Полная версия
Логика Аристотеля. Том 5. Комментарии на «Аналитику» Аристотеля
Стр. 73b21 «Ибо противоположное есть либо лишенность, либо отрицание в том же роде, например, четное – это не нечетное в числах, или следует».
Поскольку он сказал, что необходимо принадлежит либо просто, либо противоположное, он хочет это доказать через следующее. Непосредственные противоположности сводятся к одному и тому же – лишенности и обладанию, утверждению и отрицанию. Как у способных к зрению и слепоты необходимо, чтобы одно из противоположных принадлежало, так же и у отрицания необходимо, чтобы одна из его частей принадлежала подлежащему. Так и у непосредственных противоположностей необходимо, чтобы одно из них принадлежало подлежащему, например, числу – четное или нечетное, человеку – жизнь или смерть, телам – тяжелое или легкое. Поэтому противоположное всегда равносильно либо лишенности, либо отрицанию противоположного, например, четное равносильно не нечетному: в числах не нечетное необходимо четное. Точно так же, если кто-то скажет «анечетное» вместо «не нечетного», это будет равносильно четному.
Так же, как необходимо для всякого либо утверждение, либо отрицание, так и для подлежащих либо обладание истинно, либо лишенность. Мы показали, что непосредственные противоположности равносильны этим, следовательно, они тоже необходимо принадлежат подлежащим.
«Либо» здесь означает «отрицающую часть противоположного данному». Если дано четное, то его противоположное – нечетное, а отрицающее его – «не нечетное», которое, конечно, равносильно противоположному нечетного, то есть четному.
Стр. 73b23 «Так что если необходимо утверждать или отрицать, то необходимо, чтобы собственные свойства принадлежали».
То есть если для всякого либо утверждение, либо отрицание истинно, а у непосредственных противоположностей отрицание равносильно противоположному, то, следовательно, у таких непосредственных противоположностей необходимо принадлежат подлежащему.
Стр. 73b26 «Всеобщим же я называю то, что принадлежит всякому, само по себе и поскольку оно есть».
Перечислив значения «самого по себе» и выделив полезные для всего доказательного метода, он переходит к учению о всеобщем. Аристотель различает три значения всеобщего.
1) Просто принадлежащее всякому подлежащему, даже если не само по себе, например: «Всякому эфиопу – черное» или «Всякому человеку – ходить».
2) То, что всеобще и само по себе, например: «Всякой десятке – четность».
3) То, что само по себе, принадлежит всякому и первично, что он здесь и излагает, и что принимается в доказательные методы, например: «У всякого треугольника три угла равны двум прямым».
У косоугольного треугольника три угла равны двум прямым, и это принадлежит всякому и само по себе, но не первично: не поскольку он косоугольный, у него такие углы, и не поскольку он равнобедренный. Даже если бы не было косоугольного, ничто не мешало бы другому треугольнику иметь такие углы. Первично это принадлежит треугольнику, потому что всякому треугольнику, само по себе и первично: ничему другому до треугольника это не принадлежит.
p. 73b 27 И само по себе, и как таковое.
Эти выражения, взятые параллельно, означают одно и то же, как далее он сам говорит: «Ибо само по себе, – говорит он, – и как таковое – одно и то же». Сначала, сказав, что общее должно быть само по себе и присуще всему, далее он добавляет и третье отличие, а именно, что оно должно принадлежать подлежащему первично. Следует заметить, что Аристотель в этих местах утверждает, что «само по себе» и «как таковое» – одно и то же, а последователи Теофраста говорят, что они различаются: «само по себе» более универсально, чем «как таковое». Ибо если что-то присуще как таковому, то оно присуще и само по себе, но не всё, что присуще само по себе, обязательно присуще как таковому. Например, треугольнику как треугольнику присуще иметь три угла, равных двум прямым, но это присуще ему и само по себе. А равнобедренному треугольнику это присуще само по себе, но не как таковому: ведь не поскольку он равнобедренный, он имеет три угла, равных двум прямым (если бы это было так, то это не относилось бы к разностороннему или равностороннему треугольнику, поскольку они не равнобедренные), а поскольку он просто треугольник. Так считают последователи Теофраста. Аристотель же, обнаружив, что в некоторых случаях эти признаки совпадают, сказал, что они тождественны: например, способность воспринимать ум и знание присуща человеку и само по себе, и как таковому. Ведь не поскольку он животное, он способен воспринимать ум и знание, и не поскольку он двуногий или одушевлённый, а поскольку он человек. И нечётному числу свойство не делиться на равные части присуще и само по себе, и как таковому.
p. 73b89 Общее же присуще тогда, когда доказывается относительно случайного и первичного.
Это и есть третье уточнение общего. «Относительно случайного» означает, когда предикат присущ любому из подпадающих под него предметов, например, любому треугольнику присуще иметь три угла, равных двум прямым, и не просто любому, но и первично. Ведь это свойство присуще не первично разностороннему треугольнику, а треугольнику как таковому.
p. 73b89 Итак, если доказывается, что любое первичное (подлежащее) имеет два прямых угла или что-либо иное, то это общее присуще первичному, и доказательство этого есть доказательство общего как такового.
Он говорит, что если предикат присущ и первичному, и любому случайному, то доказательство этого есть доказательство как такового и общего. А для других случаев, где предикат присущ любому, но не первично, доказательство, говорит он, в некотором смысле есть, но не в собственном смысле и не общее. Например, если геометр доказывает, что у всякого равнобедренного треугольника три угла равны двум прямым, то это доказательство в некотором смысле есть, но не как таковое и не общее, потому что это свойство присуще ему не поскольку он равнобедренный, а поскольку он треугольник. Поэтому доказательство этого не есть доказательство как таковое. Однако поскольку это свойство истинно для всякого равнобедренного треугольника, то в этом смысле, согласно вторым критериям доказательства, можно сказать, что доказательство применимо и к ним. И заметь, как ясно через это он показывает, что не всё, полезное для доказательства, таково, но, как я говорил, само доказательное. Ибо доказательство, говорит он, есть доказательство общего как такового.
p. 74a2 Для других же (предикатов) доказательство есть в некотором смысле, но не как таковое; и для равнобедренного (треугольника) оно не общее, но применимо шире.
Словами «в некотором смысле» он показал, что и для предикатов, присущих как таковым, но не первично, доказательство есть, но не такое: ибо самое строгое и первичное доказательство относится к таким (первичным случаям), а второстепенное – к остальным.
p. 74a4 Не следует упускать из виду, что часто случается ошибаться, и доказываемое не является первично общим, или кажется, что доказывается как первично общее.
Теперь он хочет изложить причины обмана, из-за которых мы часто, не доказывая чего-то как общего согласно данным здесь критериям, тем не менее кажется, что доказываем общее. Он говорит, что есть три причины такого обмана. Первая – когда мы строим доказательства относительно единичного или индивидуального, например, что Земля находится в центре вселенной, или что мир шарообразен, или явления, свойственные Солнцу. В этих случаях мы кажемся строящими общие доказательства, потому что доказываемое присуще как таковое и ничему другому, кроме этих предметов. Однако это не есть общее. Ибо если бы было много миров, или много солнц, или много земель, то это же относилось бы и к ним. Как если бы разносторонний треугольник был единственным треугольником, и мы доказывали бы для него, что его три угла равны двум прямым, такое доказательство не было бы общим, потому что это свойство доказывалось бы ему не поскольку он разносторонний, а поскольку он треугольник. Точно так же и доказательства, относящиеся к единично существующим предметам, не были бы общими, потому что они верны не потому, что это одна Земля или одно Солнце, а просто потому, что это Солнце или Земля. Так что если бы их было много, это же относилось бы и к ним; следовательно, доказываемое для них не есть общее.
p. 74a8 Или (второй случай): когда есть нечто общее, но безымянное для предметов, различных по виду.
Вторая причина обмана – когда есть нечто общее, но безымянное, и из-за отсутствия общего имени мы вынуждены строить доказательства для каждого вида отдельно. Например, в седьмой книге «Начал» Евклида доказывается, что если четыре числа пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные: если, скажем, как 32 относится к 16, так 8 относится к 4, то и как 32 относится к 8, так 16 относится к 4. То же самое доказывается в пятой книге для величин: если четыре величины пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные. Но это же можно доказать и для времён: если четыре времени пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные. Поскольку одно и то же доказательство проводится для каждого из этих случаев, а общего имени, под которое всё это можно было бы подвести одним рассуждением, нет, мы не называем такое доказательство общим. Как если бы для равнобедренного треугольника отдельно доказывалось, что его три угла равны двум прямым, для разностороннего – отдельно, и для равностороннего – отдельно, такое доказательство не было бы общим, поскольку оно не проведено для чего-то единого и общего, как для треугольника, которому первично присуще это свойство. Точно так же и в рассматриваемых случаях, поскольку нет ничего общего, чему первично присуще это свойство, и чем обладают числа, времена и величины, участвуя в этом свойстве, мы не называем доказательство, проведённое для каждого из них отдельно, общим. Даже если кто-то скажет, что для них есть общий предикат, например «количество», всё равно, пока нет общего имени, доказательство не будет общим. Возможно, и нельзя применить такое доказательство к количеству вообще, ведь количество включает и место, и речь, которые нельзя взять через абстракцию, а доказательство проводится для абстрагированных предметов. Кроме того, даже если бы это свойство было присуще всякому количеству и было бы истинным утверждение, что если четыре количества пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные, всё равно доказательство не было бы первично для количества. Ведь это свойство присуще не поскольку это количество: та же пропорция сохраняется и для качеств, что если четыре качества пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные. Так Платон в «Горгии» берёт законодательное, судебное, софистическое и риторическое искусства и говорит: как законодательное относится к судебному, так софистическое к риторическому, и переставленно – как законодательное к софистическому, так судебное к риторическому. Точно так же он берёт гимнастику, медицину, поварское и кулинарное искусства и для них доказывает ту же пропорцию. Так что то же доказательство применимо и к качествам, а не только к количествам. Но нет ничего общего между количеством и качеством, для чего можно было бы провести общее доказательство. Даже для одних количеств нельзя, взяв общее рассуждение, доказать, что если четыре количества пропорциональны, то они будут пропорциональны и переставленные: ведь не любые случайные количества могут быть пропорциональны, а только однородные. Ведь, как я сказал, речь и место – тоже количества, и для них доказательство не подойдёт. Но и для величин нельзя взять общее, если они не однородны. Пусть, например, есть четыре величины: линия, поверхность, место, тело. Для них нельзя применить ни пропорцию, ни переставление. Ведь как линия относится к поверхности, так место не относится к телу в нём: если тело квадратное, то место тела не обязательно квадратное. Даже если пропорция есть, переставление уже не будет: например, как периметр круга относится к кругу, так периметр квадрата относится к квадрату, но переставление уже не работает: ведь периметр квадрата не может иметь никакого отношения к периметру круга, как и круг к квадрату, ибо это разнородные величины.
p.74a9 Или оно оказывается как частичное целое, на котором доказывается.
Третий способ, в котором универсальное названо по имени, но доказательство относится не к нему, а к каждому виду в отдельности. Смысл выражения таков: или, говорит он, то, на чем строится доказательство, строго говоря, не было универсальным, а лишь частичным; например, если доказательство строится на равнобедренном треугольнике, то на этом треугольнике, то есть на равнобедренном, оно существует как частичное целое, на котором доказывается, то есть (на) равнобедренном треугольнике оказывается как частичное целое общий род, то есть треугольник; ведь род есть некое целое, а вид – как бы его часть. Итак, либо следует понимать это выражение таким образом, либо так: или оказывается, что частное, то есть равнобедренное, есть как целое в части треугольника, на котором строго говоря могло бы быть доказательство, как в части треугольника целое – равнобедренное, потому что в определение равнобедренного включается треугольник, а то, что включается в определение чего-то, есть его часть. Однако первое объяснение более согласуется с последующим: далее он говорит: ведь на частном доказательство будет относиться и будет общезначимым. Следовательно, частью он назвал не род, например треугольник, как часть определения, а вид, например равнобедренный, на котором доказывается общезначимое, но не первичное.
p.74a12 Я же называю первичным то, или это, доказательство, когда оно первично универсально.
Или это берется вместо универсального. Он использует это значение «или» вместо того, чтобы сказать: доказательство универсально, когда оно доказывается на том, что первично и универсально; ведь то, что три угла равны двум прямым, относится ко всем равнобедренным, но не первично, а первично – к треугольнику. Следовательно, доказательство первично универсально относительно этого.
p.74a13 Если же кто-то докажет, что прямые не пересекаются, то может показаться, что это доказательство относится к этому, потому что оно применимо ко всем числам.
Сказав, что заблуждение возникает трояко, он далее приводит примеры этих трех способов. Нужно заметить, что примерами он воспользовался не в том же порядке, в каком изложил их для пояснения первого, второго и третьего. Теперь приведенный пример относится к третьему способу. Доказывается это так: если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы по одну сторону, равные двум прямым, то продолженные в бесконечность в обе стороны, эти прямые нигде не пересекутся. Если же кто-то построит рассуждение относительно двух прямых углов, то кажется, что он доказывает универсально, но это не универсально, потому что это свойство пересечения прямых не определено для двух прямых углов, а лишь для двух равных углов; ведь если один угол будет половиной прямого, а другой – полтора или как-то иначе, то все равно следует, что продолженные прямые не пересекутся.
p.74a16 И если бы не существовало другого треугольника, кроме равнобедренного, то казалось бы, что это свойство принадлежит равнобедренному.
Это пример первого способа: если бы существовал только один вид треугольника, например равнобедренный, то казалось бы, что свойство иметь три угла, равные двум прямым, принадлежит ему как равнобедренному и было бы универсальным. Но сейчас это не так: ведь это свойство принадлежит не потому, что он равнобедренный, а потому, что он треугольник. Следовательно, доказательство для равнобедренного не универсально, а для треугольника – универсально. Таким образом, если бы доказательство строилось на каком-то единичном случае, оно не было бы универсальным; даже если бы существовало несколько подобных случаев, то же доказательство подходило бы и для них.
p.74a17 И аналогично, что попеременно, числа и линии, и тела, и времена.
Пример второго способа. То, что он говорит, заключается в следующем: поскольку доказывается, что пропорция и попеременное отношение существуют для чисел, то кажется, что они присущи и числам, и линиям, и так далее, потому что для всех них не названо общее.
p.74a19 Как и иногда доказывалось отдельно, хотя возможно было доказать для всех одним доказательством.
Слово «иногда» здесь следует понимать не временно, а как обозначающее более грубо и неточно. Доказывалось, говорит он, более грубо для каждого в отдельности, потому что мы не знаем, что есть единое, общеприменимое ко всем этим вещам, например количество или что-то еще, поскольку числа, величины и времена суть одно по их общему роду. Поскольку это неизвестно, а они различаются между собой по видам, то разумно, что доказательство строится отдельно для каждого из них, и мы думаем, что доказываем универсально, хотя ничего универсального не доказали.
p.74a23 Теперь же доказывается универсально.
Слово «теперь» опять же не следует понимать временно, а как обозначающее точно и в соответствии с методами доказательства.
p.74a23 Ведь это свойство принадлежит не линиям или числам, а вот этому, что предполагается универсальным.
Пропорция и попеременное отношение, говорит он, не принадлежат линиям или числам как таковым, а принадлежат чему-то общему для всех них, что остается безымянным. Слово «предполагается» означает, что это общее для них свойство наблюдается.
p.74a25 Поэтому, даже если кто-то докажет для каждого треугольника в отдельности, одним или другим способом, что каждый имеет два прямых угла, например отдельно для равностороннего и так далее.
Даже если кто-то, говорит он, рассмотрит каждый вид, подпадающий под универсальное, доказывая для каждого в отдельности и не упуская ни одного вида, то мы не скажем, что такое доказательство универсально, потому что оно не строится на чем-то общем, к чему первично относится это свойство. Такой способ похож на софистический, когда выводят универсальное из частных случаев и строят доказательства как бы на случайных свойствах. Ведь даже если, как я сказал, рассмотреть все виды треугольника, то мы не знаем, что треугольники имеют три угла, равные двум прямым, а знаем это для каждого из них в отдельности, но не знаем через их общий вид, даже если не упускаем ничего из частного.
p.74a32 Когда же мы не знаем универсального, а когда знаем просто?
Каким же критерием, говорит он, мы определим, когда доказательство универсально, а когда нет? Он говорит: если бы быть треугольником и быть равносторонним было одним и тем же, как плащом и одеждой, то доказательство для одного было бы универсальным, и для другого тоже. Но поскольку это не так, как мы различим, для какого из них доказательство первично универсально? И он дает такое правило: доказательство универсально для того, при устранении чего устраняется и свойство. Например, этому медному треугольнику принадлежит и быть медным, и быть равнобедренным, и быть треугольником, и быть фигурой, и иметь границы. Но если устранить медь, свойство иметь три угла, равные двум прямым, не устранится, как и при устранении равнобедренности; но если устранить треугольник, даже если останется фигура и наличие границ, свойство устранится. Если же кто-то скажет: «Что же он говорит? Разве при устранении фигуры или наличия границ не устраняется и свойство, то есть то, что три угла равны двум прямым?» – да, устраняется, но не первично для них, а первично для треугольника; ведь возможно быть фигурой и иметь границы, например если есть четырехугольник, но не иметь углов, равных двум прямым. А поскольку треугольник содержится в фигуре, то при устранении фигуры устраняется и свойство. Следовательно, доказательство первично для треугольника, потому что это свойство принадлежит любому треугольнику и первично ему, но не фигуре, так как не всякой фигуре и не первично при ее устранении оно устраняется.
p. 74a33 Ясно, что если бы «быть треугольником» и «быть равносторонним» было одним и тем же – либо для каждого [вида], либо для всех [вместе].
Для каждого: если бы один вид треугольника, скажем, равнобедренный, был тождественен треугольнику как таковому, то говорить «равнобедренный» и «треугольник» означало бы одно и то же, при условии что никакого другого треугольника, кроме равнобедренного, не существует.
Для всех: если бы все виды [треугольника] исчерпывали его природу и сказать «все виды треугольника» было бы то же самое, что сказать «треугольник», то доказательство не было бы универсальным, даже если бы оно проводилось для видов, потому что природа общего зависит от частного, и свойства, доказываемые для видов, присущи именно ему [общему].
Ведь если бы существовал только один вид треугольника, например, равнобедренный, то свойство [суммы углов] принадлежало бы только ему, а не всем [видам], которые суть треугольники, но просто треугольникам как таковым.
Следовательно, доказательство должно строиться на том, чему свойство принадлежит первично.
Таким образом, справедливость сказанного такова.
Что касается словесного выражения, то оно выглядит примерно так:
Когда же [человек] не знает общего и когда знает просто?
Он поставил вопрос: по какому признаку мы различим, когда знание не является универсальным согласно приведенным здесь положениям и когда оно таково?
И сначала отвечает на второй вопрос, а именно – на утвердительный, то есть когда доказательство становится универсальным.
Стало быть, ясно, что если бы «быть треугольником» и «быть равносторонним» было одним и тем же – либо для каждого, либо для всех, – то подразумевалось бы, что знание является простым (поскольку исходит из общего).
Ведь если бы сказать «треугольник» и «равносторонний» означало одно и то же (как «Эреб» и «тьма»), и свойство «иметь углы, равные двум прямым», принадлежало бы треугольнику (или «треугольник есть»), то очевидно, что тот, кто доказал это для равностороннего [треугольника], доказал бы это и для треугольника вообще, ибо «треугольник» и «равносторонний» значили бы одно и то же.
Но если это не так, то ясно, что «быть треугольником» и «быть равносторонним» – разное, подобно тому как «быть животным» и «быть человеком» – разное.
А если доказательство проведено для равностороннего, а не для треугольника как такового, и свойство, о котором идет речь в доказательстве, принадлежит [фигуре] не поскольку она равносторонняя, а поскольку она треугольник, то мы скажем, что такое знание не является универсальным.
Таким образом, показав, когда доказательство универсально, а когда нет, он далее излагает правило для их различения.
p. 74a35 «Чему именно – треугольнику или равнобедренному – [свойство] принадлежит? И когда оно принадлежит первично? И для чего именно доказательство является универсальным?»
Сказав: «Чему именно – треугольнику или равнобедренному – принадлежит доказываемое универсальное свойство?», – чтобы не казалось, что доказательство строится для частного случая, он обращается к общему, говоря: «И когда оно принадлежит первично?»
Разъясняя это, он добавляет: «И для чего именно доказательство является универсальным?»
То есть, в общем: как мы узнаем, для каких случаев наши доказательства являются универсальными?
p. 74a37 «Ясно, что когда [свойство] остается после устранения [других признаков] первично.»
То есть: когда среди множества признаков, сказываемых об одном и том же (например, о данном треугольнике: «быть медным», «быть равнобедренным», «быть треугольником», «иметь периметр, скажем, четыре фута», и любых других его свойств), после устранения всех прочих, кроме одного оставшегося, сохраняется свойство «иметь углы, равные двум прямым», – тогда это свойство принадлежит первично оставшемуся признаку, и доказательство является универсальным для него.
Ведь если устранить «медный», «равнобедренный» и «иметь периметр», но оставить «треугольник», то свойство останется при треугольнике. А если устранить и его, то свойство исчезнет сразу же.
p. 74b2 «Если [свойство принадлежит] треугольнику, то в этом качестве оно принадлежит и остальным.»
То есть: если при устранении треугольника как первичного носителя свойство исчезает сразу же, то ясно, что доказательство универсально для него, и потому свойство принадлежит также и остальным – равнобедренному, разностороннему, прямоугольному и прочим [треугольникам].
Страница 74b5 Итак, если доказательное знание исходит из необходимых начал и так далее.
Показав, что познаваемое и доказуемое необходимо и исходит из необходимых предпосылок, он исследует также, какие именно необходимые проблемы поддаются доказательству и какие необходимые предпосылки лежат в основе доказательного силлогизма, касающегося этих проблем. Поскольку пониманию этого способствовало разъяснение того, что значит «присущее всем», «само по себе» и «универсальное», он сначала изложил учение об этих понятиях, а затем последовательно указал, какие именно необходимые проблемы служат предметом доказательства. Ведь, исследуя учение об универсальном, он говорит, что доказательства относятся к тому, что присуще самому по себе, а именно – к первичным универсальным положениям, при отрицании которых устраняется и свойство, которое мы хотим доказать как присущее субъекту. И доказательство, говорит он, в собственном смысле исходит именно из них, тогда как из других – лишь привходящим образом. Он также указал причины, по которым мы часто думаем, что доказали что-то, не доказав его в универсальном смысле.