Сто лет недосказанности: Квантовая механика для всех в 25 эссе

Эйнштейн в одном своем письме отзывался о текущем состоянии дел в квантовой науке так: «Квантовая теория подверглась полной шрёдингеризации, из-за чего имеет много практических успехов». А затем продолжал: «Но это тем не менее не может быть описанием реального процесса. Здесь тайна».

Мы вернемся к уравнению Шрёдингера в главах 9 и 10. Тайна там действительно есть.

4

Что еще из-за вражды

Вражда, отбирающая свойства, в квантовом мире повсюду. Когда электрон на постоянной основе живет в атоме, его энергия там постоянна (и, как мы уже видели, далеко не произвольна). «Математика вражды» говорит, что из-за наличия определенного значения энергии у электрона в атоме не может быть никакого определенного положения в пространстве. Положение в пространстве – свойство, которое к нему там «не прикрепляется». У электронов в атоме, другими словами, просто нет свойства находиться в какой-либо точке пространства. Речь не о том, что они меняют свое положение с течением времени; нет, у них просто нет определенного положения ни в какой момент времени. А что со скоростью? Раз пространственное положение не определено, шанс, как кажется, появляется у его антагониста – скорости. Но со скоростью теперь враждует сама энергия электрона в атоме; она получает эту вражду в наследство от положения в пространстве, и четко определенное значение энергии становится запретом для любого значения скорости. Электронам в атоме не позавидуешь: ни положения, ни скорости, и шансы наглядно ответить на вопрос «Что они там делают?» стремительно тают.

Существование электрона как части атома – чудеса изворотливости в условиях запретов из-за квантовой вражды. Несмотря на «нечеловеческие условия», электрон в атоме все-таки сумел обзавестись в дополнение к определенной энергии еще и кое-каким подобием вращения. «Подобием» вот в каком смысле. Чтобы полностью описать, как вращаются привычные нам вещи (например, шлифовальный диск, велосипедное колесо или камень на веревке), нужно указать направление оси вращения и «степень раскрутки», численно выражающую, насколько трудно это вращение остановить (эта величина уже встречалась нам здесь под своим официальным названием «момент импульса»). Таким образом, чтобы задать вращение, как мы себе его представляем, требуются три величины, т. е. три числа: два задают направление оси, а еще одно – степень раскрутки.

В квантовом мире это невозможно. Электрону, выполняющему что-то вроде вращения в атоме, не удается обзавестись всеми тремя этими величинами. Проблема – в их отношениях между собой: они враждуют и поэтому не могут прикрепиться к электрону одновременно (хотя и не враждуют с энергией). Из-за этого электрон берет себе только две из трех, причем одна – это степень раскрутки. Из-за отпавшей третьей величины теряется идея оси вращения. Можно сказать, что у электрона в атоме есть атрибуты вращения: степень раскрутки и частичная информация об оси вращения, но они не составляют наглядного описания. Мы снова сталкиваемся с непредставимостью происходящего внутри атома – в данном случае с непредставимостью вращения, у которого нет оси. Это аналог, и даже «родственник», запрета на траектории (траектории у электрона в атоме, разумеется, тоже нет).

Но последствия вражды этим не ограничиваются: две величины, оставшиеся в качестве характеристики квантового вращения, могут принимать не какие угодно, а только дискретные значения. В частности, степень раскрутки принимает только значения, которые тоже нумеруются неотрицательными целыми числами. (Это до известной степени аналогично энергии электрона в атоме, но разрешенные значения степени раскрутки математически выражаются через эти числа иначе, чем разрешенные значения энергии выражаются через свой номер в списке.) Нельзя раскрутить «чуть сильнее» или «чуть слабее», а можно только перейти от одной определенной степени раскрутки к другой. Вращение в нашей квантовой вселенной, таким образом, всегда оказывается квантованным, т. е. дискретным по своим характеристикам; в продолжение сказанного в конце главы 2, все возможные степени раскрутки пропорциональны постоянной Планка ħ{12}.

Различные электроны в атоме берут себе различные дискретные порции этого неполноценного вращения, и с ними в атоме и существуют. Наименьшая «степень раскрутки» – нулевая, и про электроны, которым она досталась, можно сказать, что они не вращаются вообще ни в каком смысле; именно таково положение дел в атоме водорода (как бы ни намекала на обратное «планетарная модель атома»; она, как мы помним, неверная). Собственно говоря, если электрон в атоме взял себе первое из списка разрешенных значений энергии, то все его атрибуты вращения с необходимостью нулевые. Для энергии № 2 ситуация чуть более интересная: степень раскрутки может быть или нулевой, или же следующей в списке – отвечающей раскруточному числу 1. Для энергии № 3 имеется уже три возможности для раскруточного числа: 0, 1 или 2; для энергии № 4–0, 1, 2 или 3; и так далее. Каждое следующее значение раскруточного числа добавляет живости сюжету, потому что открывает все больше возможностей для второго атрибута вращения. Он тоже выражается целым числом, а точнее, целым числом, умноженным на постоянную Планка. При нулевой раскрутке оно тоже равно нулю; но при раскрутке 1 для него открываются возможности – ħ, 0, ħ, при раскрутке 2 – возможности –2ħ, –ħ, 0, ħ, 2ħ, и т. д. И это – почти все, что можно рассказать про жизнь электрона в атоме, с одним только важным уточнением, которое мы сделаем в главе 7.

Из-за вражды одних величин с другими мир находится в «напряженном» состоянии. В конструкции атома нет непрерывных параметров: и энергии электронов, и атрибуты вращения, которыми эти электроны обладают, описываются дискретными значениями из некоторых списков. Существовать может только то, что отвечает одному из пунктов списка; не бывает атома, у электронов которого эти величины слегка отличались бы от некоторых предписанных.

Поэтому везде во Вселенной электроны устраиваются в атоме единственным способом, и из-за этого все атомы с одним и тем же числом электронов одинаковы{13}. А число электронов в атоме определяется зарядом атомного ядра, поэтому можно сказать, что одинаковые атомные ядра собирают электроны вокруг себя всегда одним и тем же способом. Если атом теряет свои электроны (что происходит часто, хотя и не слишком часто теряются все до единого), то при последующем воссоединении с электронами атом оказывается неотличим от исходного. Этим, собственно говоря, и определяется смысл понятия «химический элемент»: элементы остаются самими собой, несмотря на легкомысленное отношение к своим электронам в химических реакциях. (Ничего подобного не имеет места для планетных систем: сверхцивилизация, пожелавшая отодвинуть Меркурий от Солнца на миллион-другой километров, не встретила бы никаких запретов со стороны законов природы.)

То же верно, по практически тем же самым причинам, и для простых молекул. Все молекулы воды не «примерно похожи», а одинаковы: условия сборки при непрекращающейся вражде включают настолько жесткие требования, что собрать их удается единственным образом. Это снова принципиально отличается от того, как собраны большие вещи вокруг нас: для производства чего-то в высокой степени одинакового нужны специальные усилия (точные станки и дисциплина персонала, например); в квантовом же мире сборка, отклоняющаяся от «технического задания», просто невозможна{14}.

Атомы, как мы говорили, могут сообщать о себе – о конкретных деталях своей внутренней дискретности – «световой подписью», т. е. длинами волн, которые они способны излучать и поглощать; на жаргоне их называют спектром атома. Похожим, хотя и более сложным образом обстоит дело и с молекулами. Среди прочего атомы, входящие в молекулу, могут находиться в некотором подобии колебаний относительно друг друга – «подобии», потому что и здесь квантовые законы изгоняют наглядность, а заодно навязывают квантовым колебаниям дискретность{15}.

Вообще-то квантовые колебания интересны далеко не только потому, что их хорошо исполняют молекулы, особенно двухатомные. Квантовые колебания – это очень общее явление, возникающее в самых разных ситуациях, вплоть до квантовых полей, к которым мы еще вернемся. Сейчас же, чтобы не забегать так сильно вперед, потренируемся как раз на двухатомных молекулах{16}. Взаимодействие между атомами, которые их составляют, имеет свойство упругости, похожее на работу пружины: при излишнем сближении возникает отталкивание, а при излишнем (но не разрушающем молекулу) удалении – притяжение. Поэтому от таких молекул можно ожидать поведения, роднящего их с парой тел, которые соединены пружиной. Однако двухатомная молекула – это не два соединенных пружиной тела, потому что на сцене снова вражда!

Фундаментальная вражда между положением и скоростью приводит к тому, что в данном случае враждуют расстояние между атомами и скорость их сближения или удаления, что, конечно, делает наглядное представление таких «колебаний» затруднительным (к чему, надо надеяться, мы начинаем привыкать). А в качестве прямого математического следствия из этой вражды энергия таких «непредставимых» колебаний может принимать только дискретные значения. Энергетические ступеньки устроены в данном случае максимально просто: в отличие от энергетических ступенек для электрона в атоме, они отстоят друг от друга на одну и ту же величину. Этот шаг между ступеньками – свой собственный для каждой системы, которая совершает квантовые колебания{17}.

У квантовых колебаний есть еще одна особенность: их нельзя «полностью остановить». Если принять все меры для того, чтобы «затормозить» систему, отобрав у нее энергию, она сохранит «неснижаемый остаток». Этот остаток – в принципе неустранимая энергия, по величине равная половине шага между энергетическими ступеньками: когда в системе «совсем» ничего не происходит, энергия ее оказывается равной все же не нулю, а половине энергии первой ступеньки. Этот неотнимаемый энергетический остаток иногда называют «энергией нулевых колебаний»; в этих словах можно усмотреть легкое противоречие, но это всего лишь название. При желании можно думать, что наличие этой энергии выражает собой общий запрет покоя, в силу которого колебания не могут полностью остановиться.

Дискретность квантовых колебаний – прямая наследница вражды – проявляет себя еще и в том, каким образом тела принимают в себя тепло: большое ли количество энергии надо передать телу, чтобы повысить его температуру, скажем, на один градус (для сравнений надо брать определенное количество вещества, что я и буду подразумевать). Опыт говорит, что это свойство само зависит от температуры: при достаточно низких температурах порция тепла, необходимая для нагрева на один градус, оказывается все меньше. Для серебра при –120 ℃ она уже довольно заметно меньше, чем при комнатной температуре, в районе –200 ℃ становится меньше примерно на треть и при дальнейшем снижении температуры падает очень быстро: при –250 ℃ достигает примерно одной десятой своего комнатного значения и становится все меньше при более низких температурах, приближающихся к абсолютному нулю.

А куда вообще идет энергия, поглощаемая телом в виде тепла? Она «прячется» там в различных видах движения атомов и молекул; в твердом теле, где атомы не бегают свободно с места на место, их движение носит характер колебаний. Без привлечения квантовых свойств нельзя объяснить, что порция тепла, необходимая для нагревания на один градус, так сильно зависит от температуры, ведь, по классическим представлениям, если количество атомов, совершающих колебания, не меняется, то каждый должен взять себе долю переданной энергии – одну и ту же вне зависимости от температуры, при которой это происходит. Но учет квантовой природы колебаний меняет картину за счет того, как заполняются энергетические «ступеньки», свойственные колебательному движению: когда температура мала, в системе имеется не так много дискретных возможностей, по которым можно распределить энергию, в результате переданное тепло «растекается» по меньшему числу «ячеек», чем при высоких температурах, и для нагрева на один градус достаточно заметно меньшего количества тепла.

Возвращаясь к «главной», архетипической вражде между положением в пространстве и скоростью, посмотрим на дело еще с одной стороны. Да, положение и скорость не могут быть точно определены одновременно. Но если не настаивать на том, чтобы какая-то одна из этих величин была определена точно, можно допустить в каждой некоторую неопределенность – характерный размер неустранимой неточности{18}. Тогда, как следствие вражды между величинами, их неопределенности окажутся связанными друг с другом: чем больше одна, тем меньше другая (обратно пропорциональная зависимость){19}. И это – общая картина: если какие-то две величины враждуют друг с другом, то неопределенности в их значениях связаны подобным образом.

За «размер» неопределенности одной из враждующих величин при фиксированном размере другой тоже отвечает постоянная Планка ħ; в этом смысле она несомненно является мерой квантовости. В воображаемой вселенной, где величину ħ можно регулировать, «скрутка» ее до нуля положила бы конец всякой вражде и вообще квантовым эффектам. Впрочем, это плохая идея даже для фантастического сюжета (или заниматься этим должны очень плохие парни), потому что при исчезновении квантового исчез бы и классический мир: для существования ему необходима «квантовая начинка».

Это явление – зависимость между неопределенностями враждующих величин – называется принципом неопределенности. Смысл его не в том, что «все неопределенно», а именно в том, что меньшую неопределенность одной из величин можно обеспечить только за счет большей неопределенности другой.

Слово «принцип» означает, что данному утверждению придается особо важное, фундаментальное значение. Автор идеи – Гайзенберг. Хотя соотношение между неопределенностями можно получить из стандартного математического аппарата квантовой механики (который, конечно, сам основан на целом ряде допущений), Гайзенберг был склонен думать, что это утверждение носит не менее фундаментальный характер, чем набор основных допущений квантовой механики. (Можно отметить, правда, что математически вывести принцип неопределенности из других положений квантовой механики проще всего в рамках формализма, предложенного Шрёдингером.)

Неопределенности в значениях тех или иных величин часто становятся мостом, соединяющим жесткий мир формул, строго описывающих квантовые явления, с более интуитивными представлениями. Неопределенности, например, позволяют качественно пояснить несколько неожиданную способность квантовых объектов проходить сквозь стены – способность, которой они широко пользуются. Явление это официально называется туннелированием сквозь стену или барьер, но в том-то и дело, что никакого «туннеля» проделывать не требуется.

Стена или барьер – это область пространства, в которую, скажем, электрон не может проникнуть, потому что его оттуда выталкивают электромагнитные силы. Если (что удобно) говорить в терминах энергии, то это область, для вхождения в которую у него не хватает энергии («недостаточно разогнался»). Можно представлять себе энергетический барьер, служащий ограничением с какой-то одной стороны, или энергетическую яму, если электрону нельзя податься ни в какую сторону. Согласно законам обычной, классической механики нельзя – значит нельзя: если энергии не хватает, то ничего не поделаешь. Но в квантовой механике из-за неопределенности в своем положении электрон или другой квантовый объект может оказаться по другую сторону от барьера. Просто может там оказаться, если неопределенность его положения дотуда распространяется{20}. Правда, от самого участника туннелирования никак не зависит, когда оно случится, потому что всем тут распоряжается случайность.

В квантовых явлениях – не только в том, что касается туннелирования сквозь стены, а во всех – властвует случайность. Это довольно особенная случайность: она действует безо всяких скрытых причин.

5

Что беспричинно

Обычно нас огорчает, когда план действий, вроде бы продуманный до мелочей, терпит крах из-за неучтенной причины. Мы привыкли к тому, что причины есть у всего происходящего, даже если они нам неизвестны, и стоит только тщательно учесть все действующие факторы и сопутствующие условия, как результат будет определен однозначно. Если же пирог, в очередной раз сделанный строго по рецепту, не оправдал ожиданий, то, наверное, причина была в дрожжах; так или иначе, какая-то причина была.

Но квантовый закон первостепенной важности (вывод из колоссального числа наблюдений) говорит, что исход событий невозможно однозначно предсказывать, даже когда известны все обстоятельства происходящего. Раз за разом повторяя одно и то же при полностью одинаковых условиях, мы будем случайным образом получать различные результаты.

Правда, случайность здесь до некоторой степени организована, и вот в каком смысле: разные исходы выпадают с некоторыми вероятностями, причем вероятности эти определяются самой системой. Установив эти вероятности или теоретически (средствами, которые, собственно, и призвана обеспечить квантовая механика), или исходя, скажем, из ста тысяч повторений одного и того же опыта, мы обнаружим, что они – вероятности – применимы и ко всем последующим повторениям. Квантовая случайность не означает полный произвол: она имеет меру и эту меру можно предсказывать теоретически.

Из-за наличия случайности и оказалась несколько расплывчатой моя формулировка в главе 2 o предсказании результатов «насколько это возможно». Во всякой системе, где нет однозначной определенности, результат единичного опыта предсказать нельзя. Бросив две игральные кости один раз, можно получить или не получить дубль; бросив две кости несколько раз, можно получить дубль 0, 1 или несколько раз. Чтобы эмпирически установить, насколько часто выпадает дубль, понадобится длинная серия бросков, а чтобы установить это достаточно точно – очень длинная серия. В бросании костей, правда, ничего квантового нет, а случайность просто отражает наше незнание тонких подробностей; в квантовом же мире случайность не нуждается ни в каких «подробностях», она просто имеет место. Но в любом случае, когда предсказать исход единичного опыта нельзя, задачей становится определение вероятностей различных исходов.

Но какова природа квантовой случайности? В обычной жизни мы привыкли, что за кадром всегда действует какой-то набор факторов, который в принципе определяет исход событий. Действительно, мы же не думаем, что отразившийся от ракетки теннисный мяч в полете вдруг немотивированно смещается на полсантиметра влево или на сантиметр вверх, да еще и выбирает тот или иной вариант в соответствии с какими-то предопределенными вероятностями. Вместо этого мы обоснованно полагаем, что мяч летит по траектории, строго определенной тем, какую скорость (включая, конечно, направление) сообщила ему ракетка и как на него действует воздух (с учетом всех подробностей вроде вращения, влажности мяча и т. п.). Другое дело, что у нас нет полного контроля за тем, что в точности случилось в момент удара и как движется окружающий воздух, и поэтому мяч не всегда будет приземляться там, где мы бы того желали. Точно так же, когда футбольный рефери бросает монету, падение орлом или решкой определяется несколькими трудно контролируемыми факторами – прежде всего тем, как монету подбросили и в какой момент ее поймали, – но ничего истинно случайного в монете нет. Вполне можно представить себе устройство, которое подбрасывает одну и ту же монету, подкручивая ее каждый раз одинаково. Если мы обеспечим неподвижный воздух вокруг установки (а еще лучше – вообще воздух откачаем), защитимся от магнитных полей и примем другие меры, то монета будет раз за разом падать одинаково – ну а отдельные нарушения мы будем списывать на неучтенные, скрытые влияния. Случайность во всех таких случаях отражает наше незнание действующих факторов и то ли нежелание, то ли невозможность их точно учесть.

Следующая отсюда инерция мышления сильна, и соблазнительно думать, что и квантовые случайности – это тоже проявление нашего незнания о каких-то процессах, происходящих «в самой глубине вещей», которые на самом деле все контролируют и однозначно определяют исход, просто нам они неизвестны. Эти неизвестные контролирующие факторы стали называть скрытыми параметрами. Их существование предполагал Эйнштейн, а почти все ключевые фигуры, участвовавшие в создании и развитии квантовой теории, с ним не соглашались. Эти разногласия, с учетом полученного позднее знания, отзываются и сегодня, и мы со временем доберемся до интригующих подробностей.

Как бы то ни было, совокупность имеющихся на текущий момент данных указывает, что квантовая случайность фундаментальна, то есть не нуждается ни в каких объяснениях, и тот или иной исход в каждом конкретном случае ничем не определяется. «Исходом» обычно является результат измерения какой-либо физической характеристики (скажем, попадание электрона в одну из интересующих нас пространственных областей). Фундаментальная случайность – это вовсе не ситуация, когда экспериментаторам неизвестны причины, определяющие тот или иной исход среди нескольких возможных. Все гораздо серьезнее, и экспериментаторов упрекать не следует: в самом состоянии исследуемой системы таких причин нет. Перед нами объективная – ни к чему не сводимая, ничем не мотивированная – случайность: объективная физическая величина, связанная с системой (скажем, попадание электрона в область А), никак не определяется состоянием системы и вообще состоянием мира. Случайность действует не через какие-то механизмы, а сама по себе. Прямой конфликт со здравым смыслом представляется здесь неизбежным. Кстати, вероятности, через которые эта случайность себя проявляет, тоже должны тогда быть объективными. Как им это удается?

Случайность – полноправная хозяйка в мире элементарных частиц. Одно из ее проявлений там – распады нестабильных элементарных частиц; это, впрочем, не распады в прямом смысле, а превращения, потому что получившиеся элементарные частицы не содержались в исходной, иначе она не была бы элементарной. Как правило, имеется несколько, а в ряде случаев много вариантов распада и выбор между ними случайный; знание же их вероятностей – это существенная информация для изучения природы. Например, «сверхтяжелый» родственник электрона, называемый тау (это, увы, все, что осталось от греческого слова τριτoν – тритон, т. е. третий), с вероятностью 0,254941 превращается в пи-минус-мезон, пи-ноль-мезон и тау-нейтрино; с вероятностью 0,178175 – в электрон, электронное антинейтрино и тау-нейтрино; с вероятностью 0,173937 – в мюон, мюонное антинейтрино и тау-нейтрино; с вероятностью 0,108164 – в пи-минус-мезон и тау-нейтрино; с вероятностью 0,089868 – в два пи-минус-мезона, пи-плюс-мезон и тау-нейтрино; и так далее еще тремя с лишним десятками других способов. Все такие вероятности – осмысленная (и важная) информация, потому что они соблюдаются и, будучи установленными один раз, с успехом используются при дальнейших исследованиях (уже отсюда, кстати, видно, почему эксперименты в мире элементарных частиц требуют большой статистики).

Надо ли понимать наличие фундаментальной случайности как отсутствие причинности в природе? Отказ от причинности в широком смысле называют индетерминизмом. Да, если никаких скрытых параметров нет, то разные исходы случаются в одной и той же ситуации без причины. Тем не менее физический мир, пусть и индетерминистский, не выглядит полностью произвольным. Чтобы получить представление о том, как индетерминизм сочетается с некоторыми правилами, посмотрим на случайность «в деле».

За игрой случая хорошо наблюдать при одновременном наличии большого числа одинаковых систем: это сильно экономит время, избавляя от необходимости многократного повторения единичного опыта. Два широко распространенных во Вселенной вида явлений, вовлекающих много участников сразу, основаны на квантовой случайности, связанной с туннелированием.

Мы уже говорили, что «персонажам» квантового мира доступно прохождение сквозь стены – кстати, не раз обыгранное в кинематографе, часто в (полу)комедийном ключе. Комедийное содержание можно было бы усилить, если перенести на кинематографических героев одно существенное свойство квантового прохождения сквозь стены: оно происходит случайно и его участники «сами не знают», случится это через секунду или, скажем, к следующему утру, и повлиять на это не в состоянии; некоторые варианты развития сюжета так и напрашиваются.