Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.

А вот кое-какие знания о ней остались и во времена Пифагора.

Самый-самый древний музыкальный строй в Древней Греции, оказывается, был основан на …пентатонике («пента» – «пять», «тон» – «звук»). Откуда эта пентатоника попала в Древнюю Грецию? Из Древнего Египта, где Пифагор постигал всяческие науки у жрецов больше 20 лет? (А Древний Египет куда древнее Древней Греции! З тыс. лет до н.э.) А в Древний Египет из Персии – через евреев? А в Персию – из Вавилона? (Да Пифагор и сам 12 лет учился у вавилонян.) А Вавилон воздвиг своё царство на земле ещё более древней цивилизации (4 тыс.лет до н.э.) – шумеров. О шумерах остались невероятные легенды (в их числе – о высоком развитии науки и техники), от них же – таблички с решениями уравнений! И пентаграммы, пентагоны… Даже в роли печатей на важных документах. У греков каким-то образом было сообщение и с Китаем, цивилизация которого насчитывает ок. 5 тыс. лет до н. э. А Китай – это вообще страна поклонения пентатонике.

Как бы то ни было, Пифагору предстояло соединить свои открытия с

о ч е н ь древними знаниями о мире.

Вот вопрос: интересно, как обозначали музыкальные звуки тысячелетия назад?

Мы привыкли к нотам и буквенным знакам. Но как же прежде?

Может быть, воспользоваться пентагонами-узлами – не такая уж странная идея. Для древних культур это был универсальный знак. А инки узелками могли изложить и обычные сообщения, и математические расчёты, и даже теорию цвета, и знания о космосе…

Возможно, сами свойства названных фигур являлись ключом к познанию всего. Возможно…

Пифагор и его орден (сообщество его единомышленников и учеников) поклонялись пентаграмме. Ты об этом знаешь.

Будем действовать. Экспериментировать.

…Грекам была известна диатоника – звукоряд, образованный квинтами.

ФА – ДО – СОЛЬ – РЕ – ЛЯ – МИ – СИ .

В таком порядке, почему-то, называют звуки диатоники-гептатоники («семитоники»). Не от «до», а от «фа».

Представляешь, какой же это размашистый звукоряд! Нам понадобилась клавиатура, чтобы прошагать по этому ряду звуков. По лестнице квинт.

У Пифагора не было клавиатуры. Первая клавиатура появилась спустя почти тысячу лет после Пифагора.

Клавиатуры не было, а диатоника – была.

Ну и давай попробуем представить её с помощью узелков-пентагонов.

Рис. и автора.

А теперь пропустим нижние узлы. Нам, по законам обертонов струны и природного звукового ряда, можно двигаться только в одну сторону: выше, а значит – вправо. А нижние узлы – левые: движение влево, и… снова вправо.

Но мы всё-таки будем следить за этими нижними узлами, не будем терять их из виду. На всякий случай.

Рис. автора.

Можем продолжить эксперимент: перевернуть ленту из узлов. Нижние станут верхними.

Рис. автора.

Потом можно опять перевернуть, и опять перевернуть.

Эти перевёртыши– повороты-вращения, похожие на перекрёсты и обратную пропорциональность, сотворят, наконец-то, привычный звукоряд:

ДО – РЕ – МИ – ФА – СОЛЬ – ЛЯ – СИ.

Диатоническая гамма.

(…перевернуть)

Рисунки автора.

Что будет, если продолжить ленту ?

Мы сможем это сделать, если совершим одну операцию: перевернём будущее продолжение ленты (такой же её отрезок, как предыдущий: удвоение!) на 180˚, – как это много веков спустя после Пифагора сделал со своей лентой Фердинанд Мёбиус.

Пифагор, безусловно, ничего не мог знать о Мёбиусе. Но он жил в пространстве всё тех же законов природы, что и Мёбиус. И мы живём всё там же. И экспериментируем.

Модель автора.

Эту ленту теперь спокойно можно замкнуть в кольцо. И путешествовать по двум поверхностям попеременно, как по одной, – но по обыкновенному кольцу.

Мёбиус наоборот?

Модель автора.

И ещё одно любопытное наблюдение: каждая нота/звук попеременно оказывается то в «фазе», то в «противофазе». Как волна.

Рис. автора.

(Лат. phasis – «появление», определённый момент в ходе развития какого-либо процесса.)

Давай вглядимся в процесс, который происходит в кольце с каждым звуком/тоном.

Каждый звук/тон через в о с е м ь шагов обретает своё повторение-совпадение, созвучие – к о н с о н а н с.

А лента-кольцо – сплошной «Мёбиус»: ведь каждый замкнутый узел (пентагон) обладает свойствами «Мёбиуса». Лента-кольцо из узлов замкнула все узлы разом.

Замкнутые в кольцо узлы-звуки произвели на свет о к т а в у: греч. «окто» – «восемь», лат. octava – «восьмая». Совершенный консонанс.

Один совершенный консонанс – квинта – произвёл на свет другой совершенный консонанс – октаву.

Если убрать пропущенные нижние левые узлы, то размашистая лента квинт сожмётся в д в о е. Как окружности в геометрической прогрессии!

(О, прости, вот в этом самом месте мою мысль просто-таки примагнитило к одной увлекательной идее. Через несколько страниц/листочков вернёмся к Пифагору.)

ЛИСТОЧКИ «МЫСЛЕЙ ВБОК» (о геометрической прогрессии).

(Следующие 9 страниц можно пропустить, а можно и полюбопытствовать…)

Рис. автора.

Рис. автора

Рис. автора

Рис. автора

Рис. автора

Рис. автора

Рис. и пометки автора.

Рис. и пометки автора.

Рис. и пометки автора.

Итак, Пифагору предстояло провести операцию сжатия размашистых квинт.

Этот п р о ц е с с ты буквально сможешь ощутить своими руками, если не поленишься сделать простенькую модель из узлов.

А что? Пифагор ведь тоже догадался незримое (звук) исследовать с помощью п р е д м е т а – струны.

Модель автора.

Растяни узлы в волну, а потом начни складывать «гармошкой».

…Ты ощущаешь, как узлы/квинты закручиваются в винт?

Теперь не очень плотно складывай, – так, чтобы видеть названия нот.

…Винтовая лестница!

Посмотри сбоку.

Рис. автора.

А теперь изобразим ступеньки этой лестницы под прямым углом:

Рис. автора.

Нижние квинты спрятались совсем. Словно исчезли, как тени в полдень.

И мы теперь видим привычные нам ступени гаммы.

Как их обозначали древние греки? Как они называли сами звуки? – Мы пожимаем плечами.

Если верить историкам музыки, первые попытки записывать музыкальные звуки знаками, появились не раньше 11 века. И выглядели эти знаки как просто точки или квадратики на двух линейках. Названия этих звуков/знаков тоже появились в Средние века, через полтора с лишним тысячелетия после Пифагора.

А вот ступени могли обозначаться числами. А числа записывались буквами греческого алфавита. А древнегреческий алфавит уж наверняка отличался от нынешнего.

Вот поэтому удобнее иметь дело с геометрическими образами.

Геометрия сама всё показывает.

А пересказывать то, что показывает геометрия, мы будем на привычном нам языке. Так и поступают исследователи музыки. Они переводят древние знания на привычные нам языки с их знаками: буквы латинского (или русского) алфавита (вот! греческие названия нот даже не употребляются), арабские (индийские) и латинские цифры для обозначения чисел.

Для пифагорова музыкального строя имеют значение именно интервалы.

Сами характеристики отдельных звуков выражены как интервалы: то есть каждый звук определяется отношением к другому звуку (вот где корни относительности!). Первый взятый звук становится точкой отсчёта (точкой опоры). А все остальные звуки находятся по законам гармонии, консонансов:

Первый консонанс – ПРИМА ( двойной первый звук, унисон, сам себе консонанс: 1/1).

Второй консонанс – ОКТАВА (второй из двойного звука ПРИМЫ растянулся в диапазон-ОКТАВУ: 1-2, второй звук по отношению к первому, 2/1).

Третий консонанс – КВИНТА (третий звук по отношению ко второму : 3/2 ).

Четвёртый консонанс – КВАРТА (четвёртый звук по отношению к третьему : 4/3 и в то же время – это перевёрнутая квинта, отношение октавы к квинте; 2:3/2, или 2х2/3=4/3).

Таким образом, каждому звуку присваивается своя дробь, – которая, собственно и является знаком о т н о ш е н и я.

То есть, в каждом звуке уже спрятан интервал ( интервал/расстояние/отрезок струны/волны или отрезок «пробега» волны по частотам, как в нашей ленте частот).

И, получается, только в Средние века этим дробям/отношениям дали буквенные (или слоговые) названия, которыми мы и пользуемся:

1/1, прима – ДО1.

2/1, октава – ДО2.

3/2, квинта – СОЛЬ.

4/3, кварта – ФА

Если интересно, найди в Интернете статью «Как появились названия нот?».

Пифагор оперировал только числами.

Он поклонялся Числу, словно божеству.

Все вещи мира, все явления можно выразить Числом! – вот главная идея его вдохновенного мышления.

Все названия звуков, которые он находил, происходят от чисел. И названия интервалов – от чисел.

Мы, конечно, будем пользоваться именами звуков для лучшего понимания, но всегда будем иметь в виду, что за этими именами – числа.

Вот и наша лестница квинт пронумерована числами-ступенями.

Головокружительно вот что:

Получается, что каждый звук этой лестницы – этакая микроквинта.

Хотя, в общем-то, ничего особенно удивительного в этом и нет, если вспомнить, что у квинты – функция (роль) д о м и н а н т ы – высшего напряжения, высшего проявления какого-то качества, характера. В нашем случае – максимум проявления характера каждого звука, его особенности.

Дух захватывает только когда осознаёшь, что на пятой ступени лестницы мощность отдельного звука-микроквинты (соль) словно пятикратно возрастает: квинта, да ещё и в положении КВИНТЫ в октаве! Квинта обретает новый масштаб! Она п о д о б н а себе, но уже в ином масштабе.

Этот процесс можно увидеть страничкой ниже.

Рисунки и модели автора.

А что же остальные звуки?

Сохранились ли в них хотя бы намёки на их «первородство» – на квинту?

Давай посмотрим на одну таблицу. Она показывает следующий этап процесса сотворения музыкального строя Пифагором: вычисленные им остальные звуки октавы.

Для удобства понимания на ней указаны имена звуков, но за каждым из них – Число! (по-«пифагоровски»). /ниже – таблица из книги: Волошинов М.В. «Математика и искусство»/

Рис. и пометки автора.

Да, как-то хитро запрятались квинты внутрь других звуков. И не распознаешь их с первого взгляда.

Кстати, ты заметил, что все числа – это частоты: числитель дробей больше знаменателя, «большее на меньшее», большее число в отношении к меньшему. У длин волн – наоборот: меньшее число в отношении к большему. Надеюсь, ты помнишь про этот перевёртыш/перекрёст.

Да и сам первый звук (прима) уже словно намекает на то, что предстоит увлекательная игра в перевёртыши: если частоту звука умножить на длину его волны, то и получится е д и н и ц а, начало отсчёта.

А если частоту квинты умножить на частоту её перевёртыша – частоту кварты, – получится октава (по частоте). Или перемножить длины волн квинты и её перевёртыша кварты, – будет октава по длине волны. Этакий расширенный, удвоенный перевёртыш.

Да и сама октава – удвоенная единица-прима: 2. Или поделённая пополам: ½.

( Опять – геометрическая прогрессия?!)

Прима – нижняя граница звукоряда. Октава – верхняя граница.

В середине – квинта и её перевёртыш кварта.

Рис. автора.

Да, по-видимому, Пифагор понял, что отношения между этими звуками и интервалы, которые образуются из их отношений, и должны стать ключом к поиску характеристик других звуков – их частот и длин волн.

Давай-ка ещё разочек обратимся к ленте частот.

О, этот долгий путь ко всеобщему консонансу и гармонии!

Рис. автора.

Путь получился долгим из-за того, что квинте пришлось вращаться-обращаться в кварту, и это вращение-обращение должно было прийти к консонансу в конце концов.

Отношения частот прямой квинты и её обращения кварты произвело на свет новое отношение и новый звук: 9/8.

9/8. Девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты.

В таблице – это звук РЕ. II ступень.

Рис. автора.

То же самое отношение получится, если перевернуть кварту и умножить этот перевёртыш на квинту. (Перевёртыш перевёртыша – просто голова крýгом!)

Рис. автора.

Если результат этой операции умножить на результат такой же операции (результат в квадрате), то есть 9/8 х 9/8, получим следующий звук.

9/8 х 9/8 = 81/64

Получилась частота МИ. III ступень.

Рис. автора.

Следующая ступень, IV, нам известна: кварта, 4/3.

Умножим 81/64 (ми) на 4/3 (фа): 81/64 х 4/3 = 27/16.

Это частота ЛЯ, VI ступень.

Её же можно получить, «воспользовавшись услугами» известной нам Vступени, квинты: умножить квинту 3/2 на тон 9/8. 3/2 х 9/8 = 27/16.

Рис. автора.

VII-ю ступень, СИ, мы получим, умножив частоту ЛЯ опять же на тон 9/8:

27/16 х 9/8 = 243/128

Рис. автора.

Между прочим, если мы и кварту 4/3 умножим на тон 9/8, то получим квинту: 4/3 х 9/8 = 3/2

…И все эти числа – реально звучат!

… А ты заметил, что ТОН/звук у нас теперь фигурирует и в качестве

р а с с т о я н и я между звуками?

Удивительно: ТОН – и сам звук, и в то же время – расстояние между звуками в октаве!

Может, это – из-за в о л н ы?

Ведь звуковая волна «пробегает» р а с с т о я н и е.

Вспомни ленту частот. Волне примы пришлось «пробежать» шесть своих расстояний, пока не свершился Великий Консонанс: созвучие примы, октавы, квинты и кварты.

А ведь прима – ТОН, с которого всё начинается, чтобы прийти к октаве. А шесть «пробежек» приме пришлось совершить из-за отношений квинты и кварты (перевёртыша квинты).

Вот так всё и сошлось: в октаве должно быть шесть тонов, а каждый тон выражает отношение между квинтой и квартой: девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты – 9/8.

Да может быть, и сама октава (от греч. «окто» – «восемь») получила такое название из-за этих самых восьми кульминаций кварт!

Кварта (то есть квинта наоборот) «виновата»!

И даже отношение октавы (восемь её ступеней) к шести тонам указывает на эту «виновницу»! 8/6 = 4/3

…Вернёмся, однако, к сотворению октавы. Ещё не всё завершено в ней.

Тонов должно быть ш е с т ь, а у нас набирается пока что целых тонов всего пять:

Рис. автора.

Заметим попутно: тон между ФА и СОЛЬ назван р а з д е л и т е л ь н ы м.

Почему? А посмотри:

Рис. автора.

Вспомнил эту картинку? Квинта снизу вверх в октаве и её перевёртыш сверху вниз и образуют этот самый разделительный тон. И разделяют октаву на две кварты: ДО1-ФА и СОЛЬ-ДО2. Они одинаковы. И в каждой – по два целых тона и «остаток». Тоже одинаковый.

Существует несколько способов его вычислить.

Давай попробуем это сделать, исходя из той простой мысли, что «остаток» предполагает деление.

Итак, в кварте ДО1-ФА частоту ФА разделим на частоту соседнего МИ:

4/3:81/64 = 4/3х64/81 = 256/243

В кварте СОЛЬ-ДО2 частоту ДО2 разделим на частоту соседнего СИ:

2:243/128 = 2х128/243 = 256/243

Рис. автора.

Таблица, которую ты увидишь сейчас, – совершенно замечательная таблица!

Что в ней стóит заметить?

С одной стороны, она похожа на таблицу предыдущую.

А вот с другой стороны… Взгляд с другой стороны – это тот же перевёртыш. Мысленный перевёртыш.

И в самой таблице мы увидим перевёртыш: сами звуки показаны как частоты, а расстояния между звуками – как длины.

Рис. автора.

Обрати внимание на РЕ (D). Под самим звуком указана его частота. А расстояние от РЕ (D) до примы ДО (С) – как д л и н а в о л н ы РЕ. Выходит, наша гипотеза о происхождении расстояний между звуками из-за того, что волны обладают длиной (или периодом), имеет всё-таки основание.

И главной мерой расстояний между звуками стал ТОН.

Давай-ка ещё разочек заберёмся внутрь этого самого ТОНА, вглядимся в него:

Рис. автора.

То что мы называли «кульминацией» на музыкальном языке, на языке физики «импульс».

Энциклопедия:

Импульс: от лат. impulsus – «удар», «толчок»; всплеск, усилие, побуждение.

Звуковой импульс – внезапно и быстро исчезающее повышение давления.

Изменение напряжения.

Усилие, напряжение – ведь это же главные свойства д о м и н а н т ы! И главные характеристики к у л ь м и н а ц и и.

А в физике – и м п у л ь с.

На языке физики мы бы сказали, что волна п р и м ы имеет ш е с т ь импульсов (если посмотрим на нашу полосу частот); волна о к т а в ы имеет д в е н а д ц а т ь импульсов; волна к в и н т ы имеет д е в я т ь импульсов; волна к в а р т ы имеет в о с е м ь импульсов. И все они словно борются друг с другом, то соединяясь, то противостоя, усиливая и погашая усилия друг друга, – пока не придут ко всеобщему согласию через какой-то диапазон/расстояние. И тогда все их усилия соединяются в согласии.

Физики бы сказали, что в этом моменте наступает резонанс.

Латинское слово resono – «откликаюсь»; resonans – «отзвук» (sono – звук, re – поворот).

Вот! В диапазоне октавы после согласия-резонанса наступает поворот-отражение. Октава – словно зеркало, в котором квинта отражается в кварту! И все остальные звуки отражаются в обратном порядке. Повороты-перевёртыши. И… с и м м е т р и я: левое – отражение правого, правое – левого. И так – опять до примы, пока не замкнётся кольцо. И всё повторится снова.

Все интервалы в октаве – симметрично отражаются:

Октава – отражение примы; септима – отражение секунды; секста – отражение терции.

Кварта – отражение квинты. Но… со смещением от центра симметрии!

Если бы квинта отразилась строго в центре симметрии, получились бы два

д и с с о н и р у ю щ и х, два самых сверхнапряжённых интервала, тех самых, которые называют «волчьими квинтами» (увеличенная кварта, или уменьшённая квинта). И тогда всю музыку пришлось бы промерять этими «воющими» интервалами! Всю – начиная с диатоники. Представляешь, вся музыка превратилась бы в вой! И вместо гармонии – хаос!