Полная версия
Теоретико-мыслительный подход. Книга 1: От логики науки к теории мышления
Галилей же впервые начал сравнивать отношения как таковые, как нечто целое, независимо от значения входящих в них компонент. Однако это определение скорости как отношения пути ко времени приобретало практический смысл лишь с изобретением способа измерения малых промежутков времени. Часов в современном нам смысле слова тогда не было. Создание их стало возможным только на основании данных динамики, разработанной Галилеем. В употреблении были большей частью водяные и песочные часы. И вот Галилей находит способ приспособить такого рода часы к измерению небольших промежутков времени. Часы эти состояли из небольшого наполненного водой сосуда большого поперечника с маленьким отверстием на дне, которое он закрывал пальцем. Когда какое-либо тело в эксперименте начинало свое движение, Галилей, отняв палец, открывал сосуд и выпускал воду на весы. Когда тело достигало конца своего пути, он закрывал сосуд. Так как давление жидкости вследствие большого поперечника мало изменялось, то вес вытекшей воды был пропорционален времени истечения, и его можно было таким образом измерять.
После того как был открыт метод измерения времени и скорость была сведена к отношению пути и времени, она приобрела видимость абсолютной характеристики одного движущегося тела. Мы уже знаем, что понятие скорости возникло для сравнения двух движущихся относительно третьего тел. Мы говорили, что одно тело движется скорее, и при этом всегда подразумевали другое тело, которое движется медленнее первого. Теперь мы можем сказать, что тело имеет определенную скорость, и при этом ни слова не говорим о другом движущемся теле. Создается впечатление, что тела обладают скоростью независимо от их отношения к другим движущимся телам, и, следовательно, скорость есть внутренняя характеристика движущегося тела. Но все это лишь видимость: здесь по-прежнему сравниваются два движущихся тела, но только это сравнение скрыто, завуалировано.
Раньше в отношении, отражением которого было простейшее понятие скорости, участвовало по крайней мере три члена: земля и два движущихся относительно нее тела. Когда мы ввели измерение пройденных телами расстояний, к нашему отношению прибавилось четвертое тело – единица, масштаб расстояния. Когда Галилей вводит измерение времени, то он соотносит каждое из сравниваемых движений с третьим, в данном случае с движением воды, которое должно служить единицей, масштабом движения. Взвешивая воду, вытекшую в первом и во втором случае, Галилей находит числовое отношение их весов, и это числовое отношение выступает как сложная и опосредованная, необычная для нас форма времени. Эталоном времени выступает эталон веса. Таким образом, здесь участвуют по крайней мере: земля, два движущихся относительно нее тела, эталон пути, движущаяся вода, эталон веса и весы. Современные часы несколько упрощают это отношение. Они состоят в простейшем случае из двух тел, одно из которых – стрелка – движется относительно другого с какой-то скоростью, а второе – циферблат – является масштабом, эталоном этого движения, дающим ему числовую меру в отрезках пути. Сравнение состояния двух движущихся относительно земли тел заключается в соотнесении их с движением стрелки, то есть с эталоном движения. Результаты этого сравнения выражаются в числе отрезков пути, пройденных стрелкой по циферблату. Сравнение одного из исследуемых движений с движением стрелки носит чувственно-непосредственный характер, а сравнение двух исследуемых движений приобретает уже опосредствованный характер, поскольку они соотносятся уже не непосредственно друг с другом, а через эталонное движение часов. Благодаря тому, что этот эталон приобрел всеобщий абсолютный характер, сравнение различных движений друг с другом может быть разорвано как во времени, так и в пространстве. Сравнивая какие-либо движения с эталоном, мы выражаем их скорость в числовых величинах, и затем уже сравниваем значение этих величин между собой. Поскольку мы соотносим движение каждого тела с движением абсолютного эталона, который выступает не как движущееся тело, а как показатель времени, создается иллюзия, что скорость есть абсолютная характеристика одного тела, не зависящая от его отношения к другому движущемуся телу. В действительности же отношение остается прежним и даже усложняется: теперь в нем участвует по крайней мере пять тел: земля, движущееся относительно нее тело, эталон пути, движущаяся часовая стрелка и циферблат как эталон проходимого ею пути. Таким образом, если иной раз мы склонны рассматривать скорость как понятие, характеризующее состояние одного предмета или отражающее свойство одного предмета, то на самом деле понятие скорости в его современной форме отражает отношение пяти предметов.
В своей самой простой форме понятие скорости отражало отношение трех предметов. Когда характер отношения изменился, другими словами, когда изменилось содержание понятия – изменилась и его форма. Наоборот, изменение формы понятия характеризует изменение его содержания.
Определив скорость как отношение пути и времени и выработав метод измерения времени, Галилей приступил к выяснению законов движения падающих тел. Однако, так как его методы измерения времени были еще очень несовершенны и неточны, Галилей прежде всего попытался замедлить исследуемое движение падения введением наклонных плоскостей, а это, в свою очередь, поставило его перед необходимостью сравнить между собой падение тел по вертикали и по наклонным. Согласно определениям Аристотеля, из двух движущихся тел то имеет большую скорость, которое проходит за одно и то же время большее пространство, чем другое, или то же пространство, но в меньшее время. Соответственно считалось, что два движущихся тела обладают одинаковой скоростью, если они проходят равные пространства в равные промежутки времени.
Однако Галилея эти определения уже не удовлетворяли. Он свел скорость к отношениям, а с точки зрения отношений ничего не изменится, если «назвать скорости равными и тогда, когда пройденные пространства находятся в таком же отношении, как и времена, в течение которых они пройдены» [Галилей, 1948, с. 34].
Поскольку Галилей уже подвел понятие скорости под более широкое понятие отношения, сделанный им переход был вполне законен. Отношение
Итак, имеется два определения равенства скоростей двух движущихся тел.
Первое: скорости двух тел равны, если за равные промежутки времени они проходят равные пространства.
Второе: скорости двух тел равны, если пространства, проходимые ими, пропорциональны времени прохождения.
Второе определение является обобщением первого, первое вытекает из второго и должно быть справедливым, если справедливо второе.
Вооруженный этими двумя определениями, Галилей приступает к сравнению конкретных случаев падения тел. Пусть по СВ и СА падают два одинаковых тела:
Рис. 4
Скорость тела, падающего по СВ, будет больше скорости тела, падающего по СА. Действительно, в течение того времени, в которое первое падающее тело пройдет всю СВ, второе пройдет на СА часть CD, которая будет меньше СВ. Отсюда мы можем сделать вывод, что тело движется с большей скоростью по вертикали, чем по наклонной, и кроме того, в соответствии с первым определением, – что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, не равны.
Но если мы возьмем отношение времен падения по всей наклонной и всей вертикали, то оно окажется равным отношению длин наклонной и вертикали. Отсюда, в соответствии со вторым определением, мы можем сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, равны.
Таким образом, следуя рассуждению Галилея, мы получили два противоречащих суждения:
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».
Противоречие налицо. Что же делать? Выбросить одно из противоречащих положений? Но они оба справедливы. Выбросить одно из определений равенства скоростей? Но они тоже оба справедливы. В чем же дело?
Мы знаем, что Галилей начал с обобщения понятия скорости, подведя его под понятие отношения. Конечно, заданное им определение скорости как отношения пути ко времени только выявляло для сознания то отношение, которое всегда существовало в действительности и использовалось при сравнении движений в неосознанной или не полностью осознанной форме. В этом смысле определение понятия скорости не вносило ничего нового в само явление. Но оно позволило несколько изменить способ сравнения движущихся тел, а это должно было отразиться и отражалось на понятии «равноскоростные движения», изменяя его содержание и объем.
При первоначальном способе сравнения движений равноскоростными движениями могли оказаться, во-первых, равномерные движения, во-вторых, равномерно ускоренные движения с одинаковой начальной скоростью и одинаковым ускорением, сравниваемые от начальной точки их движения. Другие движения при этом способе сравнения могли оказаться равноскоростными лишь случайно.
Новое обобщенное определение равенства скоростей при определенном способе сравнения охватывало также равномерно-ускоренные движения с неравными ускорениями (если эти движения не имели начальных скоростей). Галилей, как мы знаем, начал со сравнения именно этих движений, и первое, на что он обратил внимание, было противоречие меду первым и вторым определением. Ему казалось, что, если справедливо второе более общее положение, – должно быть справедливо и первое, являющееся частным случаем второго. На деле же оказалось не так. Примененные к движениям шаров по СА и СВ, эти определения дали противоречащие результаты:
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».
«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».
Второе определение, полученное из первого путем, казалось бы, безобидного перехода, отрицает первое, являющееся его частным случаем, и, наоборот, первое отрицает второе. Обозначим время падения шара через t (по СВ). За это время шар, движущийся по СА, достигает D:
Рис. 5
СD не равно СВ, и поэтому отношение
Здесь абстрактно-логическое знание вступает в противоречие со знанием чувственным. Нам кажется – «мы чувствуем», что движение по вертикали совершается скорее, чем движение по наклонной, а абстрактное знание говорит нам, что эти движения равноскоростны. Таким образом, абстрактно-логическая форма понятия скорости отрывается от тех чувственных образов и представлений, на которых основывалась абстракция скорости. В первой главе нашей работы мы говорили в общей форме об отношении понятий и абстракций к чувственным образам. Во второй главе мы показали, что абстракция «бесконечного» отрицает чувственные образы и попытки наделить бесконечное чувственным существованием, долгое время имевшие место, только приводят к противоречиям.
Здесь мы видим, что абстрактно-логическая форма понятия скорости точно так же на определенной ступени своего развития отрывается от чувственных образов и вступает с ними в противоречие.
Однако причина выявленного Галилеем противоречия не может лежать только в факте определения понятия скорости и обобщения условий равенства скоростей. Если бы мы, пользуясь старым условием равенства скоростей, начали сравнивать движения шаров по СА и СВ, беря отрезки проходимого пути в разных частях СА и СВ, то мы получили бы и при старом определении весьма противоречивые результаты. Скорость падения шара по СВ могла оказаться в одном месте больше скорости падения шара по СА, в другом – равной, в третьем – меньшей. Таким образом, развитие понятия скорости и обобщение условий равенства скоростей не является причиной противоречия, а только формой, которая создает более вероятные условия для проявления этого противоречия.
Причина [противоречия] заключается в том, что понятие скорости, сложившееся из сравнения равномерных движений и однозначно характеризовавшее эти движения, уже не подходит для сравнения и однозначной характеристики неравномерных движений. Оба определения, выдвинутые Галилеем, и оба положения, отражающие конкретное движение двух тел по линям СА и СВ, к которым мы пришли в результате применения этих определений, одновременно и справедливы, и несправедливы. Справедливы в том смысле, что они оба действительны, если мы исходим из определенной формы понятия скорости. Несправедливы в том смысле, что эта определенная форма понятия скорости не дает однозначной характеристики ускоренных движений и для их сравнения требуется другая уточненная форма понятия, имеющая другое содержание. Противоречие, к которому приходит Галилей, заставляет его не отбрасывать одно из противоречащих положений, а развивать понятие, из которого он исходил, заставляет уточнять его содержание и форму.
Прежде всего, Галилей обращает внимание на то, что полученные им результаты зависят от способа сравнения движений, от того, какие отрезки пути он брал. Любое утверждение о скорости тел, падающих по СА и СВ, оказывается не общим положением и приложимо только к уже рассмотренным отрезкам. Скорость оказывается характеристикой относительной, она зависит от того, на каком отрезке мы ее берем[64].
Дальше этого вывода в развитии этой стороны понятия «скорость» Галилей не пошел[65], и так как наше исследование ограничивается работами Аристотеля и Галилея, мы должны на этом остановиться.
Скажем только несколько слов, чтобы придать нашей работе законченный характер о тех ближайших выводах, которые были сделаны из работ Галилея.
Как мы уже отмечали, Галилей выдвинул положение о том, что величина скорости неравномерного движения зависит от положения того отрезка пути, на котором эта скорость измеряется. Отсюда сразу напрашивается вывод, что как отрезки бывают двух родов – конечные и «бесконечно малые», так и скорости могут быть двух родов – на конечном отрезке и на «бесконечно малом». Хотя этот вывод напрашивался уже из самих работ Галилея, понятие мгновенной скорости не было сформулировано до тех пор, пока Лейбниц и Ньютон не развили исчисление бесконечно малых и не начали оперировать мгновенными характеристиками. Определение мгновенной и средней скорости завершало процесс расщепления понятия «скорость». Внутри него родилось два новых понятия: «средняя скорость» и «мгновенная скорость».
Рассмотренный нами процесс развития понятия скорости в работах Аристотеля и Галилея можно представить следующим образом. Понятие скорости возникает из сравнения и анализа движения. (Его содержание составляют те отношения между предметами, которые существуют и которые мы создаем в процессе самого анализа и сравнения.) Форма понятия, то есть его определения и вообще те связи, которые возникают между абстракцией «скорость» и другими абстракциями, зависит от тех отношений, в которые поставлены рассматриваемые предметы, то есть зависит от содержания. На первом этапе своего развития понятие скорости, благодаря способу и характеру сравнения движущихся тел, применимо только к равномерным движениям. Этот факт остается долгое время неосознанным, и объем понятия, фактически уже определенный его содержанием и формой, для сознания человека остается неопределенным, или, вернее, неправильно определенным. Благодаря этому сложившееся понятие скорости начинают применять для сравнения и анализа неравномерных движений.
Содержание понятия, то есть свойства предметов и явлений, с которыми понятие соотносится, изменилось, а форма остается прежней. Между новым содержанием и старой формой возникает конфликт, противоречие. ‹…›
Противоречие между старой формой и новым содержанием находит себе выражение в тех противоречивых определениях, которые получил Галилей. Устранение этих противоречий заключено в уточнении и развитии формы исходного понятия в соответствии с новым содержанием.
Система суждений, в которую входят исходные положения, выражающие результаты непосредственного опыта, «самодвижение» понятия, то есть его мысленное развитие, соотнесение развитого понятия с действительностью, с новым содержанием, в результате которого мы получаем противоречивые положения, и вытекающее отсюда новое определение понятия – все это составляет форму движения понятия, иначе – форму движения нашего знания. Эту систему можно было бы представить в следующем виде:
Разобранная система суждений дает нам пример сложной формы движения нашего знания, движения, в ходе которого изменяется как содержание, так и форма наших понятий.
В первой главе нашей работы мы говорили о том, что расщепление абстракций является одним из основных процессов развития нашего знания.
На примере понятия «скорость» мы видим, что это происходит не только с абстракциями, но и с весьма сложными понятиями.
Мы говорили, что к расщеплению абстракции приводят противоречия в суждениях типа: «А есть В», «А не есть В». На примере понятия «скорость» мы видим, что это противоречие имеет место и в развитии сложных понятий, хотя, конечно, проявляется оно в значительно более сложной и насыщенной другими процессами форме.
О некоторых моментах мыслительного процесса в геометрии Евклида
Введение. Задача работы
[66]
Настоящая работа посвящена изучению мыслительных процессов в геометрии. Чаще всего при такого рода исследованиях на первый план выдвигалось доказательство; иногда оно рассматривалось как единственная и всеобъемлющая форма. В настоящей работе делается попытка подойти к изучению мыслительных процессов в геометрии в несколько ином аспекте.
Мы исходим из того, что доказательство не является начальным звеном в процессе мышления, что оно есть либо форма изложения уже полученного знания, либо некоторый заключительный этап процесса исследования.
Поскольку мы оставляем в стороне сферу доказательства, те понятия, с помощью которых доказательство исследуется, оказываются непригодными, и мы, естественно, должны ввести другие исходные понятия. Приступая к этому, мы должные прежде всего принять во внимание, что мышление есть особого рода деятельность.
Познание человеком природы протекает в форме постановки и решения различных задач. Решение этих задач и есть мыслительная деятельность. Мыслительную деятельность, направленную на решение определенной задачи, мы будем называть мыслительным процессом.
В мыслительном процессе надлежит выделить следующие основные моменты:
1) то, на что направлена мыслительная деятельность, – исходный материал;
2) цель, сообразно которой осуществляется мыслительная деятельность, или задачу познания;
3) само мыслительное действие.
Каждой определенной задаче соответствует определенный способ ее решения.
[Здесь необходимо] ввести понятие операции как результат расчленения данного нам процесса мышления и введения промежуточных задач.
Ряд задач, встающих перед человеком, особенно на ранних ступенях развития общества, могут быть решены с помощью простейших одноактных процессов, или операций. В тех же случаях, когда задача не может быть решена путем одноактного соотнесения мыслимых объектов, ее приходится приводить к виду, в котором она могла бы быть таким образом решена. Эта новая задача опосредует исходную задачу. Такое опосредствование может осуществляться сколько угодно раз – сообразно условиям задачи. Мыслительное действие благодаря этому превращается в сложное образование. Его структура определяется 1) исходным материалом, 2) целью, или задачей, 3) уровнем развития мышления (знания и процессов познания).
Исходя из вышеизложенного, мы будем рассматривать каждый определенный мыслительный процесс в геометрии Евклида[67] в зависимости от его исходного материала и задачи. Мы будем производить расчленение каждого сложного мыслительного процесса на составляющие его части – на мыслительные операции. Когда же задача разложения мыслительных процессов на составляющие будет решена, мы рассмотрим связь между операциями с тем, чтобы установить зависимость между характером мыслительных процессов и познаваемых посредством них объектов. Другими словами, мы будем стремиться выявить, каким образом закономерности процессов мышления зависят от характера познаваемых объектов.
Основные моменты опосредования
§ 1. Геометрия как система опосредствующих задачПеред людьми в их практической деятельности неоднократно вставали различные задачи измерения[68]. Примерами таких задач являются задачи измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т. д. Решение подобного рода задач состоит в том, что мы одну из длин, площадей, вместимостей выражаем в другой длине, площади, вместимости. В простейших случаях эта задача решается путем чувственно-практической операции. Однако в ряде случаев, при определенном исходном материале, она подобным образом не может быть решена. Тогда приходится находить опосредствующие задачи и приводить исходный материал к такому виду, в котором данная задача могла бы быть решена.
Однако мы не можем искать совокупность опосредствующих задач для каждого практически данного единичного случая. Это сделало бы невозможным как познание, так и практическую деятельность. В этих условиях и возникает теория. С определенной, необходимой нам в данном случае точки зрения, теория выступает как обобщенная и упорядоченная совокупность способов решения опосредствующих задач.
Однако построение теории как таковой, то есть обобщение и систематизация способов решения различных задач невозможны без группировки, обобщения и систематизации самих задач. В свою очередь, обобщить задачи невозможно без обобщения объекта познания. Обобщение объекта познания достигается за счет абстрагирования некоторых свойств объективной действительности. В результате такой абстракции и обобщения мы получим геометрические фигуры: треугольники, линии, круги, пирамиды и т. п. Все эти абстракции суть объекты теории, или идеальные объекты.
§ 2. Связи в опосредствованииПопробуем на одном простом примере рассмотреть смысл и назначение опосредствующих задач.
Пусть перед нами два отрезка прямой и надо один измерить другим. В этом случае измерение может быть выполнено путем непосредственного наложения [одного отрезка на другой]. Пусть теперь один из отрезков будет прямолинейный, а другой – криволинейный. В первом случае они, очевидно, качественно одинаковы в таком свойстве, от которого зависит процесс непосредственного измерения. Во втором же – они различны в этом свойстве.
