Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.

Ох, эта загадка, эта проблема озадачивает, манит, тревожит великие человеческие умы не одно столетие и даже тысячелетие по сей день.

Древнеегипетские жрецы (читай: учёные), пытаясь добраться до сердца этой тайны, нашли свой способ распрямления окружности с соблюдением точных линейных мер. Оказалось, что это возможно только в одном-единственном случае. 12-мерная окружность при этом превращалась в 12-мерный

п р я м о у г о л ь н ы й треугольник с точными мерами сторон: 3,4,5. – В общем, известный тебе египетский треугольник. Он и знаменовал собою круженье Времени (пространства-времени): год из 12 месяцев.

На какую мысль натолкнул этот эксперимент?

– Прямой угол (перпендикуляр) может стать ключом к исчислению круженья.

Древнегреческая мысль подхватила эту идею.

Пифагор оформил её в свою знаменитую теорему.

Новую проблему поставила гипотенуза. Её упрямая неточность для всех «неегипетских» случаев с прямоугольным треугольником.

В гипотенузе оказался корень проблемы. Она навсегда оказалась связанной с исчислением (извлечением) корня. А корень упрямо оказался связанным опять же с неточностью…

Выходило, что корень проблемы круженья – в линейной неточности.

А что же тогда т о ч н о?

Какими мерами т о ч н о можно измерить это самое круженье?

…Шумерские жрецы (читай: учёные) в поисках точности всматривались в звёздное небо.

У г л о в ы е меры!

Итак, наиболее точные меры для исчисления круженья – у г л о в ы е: у г л ы п о в о р о т а.

Вот что ещё интересно в связи с этим:

Учёные-кристаллографы (те, кто занимаются изучением мира кристаллов) тоже наиболее точными признают именно угловые меры, когда возникает необходимость определить вид минерала. Ведь внешне минералы – неправильной формы, разных размеров. А вот их кристаллические решётки (если изучить их изнутри) всегда неукоснительно соблюдают одни и те же углы в расположении атомов, характерные для определённых минералов.

А что удивительного? Ведь их формируют магнитные поля своим круженьем…

Для греков (в отличие от шумеров) был важен именно п р я м о й угол, перпендикуляр.

Он давал возможность создавать вещественные модели космоса в земных условиях (архитектура). И вся их геометрия связана с прямым углом. Земля – космическое тело, и космос являет себя в земной жизни. И древнегреческие боги тоже ходили по земле, соединяя нашу планету и мир людей со Вселенной.

Слова «градус» древние греки ещё не употребляли. Они измеряли угловое круженье долями прямого угла!

Вот строчка из книги «Прометеева искра. Античные истоки искусства математики» А.В.Жукова :

«…углы Аристарх выражал не в градусах, а в д о л я х п р я м о г о у г л а».

(Аристарх Самосский – древнегреческий астроном, математик и философ III века до н.э., впервые предложивший гелиоцентрическую систему мира и разработавший научный метод определения расстояния до Солнца и Луны и их размеров.)

Вот! Слово «доля» – аналог, подобие «градуса»; прямой угол – подобие целого (360˚).

…А теперь так хочется быстренько пробежаться туда, в «Афинскую школу» (Рафаэля), где Боэций слушает Платона и конспектирует Пифагора, и ещё разочек заглянуть в его конспект и перечитать его новым озарённым умозрением!

Что там написано (по поводу октавы)?

… «Делить же он (Пифагор) начал следующим образом: прежде всего отнял от ц е л о г о одну д о л ю , затем вторую, вдвое большую, третью – в полтора раза больше второй и в три раза больше третьей, четвёртую – вдвое больше второй, пятую – втрое больше третьей, шестую – в восемь раз больше первой, а седьмую – больше первой в двадцать семь раз.»

Как-то уж очень похоже на то, что Пифагор пытался сопрячь, соединить звуковое круженье и угловое, чтобы у в и д е т ь (!) звуковую модель в своём умозрении.

Давай попробуем расписать этот текст как задачку.

«Доля» у нас неизвестное – икс х. Х может быть и звуковым интервалом, как прежде, и угловой мерой – если, как Пифагор, мы захотим у в и д е т ь звук как геометрию. Эти угловые меры мы можем обозначить привычными нам градусами вместо греческих «долей».

Рис. автора.

С седьмой доли начинается п о д о б и е. Подобие совокупности всех предыдущих.

В интервалах она даёт выход на лимму и подобие октавы в микроинтервалах, если помнишь.

А дальше – знакомые картинки.

Рис. автора.

Рис. автора.

Рис. автора

Октава и её подобие, образующие «золотой» угол – 36º: как 36 звуков в пифагоровой октаве.

Постичь круженье, тем более измерить его – задачка, конечно, не из лёгких.

Перевести круг в треугольник – была замечательная идея египтян.

Сопряжение угловых поворотов и прямых линий впоследствии произвели на свет тригонометрические функции. Роль треугольника в измерении круженья оказалась неоценимой. Смысл понятия «тригонометрические функции»: «функция» – «роль», «дело»; «тригонон» (греч.) – «треугольник»; «метрео» (греч.) – «измеряю». Но нужно отметить, что с целочисленными результатами измерений здесь всегда проблема: ты знаешь, что значения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов – не целочисленны.

Да, всё то, что не прямолинейно, не хочет поддаваться простому, а зачастую и точному измерению. В состав формул для измерения круженья вообще входят б е с к о н е ч н ы е числа. Их называют т р а н с ц е н д е н т н ы м и: «транс» – «перенос». Эти числа переносятся через все пределы-границы, не знают конца.

Таких чисел три:

Знакомое тебе π, знакомое φ, и ещё е – число Эйлера, которое входит в состав натуральных логарифмов.

Все эти числа связаны с круженьем.

Тысячелетней давности задачка о квадратуре круга тоже оказалась связанной с бесконечностью и в результате – неразрешимой.

Но зато она в конце концов привела к очень даже современной идее

ф р а к т а л ь н о й г е о м е т р и и. А идея всё та же: ломать прямую на подобные кусочки-отрезки бесконечно и измерять их, измерять, измерять… Эти вычисления стали возможны только в век компьютеров.

Во все времена человеку хочется постичь и смоделировать мир, в котором он рождён.

У Пифагора не было компьютера. Но ему тоже хотелось моделировать.

Вот что он подметил проницательно, так это то, что звук своей природой, своей физикой воспроизводит законы формирования космического пространства-времени. И создал не компьютерную, а звуковую модель этого пространства-времени!

Он создал модуль мира-космоса – октаву.

А звуки сами воссоздают круженье: они ведь – волны!

И модулируют – по подобию.

Интересно, что египтяне (древний Египет), пытаясь решить проблему квадратуры круга, тоже не избежали увлечения идеей музыкальности. В формулу площади круга они включали очень даже музыкальную дробь.

Сравни: Площадь круга диаметра d считалась равной площади квадрата со стороной 8/9d.

Рис. автора.

Обратный ход – к прямоугольности. Прямоугольные волны в современной радиотехнике: волны-меандры.

Меа́ндр (по названию геометрического орнамента в виде ломаной линии) – периодический сигнал прямоугольной формы, широко используемый в радиотехнике и электронике. Длительность импульса и длительность паузы между импульсами в одном периоде такого сигнала равны.

Рис. автора.

(Если пожелаешь посмотреть анимацию о том, как образуются такие волны, набери в поисковике «меандр значение слова», выбери «меандр – вид импульсного сигнала».)

Смешение времён!

А Пифагор бессмертен.

Октава всё ещё жива.

Музыка всё ещё моделирует пространство-время.

Но что же было с музыкой после Пифагора?

ЧТО БЫЛО ДАЛЬШЕ?

Ключи. (Эволюция музыки как эволюция жизни. Оргáн. Флейтовая теория. Рождение темперированного строя и клавиатуры.)

Жизнь.

Жизнь была дальше.

И музыка-жизнь.

В жизни – эволюция.

Эволюция – это перемены, и з м е н е н и я форм вещей и существ. То же, что м о д у л я ц и и (ты же помнишь, что модуляция – это закономерное

и з м е н е н и е).

Маленькие клеточки-точки объединяются во всё более сложные формы.

Если интересно, – Энциклопедия всегда готова прояснить любую мысль:

Эволюция – от лат. evolutio – «развёртывание», закономерное изменение.

Развёртывание – это укрупнение: малое превращается (модулирует) в большее, но в соответствии с общими и для малого и для большого законами.

Изменения в космосе, изменения на Земле.

Простенькие атомы водорода «развернулись» в сложную Таблицу Менделеева. Космическая пыль – в галактики. Клеточки жизни – в homo sapiens (человека разумного).

Маленькие государства-города древней Греции (полисы) «развёртывались» в империи (империя Александра Македонского, затем – Римская империя).

Силы множественных греческих богов «развернулись» в мощь единого Бога, Всемогущего.

Музыка жаждала мощи, силы, величины. Или Величия.

Струна – тонка. Она нежно ударяет по воздуху, и тот долетает до нашего слуха подобно ласкающему ветерку. Звук лёгкий, изысканный,– для тонкого душевного (психейного) внутреннего нашего мира. Очень личный голос.

Личность, её душа, её отдельная мелодия – вот что может выразить струна.

А множество мелодий могут ли, объединившись,«развернуться» в единую мощь? Даже множество струн выразят ли её?

Пространство-время, изменяясь, искало для выражения себя новый голос.

Хор. Множество голосов, усиливающих друг друга. Не соло души, а мощный единый дух.

И… труба!

И… аккорд!

Вот что было нужно.

Отвергнутая когда-то Афиной флейта Пана требовала своего возрождения. Она желала возродиться вновь, но уже в новом обличье.

Греческое слово pan означает «всё». Греческий Пан был богом, который подчиняет себе множественность: бог пастухов и их стад; бог лесов со всем многообразием населяющих их существ. Его флейта имела силу подчинять своим звукам множество жизней, объединять их силы в единую мощь.

Афина же отдавала предпочтение героям-личностям, личному человеческому духу и миру души. Она отдала предпочтение струнной кифаре.

Но пришло время флейт.

Звук флейты пронзителен и прям. Воздух, сжимаясь в её трубе, вылетает подобно стреле или снаряду и ударяет по нашим барабанным перепонкам напрямую (не опосредованно, как от колебаний струны).

Струна растягивается и сжимается, колеблется; звук кружится и растекается волнами. Флейта непоколебима. Жестка и прямолинейна. Её длину и диаметр не изменишь в процессе игры. Раз отрезал – и всё.

Флейта требовала фиксации звуковых высот, их точности – в соответствии с точным расчётом своих параметров. Её отверстия для регуляции воздушного потока должны точно соответствовать определённым высотам звуков (да и сами они похожи на точки).

Энциклопедия:

Фиксация – от лат. fixus – «закреплённый».

Греки отличались пытливым умом и изобретательностью.

Они явили миру инструмент, который можно было бы назвать «суперфлейтой» (гиперфлейтой) Пана.

Гидравлос!

Изобретатель – древнегреческий математик и механик Ктесибий.

Это такая водяная флейта, или водяной орган.

Вот тебе и эволюция – «развёртывание» идеи флейты до масштабов органа!

Более подробная информация – на следующей странице.

Источник – Википедия

Гидравлос – довольно сложное механическое сооружение. Оно именно

м е х а н и ч е с к о е. Управлять звуком непосредственно (как к струнам – непосредственно прикасаясь чуткими пальцами) на нём просто невозможно.

Разве можно было на нём передать всё богатство звуковых красок пифагорова строя (36 звуков-оттенков!)?

Звуковые оттенки, которые давали микрооктавные интервалы в пифагоровой октаве, наверняка пришлось упростить.

Но зато появилась сила звучания. Эта сила – сильнее человеческого голоса.

Сила нашего голоса зависит от силы наших лёгких, от их мощности.

С помощью наших лёгких мы можем надуть воздушный шарик. А велосипедную шину, к примеру?

Насос куда мощнее наших лёгких!

В гидравлосе был применён насос.

Богатство звуковых оттенков было принесено в жертву силе звучания. Этой силы должно было хватать на покорение слуха сотен и тысяч собиравшихся вместе слушателей.

Как музыканты управлялись с гидравлосом? – Так сразу не поверишь: ударом кулака! И колотили они по специальным дощечкам шириной 5-7 см, устроенным на горизонтальной панели. Вот эти дощечки и получили название: К Л А В И Ш И.

Откуда взялось это слово – КЛАВИША?

– От латинского слова clavis – «КЛЮЧ».

Почему «КЛЮЧ»?

Да потому что ключ открывает и закрывает вход-выход.

В случае с гидравлосом клавиши были связаны с клапанами, которые открывали и закрывали вход-выход для воздушного потока в трубах.

Стукнул по нужной клавише – и полетели волны воздушного давления к нашим ушам, чтобы наш мозг превратил их в звук.

Разные трубы – разные волны – разные звуки.

Вот можешь полюбоваться на первую клавиатуру:

На этой клавиатуре ещё нет знакомых нам чёрных клавиш. Все клавиши – одинаковы. Что бы это значило?

(Очень жаль, что на фото греческого гидравлоса не видно клавиатуры. Но орган из древнего города Аквинкум в бывшей провинции Римской империи – на территории современной Венгрии – наследует сам принцип устроения греческого инструмента.)

Почему все клавиши одинаковы?

На какой музыкальный строй они намекают?

На этом инструменте 13 клавиш (посчитай сам). На греческом – 24.

По-видимому, нам опять придётся прогуляться на Восток – к вавилонянам, шумерам и… в Китай. К вавилонянам и шумерам прогуливался и Пифагор, и другие его соотечественники. А вот Китай…

Каким-то образом шумерская и вавилонская цивилизации пересекались в древности с китайской цивилизацией – ещё более древней, чем шумерская. Кто у кого заимствовал всяческие премудрости – до сих пор остаётся загадкой: то ли китайцы учились у шумеров, то ли шумеры – у китайцев… Но известно, что в Китае существовала очень-очень древняя музыкальная система, разработанная для… флейт! И кем? –Опять же – а с т р о н о м а м и!

Эта система называлась «Система 12 люй».

(Если пожелаешь познакомиться с этой системой обстоятельно, знай, что есть такой сайт http://synologia.ru Музыкальная теория.)

Так вот, иероглиф люй буквально означает «правило», «устав». В музыке – это система звуковысотных эталонов (так написано в статье на сайте). То есть система из образцов высоты каждого звука – эталонов этих звуков.

Страницей ниже (так, на всякий случай) – отрывок из статьи.

Всё очень просто. Как у шумеров и египтян. Пространство-время планеты Земля в космосе измеряется вращением по окружности: 360 «шагов» (градусов) – 360 дней года; год – из 12-ти месяцев. Каждому месяцу соответствует звук определённой высоты. Образуются звуки в соответствии с лестницей квинт (тебе это знакомо по пифагоровому строю). Только эта лестница поделена на одинаковые ступени, по половине тона. Каждому звуку – по ступеньке: 12 звуков – 12 ступеней. По-нашему это будет так:

I ступень – ДО VII ступень – ФА диез

II ступень – ДО диез VIII ступень – СОЛЬ

III ступень – РЕ IX ступень – СОЛЬ диез

IV ступень – РЕ диез X ступень – ЛЯ

V ступень – МИ XI ступень – СИ бемоль

VI ступень – ФА XII ступень – СИ

Как китайцы получили эти звуки?

– Из квинт! Опять-таки из квинт.

Ну что поделать, если квинты – это доминанты, то есть высшее проявление силы, а значит, и выразительности (или выраженности) каких-то явлений – энергии, волны, например: гребень волны, её кульминация, импульс. А весь мир – из волн (как мы уже понимаем).

Эти доминантовые кульминации (импульсы) показаны в фильме «Вселенная. Звуки космоса» из нашей первой тетради. Они представлены как звуки новорождённой Вселенной, которым больше 13 миллиардов лет. Это происходит на в о с ь м о й минуте фильма. Ты ведь можешь пересмотреть этот фрагмент.

С этих доминантовых импульсов и началось то, что я в и л о с ь, с т а л о б ы т ь, то есть сам мир, сама жизнь.

Посмотри на ленту из квинт с привычными названиями нот ( не умею писать иероглифы, а ты не умеешь их читать):

Рис. и пометки автора.

Здесь все необходимые звуки для всех 12-ти ступеней.

Они окажутся рядом, если мы свернём эту ленту спиралью и учтём, что не закрашенные карандашом ноты – это подобия тех вертикалей ступеней, которые мы получали в строе Пифагора: то есть мы будем шагать через одну квинту, и постепенно у нас выстроится весь ХРОМАТИЧЕСКИЙ китайский звукоряд.

(Эту спираль найдёшь на следующей странице.)

Так что выходит, что ХРОМАТИЧЕСКИЙ звукоряд – родом из Китая.

Хроматический – значит, построенный по полутонам.

Однако само название «хроматический» – от греческого слова chromatos –«цвет», «окраска».

Греки вообще мыслили звуки цветными: семь звуков гаммы (гептатоники) подобны семи цветам радуги. А каждый полутоновый звук подобен оттенку: ФА – цвет, ФА диез – оттенок ФА… и т.д.

По-гречески, весь звукоряд состоял бы из лимм.

Модели автора

В случае с флейтами такой звукоряд был очень удобен. Трубы есть трубы, чем проще – тем лучше.

Конечно, и в таком звукоряде есть октава. Стóит лишь добавить 13-ю ступень, подобную первой ступени, но на новом витке.

Дело только в том, что китайцы не мыслили и н т е р в а л а м и – отрезками, в которые вписываются звуковые волны, не мыслили звуки в о т н о ш е н и и друг к другу, – то есть никакого принципа относительности.

Тем более удивительно, что их строй оказался совместим с пифагоровой октавой.

А может, и НЕ удивительно: ведь оба строя сотворены из одних и тех же «атомов» – квинт.

Зачем трубам относительность? Фиксированный звук (зафиксированная, эталонная его высота) – вот и всё, что нужно трубам. Фиксированный размер трубы – фиксированный звук.

Для гидравлоса, первого оргáна – первого духового механического инструмента – такой строй вполне подходил.

Слово оргáн – тоже греческого происхождения (греки изобрели, греки и назвали). Происходит оно от слова οργανον (органон) – «орудие», «инструмент», «машина».

Вот что сообщает Энциклопедия по поводу оргáна:

Оргáн – крупный музыкальный духовой х р о м а т и ч е с к и й клавишный инструмент с мехами, трубами для извлечения звука.

Вот! Х р о м а т и ч е с к и й инструмент. Вот почему количество клавиш первых оргáнов – в соответствии с хроматическим строем. Вот почему все клавиши – одинаковы, «равны». Как равны полутоны.

Однако не всё было так просто с этим хроматическим строем, как кажется на первый взгляд.

Мы-то знаем теперь, что звуковые волны ведут себя в соответствии с астрономическими особенностями поведения Земли в космосе, между Солнцем и Луной. Пространство-время Земли задаёт её годовой поворот не в 360˚, а в 365˚ (или 366˚). Поделить этот поворот (виток спирали на самом деле) на р а в н ы е 12 частей не получается. А значит, какие-то из этих частей не будут подчиняться равенству, и 13-й полутон не повторит в точности первый ( а это – звук октавы). Потому Пифагор и ввёл к о м м у, микроинтервал-разницу.

Китайцы просто две части из двенадцати чуть изменяли. На слух это было не очень заметно. Ведь духовые инструменты предназначались для игры на открытом воздухе, где воздушные волны быстро рассеиваются, и уши не успевают разницу уловить. Тем более, если исполнять только м е л о д и и – п о с л е д о в а т е л ь н ы е звуки.

Первые оргáны ( те самые гидравлосы с небольшим количеством труб) тоже использовались для больших праздников на открытом воздухе.

Оргáны покоряли Европу. Сила их звучания очень даже соответствовала имперскому духу (Римская империя), духу Величия.

Да, оргáн – это е в р о п е й с к и й инструмент. И китайские хроматизмы-полутоны постепенно вживились в древнегреческий строй (Греция ведь – Европа), в пифагорову октаву. Для этого пришлось пожертвовать микроинтервалами.

Та клавиатура, которую мы знаем, и демонстрирует нам этот процесс вживления полутонов-хроматизмов в октаву Пифагора.

Пифагорову октаву взялись представлять собой белые клавиши, среди которых сохранились два естественных полутона: МИ-ФА, СИ-ДО.

Мы можем проследить этот процесс образования нового строя. Его показывают клавиши. А клавиши, мы теперь знаем, это – КЛЮЧИ. Ключи, которые открывают путь не только потокам воздуха и волнам звука, но и волнам МЫСЛИ, понимания.

Это ты увидишь на странице ниже.

Рис. и пометки автора

Благодаря клавишам-ключам октаву теперь можно было не только услышать, но и у в и д е т ь. Ещё её можно было о с я з а т ь, прикасаться к ней.

Сам порядок мира (такой неуловимый, незримый) можно было «взять в руки», исследовать его, испытывать его свойства – и на слух, и на взгляд, и на ощупь одновременно. Играя клавишами-ключами, мир можно было

м о д е л и р о в а т ь, создавая бессчётное число моделей жизни (которые впоследствии стали называться пьесами, этюдами, сонатами и т.д. – муз. произведениями).

«Китайский след» в европейской октаве (изначально – пифагоровой) ты можешь увидеть, услышать и осязать, постукивая своими молоточками-пальцами по чёрным клавишам. Ты услышишь китайские наигрыши. Ты услышишь п е н т а т о н и к у («пента» – «пять», «тон» – «звук»). Играя ключами чёрных клавиш, ты можешь моделировать какие-то «наброски», мелодии жизни «по-китайски» (как будто на китайском языке).

Устойчивое отношение «3» и «2» (тернарность и бинарность, троичность и двоичность) навсегда впечаталось в клавиатуру:

Рис. и пометки автора.

И это всё – след КВИНТЫ.

О т н о ш е н и е трёх к двум и двух к трём – след пифагорова «струнного» подхода, волнового подхода: частоты и длины в о л н. И – и н т е р в а л ы.

С у м м а ( последовательное присоединение фиксированный значений):

3+2=5 – квинта в виде зафиксированных звуков-ступеней ( квинта ведь – пятая ступень в октаве). «Флейтовый» подход, сущность которого – зафиксированная высота звука.

Геометрический символ этого – пентаграмма, которая была священна и в древнейшей китайской культуре, и священна для Ордена пифагорейцев.