Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля

Заметим, что в рукописях большинство писцов записывали «оно не является всеобщим для него», а некоторые – «оно не является всеобщим». Второй вариант, пожалуй, яснее, то есть поскольку быть Сократу живым существом – не всеобще: ведь всеобщее – это то, что присуще подлежащему первично, всегда и во всем. А доказательство относится к таким вещам. Слова же «но в определенное время и определенным образом» означают, что «живое существо» сказывается о Сократе, пока он существует. А «определенным образом» – что Сократ не есть живое существо первично и сам по себе, но поскольку всякий человек – живое существо, а всякое живое существо – чувствующее, а Сократ – и человек, и чувствующий, то поэтому Сократ – живое существо. Но в доказательстве предикат принадлежит подлежащему первично и сам по себе.

Другой вариант чтения, гласящий «оно не является всеобщим для него», можно понимать как указание на всеобщность в смысле «принадлежащего всему», то есть поскольку всякий человек – живое существо, то и Сократ – живое существо, ибо «живое существо» принадлежит всякому человеку. Или же, если он говорит «всеобщего», то, согласно принятому здесь толкованию, «живое существо» сказывается не первично – а именно «чувствующее», ибо «живое существо» принадлежит всякому чувствующему. Поскольку, таким образом, доказательство в собственном смысле относится к нему как к живому существу, то поэтому можно сказать, что и о Сократе доказано, будто он – живое существо. А слова «в определенное время и определенным образом» следует понимать так же, как и в другом варианте чтения, то есть что «живое существо» применительно к Сократу не всеобще, а существует в определенное время и определенным образом, но лишь как бы по совпадению.

Можно было бы взять преходящее суждение и как случайное в смысле «что», например, если бы мы сказали: «Сократ бел». Но чтобы рассмотреть преходящие суждения, более близкие к доказательству, он берет те, в которых предикат является сущностным, например, что Сократ – живое существо или что-то подобное. И поэтому, поскольку он берет такие суждения, он говорит «как бы по совпадению».

p. 75b28 Когда же такое [суждение] есть, необходимо, чтобы другое суждение не было всеобщим, а было преходящим и так далее.

Когда же, говорит он, мы выводим умозаключение о преходящем, необходимо, чтобы из двух посылок меньшая была преходящей и не всеобщей – преходящей потому, что и заключение преходяще (ведь если бы посылки были необходимыми, то и заключение не было бы преходящим), а не всеобщей – потому что относительно них одно есть, а другого нет. То есть, поскольку меньшая посылка необходимо преходяща, она необходимо частна. Ведь относительно тех вещей, для которых она истинна, одни из них существуют, а другие нет: те, что еще не погибли, существуют, а те, что погибли, – нет. А то, что в истинном смысле сказывается о том, что то есть, то нет, необходимо является частным. Нельзя сказать, что «всякий человек – живое существо», поскольку всякий человек преходящ: одни уже погибли, другие существуют. А если так, то «всякий человек – живое существо» не всеобще, ибо погибшие – не живые существа. Следовательно, скорее истинно, что «некоторые – живые существа». Но если меньшая посылка частна, то заключение не будет доказательным.

Таким образом, при таком положении вещей, говорит он, из подобных посылок нельзя вывести всеобщего умозаключения, а лишь то, что сейчас. В собственном смысле всеобщее – это то, что принадлежит всему, первично и не бывает то так, то иначе, но всегда одинаково. А «всякий человек – живое существо» не всеобще, ибо всеобщее можно сказать истинно сейчас и о ставших людьми (есть и те, кто станет людьми – ведь их пока нет), но лишь о ныне существующих людях. Так обстоит дело с преходящим: всеобщее в таком случае истинно, но не безусловно. Однако не таково всеобщее, которое требуется для доказательств, а то, что безусловно и не бывает то так, то иначе относительно того, о чем сказывается. Следовательно, о преходящих вещах нет доказательства.

p.75b30 Подобным же образом обстоит дело и с определениями.

Как, говорит он, для преходящих вещей не существует доказательства, так же невозможно дать и их определение; ведь всякое определение, говорит он, есть либо начало доказательства, либо некоторый вывод, либо доказательство, отличающееся только постановкой. В сочинении «О душе» было сказано, что существует три вида определений. Одни – из материи, другие – из формы, третьи – из соединения обоих. Например, определяя гнев, ты скажешь, исходя из материи, что это кипение крови вокруг сердца; исходя из формы – стремление к возмездию; исходя из соединения – кипение крови вокруг сердца ради возмездия.

Определения, исходящие из формы, суть начала доказательств; ведь доказательства выводят следствия из причин, а причина для материи – форма: ибо из-за такой-то формы существует и такая-то материя. Так, для доказательства о гневе можно было бы использовать в начале рассуждения определение, исходящее из формы, следующим образом: «Такой-то стремится к возмездию; у стремящегося к возмездию (есть кровь вокруг сердца); следовательно, у такого-то есть кровь вокруг сердца».

Таким образом, в этих случаях я использовал определение, исходящее из формы, как начало доказательства, а исходящее из материи – как вывод доказательства. Ибо невозможно, чтобы доказательство принимало за начало определение из материи, а за вывод – из формы, поскольку доказательство подтверждает не причины через следствия, а наоборот, следствия через причины.

Определение же из соединения обоих тождественно доказательству и отличается только постановкой, потому что при определении мы начинаем с материи и заканчиваем формой, говоря, что гнев – это кипение крови вокруг сердца ради возмездия, а в доказательстве, наоборот, начинаем с формы и заканчиваем материей.

Итак, если всякое определение есть либо начало доказательства, либо некоторый вывод доказательства, либо доказательство, отличающееся только постановкой, а показано, что для преходящих вещей нет доказательства, то вместе с тем будет доказано, что невозможно дать и определение преходящих вещей.

Ведь если кто-то скажет, что Сократ – это разумное смертное животное, он определил не Сократа, а человека вообще, поскольку определение должно быть обратимо с определяемым, но оно не обратимо с Сократом.

Смертность же в определении человека как общего принимается как свойство, присущее единичным людям, которые умирают, но не как определяемый вид. Ибо как нельзя сказать, что «способное смеяться» относится к определяемому виду, так же говорится «двуногий» и «способный смеяться».

p.75b33 Доказательства и знания о часто происходящих [явлениях], например, о затмении Луны, очевидно, таковы: одни из них вечны, другие – не вечны, а частичны.

Как с затмением, так и с остальным.

Поскольку он сказал, что для преходящих вещей нет доказательства, он исследует [вопрос] о вечно происходящих [явлениях], которые преходящи в своих частях, например, о затмениях. Ведь если каждое из затмений преходяще, как же мы утверждаем, что для них есть доказательство?

И он говорит, что каждое из частных затмений недоказуемо, поскольку оно возникает и преходит, но доказательство возникает не как относящееся к этому конкретному затмению, происходящему в данный час, а как относящееся к общему виду затмений – всех, которые подпадают под одну и ту же причину.

Но мы строим доказательства не так, как если бы Луна была одна, а так, как если бы их было бесчисленное множество, скрывающихся за тенью Земли.

Таким образом, мы называем доказательство в собственном смысле относящимся к затмению Солнца и Луны, потому что строим доказательства не как относящиеся к этому конкретному затмению и не как к единственности Солнца и Луны.

Так что доказательство относится не к этому затмению, а просто к затмению, происходящему по тем же причинам, даже если затмевающихся тел бесчисленное множество.

Однако для самого затмения, происходящего в данный час, доказательства нет, если только не в том смысле, в каком мы говорили, что есть доказательство и для других преходящих вещей – когда доказывается нечто общее в них. То же самое и с подобными [явлениями].

p. 75b37 Поскольку очевидно, что каждое [положение] можно доказать только исходя из его собственных начал, если доказываемое принадлежит [предмету] или [выводится] из него, то познание этого невозможно.

Кроме того, некоторые добавляют к этому еще и следующее относительно научного доказательства: недостаточно для построения доказательства взять истинные и непосредственные посылки, но они также должны быть свойственны доказываемому предмету. Если, например, кто-то скажет так: «Всякий камень окрашен», «Всякое окрашенное есть тело», следовательно, «Всякий камень есть тело» – то он взял посылки истинные и даже непосредственные (ибо для доказательства того, что камень окрашен или что окрашенное есть тело, не требуется среднего термина), однако средний термин здесь не свойственен предмету: ведь окрашенность присуща многим [вещам] и в иных отношениях. А доказательство, как часто говорилось, должно строиться из собственных начал каждого [предмета], то есть так, чтобы средний термин был свойственен крайним и не был общим для чего-то другого. Поэтому, говорит [Аристотель], посылки должны быть взяты не только из истинных и непосредственных, но и из свойственных заключению. В противном случае, говорит он, можно было бы доказать и квадратуру Брисона, исходя из некоторых общих [принципов], а не из собственных начал рассматриваемого [предмета].

Аристотель упоминает квадратуру Брисона лишь в этом контексте. Александр же говорит, что Брисон пытался квадратуру круга построить следующим образом:

«Для всякого прямолинейного многоугольника, вписанного в круг, круг больше, а для описанного – меньше. (Вписанным в круг называется прямолинейный [многоугольник], нарисованный внутри круга, а описанным – снаружи.) Но и многоугольник, построенный между вписанным и описанным, меньше описанного и больше вписанного. А вещи, большие и меньшие одного и того же, равны между собой. Следовательно, круг равен прямолинейной фигуре, построенной между вписанным и описанным. Но для любого данного прямолинейного [многоугольника] мы можем построить равный ему квадрат. Значит, можно построить квадрат, равный кругу».

Так передает Александр. Однако философ Прокл говорил, что его учитель отвергал толкование Александра, ибо если бы Брисон квадратировал круг таким образом, то его метод совпадал бы с квадратурой Антифонта: ведь фигура, построенная между вписанным и описанным многоугольниками, должна была бы совпасть с окружностью круга, а это именно то, что делал Антифонт, пока, как он утверждал, прямая не совпала с кривой. Но это невозможно – об этом уже говорилось в «Физике». Следовательно, Аристотель не стал бы приводить квадратуру Брисона как отличную от квадратуры Антифонта, если бы Брисон действовал так.

Сам же Прокл утверждал, что и исходный постулат ложен: «Неверно, что вещи, большие и меньшие одного и того же, обязательно равны между собой. Например, десятка больше восьми, но меньше двенадцати; точно так же девятка меньше двенадцати, но больше восьми – и уж конечно, десять и девять не равны, хотя они и больше, и меньше одних и тех же чисел (двенадцати и восьми). Поэтому, даже если круг и промежуточная прямолинейная фигура больше и меньше одних и тех же [вписанного и описанного многоугольников], из этого еще не следует, что они равны – разве только кто-то, как уже сказано, подобно Антифонту, станет утверждать, что промежуточная фигура совпадает с кругом, что невозможно: прямая никогда не совпадет с кривой».

Прокл же считал, что Брисон квадратировал круг следующим образом:

«Круг больше любого вписанного в него прямолинейного [многоугольника] и меньше любого описанного. А для того, для чего возможно большее и меньшее, возможно и равное. Но для круга существуют и большие, и меньшие прямолинейные [фигуры], следовательно, существует и равная».

Однако против доводов Прокла можно возразить: если Брисон действительно так строил квадратуру круга, то он вообще ничего не построил, а лишь повторил исходный вопрос. Ведь те, кто квадратирует круг, ищут не ответ на вопрос «может ли существовать квадрат, равный кругу?», а, полагая, что это возможно, пытаются построить такой квадрат. Как говорил наш учитель, Прокл, возможно, и показал, что квадрат, равный кругу, может существовать (если это вообще допустить), но он не начертил такой квадрат и не объяснил, как это сделать, – а именно этого добиваются те, кто квадратирует круг.

Аристотель же говорит о квадратуре Брисона так, будто тот действительно квадратировал круг, хоть и не геометрически. Поэтому толкование Прокла тоже кажется неубедительным.

Если же кто-то все-таки согласится, что Брисон строил [доказательство] таким образом, то можно возразить ему, что этот принцип («для чего есть большее и меньшее, есть и равное») верен только для однородных величин, но не для разнородных. Например, в геометрии доказывается, что для полукруга ΓΔΒ, если из конца диаметра ΓΒ провести прямую ΑΓ под прямым углом, то она целиком окажется вне круга. При этом из двух углов, образованных дугой и диаметром, а также перпендикуляром и дугой (а именно внешнего угла ΑΓΔ и внутреннего ΔΓΒ), внешний угол меньше любого острого прямолинейного угла, а внутренний – больше любого острого прямолинейного угла. И вот здесь, хотя для одного и того же острого угла показаны больший и меньший [углы], мы не сможем найти равный из-за разнородности величин: данные углы составлены из прямой и кривой линии, и их называют роговидными.

Удивительно и то, что хотя внешний угол можно бесконечно увеличивать, а внутренний – уменьшать (и наоборот), тем не менее:

– внешний угол, сколько бы его ни увеличивали, никогда не станет равен острому прямолинейному углу, но всегда будет меньше любого;

– внутренний угол, сколько бы его ни увеличивали, никогда не станет равен прямому.

Мы увеличиваем внешний угол, описывая меньшие круги. Например, если разделим диаметр ΓΒ в точке Ε, затем прямую ΓΕ пополам в точке Ζ и проведем полукруг ΓΗΕ с центром в Ζ и радиусом ΖΓ, то внешний угол ΑΓΗ увеличится, но все равно останется меньше любого острого – это доказывается в геометрии для любого круга.

Аналогично, если мы будем делить диаметр внутреннего круга, вписывать меньшие круги и повторять это бесконечно, то будем увеличивать внешний угол и уменьшать внутренний, но:

– внешний никогда не станет равен острому прямолинейному;

– внутренний никогда не станет равен прямому.

И наоборот: увеличивая внутренний угол и уменьшая внешний, описывая большие круги (например, продолжив диаметр ΓΒ до Ε, проведя полукруг ΓΖΕ с центром в Β и радиусом ΒΓ), мы увидим, что внешний угол уменьшается, а внутренний растет, но опять же без достижения равенства.

Таким образом, если доказано, что для одного и того же могут существовать большая и меньшая величины, но не равная (из-за разнородности), то Брисон ошибочно полагал, что если описанный многоугольник больше круга, а вписанный – меньше, то существует и равный промежуточный прямолинейный [многоугольник]. Ведь здесь тоже величины разнородны (прямолинейное и круг), а значит, они не могут быть равны.

p. 75b41 Ибо такие рассуждения доказывают нечто общее, что может принадлежать и другому.

То, для чего существует большее и меньшее, может иметь и равное. Из таких [предпосылок] Брассон пытался доказать квадратуру круга, но это не является специфическим [методом] геометрии, а общим для многих [наук], и более свойственно диалектике, чем геометрии, пользоваться подобными [аргументами], поскольку они доказывают искомое не из начал геометрии.

p. 76a1 Следовательно, [это знание] принадлежит [науке] не как таковой, а по совпадению, ибо доказательство могло бы подойти и к другому роду [вещей].

«Ибо он, – говорит [Аристотель], – доказывал квадратуру не из собственных начал, а из некоторых более общих; значит, он доказывал не через то, что принадлежит самому [предмету], а через случайные свойства».

Что же значит доказывать через то, что принадлежит самому, а не по совпадению? Далее он добавляет: когда мы познаем нечто из собственных ему начал, а не из более общих, которые могут принадлежать и другим [вещам]. Поэтому ранее он говорил, что нет науки о преходящем и доказательства, разве только как о случайном, называя «случайным» доказательство, построенное на общих [принципах].

p. 76a6 Например, [свойство] иметь [углы], равные двум прямым, принадлежит упомянутому [треугольнику] самому по себе, и доказывается это из его начал.

Ибо треугольнику самому по себе принадлежит [свойство] иметь [углы], равные двум прямым; и доказывают это не из каких-то общих [принципов], а из собственных начал подлежащего предмета познания.

Итак, [геометры] доказывают, что три угла треугольника равны двум прямым, продлив одну из сторон и показав, что две [угла] – внутренний и прилежащий к нему внешний – равны трем внутренним. Таким образом, получается следующий силлогизм:

«Три угла треугольника при продолжении одной из сторон равны двум прилежащим;

два прилежащих [угла] равны двум прямым;

следовательно, три угла треугольника равны двум прямым».

А то, что два прилежащих [угла] равны двум прямым, доказывается из того, что два прилежащих [угла] либо равны двум прямым, либо составляют две прямые. Откуда же [известно], что два прилежащих [угла] либо равны двум прямым, либо [составляют] две прямые? Из определения прямых [углов] мы знаем, что если прямая, поставленная на прямую, образует прилежащие углы равными между собой, то каждый из равных углов есть прямой.

Таким образом, дойдя до определений и начал геометрии, мы больше не исследуем дальше, но получаем доказанное из геометрических начал.

p. 76a8 Следовательно, если [свойство] принадлежит самому по себе тому, чему оно принадлежит, то средний [термин] необходимо должен быть в том же роде.

«Если, – говорит [Аристотель], – [свойство] принадлежит самому по себе тому, о чем утверждается в [рассматриваемой] задаче (ибо он говорит о треугольнике, что его [углы] равны двум прямым), то средний [термин], через который это доказывается, необходимо должен быть в том же роде, что и крайние [термины]».

Средним термином здесь является то, что два прилежащих угла треугольника равны трем внутренним. Ибо самому по себе трем углам треугольника принадлежит [свойство] быть равными двум прилежащим, а двум прилежащим – быть равными двум прямым (вернее, [быть] двумя прямыми), как показало определение прямых [углов].

Правильно поэтому сказано, что если утверждаемое в задаче принадлежит подлежащему самому по себе, то средний [термин] обязательно будет в том же роде, что и крайние. Это уже было достаточно доказано ранее.

p. 76a9 Если же нет, то [доказательство строится] как в гармонике через арифметику.

«Если, – говорит [Аристотель], – доказательство строится не из собственных начал подлежащего [предмета], а из начал науки, которая объемлет его непосредственно, то доказательство необходимо должно исходить из нее, если оно действительно является доказательством».

Например, если мы доказываем положения гармоники через начала арифметики. Так, музыкант называет созвучием, скажем, кварту, потому что такое соотношение имеет эпитритный (4:3) характер, а эпитритное отношение – созвучно. Но почему этот вид отношения созвучен, гармоник доказать не сможет, ибо рассуждать о созвучных отношениях – дело арифметики. Например, что 8 находится в эпитритном отношении к 6 и созвучно ему, потому что оба измеряются общей мерой: двойка трижды отмеряет 6, а четырежды – 8.

Уже было сказано, что во взаимоподчиненных науках ничто не мешает переносить доказательства.

p. 76a10 Подобные [доказательства] проводятся аналогично, но различаются: ибо «что» [доказывает] одна наука (поскольку подлежащий род иной), а «почему» – высшая, которой [подчинены] сами по себе [изучаемые] свойства.

«Такие [доказательства], – говорит [Аристотель], – то есть те, что доказываются через начала более общей науки, проводятся аналогично другим, которые доказываются из собственных начал, и их доказательство носит научный характер. Но различие в том, что в последних и «что», и «почему» принадлежат одной и той же науке: например, то, что три угла равны двум прямым, и начала, из которых это доказывается, относятся к геометрии.

В случае же музыки, где доказываемое выводится через начала арифметики, «что» (например, что кварта – созвучна) относится к музыке, а «почему» (то есть почему [это] созвучно и каковы созвучные отношения) – к арифметике.

Вот что он хотел сказать.

Сокращенно выражаясь: «ибо „что“ [принадлежит] одной науке» (не уточняя, какой), а затем, добавив «а „почему“ – другой», он указывает, что «почему» относится к высшей [науке], а «что» – к подчиненной. Ибо если «что» – одной науки, а «почему» – другой, и «почему» относится к высшей, то остается, что «что» принадлежит подчиненной.

А слова «которой сами по себе [принадлежат] свойства» означают, что во взаимоподчиненных науках свойства, принадлежащие самому по себе [предмету], первично относятся к более общей [науке].

p. 16a15 «Но начала этих [наук] имеют общее».

Вместо «начала» этих [наук], а также [наук] ниже- и вышестоящих, [знание] возводится к общему, то есть к первой философии. Ибо она находит и доказывает начала всех наук, поэтому и названа «искусством искусств» и «наукой наук». Мне же кажется, что это следует понимать проще в данном контексте. Поскольку [Аристотель] сказал, что можно доказать положения нижестоящей науки через начала вышестоящей, а затем добавил различие между тем, что доказывается таким образом, и тем, что доказывается через собственные начала, – чтобы кто-то не подумал, будто доказанное через начала вышестоящей науки не является доказанным, поскольку [оно] не из собственных начал, – то он говорит, что начала этих [наук] имеют общее, то есть начала подчинённых наук общи. Например, [это так] в арифметике и музыке: в обеих доказательство строится на общих началах.

Хотя может казаться, что то, что доказывает музыка, скорее относится к арифметике, тем не менее сама арифметика есть начало гармонии. Поэтому начала арифметики и гармонии – одни и те же: то, что сказывается о вышестоящем, сказывается и о нижестоящем. То же самое [верно] для физики и медицины, геометрии и механики.

p. 76a16 «Если это ясно, то ясно и то, что собственные начала каждой [науки] нельзя доказать».

Он выводит некое следствие, подобно геометрам, из сказанного. Ибо если, говорит он, нельзя ничего доказать иначе как из собственных начал каждой [науки], то очевидно, что ни одна наука не может доказать свои собственные начала, раз доказательство должно строиться из собственных начал, а у начал не может быть начал. Но если есть наука, доказывающая начала каждой [науки], то это и была бы подлинная наука и начало, из которого доказываются начала прочих наук, – общее начало всего, и она была бы «искусством искусств» и «наукой наук», то есть первой философией, о которой [Аристотель] рассуждает в «Метафизике». Ибо если знающий через первые начала знает лучше, а эта [наука] знает через общие начала всякого знания, то она и была бы в наибольшей степени наукой и началом. Ведь если познание не через них, то через иные причины; а это и есть собственно наука, познающая вещи из первых начал и единственных причин, которые сами никоим образом не являются причиняемыми.

p. 76a23 «Доказательство же не применимо к другому роду, кроме как, как сказано, геометрические [доказательства] – к механике или оптике».

То, говорит он, что нельзя смешивать доказательства разных наук, если они не подчинены [друг другу], так что нижестоящая [наука] использует доказательства вышестоящей: например, механика или оптика использует геометрические [доказательства], а гармоника – арифметические.

p. 76a26 «Трудно распознать, знаем ли мы [что-то] или нет; ибо трудно распознать, знаем ли мы [это] из собственных начал каждой [науки] или нет».

Распознать, говорит он, является ли силлогизм доказательным или нет, трудно. Ибо мы думаем, что если кто-то берёт истинные и непосредственные посылки, то он берёт и доказательные; но это не так, раз показано, что посылки должны быть не только истинными, но и взятыми из собственных начал. Поэтому первая и вторая теоремы геометрии доказаны собственно [доказательно], а последующие – хотя и выведены истинно, но не доказательно. Ибо они доказаны не из собственных и не из непосредственных посылок: ведь последующие [теоремы] всегда доказываются с использованием данных [ранее]. Однако же и силлогизм, применяемый в них, называется доказательством в более широком смысле, если только не считать и их доказанными постольку, поскольку они в конечном счёте восходят к геометрическим началам, через которые доказаны первые [теоремы]. Об этом же он говорит далее. Поскольку, таким образом, трудно познать природу вещей и то, что разделяет каждую природу по её сущности, постольку трудно и распознать, является ли силлогизм доказательным или нет.