестности целевого значения параметра, в том числе и на границу интервала, противоположной исходному значению.

Если символом (см. 7/1) обозначить шаг дискретности, а символами rs и rf обозначить соответственно радиусы окрестностей стартового и целевого значения, то длина интервала перестроения L значения параметра для перехода на один шаг шкалы значений параметра будет отличаться отличаться от шага дискретности и будет располагаться в следующем интервале (11):

выражение 11

Соответствующим образом будет варьироваться и время T перестроения из одного значения параметра в другое (соседнее) (выражение 12) при формальном переобозначении через T1 и T2 соответственно времени преодоления левой и правой части выражения (11):

выражение 12

либо будет верно выражение (12.1):

выражение 12.1

Где T0 – расчетное время перестроения на один шаг, а интервал времени (см. 8/1) порождается вариациями интервалов перестроения.

Если полагать, что перестроение на интервалы, отличные от единичного, в дискретных системах производится скачком из стартового значения в целевое, минуя принятие промежуточных значений, то выкладки для единичного шага остаются справедливыми и в этом случае, когда T0 – расчетное время перестроения на требуемый интервал.

Если перестроение осуществляется посредством последовательного принятия смежных значений, то задержки, отображенные в выражении (12) могут как накапливаться, так и взаимно компенсироваться.

В отрезок времени, определяемый выражением (12), данный параметр системы не имеет никакого значения. Это, следует отметить, равносильно тому, что в этот период объект имеет меньшее количество параметров.

Наличие конечного времени перехода (имеется ввиду отсутствие моментальности перестроения), из одного состояния в другое, следует отметить, может привести к невозможности перестроения объекта по причине увеличенного интервала перестроения параметра (что может привести к тому, что либо система управления, при необходимости быстрого или частого изменения значений параметра, не будет успевать вырабатывать управляющее воздействие, либо объект не успеет его реализовать, либо каждый из них в той или иной степени могут не успеть выполнить требуемые операции за отведенное время).

Заметим, что при дальнейшем качественном анализе поведения объектов в пространстве состояний не будут учитываться нюансы, отмеченные в данном подразделе.

1.3.6.2. Конфликтное воздействие.

Данный вопрос сводится к тому, что по каким-то причинам система управления объектом выработала такое воздействие, что дискретный параметр, или несколько параметров, должен принять промежуточное значение.

Реализация такого воздействия объектом или управляемой системой может быть различной и определяется определенными для данной системы или объекта процедурами разрешения конфликтов.

Это может быть или игнорирование дробной части величины воздействия, или перенаправление избытка на перестроение других параметров, или объект начнет перестроение, но не сможет его закончить, что приведет к зависанию объекта с исключением (временным, до принудительного перевода объекта в значимое состояние) такого параметра из пространства состояний объекта.

Наличие зон торможения (интервал вокруг целевого значения параметра, вызванный конечностью добротности объекта) может позволить объекту совершить перестроение, если требуемое значение попадает в зону торможения. В этом случае происходит (если у объекта на это действие имеется соответствующий энергетический или другой, соответствующий случаю, ресурс) «захват» значения параметра и, возможно, перестроение параметра до значения, которому принадлежит данная зона торможения.

Возможное поведение объекта, которое сводится к выбору результирующего значения параметра (значений нескольких параметров), при отсутствии системы управления, определяется не в последнюю очередь системным потенциалом состояния по тому принципу, что из всех возможных состояний при необходимости выбора и в условиях бездействия системы управления, система выберет состояние с более низким системным потенциалом.

Заметим, что свойство объектов – в неуправляемом движении стремится к снижению системного потенциала – является имманентным свойством любого объекта.

1.3.7. Возможность игнорирования промежуточных состояний.

При движении в пространстве состояний из исходного состояния в конечное состояние объект последовательно переходит от одного промежуточного состояния к другому.

Возникает вопрос: обязательно ли объект переходит при каждом смещении от текущего состояния к следующему состоянию (вектор {a} на рисунке 4), принимая по пути все необходимые промежуточные состояния между исходным и целевым состояниями, либо объект может скачком переходить из текущего состояния в целевое (векторы {b} и {c} на рисунке 4), минуя промежуточные состояния.

Решение этого вопроса определяется алгоритмом изменения параметров объекта, по которым происходит изменение состояния.

Если параметры должны изменяться либо плавно (для непрерывных параметров, например, регулятор типа верньера), либо последовательно принимая ряд значений (для параметров с дискретными значениями), то в этом случае объект будет перемещаться из исходного состояния в целевое через ряд смежных состояний.

Если же параметр в каждый следующий момент времени может принять любое доступное значение (например, изменение значений производится выбором той или иной кнопки из ряда кнопок, или переключение передачи в автомобиле), то в этом случае объект может перемещаться скачком в требуемое состояние из исходного, минуя промежуточные состояния.

Резюмируя сказанное в этом разделе, можно утверждать, что необходимость прохода объекта через все промежуточные состояния параметрического пространства при движении к целевому состоянию не является имманентной, но определяется, с одной стороны, свойствами или особенностями объекта, его системы управления с другой стороны, и, к тому же, задачами, встающими перед объектом (т.е. наличием действительной потребности в непрерывной траектории или, наоборот, в отсутствии такой потребности).

1.3.8 Преодоление разрывов.

Разрывы в пространстве состояний появляются тогда, когда значения хотя бы одного параметра располагаются не в пределах одного интервала, а группируются в нескольких изолированных субинтервалах.

На рисунке 10 такая ситуация изображена для параметра X, где доступные значения разбиты на два отдельных интервала [Xmin, X1] и [X2, Xmax].

В результате весь контент состояний разбивается на соответствующее количество субконтентов.

Расстояния между субинтервалами значений для каждого параметра различны, более того могут быть различны расстояния между субинтервалами внутри отдельно взятого параметра, если таковых субинтервалов более двух.

Это приводит к тому, что расстояния между субконтентами в пределах пространства состояний не являются сколько-нибудь постоянной величиной, что заставляет объект решать задачу о величине воздействия для преодоления разрыва отдельно для каждого случая необходимости преодоления разрыва.

Рисунок 10. Движение в пространстве состояний с разрывами

В общем случае, в соответствии с рисунком 5, величина воздействия определяется модулем вектора {c}, который (модуль) определяется как величинами разрывов по каждому из параметров, которые претерпевают разрыв принимаемых значений при организации этого перехода, так и обычными изменениями значений остальных параметров, не имеющих разрывов в этом случае.

Если через интервал значений параметров (см. 9/1) обозначить параметры, имеющие разрыв на этапе данного перехода и количество таких параметров M, а через интервал значений параметров (см. 10/1) обозначить параметры, претерпевающие лишь обычное изменение значений при организации перехода между субконтентами и количество таких параметров составляет L, то можно записать выражение (13) для модуля вектора {c}, используемого в качестве параметра выражения (7) для определения величины воздействия, которое необходимо приложить к объекту в данной области пространства состояний для его перехода в иной субконтент:

выражение 13

Заметим, что аналогично тому, как и в подразделе 1.3.5, при организации перехода из одного субконтента в другой величины выработанного воздействия по подобным причинам может не хватить для осуществления перескока.

Представляется вполне очевидным, что эти проблемы в данном случае должны разрешаться подобным же образом, поэтому здесь не будем заострять на этом внимание.

1.3.9. Вопрос о необходимости учета малых воздействий при анализе систем.

Малыми воздействиями, в контексте данных материалов, будут считаться такие воздействия, которые самостоятельно не могут обеспечить хотя бы единичный переход для дискретных параметров либо не в состоянии самостоятельно изменить характер движения.

Обычно на реальный объект осуществляется одновременно несколько воздействий разных величин и направлений, в результате чего объект совершает движение или изменяет характер движения в результате взаимодействия с суперпозицией воздействий.

Это означает, что даже малые воздействия так или иначе вносят свой вклад в решение задачи или в противодействие решению задачи.

В качестве замечания, следует отметить, что различные воздействия в общем случае могут иметь несовпадающие (полностью или частично) наборы параметров. При этом возможно частичное несовпадение наборов параметров отдельных воздействий и параметров-реципиентов объекта.

Но ничто не мешает вывести обобщенный набор параметров-реципиентов и параметров воздействий, присвоив незадействованным параметрам соответствующих отдельных воздействий нулевые значения.

Также следует отметить, что вполне возможной может оказаться ситуация, когда вносимая тем или иным малым воздействием лепта оказывается излишней, так как не определяет, в данном случае, результаты решения задачи или отмены решения задачи, т.е. и без этого воздействия задача будет решена или, наоборот, будет исключено ее решение.

Обобщенный подход в разрешении вопроса об учете или исключении из учета малых воздействий состоит в апелляции к контексту конкретной ситуации.

Алгоритм включения в учет (исключения из учета) состоит в том, что все воздействия ранжируются по величине и производится их векторное суммирование от больших воздействий к меньшим.

Суммирование (соответственно и учет) производится до тех пор, пока суммирование величин воздействий способно внести изменения в состояние, направление или характер движения объекта. Те воздействия, учет которых не приведет к указанным изменениям, исключаются из учета.

Но следует отметить, что это исключение в любом случае является условным, так как любое новое воздействие может изменить состояние объекта таким образом, что возникнет необходимость учета ранее отброшенных воздействий (например, состояние объекта станет пограничным).

Такая дифференциация и учет воздействий существенным образом облегчают анализ существования объекта в условиях конкретной картины воздействий, позволяя, в целях упрощения анализа и облегчения прогнозирования результатов, рассматривать не все воздействия, исключив из анализа те малые воздействия, влиянием которых, по указанной выше причине, можно пренебречь.

Некоторые ситуации, изложенные ниже, могут, все же, внести нюанс в учет малых воздействий:

— В случае дискретных систем или непрерывно-дискретных систем из-за конечной величины добротности объектов вокруг каждого значения дискретного параметра образуется некоторая область (область или зона захвата, старта, финиша, разгона и т.п.), в пределах которой значение параметра неизменно. Наличие таких областей приводит к уменьшению расстояния между значениями параметров, что в случае решения задачи перехода может потребовать меньше усилий для организации перестроения. С другой стороны, сужение интервала между значениями может потребовать больших усилий для исключения возможности перестроения. Но это в том случае, если действующее значение параметра находится в той части окрестности, которая ближе к целевому значению (или к значению, которое можно полагать антицелью, если требуется избежать перестроения). Если же действующее значение находится в той части окрестности, которая дальше от цели (или антицели, если требуется избежать перестроения), то наличие таких зон захвата дает диаметрально противоположную картину необходимости учета малых воздействий.

– Для непрерывного контента, или для переходов в рамках непрерывного субконтента для случая непрерывно-дискретного субконтента, необходимо учитывать, в принципе, воздействие любой величины, т.к. переход в другое состояние, независимо от величины воздействия (если не учитывать инерционный аспект), состоится при любом уровне воздействия. При этом следует учитывать, что смещение, вносимое малым воздействием или совокупностью малых воздействий, может оказать влияние на результаты движения – либо будет иметь место смещение результирующего состояния относительно целевого, либо произойдет компенсация воздействий, а также может произойти изменение инерционности объекта по параметрам, где действуют совокупности малых воздействий. Кроме того, спрогнозированное смещение на целевое состояние может оказаться существенным с точки зрения условия решения задачи, но может быть и незначительным. Поэтому представляется вполне очевидным, что решение об учете малых воздействий должно приниматься исходя из существенности прогноза влияния совокупности этих воздействий на результаты решения.