Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля

«Зачем нужно задавать эти вопросы о данных вещах?»

Под «этими» он подразумевает «возможные посылки», а под «данными вещами» – следующие из них заключения.

p. 75a24 Ведь нет разницы, если кто-то задаст какие попало [посылки], а затем выведет заключение.

Это подобно, говорит он, тому, как если бы кто-то задавал возможные посылки и на их основе выводил заключение, или же брал бы совершенно произвольные и бесполезные посылки и присоединял к ним случайное заключение – например: «человек ходит, лошадь ржёт, следовательно, человек есть сущность». Ведь если в силлогизмах о возможном заключение не следует из посылок с необходимостью, но мы, тем не менее, задавая такие посылки, считаем, что выводим его, – то чем это отличается от того, чтобы задать какие угодно другие посылки и вывести случайное заключение? Ведь ни в том, ни в другом случае заключение не следует из посылок.

p. 75a25 Следует спрашивать не так, словно [заключение] необходимо из-за заданного, но потому, что тому, кто это утверждает, необходимо это сказать – и сказать истинно, если [посылки] истинно присущи.

Решение затруднения таково. Нам, говорит он, следует задавать возможные посылки не так, будто природа заключения необходимо обусловлена ими, но потому, что тому, кто их утверждает – и утверждает истинно, то есть принимает посылки как истинные, – необходимо также истинно высказать и заключение.

«Не так, словно [заключение] необходимо из-за заданного» – это не значит, что заключение не необходимо из посылок (ведь если посылки истинны и форма соблюдена, заключение обязательно следует), но что причина заключения не содержится в посылках, как это должно быть в доказательных силлогизмах. В них причина заключения всегда должна явствовать из посылок. Например: «Луна затмевается; то, что затмевается, теряет свет; следовательно, Луна теряет свет» – здесь в посылках содержится причина затмения, то есть закрытие [Солнца]. Или: «Человек принадлежит к самосущему; самосущее есть сущность; следовательно, человек есть сущность» – и здесь причина заключения в посылках, то есть в среднем термине: ведь то, что человек есть сущность, обусловлено его самосущностью, ибо сущность – это то, что существует само по себе.

Если же мы скажем: «Человек смеётся; смеющееся есть животное; следовательно, человек есть животное» – посылки истинны, и при их принятии заключение необходимо следует из них, но посылки не являются причиной заключения. Ведь не потому, что человек смеётся или вообще способен смеяться, он есть животное, но способность смеяться сопутствует животному, не будучи его причиной – так же, как ходьба, чтение или что-либо подобное, хотя и сопутствует [животному], но причиной является способность ощущать. Если бы средним термином было «ощущающее», то заключение с необходимостью следовало бы из посылок и было бы обусловлено ими.

Такой способ [рассуждения] двояк: либо потому, что при принятии [посылок] заключение необходимо следует, либо потому, что причина заключения усматривается в среднем термине. Ведь если нечто следует из чего-то, это не всегда означает, что последнее есть причина первого: дым сопутствует огню, а освещение [Луны] – её шарообразности, но дым не есть причина огня, как и освещение не есть причина шарообразности.

Поскольку же есть вещи, из которых с необходимостью следуют другие, и потому они кажутся неслучайными, строить из них силлогизмы – правильно, даже если это не доказательно.

p. 75a28 Поскольку же необходимо, чтобы в каждом роде [сущего] существовало то, что присуще ему самому по себе, и то, что есть каждое [сущее], это очевидно.

Здесь философ, кажется, повторяет одно и то же: то, что он сказал выше, он говорит и здесь, а именно, что доказательство не может состоять из случайных посылок, и снова использует те же самые построения. Однако он делает это не напрасно, но потому, что хочет отсюда научить нас, что доказательство должно брать посылки, свойственные каждому роду, о котором идет речь в проблеме, и не доказывать, скажем, геометрическую теорему с помощью арифметических или физическое положение – с помощью геометрических посылок. Ведь именно поэтому он говорил выше, что не всякая истина подходит для доказательства, но только первая [истина] в своем роде, о котором доказывается. Это он показывает, исходя из того, что доказательства строятся из того, что присуще самому по себе. Поэтому он сначала напоминает нам о доказанном ранее: что доказательства исходят из того, что присуще самому по себе и необходимо.

Поскольку же необходимо, чтобы в каждом роде [сущего] существовало то, что присуще ему самому по себе, и то, что есть каждое [сущее], это очевидно.

То, что присуще каждому роду самому по себе, говорит он, существует с необходимостью, поскольку только это и есть необходимо присущее, как было показано выше. Если же доказательства необходимы и состоят из необходимого, то, следовательно, доказательство исходит из того, что присуще самому по себе, и касается того, что присуще самому по себе. Эти же самые положения, как я сказал, были доказаны и ранее.

p. 75a31 Ибо случайные свойства не необходимы, так что и заключение не обязательно знать через его причину, даже если оно всегда существует, но не само по себе, как, например, умозаключения через признаки.

То, что не присуще самому по себе, присуще случайно; а случайное может и не существовать; следовательно, из такого [случайного] не может получиться доказательство. Ведь даже если такие случайные свойства никогда не отделяются от своих подлежащих, но не присущи им сами по себе, то и тогда из них не получится доказательство по причинам, уже многократно указанным. Примером этого он приводит умозаключения через признаки, посредством которых причины выводятся из следствий: так, из освещений Луны мы заключаем, что она имеет сферическую форму, а из того, что [комета] кажется новой, – что это огонь. Хотя это и всегда присуще доказываемому в единичном случае, здесь нет доказательства, потому что следствия выводятся не из причин и второстепенное – не из первостепенного, что должно быть в строгом доказательстве, а наоборот.

p. 75a34 Ибо то, что присуще самому по себе, не познается само по себе и не познается через свою причину.

Так, если сферичность Луны присуща ей самой по себе, то тот, кто выводит это из ее освещений, не будет знать этого самого по себе, то есть он узнает следствие не из причины, а лишь случайным образом.

p. 75a36 Следовательно, средний [термин] должен быть присущ третьему, а первый – среднему через самих себя.

Если первое необходимо присуще третьему, но присуще через среднее, то среднее должно быть присуще третьему самому по себе, а первому – как подлежащее, чтобы таким образом через самого себя первое показало, что оно присуще третьему самому по себе.

p. 75a38 Следовательно, нельзя, переходя к другому роду, что-либо доказать, например, геометрическое – с помощью арифметики.

Показав, что доказательство необходимо и состоит из необходимого, и что только то, что присуще самому по себе, необходимо, он отсюда, как я сказал, выводит некоторое следствие, а именно, что невозможно применять доказательства, относящиеся к одной науке, к другой. Это он выражает так: нельзя доказать, скажем, геометрическую теорему с помощью той же самой аргументации, что и арифметическую. Чтобы это показать, он сначала проводит разделение элементов, используемых в доказательствах, как делал это и вначале. В доказательствах, говорит он, принимаются три вещи: то, из чего выводится заключение (это аксиомы), а также подлежащий термин заключения и предикат. Из этих трех элементов, говорит он, аксиомами можно пользоваться в разных науках: и геометр, и арифметик скажут, что «равные одному и тому же равны между собой». Однако подлежащим термином или предикатом нельзя пользоваться в двух науках, если только подлежащее не одно и то же для разных наук. Пока он говорит об этом в общих чертах, что возможно использовать одни и те же аксиомы в разных науках; в дальнейшем же он уточнит свою мысль и покажет, что даже аксиомами разные науки не пользуются одинаково.

Ведь когда геометр говорит, что «равные одному и тому же равны между собой», он берет не всякое равенство вообще, но равенство по величине; подобно и арифметик скажет, что числа, равные в одном и том же числе, равны между собой.

p. 75a39 В доказательствах есть три элемента: во-первых, то, что доказывается, – заключение, то есть предикат в заключении, который доказательство показывает либо присущим субъекту, либо неприсущим.

p. 75a40 Это то, что присуще некоторому роду самому по себе.

Под «родом» он подразумевает подлежащее, как часто у него бывает.

p. 75a42 В-третьих, это род, который является подлежащим, чьи свойства и присущие ему по себе признаки раскрывает доказательство.

То есть это подлежащий термин в заключении, чьи присущие ему по себе признаки доказательство стремится показать.

p. 75b2 То, из чего состоит доказательство, может быть одним и тем же.

То есть аксиомы, которые являются большими посылками в силлогизмах.

p. 75b3 Но если род различен, как, например, в арифметике и геометрии и так далее, то, говорит он, для наук, у которых подлежащее различно, невозможно использовать одни и те же посылки (я имею в виду меньшие).

По этой же причине нельзя взять один и тот же подлежащий термин в заключении, ведь подлежащий термин в заключении – это тот же самый, что и подлежащий в меньшей посылке. Итак, если у разных наук подлежащие различны (геометрия предполагает величины, а арифметика – числа, а величины и числа – разные вещи), то ни подлежащий термин не будет одним и тем же при различии родов, ни предикат не будет тем же самым. Ведь невозможно, чтобы одно и то же сказывалось как общее и по себе о разных родах, как было показано ранее.

p. 75b6 О том, как это возможно в некоторых случаях, будет сказано позже.

Это, говорит он, то, что в некоторых науках меньшие посылки могут быть одними и теми же, мы скажем после. Ибо будет показано, что в подчинённых науках можно использовать те же посылки, взятые в более частной науке, и в более общей. Например, в геометрии и оптике: ведь геометр будет использовать и посылки оптики, поскольку их подлежащие общие, например, принимая прямые линии, пересекающиеся или параллельные, углы, треугольники и тому подобное. В этих случаях, поскольку подлежащие в некотором смысле общие, можно, чтобы посылки, взятые в более частной науке (я имею в виду меньшие посылки), были теми же самыми и в более общей науке. Однако не все посылки из более общей науки обязательно будут приниматься в более частной. Геометрия более универсальна и первична, чем оптика: ведь геометрия занимается просто линиями и просто фигурами, не рассматривая, в каком именно подлежащем они находятся, но абстрактно исследуя линии сами по себе, углы сами по себе и фигуры сами по себе. Оптика же рассматривает линии в зрении, углы, специфически возникающие из них, и фигуры. Поэтому оптик не будет принимать все посылки геометра, например, что линии, проведённые из центра, равны или что углы подобны, – ведь оптику это не нужно.

То же самое и в медицине и физике: и врач, и физик будут исследовать дыхание и примут в качестве посылки, что такой-то дышит. Но физик будет исследовать дыхание вообще – что оно такое и из каких причин возникает, а врач – только человеческое дыхание, и притом лишь постольку, поскольку оно бывает противоестественным и затруднённым, исследуя, в чём причина помехи и как это излечить. То же относится к музыке, арифметике и всем подчинённым наукам.

p. 75b7 Арифметическое доказательство всегда имеет дело с тем родом [предметов], к которому относится доказательство, и аналогично обстоит дело с другими [науками].

[Аристотель] доказывает, что невозможно использовать положения, заимствованные из одной науки, в другой науке, следующим образом. В каждом доказательстве, говорит он, принимается один и тот же род, то есть подлежащее [этой науки]. Так, если в любом арифметическом доказательстве принимается одно и то же подлежащее – например, числа, и точно так же в любом геометрическом доказательстве принимается подлежащее геометрии – например, величины, то невозможно, чтобы науки, имеющие разные подлежащие, использовали одни и те же положения. Ведь средний термин должен быть родственным крайним, если положения необходимы и выражают сущностные связи; но именно средний термин порождает положения; следовательно, разные науки не могут пользоваться одними и теми же положениями. Поэтому не может быть одного и того же [подлежащего и предиката для разных наук].

Таким образом, если бы потребовалось, говорит он, применить одни и те же доказательства в разных науках, эти науки должны были бы иметь либо абсолютно один и тот же род, либо частично совпадающий. Абсолютно один и тот же род – как в одной и той же науке, например, в геометрии: ведь ранее доказанные теоремы становятся началами и положениями для последующих; то, что было доказано в предыдущей теореме, используется для доказательства следующей, и так далее. Частично же совпадающий род – как, мы уже говорили, в случае подчиненных наук.

Выражение «арифметическое доказательство всегда имеет тот род, о котором идет доказательство» означает, что во всяком арифметическом доказательстве принимается один и тот же род в общем смысле, то есть для всех арифметических доказательств принимается одно и то же подлежащее.

p. 75b10 Иной способ [переноса доказательств] невозможен, что очевидно: ведь крайние [термины] и средние необходимо должны принадлежать к одному и тому же роду.

[Аристотель] показывает, что невозможно иным способом переносить доказательства из одной науки в другую, следующим образом. Поскольку в доказательстве принимаются три термина – два крайних и один средний, то все три термина, говорит он, необходимо должны быть взяты из одного и того же рода: в арифметике – из чисел, в геометрии – из величин, и аналогично в других [науках]. Ведь заранее предполагается, что крайние термины должны сказываться друг о друге по своей сути, а средний термин должен быть подлежащим для одного [крайнего] и предикатом для другого. Следовательно, если они не будут взяты из одного и того же рода, они не будут принадлежать друг другу по сути, а лишь по случайному совпадению.

p. 75b12 Поэтому в геометрии нельзя доказать, что противоположности познаются одной наукой, и даже что два куба составляют куб.

Доказать, что противоположности познаются одной наукой, – это не относится к геометрии, поскольку термины взяты не из предметов геометрии, а к диалектике, которая, подражая первой философии, стремится доказать всё, как если бы всё ей подчинялось. Точно так же и доказательство, что два куба составляют куб, не относится к геометрии, а скорее к стереометрии: геометрия имеет дело с плоскими фигурами, а стереометрия – с объёмными.

Что касается утверждения, что два куба – это один куб, то здесь возникает вопрос: как же сделать из двух кубов один? Или же здесь вспоминается известная история. Когда делосцев поразила чума, бог повелел им избавиться от неё, удвоив жертвенник, который был кубом. Они же, взяв другой равный куб, поставили его на жертвенник. Но чума не прекратилась, и бог объявил, что они не выполнили повеление: он велел удвоить жертвенник, а они поставили куб на куб. Тогда они пришли к Платону, спрашивая, как удвоить куб. Тот ответил: «Похоже, бог укоряет вас за пренебрежение геометрией».

Удвоение куба, говорит он, можно найти, если между двумя отрезками вставить два средних пропорциональных. Эту задачу он предложил своим ученикам, и некоторые из них написали о её решении.

Геометр доказал, что если три отрезка пропорциональны, то как первый относится к третьему, так квадрат, построенный на первом, относится к квадрату, построенному на втором. Однако он не дал метода, как найти два средних пропорциональных между двумя отрезками.

На плоскости он показал, что как первый отрезок относится к третьему, так квадрат первого относится к квадрату второго. Например, пусть есть три пропорциональных отрезка: 8, 4 и 2. Как 8 относится к 4 (оно вдвое больше), так и 4 относится к 2 (тоже вдвое больше). Следовательно, как первый относится к третьему (8 к 2 – вчетверо больше), так квадрат первого (64) относится к квадрату второго (16). Отношение 64 к 16 – четырёхкратное, как и 8 к 2.

В объёмных же фигурах он показал более общее: как первый отрезок относится к третьему, так квадрат первого относится к квадрату второго. Если между двумя отрезками вставить два средних пропорциональных, то отношение квадратов будет таким же.

Метод нахождения таков. Пусть даны два отрезка AB и BC, и AB вдвое больше BC. Продолжим BA и BC до точек F и G, построим прямоугольник BA, проведём диагональ AC, опишем полуокружность ADEC и через точку D проведём прямую FG так, чтобы FA была равна EG. Тогда отрезки CG и FA будут двумя средними пропорциональными между AB и BC.

Другой способ (более механический), как говорит Париск, ученик Аполлония Пергского:

Пусть даны два отрезка AB и BC, AB вдвое больше BC. Построим прямоугольник AC, проведём диагонали AC и BD, продолжим BD и BC до FG и через точку D проведём FG так, чтобы EF равнялась EG. Тогда CG и AF будут искомыми средними пропорциональными.

Как умножить объём на объём?

Пусть даны два отрезка A и B, A вдвое больше B. Найдём два средних пропорциональных C и D так, чтобы A:C = C:D = D:B. Тогда квадрат A будет вдвое больше квадрата C, так как A относится к B в тройном отношении, подобно тому, как подобные объёмные фигуры относятся в тройном отношении своих сторон.

(Далее следует геометрическое построение и доказательство.)

Пример. Пусть даны две прямые, и требуется найти две средние пропорциональные. Пусть данные две прямые – AB и BC, причем AB не кратна BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

Продолжим BA и BC до точек F и G, построим прямоугольник BA, проведем диагональ AC и опишем полуокружность ADEC. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы FA была равна EG.

Утверждаю, что две прямые CG и AF, равные AB и BC, являются средними пропорциональными.

Так как AC равна AB, то отношение AB к CG равно отношению CG к FA и FA к BC. Поскольку FA равна EG, а AC общая, то FE равна DG. Следовательно, произведение DG на GE равно произведению EF на FA.

Но произведение DG на GE равно произведению BG на GC (как доказано для полуокружностей), а произведение EF на FA равно произведению BF на FA.

Как доказано в 14-й теореме шестой книги «Начал», для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CA к CG. Следовательно, как CA относится к CG, так CG относится к AF и FA к BC.

Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

Другой способ, более механический, как говорит Париск, следуя Аполлонию Пергскому:

Пусть даны две прямые AB и BC, причем AB вдвое больше BC. Требуется найти две средние пропорциональные.

Построим прямоугольный параллелограмм AC, проведем диагонали AC и BD, продолжим BD и BC до точек F и G. Через точку D проведем прямую FG так, чтобы EF стала равна EG.

Утверждаю, что для прямых AB и BC две средние пропорциональные – это CG и AF.

Проведем из E прямую EH, параллельную AB. Поскольку треугольник EBC равнобедренный и EH перпендикулярна BC, то BH равна HC.

Так как BC разделена в точке H пополам, и к ней прибавлена прямая CG, то квадрат BG·GC плюс квадрат HC равен квадрату HG.

Добавим общий квадрат EH: тогда квадрат BG·GC плюс квадраты CH и HE равен квадратам EH и HG. Но квадраты CH и HE равны квадрату CE, а квадраты EH и HG равны квадрату EG.

Следовательно, квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату EG.

Аналогично, квадрат BF·FA плюс квадрат AE равен квадрату EF. Но EF равна EG, поэтому квадрат BG·GC плюс квадрат CE равен квадрату BF·FA плюс квадрату AE.

Но квадрат EC равен квадрату EA (так как они равны). Остается, что квадрат BG·GC равен квадрату BF·FA.

Как доказано в 14-й теореме шестой книги, для равносторонних и равноугольных параллелограммов стороны, прилежащие к равным углам, обратно пропорциональны: как BF относится к BG, так CG относится к AF.

Но как BF относится к BG, так FA относится к AD и CD к CG. Следовательно, как DC относится к CG, так CG относится к AF и AF к AD.

Но DC равна AB, а AD равна BC. Поэтому как AB относится к CG, так CG относится к AF и AF к BC.

Таким образом, для двух данных прямых AB и BC найдены две средние пропорциональные CG и FA.

Как нужно умножать объем на объем?

Пусть даны две прямые A и B, причем A вдвое больше B. Найдем две средние пропорциональные C и D так, чтобы отношение A к C было равно отношению C к D и D к B.

Утверждаю, что квадрат A вдвое больше квадрата C.

Поскольку A относится к B в тройном отношении, чем A к C (так как подобные объемы относятся друг к другу в тройном отношении соответствующих сторон), то как A относится к B, так квадрат A относится к квадрату C.

Но A вдвое больше B, следовательно, квадрат A вдвое больше квадрата C.

p. 75b17 Ни если что-либо присуще линиям, не поскольку они линии и не поскольку [это вытекает] из их собственных начал.

Ибо если бы, говорит он, прямая называлась прекраснейшей из линий, то, поскольку красота не присуща ей как линии самой по себе (ибо она присуща многим другим), геометру не подобает рассуждать об этом. В качестве примера он назвал прямую прекраснейшей из линий, ибо окружность, говорят, есть прекраснейшая из линий, потому что она однородна и всякая её часть совпадает с любой другой. Подобным же образом, если бы окружность называлась противоположной прямой, и это не дело геометра – утверждать такое, ибо не поскольку они линии, присущи им красота или противоположность, ибо это присуще многим другим. Поэтому доказательная наука не принимает такие [утверждения], поскольку они не являются причинными и не первичны для рассматриваемого рода.

p. 75b91 Ясно также, что если посылки, из которых строится умозаключение, общие, то и заключение необходимо вечно.

Отсюда он хочет показать, что ничто из преходящего не может быть доказано. Доказывает же он это исходя из ранее доказанного: если доказательства строятся из того, что присуще самому по себе и с необходимостью, то невозможно доказать что-либо из преходящего, ибо преходящее относится не к необходимому, а к тому, что иногда есть, а иногда нет. Если же доказано, что доказательства исходят из необходимых посылок, а из необходимых посылок с необходимостью следует и заключение (ибо если заключение необходимо, то показано, что посылки могут быть возможными; однако если посылки необходимы, невозможно, чтобы заключение не было необходимым), то, следовательно, если доказательства исходят из необходимых посылок, а из необходимых посылок следует вечное заключение, то ничто из преходящего не может быть доказано. Ибо если бы доказываемое было преходящим, то, поскольку в заключении или в проблеме необходимо, чтобы подлежащий термин был тем же, что и в меньшей посылке, а если проблема преходяща, то, конечно, и подлежащий термин в ней преходящ, то этот же термин должен подлежать и в меньшей посылке. Но то, что сказывается о преходящем, не присуще ему с необходимостью и не само по себе, ибо может как присуществовать, так и не присуществовать. Поэтому и меньшая посылка не будет ни само-по-себе-принадлежащей, ни общей. Ибо большую посылку во всяком умозаключении необходимо всегда брать как общую. Но если проблема преходяща, как сказано, то и меньшая посылка необходимо преходяща, и потому сказываемое не присуще ей ни само по себе, ни как общее, ибо может иногда и не присуществовать. Таким образом, если меньшая посылка не необходима, то и заключение будет преходящим, а не необходимым. Следовательно, невозможно, чтобы существовало доказательство преходящего, но, как сказано, доказательства относятся к тому, что присуще с необходимостью и как общее.

p. 75b98 Такового доказательства и доказательства вообще.

«Такового», то есть такого, посылки которого берутся как общие. Затем, поскольку во всяком доказательстве посылки должны быть общими, из которых, конечно, следует вечное заключение, он добавил: «и доказательства вообще», то есть в общем смысле всякого просто доказательства причина заключения.

p. 75b24 Следовательно, о преходящих вещах нет доказательства и знания в строгом смысле, а лишь как бы по совпадению, поскольку оно не является всеобщим, а существует лишь в определенное время и определенным образом.

Он правильно сказал не «по совпадению», а «как бы по совпадению». Ведь то, что Сократ – живое существо, не будет доказательством, потому что Сократ преходящ; но в некотором смысле можно сказать, что это доказательство существует для него по совпадению, поскольку то, для чего доказательство существует в собственном смысле, присуще Сократу – я имею в виду одушевленное и чувствующее, что само по себе и первично является живым существом. Однако это присуще Сократу не по совпадению, а в определенное время; поэтому Сократ не есть живое существо в собственном смысле по совпадению, а лишь в некотором смысле, потому что доказательство относится к другому в собственном смысле – к тому, для чего «живое существо» сказывается непосредственно, а именно к чувствующему, и через него, пока существует Сократ, можно сказать, что доказывается, будто он – живое существо. А то, что существует не всегда, в некотором смысле аналогично случайному.