Мысли и факты (1889). Первый том. Философские трактаты, афоризмы и исследования

Геометрия, конечно, отличается от математики. Метагеометрия возможна, поскольку интуитивная необходимость геометрических аксиом не является логической необходимостью. Метаматематика невозможна, поскольку необходимости общей теории величин или математики являются чисто логическими необходимостями. Сравните принцип противоречия, справедливо названный Аристотелем высшим и наиболее определенным из всех принципов, с гораздо более конкретным законом, лежащим в основе общей теории величин или математики. Это теорема «Две величины, равные одной и той же третьей величине, равны и друг другу»; я буду называть ее теоремой о среднем тождестве величин. Очевидно, что как только вводится понятие величины и математическое «равенство» признается частным случаем тождества, а именно количественным тождеством или тождеством кванта, вторая посылка вытекает из первой с аподиктической определенностью; она логически необходима, поскольку ее противоположность была бы противоречием в терминах. Общее учение о величине вырастает из логики, это логика количества. С другой стороны, сравните ту же криноиксию Оутраиотиоиса со следующими предложениями: «В одной и той же точке могут быть перпендикулярны друг другу не более трех прямых», или «Вокруг точки на плоскости существует не более и не менее четырех прямых углов», или «Две прямые, равноудаленные друг от друга на некоторое расстояние, везде равноудалены друг от друга до бесконечности», или «Две прямые, пересекшиеся один раз, никогда не пересекутся снова до бесконечности», – очевидно, что ни одна из этих пропозиций не может быть выведена из того факта, что одно и то же X утверждается и отрицается одновременно. Разумеется, они также необходимы, поскольку их недействительность для нас немыслима, а именно интуитивно немыслима. С другой стороны, и они, как и всякое другое суждение, предполагают абсолютную истинность Principium Contradictionis, без которой слова «да» и «нет» потеряли бы смысл, а значит, стало бы невозможным рациональное мышление о любом предмете.

Но его специфически интуитивная необходимость не мотивирована, как чисто логическая, тем, что мы окажемся в абсурдном положении утверждения и отрицания противоположного; это скорее принуждение – на время и, возможно, навсегда – не поддающееся дальнейшему выводу, которое осуществляется природой нашей образной способности воображения против любого противоречащего ей желания воображать. Попробуйте! Не получается! При попытке мы наталкиваемся на законные пределы нашего зрительного восприятия. Ложное предложение «В одной и той же точке четыре прямые линии могут быть перпендикулярны друг другу» вообще не содержит противоречия, как, впрочем, и другое ложное предложение «Две величины, равные одной и той же третьей величине, не равны друг другу». Одним словом, геометрические аксиомы, а значит, и геометрия, добавляют к логической необходимости еще один вид необходимости. Фолькельт делает своеобразное и для него весьма придирчивое отступление. Он говорит, указ. соч. с. 355: «Пока я ограничиваюсь тем, что выясняю, разрешает или запрещает мне моя способность восприятия определенные представления, и не ставлю себя во всех своих интеллектуальных шагах под принуждение логического мышления, я вполне могу высказать как субъективное положение опыта, что моей способности восприятия не удается реализовать определенные предложения; но я не выразил тем самым чего-то научно обоснованного, чего-то способствующего познанию, „необходимости“». – Правда? Очень хорошо! Мы все находимся «под принуждением логического мышления», об этом не нужно говорить. И обычный геометр, знающий только три пространственных измерения, и метагеометр, говорящий о n-измерениях и неравномерных пространствах, ставят себя под это ограничение; общая математика ставит себя под это ограничение в главе о мнимых и комплексных величинах; разумное существо, воспринимающее только акустически, не имеющее представления о пространстве, также ставит себя под это ограничение. И если, согласно Фолькельту, то, что мой орган восприятия не может представить себе противоположность геометрической аксиомы, является лишь «субъективным предложением опыта», то пила противоречия, т.е. единство того, что мой орган мышления не может утверждать одно и то же и в то же время отрицать это, также является лишь «субъективным предложением опыта»; если эту неудачу нельзя рассматривать как «необходимость», то и эту неудачу нельзя рассматривать как «необходимость». Если бы Фолькельт был прав, то он показал бы отсутствие логической необходимости наряду с интуитивной и всякой другой необходимостью.

Об этом еще предстоит подумать! Но истина заключается в следующем: Как и Principium Contradictionis, принципы нашего представления о пространстве, т.е. аксиомы евклидовой геометрии, сначала являются психологическими законами природы; но, как и Principium, они затем возводятся в ранг нормальных законов, или, точнее, признаются авторитетом, превосходящим индивидуальное воображение. Вот почему метагеометрия возможна только in abstracto, а не in concrvto; вот почему в чисто понятийной сфере аналитической теории величин можно так высоко взлететь над особыми барьерами евклидовой пространственной формы, а в интуитивной сфере живописного воображения – раз и навсегда увязнуть в непроницаемых визуальных рамках известных трех измерений; и рядом с логическим непоколебимо стоит необходимость визуализации. Кстати, у начинания Фолькельта есть интересный аналог. В «Логических исследованиях» (Iserlohn, 1877), работе, не лишенной метких отдельных замечаний, Ф. А. Ланге предпринял последовательно реализованную, но в корне ошибочную попытку проследить убедительную силу логических законов на основе пространственных представлений. По его мнению, все законы логики, начиная с фундаментального принципа противоречия и далее, обязаны своей аподиктической определенностью и убедительностью определенным пространственным образам, например, известным схематическим кругам, которые используются для графического изображения и иллюстрации пропорций понятий; истины логики должны демонстрироваться ими, как и истины геометрии. Ланге говорит, l.c. p. 74-: «Наглядное представление отношений понятий в пространственных образах» составляет фактическую основу всей логической техники». Далее, с. 29: «Из пространственного образа любого рода мы видим, что я не могу утверждать и отрицать одно и то же об одном и том же объекте». Ответ: О нет! Мы этого вовсе не видим, мы это знаем. Мы не видим этого по той самой причине, что «да» и «нет» невидимы! Далее, l.c. p. 48: «Итак, мы снова видим, как пространственный взгляд на логику устанавливает априорность и необходимость, как и в геометрии». Ответ: Что же тогда с логикой Лоры Бриджмен?18

– Нет! Попытка не просто символически проиллюстрировать нормативную универсальность kriuvipium 6outraäiotiouis и его логических потомков с помощью пространственных схем, а доказать, продемонстрировать ее, в корне неверна хотя бы потому, что – несмотря на фиксированный, неизменный характер геометрических пространственных отношений как таковых – наши суждения об этих предельных отношениях и наши знания о них, как и наши суждения и знания о чем-либо другом, уже при фиксированном, неизменном характере геометрических пространственных отношений являются, по сути, ложными, Неизменный характер геометрических пространственных отношений как таковых – наши суждения об этих предельных отношениях и наше знание о них, как и суждения и знание о и о чем-либо другом, – уже находятся под верховенством этих логических норм и только ими легитимированы. Итак, если Ланге хочет признать только интуитивную необходимость, а Фолькельт – только логическую, то оба одинаково ошибаются. Со стороны Фолькельта остается возможным возражение, что наше отделение логической необходимости от геометрической может быть осуществлено только в том случае, если геометрические понятия будут лишены своего содержания и низведены до бессмысленных слов. Поэтому можно сказать: «Как только кто-либо узнает, что вообще следует понимать под словами „точка“, „прямая“, „перпендикулярная“, то утверждение, что в одной точке „могут“ быть перпендикулярны друг другу более трех прямых, будет для него логически противоречивым, поскольку это утверждение одновременно утверждает и одновременно отрицает то, что следует понимать под указанными словами». Ответ: очень хорошо! Итак, если кто-то не признает аксиому, противоположную приведенному утверждению, необходимой, а ее противоположность считает мыслимой, то из этого следует одно из двух: либо у него отсутствует разум, способность рассуждать логически, либо у него отсутствует наше неизменное представление о пространстве, которое строго характеризуется евклидовыми аксиомами и заменяется в его случае другой формой представления, несоизмеримой с нашей. В последнем случае он объявил бы невозможное для нас возможным, поскольку в соответствии со своей ментальной конституцией он теми же словами мыслил бы нечто отличное от нас. В этом случае существовал бы один из этих двух случаев. Но если теперь данный цуйаам мог бы другими мыслительными операциями, например, правильной арифметикой, недвусмысленно показать, что в нем нет первого недостатка; тогда стало бы ясно, что это должен быть второй недостаток, заставляющий его признавать возможным то, что невозможно для нас, и отрицать истину, которая для нас необходима. Приведенный выше пример разумного существа, воспринимающего только акустически, относится именно к этому случаю. Таким образом, приведенное выше возражение скорее служит доказательством в пользу нашей доктрины: геометрическая необходимость пространства отнюдь не тождественна логической необходимости мысли, а основана на законе восприятия, который «специфически отличен от» оснований чистой логики. III.

Сожалея о том, что в предыдущем разделе из полемических соображений пришлось долго излагать то, о чем я уже говорил в других разделах в сжатом виде, я возвращаюсь к основному ходу мысли и как можно прямее веду ее к цели. До сих пор мы рассматривали разницу между реальной возможностью и необходимостью, с одной стороны, и интеллектуальной возможностью и необходимостью, с другой, как очень резкую, непроходимую пропасть. По ту сторону – экзистенциальная возможность, невозможность существования или экзистенциальная необходимость вещей и событий; по эту – реализуемость, неполнота или необходимость реализации одних только мыслей; между ними – великая пропасть, отделяющая сферу субъективных понятийных образований и умственных актов от сферы объективных фактов. Такова была наша прежняя концепция, и мы, таким образом, без лишних слов встали на точку зрения эмпиризма, для которого отношение между субъектом и объектом, Я и не-Я, понятием и объектом, мыслью и фактом есть не что иное, как просто данное, эмпирически существующее фактическое отношение. Однако этого недостаточно; при всем уважении к весомым свидетельствам незапятнанного опыта и столь же пренебрежительном отношении к воздушным спекуляциям, основательный мыслитель не может окончательно остановиться на этой точке зрения. Скорее, даже без трансцендентных метафизических вожделений, следует признать, что эмпирическое противопоставление субъективного поля мысли и объективного поля факта, хотя и является изначальным феноменом, не может быть принято в качестве конечной основы деятельности, поскольку объективное оказывается под влиянием субъективного в ряде аспектов, как психологических, так и эпистемологических, оказывается специфически сформированным и несет на себе отпечаток нашей субъективности. В психологическом плане, безусловно, граница между реальностью и видимостью, между реальным объектом и обманчивой иллюзией определяется только нашими собственными суждениями, и поэтому мир, который якобы так чужд и хрупок для нас, является лишь

и хрупкий мир фактов следует рассматривать как опосредованный продукт субъективной мыслительной деятельности. С точки зрения эпистемологии не только соблазнительно очевидные аналогии, но и конкретные опыты и эксперименты заставляют нас убедиться в том, что эмпирическое конституирование объективного мира зависит от конкретной психической конституции субъекта, изменяется вместе с ней и находится с ней в функциональной зависимости. Иному существу дается иной эмпирический мир, чем нам. Обратитесь к психологии. Реальным для меня и для любого другого человека является только то, реальность чего утверждается мной или им самим. Но утверждаем ли мы реальность чего-либо, можем ли мы это утверждать, как известно, зависит не только от характера данного перцептивного содержания, но прежде всего от субъективно-интеллектуальной утверждаемости, для которой, как было убедительно установлено, существуют общезначимые правила. Для того чтобы быть эмпирически реальным для нас, нечто должно быть прежде всего видимым для нас, т.е. соответствовать законам нашего восприятия. То, что несовместимо с этими законами, например, тело, протяженное в четырех измерениях, или одновременное нахождение одного и того же тела в разных точках пространства, или одновременность разнесенных во времени стадий одного и того же процесса, может, по крайней мере, рассматриваться как метафизическая возможность для трансцендентального умозрения или мистического восторга, но никогда не обладает эмпирической реальностью. Это категорически отрицается неопровержимыми аксиомами нашей геометрии и хронометрии. Но даже если нечто удовлетворяет этим аксиомам и поэтому может быть наблюдаемо, оно еще не удовлетворяет всем условиям эмпирической реальности.

Ценз логики еще нужно пройти. Только если признание реальности рассматриваемого явления не противоречит уже реализованному признанию реальности другого явления, только тогда оно для нас реализуемо. Согласно kriuoixium 6ontra- äiotioois, по основным правилам теории пространства и времени, которые уже есть в обыденном сознании, каждый определяет границу между иллюзией и реальностью. Именно по этим законам иллюзии галлюцинатор, сохранивший благоразумие, отличает свои видения и голоса, равноценные или даже превосходящие по интенсивности реальность, от реальных вещей. Достаточно прочесть тщательные отчеты и правдивые признания Николая, Груйтуйзена и других о своих призрачных явлениях, чтобы ясно увидеть, как рассудительный субъект критически оценивает свои собственные чувственные восприятия и конструирует свой объективный мир, свою оеуеуа сснсибилии, только утверждая или отрицая их реальность, в соответствии с правилами логики и математики. Сюда же относятся и противоположные случаи. Если энтузиаст, восторженный человек, даже если обычный, здоровый, лишь отчасти суеверный человек воспринимает вне себя днем или ночью, при свете или в темноте всевозможные призрачные фигуры и голоса, всевозможные авантюрные мерцания и звуки, то эти фантомы действительно существуют; Разница между ним и нами состоит лишь в том, что мы по определенным причинам отказываем таким фактически существующим явлениям в реальности, которую он признает по минутному или общему незнанию этих причин. Это и есть психологическое влияние субъекта на объект. Оно проявляется в еще больших масштабах, если учесть, что концепция мира, разработанная Коперником и Кеплером, исключила наше непосредственное чувственное восприятие мира по правилам логики и геометрии и выбила его из колеи. Однако гораздо более важным для данной темы является эпистемологическая зависимость объективного от субъективного. Можно сомневаться в том, насколько весь наш воображаемый мир человека, и в особенности тот его участок, который мы признаем эмпирически реальным, совпадает с абсолютно реальным; можно даже допустить в качестве допустимой гипотезы экстравагантскую доктрину субъективного идеализма, согласно которой сущность телесного мира якобы без остатка совпадает с его percipi; – В любом случае фактический характер эмпирико-реальной картины мира будет обусловлен или, по крайней мере, частично обусловлен правовыми функциями и ограничениями нашего человеческого воображения, подобно тому как мир изображений в камере-обскуре обусловлен типовыми функциями и ограничениями этого оптического прибора. Существует некое домицилированное право нашего интеллекта; доступная нам эмпирическая природа должна соответствовать ему, если она вообще хочет быть нам доступной. Не заблуждайтесь! Не надо приплетать сюда метафизические представления о реальной основе субъективного сознания! Ведь для понимания того, что объективный мир несет на себе законную печать нашей субъективности, совершенно неважно, рассматривать ли сознание индивида как «суммарный феномен» и продукт в материалистическом ключе или как первичную сущность и производитель в идеалистическом ключе. Как бы там ни было с известной «спонтанностью» – неважно! То, что должно нам явиться, должно подчиняться тем законам, которыми определяется и ограничивается для нас способность явиться. Для дальтоника один и тот же пейзаж должен выглядеть как гравюра на медной пластине, которая нам кажется цветной; для быстро живущего интеллекта эфемерона один и тот же промежуток времени должен растянуться на часы, которые для нас пролетают как едва уловимое мгновение. Достаточно эмпирической природы, вместе с общими и индивидуальными иллюзиями, которыми она то и дело вуалируется и искажается, обычной, гэоцентрической сенсорной картины Вселенной и интеллектуально очищенной, коперниканско-кеплеровской картины мира, чтобы вписаться в рамки, которые выстраивает природа человеческого интеллекта, и каждое изменение в характере субъективного интеллекта функционально влечет за собой точно соответствующее изменение в характере объективного мира.

Из этих соображений теперь и вытекает: Естественная закономерность, господствующая в нашем эмпиризме и в нашей эмпирической вселенной, реальная необходимость которой, если исходить из строгой универсальности каузального принципа, мы считаем, что каждое следствие связано с каждой причиной в мире, – она ни в коем случае не может стоять независимо от законов нашего интеллекта; но возможно ли и необходимо ли нечто в данном нам мире, во всяком случае, в определенной степени зависит от того, оказывается ли оно интеллектуально возможным и необходимым. Что же это за степень? Основные материалы для ответа на этот глубоко важный последний вопрос находятся в нашем распоряжении. Давайте же их сформулируем!

Если расположить области знания, имеющие характер аподиктической определенности и интеллектуальной необходимости, в порядке, соответствующем их большей или меньшей общности, и продолжить начатую здесь линию рассуждений до области наук о действительной необходимости, получим вот что.

Схематическая классификация дедуктивных наук. A. Науки чистой дедукции. I. Логика. – Она занимает высшее место как в объективном, так и в субъективном отношении. Объективно – потому, что, будучи носителем высших условий истинности всякого суждения и определителем аподиктических законов всякого мышления, она господствует в самой широкой сфере, а именно в сфере, охватывающей все мыслимые возможности. В субъективном плане это объясняется тем, что она абсолютно убедительна для всех разумных существ, как бы они ни были устроены. Она целиком основана на принципе противоречия, этом «высшем и наиболее определенном из всех принципов» (Аристотель). Как только определены умственные акты суждения, умозаключения и вывода, система логических правил мышления становится результатом применения этого высшего принципа к этим умственным актам. II Общая математика или чистая теория величин. – Она стоит на втором месте и является особым приложением логики, ибо она есть не что иное, как логика величин или количества. Логическое мышление возможно и без учета количественных характеристик, поскольку мышление сводится к оценке равенства или различия только качественных характеристик. Поэтому общая математика представляет собой самостоятельно разработанную специальную ветвь логики. Как только вводится общее понятие величины, которое, будучи резко определенным, должно включать в себя понятия единства и числа, из применения к понятию величины как частному случаю теоремы Воутраяивтиуио вытекает аксиома об опосредованном тождестве величин. Эта теорема, относящаяся только к количественному тождеству и различию, равенству и неравенству, имеет отношение к чистой теории величин, так же как теорема о противоречии, относящаяся вообще ко всякому, а не только к количественному тождеству и различию, имеет отношение к логике в целом. Арифметические операции сложения, вычитания, умножения, деления, экспонирования, извлечения корня и т. д. представляют собой более простые и более сложные способы задания, аннулирования, соединения и разделения. Вся система общих математических законов вытекает из применения теоремы об опосредованном тождестве величин к этим арифметическим операциям, требующим специального объяснения. Алгоритм сам по себе является несущественным, внешним, условным делом. B. Науки об интуитивных следованиях. По форме своих суждений и методическому ходу своих выводов они, естественно, подчиняются чисто умственным потребностям логики, а также, поскольку они имеют дело с определенными видами величин, более специальным умственным потребностям общей математики. Однако при этом в действие вступают и некоторые необходимости, присущие тем видам величин, с которыми они имеют дело, аподиктическая определенность которых уже не может быть сведена к чистой логической необходимости. В этой области геометрия и хронометрия стоят в третьем ряду, согласованно друг с другом. IIIa. Геометрия. – Она находится в отношениях зависимости и подчинения к двум предшествующим наукам в той мере, в какой высшие законы логики и чистой теории величин должны быть ею лемматически приняты и признаны абсолютно авторитетными. В этом отношении она может быть определена как математика пространственных величин или количественная логика пространства. Но такое объяснение не было бы исчерпывающим. Конечно, пространственные величины являются разновидностью экстенсивных величин, подвидом величин iu xsuero, и в силу этого отношения подчиненности они, естественно, подчинены чистым законам величин общей математики. Однако евклидова природа данного нам пространства, т.е. его единственная трехмерная протяженность и плоскостность, не может быть выведена из этих высших законов как необходимое следствие, вытекающее из возможности метагеометрической науки о невидимых для нас видах пространства. Геометрия вводит нечто новое через синтетические аксиомы и определения, а именно: фиксированный, по неизвестным причинам неизменный евклидовский характер нашего представления о крае. Без существования этой новизны, через простое применение аксиомы опосредованного тождества величин к пространственно обширным объектам, не могут быть выведены специфические интуитивные необходимости геометрии. III b. Хронометрия. – Она относится ко времени так же, как геометрия относится к пространству. В ее аксиомах единство, непрерывность, бесконечная делимость, однородность времени, а также преемственность его частей вводятся как нечто «новое, ни логически, ни алгебраически, ни геометрически не выводимое, но интуитивно необходимое». Из-за единственной линейной протяженности временного континуума она ограничивается очень немногими независимыми предложениями и выглядит очень бедно рядом с геометрией. Неизбежность, с которой пространственные символы накладываются на временные отношения, также может вызвать сомнения в их независимости. Тем не менее, время представляет собой фундаментальное понятие, столь же оригинальное, как и пространство, поэтому хронометрия может быть только согласована с геометрией, а не подчинена ей. IV. Форономия. – Она возникает из сочетания геометрических и хронометрических законов как аподиктическая наука об общих и необходимых законах чистого движения. Из неизменной природы нашей формы пространства и времени с интуитивной и логической необходимостью вытекают определенные неизменные отношения между скоростью, ускорением, расстоянием пространства и промежутком времени, и вообще между математическими предикатами различных видов движения. Задача форономии – развить их в методическом порядке. Галилей – основатель форономии, как Евклид – основатель геометрии, а Аристотель – основатель логики. Соответствующие исследования можно найти в эпохальном труде Галилея «Discorsi e Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove Scienze» (1638), в третьей и четвертой частях (giornata terza и giornata quarta).19 Там Галилей, явно осознавая новаторское значение своих мыслей, рассуждает о природных процессах падения и бросания. Но для интеллектуального освоения этих эмпирически данных природных процессов он дает в качестве введения систему определений, аксиом, теорем, задач, короллариев и перегородок, построенную по наглядному методу, в которой устанавливается ряд математических предложений о природе чистого движения, аподиктически определенных, подобно предложениям геометрии. Они обладают независимой истинностью и необходимой обоснованностью совершенно независимо от эмпирических процессов природы; они стояли бы так же прочно, сохраняли бы свою истинность и обоснованность, даже если бы соответствующие им эмпирические процессы вообще не наблюдались. Галилей прояснил для себя эти аподиктические законы движения как таковые, установил их необходимость независимо от эксперимента и только после этого набросил на эмпирические процессы и опытные факты их систему как математическую сеть; в ячейках этой сети кон-кретные процессы остаются в подвешенном состоянии.