Система философии. Том 1. Логика чистого познания

Как будто это ирония над бесконечным, которое до сих пор, как Ens realissimum, делалось основанием конечного. Не то бесконечное метафизико-теологической спекуляции, а бесконечно малое должно отныне признаваться архимедовой точкой. Оно должно стать центральным пунктом всей математики. «Правила конечного удаются в бесконечно малом; и правила бесконечно малого удаются в конечном». Он обозначает новое понятие через dx. Это dx есть происхождение x, с которым имеет дело анализ, и которое является представителем конечного. Следовательно, и это определение овладевает суждением происхождения, чтобы определить бесконечно малое. И таким образом, инфинитезимальное, так же как и флюксия, есть великий пример фундаментального значения суждения происхождения.

Но и у Лейбница изобретение отнюдь не в последнем основании было определено одной лишь математикой; проблемы механики также у него сыграли свою роль. Однако более глубокая директива лежала во всей его философии. Закон непрерывности, как автор которого он с предпочтением себя обозначает, он продумал при этом изобретении. Мы уже знаем, что непрерывность есть старая мысль. Но она до сих пор оставалась отнесённой к конечному во всех своих научных формах. Только теперь старая догадка становится серьёзной истиной. Теперь она не должна больше означать связь конечного, которая собственно могла бы опираться разве что на геометрическое созерцание вообще, тогда как у чисел иррациональность делает непреодолимое возражение. Теперь непрерывность должна принципиально отвергать созерцание и тем не менее и именно благодаря этому вступать в действие.

Речь больше не идёт о протяжённости; инфинитезимальное предшествует протяжённости и лежит в её основе: Imo extensione prius, так обозначает Лейбниц бесконечно малое. Следовательно, оно основано только в чистом мышлении и в силу этого способно образовывать основание конечного. Происхождение, таким образом, есть основание; суждение, а не ощущение и не созерцание.

Можно, однако, возразить, что инфинитезимальное в обоих своих определениях есть в действительности пример, но именно только пример суждения происхождения: как же оно может означать новый вид суждения? Вопрос не умолкает, а, напротив, становится ещё острее, если мы обратим внимание на значение, которое должен представлять новый вид суждения: реальность. Мы вспоминаем примеры суждения происхождения. Не означает ли не-сущее также нечто вроде реальности? И точно так же атом? Почему же тогда не принимать инфинитезимальное просто как пример; почему делать его особым видом суждения, если оно всё же должно означать только реальность, которую происхождение, кажется, повсюду представляет?

Ответ должен сказать больше, чем устранение выдвинутого возражения. Возражение основывается на недостаточной оценке математики и её принципиальных методов. Конечно, она имеет родство с общими направлениями мышления; иначе не существовало бы необходимой связи между ней и тем мышлением, которое мы могли обозначить под рубрикой качества. Но общая ценность мышления разменивается на особые ценности. Так, качество должно вести к количеству. Математика, с другой стороны, не имела бы выдающегося методического значения для познания, если бы понятия, которые она выводит из суждений качества, через свои методы и направление своих проблем не приобретали собственной выразительности и самостоятельного значения. Так происходит, что благодаря математической обработке общая мысль получает силу, определённость и дальность действия, которые освещают общую мысль назад; но едва ли сомнительно, что самостоятельно от неё этот свет первоначально не исходил бы. Это относится и к происхождению. Конечно, этим возражение ещё не полностью снимается. Лучшая иллюстрация происхождения через инфинитезимальное ещё не даёт права устанавливать его как особый вид суждения. Реальность, скорее, раскрывает новое значение в инфинитезимальном; новое значение самой себя.

Как многочисленны всё же имена, которыми в языке философской спекуляции обозначается проблема бытия. О субстанции мы уже много говорили. С её авторитетом соперничает действительное, или реальное. Но так же мало, как истина не одно и то же с действительностью, так же мало и реальность. Кто считает действительность за недоказуемое и аксиоматически истинное и выдаёт её, тот с самого начала ставит себя вне логики; ибо он заранее объявляет ощущение законным источником познания, взгляд, который со времён Гераклита нуждается в оправдании; для проверки и исправления которого логика, можно сказать, изобретена.

Следовательно, действительность не должна отождествляться с реальностью; ибо действительность есть инстанция ощущения. И отказ от ощущения есть предпосылка при реальности бесконечно малого. Однако и бытие субстанции теперь только мешает, потому что для субстанции встают предпосылки, которые здесь ещё не должны быть затронуты.

Это трудность, но и прелесть в систематическом выведении отдельных видов суждения; и не только прелесть, а скорее методическая ценность, которая заключается в прояснении отдельных мотивов. Субстанция принимает во внимание движение. И бесконечно малое обязано этим вниманием своему открытию. Но тем не менее оно должно быть определено в отличие от субстанции в свойственной ему деятельности; ибо эта деятельность методически предшествует проблеме движения и, следовательно, субстанции; и она получает внутри себя замкнутую методическую обработку, в которой состоит самостоятельность инфинитезимального анализа. Этой самостоятельности инфинитезимального метода должна соответствовать собственная разновидность суждения, которую мы обозначаем как суждение реальности. Что означает суждение реальности в методе исчисления бесконечно малых?

Из истории открытия исчисления бесконечно малых можно увидеть, в чём состоит новое значение, для которого искалось новое понятие. Три вида проблем привели к этому открытию: проблема касательной в геометрии, проблема ряда в алгебре и проблема скорости и ускорения в динамике. В этих трёх исторических мотивах это прежде всего проблема происхождения, которая требовала удовлетворения. Но направление, в котором это удовлетворение было осуществлено, превратило, точнее, уточнило мотив происхождения в мотив реальности.

В касательной, начиная с побуждения Кеплера, точка должна была быть определена как одновременно порождающая точка кривой. Это порождающее значение относится к понятию направления. Но направление обусловлено точкой, в которой оно заключается. Только точка может быть общей для касательной и кривой. Это порождающее значение точки, в котором заключается значение направления, несовместимо с античным определением, согласно которому точка есть граница линии. Теперь точка означает нечто иное, нечто более положительное. Она больше не только конец, а скорее начало линии. И она означает начало, которое не является ни произвольным, ни случайным, которое, возможно, только ещё определяется продолжением; но это начало, скорее это происхождение кривой, содержит в себе закон своего направления.

Кривая порождается из касательной, из точки, которая у неё общая с касательной. И это порождение относится не к однократному происхождению; но во всём продолжении кривая есть совокупность таких порождающих её точек касательной. Следовательно, эта точка есть больше, чем просто происхождение, которое могло бы казаться достаточным на один раз. Важно в кривой для всего её течения как бы изолировать порождающую точку и мыслить её как некий абсолютный пункт. Эту абсолютность точки, поскольку в ней заключается направление, и порождение кривой непрерывно исходит от неё, мы обозначаем как реальность.

Мы увидим позже, что то же самое относится и к ряду, поскольку общий член его способен представлять закон ряда. И точно так же нам ещё предстоит рассмотреть, как в понятиях скорости и ускорения требование такого, как бы абсолютного, пункта не может быть обойдено, потому что только через него движение как реальное окончательно отличается от субъективного течения представлений. Конечно, эта точка, представляющая ускорение, есть последнее основание движения; но она сама поэтому должна быть стабилизирована как твёрдый пункт. Конечно, она находится в отношении к форме движения, которая исходит от неё; но для каждой из этих форм она имеет значение как абсолютная. Таким образом, она представляет бытие в становлении; скорее, бытие для становления. Но это бытие не есть субстанция.

Эту субстанцию мы позже узнаем преимущественно как постоянство. Но здесь речь ещё не идёт о постоянстве, и не может идти. Ибо сначала должно быть порождено нечто, что способно принять на себя постоянство и нести его в себе. Это нечто, как здесь яснее видно, не только происхождение, хотя, конечно, оно должно быть и этим; но оно становится поручителем движения, чтобы оно не стало видимостью. Вообще утверждается реальность движения, как она обоснована законами падения Галилея. Но они имеют своё основание в понятии ускорения. Ускорение же требует той точки, того единства, которое освещено как твёрдое, как абсолютное. Поэтому в этом нечто лежит основание реальности; потому мы определяем это единство как реальность.

Если мы вернёмся к конечному числу, то можно понять, что девиз Пифагора не был понят в своём научном значении. Число есть бытие: не решались принимать это всерьёз. Ведь число есть нечто совершенно субъективное, применение чего к вещам пытаются осуществить с успехом, но на обширных областях должны отказываться от надежды на такое. Эти области отнюдь не только отдалённые, завоёванные математическим исследованием; уже простейшая дробь представляет такую абстракцию. Греки, которые в своей арифметике исходили из единицы, не хотели признавать дробь как такую единицу и, следовательно, как число. Иррациональное число тем более не могло быть признано. И не иначе обстояло дело ещё долго с мнимым числом у самого Коши, который имеет такие большие заслуги в законах его. Делали различие между ним и действительным числом. Даже отрицательное число долгое время не обходилось без трудностей. И на нём слишком явно держался отпечаток субъективного.

Как будто положительное число оттого объективнее и реальнее, что оно удобнее и естественнее приспосабливается к рассмотрению вещей. Но разве оно не остаётся всё же только средством приспособления и сравнения для вещей, которые существуют без него и обеспечены? Не заключается ли, напротив, единственно в этом объективность понятия, что оно есть самостоятельное средство обеспечения и порождения, в котором последнее состоит, для предмета, то есть что оно есть познание? Если бы число было только практическим средством для сравнения вещей, то ему действительно нельзя было бы приписать объективность. Но инфинитезимальное число противоречит иллюзии этого исключительного значения числа. Оно никоим образом не может быть отнесено к вещи. Вещь нельзя сосчитать как бесконечно малую. Для сравнения, следовательно, бесконечно малое нельзя использовать. Но именно здесь, где с точки зрения обычного взгляда на субъективное кажется достигнутой вершина нелепости, где всякое сравнение прекращается, и поэтому всякий масштаб сравнения кажется бесполезным, именно здесь число достигло подлинной объективности. Оно есть то, что мы определяем как реальность.

Прежде всего может возникнуть возражение: не является ли в принципе ошибочным лишать число характера субъективности? Может показаться, что этим методом руководит бессознательная мистика; или же что он представляет собой лишь утончённую версию грубого предрассудка эмпиризма, который во всех понятиях ищет воплощений. Почему бы не удовлетвориться тем, что бесконечно малое – это исключительно и всецело технический приём математики, которым в равной мере могут овладеть как метод пределов, так и метод бесконечно малых? Какая логическая необходимость мотивирует стремление превратить бесконечно малое во что-то большее и вообще в нечто иное, чем то, чем является конечное число, – а тем более в реальность? Какое отношение бесконечно малое имеет к реальности большее, чем конечное число? Может ли оно само по себе что-то совершить, или же, напротив, не нуждается в связи с конечными числами, чтобы описывать движения, которым приписывается реальность? Как же тогда можно выделять его как реальность само по себе и в отличие от конечного числа?

Мы ответим на эти вопросы встречным вопросом. Он может быть связан с формой вышеуказанного возражения, которое касалось логической значимости этого замысла. Разве не может быть вообще логической значимости в том, чтобы выделить один вид суждения как суждение о реальности? Должна ли реальность быть отнесена к субстанции? Но мы уже заранее отметили, что субстанция скорее означает постоянство. Однако последнее уже предполагает нечто, на чём или в чём это постоянство может удерживаться. Или, быть может, проблему реальности следует отдать на откуп непосредственной вере в действительность ощущения? Должны ли мы быть обречены считать мнимую очевидность ощущения последним прибежищем чистого мышления? Видно, что судьба логики как логики чистого познания зависит от того, удастся ли обосновать реальность в рамках самой логики.

Если же это так, если реальность означает собственное требование и направление чистого мышления, то лишь продолжением эмпиристского предрассудка, который всегда порицал фундаментальные числовые образования, было бы наше непонимание принципа бесконечно малого как принципа реальности. Нам предстоит точнее показать, как законы природы, в которых определяется реальность природы, не просто используют эти символы как удобные знаки, но как они в самом понятии, в принципе бесконечно малого имеют свою собственную почву, которую не могут покинуть. Нет иного способа формулировать законы природы – нет, не только формулировать, но и обосновывать их, закладывать для них основание, кроме того, что обеспечено в бесконечно малом.

Если бы мы, подобно древним, оставались ограничены конечными числами, математическое естествознание не смогло бы возникнуть; движение не могло бы быть определено как природный процесс, как нечто реальное. На конечном, в том числе на числе, неизгладимо лежит отпечаток искусственности субъективного мышления, которое вынуждено ориентироваться на ощущение. Бесконечно малое освобождает от этой опоры, от этого ложного угла зрения. Единицы, которые оно осмеливается считать, нельзя вычитать из ощущения и нельзя собирать вместе с ощущением. Они порождены из источника мышления как бытия. И они должны, исходя из этого источника, означать само сущее.

Однако это значение бытия не присуще источнику как таковому. Суждение об источнике лишь утверждает, что чистое мышление должно начинаться с источника, поскольку оно есть мышление познания, то есть бытия. Теперь же мы видим, как на основе источника бытие приходит к определению как реальность. Бесконечно малое представляет его. Только бесконечно малое способно на это. И бесконечно малое может полностью выразить его. Нет иного средства, и не нужно искать иного средства. Лишь сенсуалистское недоразумение относительно бесконечно малого заставляет требовать другого средства реальности; лишь обладая исчислением бесконечно малых, можно упустить средство реальности. Как бы ни нуждалось это исчисление в улучшениях, прогресс в истории анализа осуществляет их; но основная идея, из которой произошло открытие, должна оставаться руководящей: что конечное должно иметь свой источник в бесконечном.

Как бы ни казалось предпочтительным в частных вопросах математического исследования отдавать преимущество методу пределов, всегда следует помнить, что он является лишь продолжением метода исчерпания древних и что последний должен был быть преодолён, чтобы новый метод мог быть открыт. Метод пределов, возможно, крайне полезен и необходим для проверки вычислений; но открытие метода заключалось не в нём, а в его противоположности, в противостоянии ему. Это противостояние состоит в утверждении и закреплении того, что в конечном счёте не может быть определено и тем не менее, именно поэтому, может представлять основание конечного. Это – новая мысль. И в ней математика и естествознание примиряются. Ибо реальное, которое ищет естествознание во всех своих определениях, математика ему даёт. Поэтому понятие, в котором осуществляется это дарование, может быть названо реальностью.

Мы уже не раз затрагивали связь и различие между реальностью и постоянством и видели, что постоянство, каково бы ни было его собственное значение, во всяком случае предполагает реальность. Но мы также заранее отметили, что постоянство предполагается для движения. Следовательно, постоянство содержит в себе отсылку к другому, без которого оно само лишено смысла. В противоположность этому реальность, если представлять её по образцу постоянства, означала бы постоянство само по себе. Конечно, dx соотносится с x; но для dx важно это значение реальности: что оно означает сущее, более того – само сущее, даже если бы x не существовало; или точнее, что dx означает сущее, чтобы x и поскольку x может быть возведён в его значение. Поэтому реальность – не просто коррелятивное предположение; она есть самостоятельное средство определять сущее как таковое. И лишь эмпиристский предрассудок, для которого x изначально дано, допускает dx разве что как понятие отношения к нему. Таким образом, реальность первичнее постоянства.

Соответственно, реальность отличается и от непрерывности. Непрерывность как закон мышления означает связь нечто с ничто как его источником. Как математическое понятие, бесконечно малое должно прежде всего соответствовать качеству мышления, закону мышления; но со своей стороны, а именно как исходное понятие количества, оно должно подтверждать принцип источника. Однако это не его собственная заслуга. Здесь бесконечно малое – лишь пример суждения об источнике. Следовательно, и непрерывность здесь означает нечто иное, если вообще имеет здесь значение. Она должна означать нечто иное, ибо здесь речь идёт не о специализации закона мышления, который относится скорее к качеству, а в лучшем случае лишь о подтверждении такового, что, однако, является всеобщим предположением. Но если Лейбниц открыл и утвердил в бесконечно малом закон непрерывности, который сохранился как руководящий принцип во всей этой области, то это значение должно быть отличным от значения закона мышления и связанным с основным понятием математики.

Как закон мышления, непрерывность для бесконечно малого означала бы связь x с его dx. Но для реальности x не стоит на первом плане. Поэтому непрерывность означает здесь связь dx, связь бесконечно малых элементов. Нет нужды опираться на другой, сомнительный вид связи; требуется лишь эта глубочайшая и теснейшая. Только она может быть достаточной; только она убедительна; все другие виды связи становятся излишними. Все прочие связи основываются и состоят в сравнениях, которые делают скачки и оставляют пробелы. Непрерывность же бесконечно малых элементов означает непрерывную связь, непрерывность реальности.

Будь то числа, линии или движения – все они предполагают реальность. Они делают это предположение не только для своего начала (тогда реальность была бы лишь примером источника); они делают его также для всякого продвижения в числах, линиях, движениях. Таким образом, реальность ведёт к непрерывности и содержит её в себе. И на этой связи реальностей основывается выведение объекта. Эта непрерывность реальности есть чистое познание, и притом не как закон мышления, а как чистое познание математики.

Мы с самого начала использовали слово «единица» и даже попытались дать предварительное определение этого понятия. Теперь мы подходим к новому значению единицы. В абсолютности и изначальности реальности она, кажется, раскрывается. Уже в греческой спекуляции заметно стремление различать два вида единицы: Единого (ἕν) и монады (μονάς). И возникает вопрос, является ли сама единица числом или только принципом (ἀρχή) числа. Галилей говорит: истинная единица есть бесконечность.

Мы принимаем это слово в том смысле, что истинная единица заключается в бесконечно малом. В ней лежит абсолютность, которую сначала обосновывает источник, а затем осуществляет реальность. Она освобождает от предрассудка, будто вещи в их множественности должны изначально существовать, чтобы потом можно было собрать их в некую «единицу». Такие обратные составления не способны установить истинную единицу. Единица предшествует. Она образует основание, фундамент. Она есть реальность. И только реальность есть единица. Не случайно Лейбниц, открывший бесконечно малое, был одновременно самым решительным защитником единицы. Только единица, по его мнению, порождает и гарантирует истинное бытие. Таким образом, реальность означает для нас истинную единицу.

Соответственно, суждение реальности порождает число как категорию.

Не единица есть категория, а число, которое обретает свой фундамент в единице. Это начало должно быть дополнено. И поскольку это дополнение будет осуществляться в других видах суждения, они также будут участвовать в порождении категории числа. Но здесь – её исток. В источнике математики дан её источник. Это означает, что она есть принцип математики, что она есть познание. В этом значении, как принцип математического естествознания, как познание объекта, мы определяем число как категорию.

Таким образом, число – ни в коем случае не знак, изобретённый для обозначения вещей. Это коренная ошибка средневековой теории знаков, к сожалению, поддержанной даже Гельмгольцем: для неё вещи всегда уже даны, а числа служат лишь для того, чтобы более или менее подходящим образом обозначать вещи, существующие и без них. Число же как категория означает, что его следует признать методическим, незаменимым средством порождения объекта. Таким образом, число, как мы уже видели, лишь для ненаучного эмпиризма есть нечто субъективное, тогда как оно означает фундамент, в котором объект получает свою реальность. Поэтому реальность и число находятся в обусловленной объектом корреляции. В реальности объект имеет своё основание. И эта реальность есть не что иное, как число. Будь она чем-то иным, она не была бы реальностью. Реальный объект как объект математического естествознания имеет свой методический фундамент в математике, то есть в числе. Все прочие предположения, все прочие виды реальности отмечены злом предрассудка. Предрассудок ощущения как подлинного и, возможно, даже единственного источника познания породил их и поддерживает. Поэтому лишь как реальность, лишь как бесконечно малое число число может проявить своё значение как категория.