Теорема века. Мир с точки зрения математики

Итак, этот закон, проверенный экспериментально в некоторых частных случаях, может быть без опасения распространен на самые общие случаи, так как мы знаем, что в этих общих случаях опыт уже не может ни подтвердить его, ни быть с ним в противоречии.

Закон ускорения. Ускорение тела равно действующей на него силе, деленной на его массу.

Можно ли проверить на опыте этот закон? Для этого нужно было бы измерить три величины, входящие в его выражение: ускорение, силу и массу.

Отвлекаясь от трудности, связанной с измерением времени, допустим, что возможно измерить ускорение. Но как измерить силу или массу? Мы не знаем даже, что это такое.

Что такое масса? Это, отвечает Ньютон, произведение объема на плотность. Лучше сказать, возражают Томсон и Тэт, что плотность есть частное от деления массы на объем. Что такое сила? Это, отвечает Лагранж, причина, производящая или стремящаяся произвести движение тела. Это, скажет Кирхгоф, произведение массы на ускорение. Но тогда почему не сказать, что масса есть частное от деления силы на ускорение.

Эти трудности непреодолимы. Определяя силу как причину движения, мы становимся на почву метафизики, и если бы таким определением пришлось удовольствоваться, оно было бы абсолютно бесплодно. Чтобы определение могло быть к чему-нибудь пригодно, оно должно научить нас измерению силы; к тому же этого условия и достаточно; нет никакой необходимости, чтобы определение научило нас тому, что такое сила сама по себе, или тому, есть ли она причина или следствие движения.

Итак, прежде всего надо определить равенство двух сил. Когда говорят, что две силы равны? Тогда, отвечают нам, когда, будучи приложены к одной и той же массе, они сообщают ей одно и то же ускорение или когда, будучи прямо противоположно направлены, они взаимно уравновешиваются. Но это определение совершенно призрачно. Силу, приложенную к данному телу, нельзя отцепить от него и прицепить затем к другому телу вроде того, как отцепляют локомотив, чтобы сцепить его с другим поездом. Поэтому и нельзя знать, какое ускорение данная сила, приложенная к данному телу, сообщила бы другому телу, если бы была к нему приложена. Нельзя также знать, каково было бы действие двух сил, не прямо противоположных, в том случае, если бы они были прямо противоположны.

Это именно определение и стараются, так сказать, материализовать, когда измеряют силу динамометром или уравновешивают ее грузом. Две силы F и F’, которые я для простоты предположу вертикальными и направленными снизу вверх, приложены соответственно к двум телам С и С’; я подвешиваю одно и то же тело веса Р сначала к телу С, потом к С’; если в обоих случаях имеет место равновесие, то я заключу, что две силы F и F’, будучи обе равны весу Р, равны между собою.

Но уверен ли я, что тело Р сохранило тот же вес, когда я перенес его от первого тела ко второму? Вовсе нет, я уверен как раз в противном; я знаю, что напряжение силы тяжести меняется при переходе от одной точки к другой и что оно, например, больше на полюсе, чем на экваторе. Бесспорно, эта разница ничтожна, и на практике я не стал бы принимать ее в расчет; но правильное определение должно обладать математической точностью, а этой точности здесь нет. Сказанное относительно тяжести, очевидно, применимо и к упругой силе динамометра, которая может меняться в зависимости от температуры и от многих других обстоятельств.

Это не все: нельзя сказать, что вес тела Р приложен к телу С и прямо уравновешивает силу F. То, что приложено к телу С, есть действие А тела Р на тело С; тело Р в свою очередь находится под действием, с одной стороны, своего собственного веса, с другой – противодействия R тела С на тело Р. В результате сила F равна силе A, потому что уравновешивает ее; сила А равна R в силу принципа равенства действия противодействию; наконец, сила R равна весу Р, потому что его уравновешивает. Уже как следствие этих трех равенств мы выводим равенство F и веса Р.

Таким образом, при определении равенства двух сил нам приходится опираться на принцип равенства действия и противодействия; значит, этот последний принцип мы должны считать уже не как экспериментальный закон, а как определение.

Итак, устанавливая равенство двух сил, мы пользуемся двумя правилами: равенством двух взаимно уравновешивающихся сил и равенством действия противодействию. Но выше мы видели, что этих двух правил недостаточно; мы вынуждены прибегнуть к третьему правилу и допустить, что некоторые силы, как, например, вес тела, постоянны по величине и направлению. Но это третье правило, как я сказал, представляет собой экспериментальный закон и оно верно лишь приближенно; опирающееся на него определение – плохое определение.

Итак, нам приходится вернуться к определению Кирхгофа: сила равна массе, умноженной на ускорение. Теперь этот «закон Ньютона» выступает уже не как экспериментальный закон, а только как определение. Но это определение еще недостаточно, так как мы не знаем, что такое масса. Правда, он позволяет нам вычислить отношение двух сил, приложенных к одному и тому же телу в разные моменты, но он ничего не сообщает нам об отношении двух сил, приложенных к двум различным телам.

Для дополнения его придется снова прибегнуть к третьему закону Ньютона (равенство действия и противодействия), рассматривая последний опять-таки не как экспериментальный закон, а как определение. Два тела А и В действуют друг на друга; ускорение А, умноженное на массу А, равно действию В на А, таким же образом, произведение ускорения В на его массу равно противодействию А на В. И так как по определению действие равно противодействию, то массы А и В будут обратно пропорциональны ускорениям двух этих тел. Этим отношение наших двух масс определено, и дело опыта – проверить, что это отношение постоянно.

Все было бы хорошо, если бы два тела А и В были единственными, с которыми приходится считаться, и были изолированы от действия остального мира. Но этого нет; ускорение тела A зависит не только от действия тела В, но и от действия множества других тел: С, D и т. д. Поэтому, чтобы применить предыдущее правило, нужно было бы разложить ускорение тела A на несколько составляющих и выделить из них ту, которая обусловлена действием тела В.

Это разложение было бы еще возможно, если бы мы допустили, что действие С на А просто прикладывается к действию В на А, так что присутствие тела С не изменяет действия В на А и присутствие В не изменяет действия С на А; следовательно, если бы мы допустили, что любые два тела притягиваются, что их взаимное действие направлено по соединяющей их прямой и зависит только от их расстояния, словом – если бы мы допустили гипотезу центральных сил.

Известно, что для определения масс небесных тел пользуются совершенно иным принципом. Закон тяготения учит нас, что притяжение двух тел пропорционально их массам; если r есть расстояние между ними, m и m’ – их массы, K – некоторая постоянная, то притяжение их будет равно

То, что измеряют в этом случае, не есть масса как отношение силы к ускорению – это есть масса притягивающая; это – не инерция тела, а его притягательная способность.

Применение такого косвенного приема не является теоретически необходимым. Легко могло бы случиться, что притяжение было бы обратно пропорционально квадрату расстояния, не будучи пропорционально произведению масс; оно равнялось бы

Но равенство:

не имело бы смысла. При таких условиях все-таки было бы возможно на основании наблюдений над относительными движениями небесных тел измерять их массы.

Но имеем ли мы право допускать гипотезу центральных сил? Верна ли она в точности? Можно ли быть уверенным, что она никогда не окажется в противоречии с опытом? Кто взял бы на себя смелость утверждать это? А ведь если нам придется оставить эту гипотезу, то рушится и все здание, воздвигнутое с таким трудом. И тогда мы уже не имеем более права говорить о составляющей ускорения А, зависящей от действия В. Мы не имеем никакого средства отличить ее от той, которая обусловлена действием С или другого тела. Правило для измерения масс становится неприложимым.

Что же тогда остается от принципа равенства действия и противодействия? Если гипотеза центральных сил отброшена, то этот принцип, очевидно, должен быть сформулирован так: геометрическая равнодействующая всех сил, приложенных к различным телам системы, изолированной от всякого внешнего воздействия, равна нулю. Или, иными словами: движение центра тяжести этой системы является прямолинейным и равномерным.

Здесь-то, казалось бы, мы имеем средство определить массу: положение центра тяжести зависит, очевидно, от значений, какие мы припишем массам; надо распределить эти значения таким образом, чтобы движение центра тяжести было прямолинейно и равномерно; если третий закон Ньютона верен, это всегда возможно и может быть выполнено вообще только одним способом.

Однако дело в том, что не существует системы, которая была бы изолирована от всякого внешнего воздействия; все части Вселенной подвержены более или менее сильному воздействию со стороны всех других частей. Закон движения центра тяжести строго верен только в применении ко всей Вселенной в целом.

Но в таком случае, чтобы извлечь из него значения масс, нужно было бы наблюдать движение центра тяжести Вселенной. Нелепость этого следствия очевидна; мы знаем только относительные движения; движение центра тяжести Вселенной навсегда останется для нас неизвестным.

Итак, у нас не остается ничего, и все наши усилия были напрасны; нет иного выхода, как остановиться на следующем определении, которое является только признанием нашего бессилия: массы суть коэффициенты, которые удобно ввести в вычисления.

Мы могли бы перестроить всю механику, приписывая всем массам другие значения. Эта новая механика не была бы в противоречии ни с опытом, ни с общими принципами динамики (принципом инерции, пропорциональностью сил массам и ускорениям, равенством действия и противодействия, прямолинейным и равномерным движением центра тяжести, законом площадей). Только уравнения этой новой механики были бы менее просты. Говоря точнее, менее просты были бы только первые члены, т. е. те, которые нам уже открыл опыт. Быть может, удалось бы изменять массы в пределах малых величин так, чтобы простота полных уравнений ничего бы не теряла и не приобретала.

Герц задался вопросом, строго ли верны принципы динамики. «Многим физикам, – говорит он, – покажется немыслимым, чтобы самый отдаленный опыт мог когда-нибудь что-нибудь изменить в незыблемых принципах механики; однако же то, что исходит из опыта, всегда может быть и поправлено опытом».

После того, что мы сейчас говорили, все эти опасения являются излишними. Принципы динамики выступали перед нами сначала как опытные истины; но мы вынуждены были пользоваться ими как определениями. Только по определению сила равна произведению массы на ускорение; вот принцип, который отныне поставлен вне пределов досягаемости любого будущего опыта. Точно так же и действие равно противодействию только по определению. Но тогда, скажут, эти недоступные проверке принципы абсолютно лишены всякого значения; опыт не может им противоречить; но они не могут и научить нас ничему полезному; зачем же тогда изучать динамику?

Такой слишком поспешный приговор был бы несправедлив. Правда, в природе нет системы, совершенно изолированной, совершенно изъятой от всякого внешнего воздействия; но есть системы почти изолированные.

Наблюдая подобную систему, можно изучать не только относительное движение ее различных частей – одних по сравнению с другими, – но и движение ее центра тяжести относительно других частей Вселенной. Тогда мы убеждаемся, что движение этого центра тяжести почти прямолинейно и равномерно сообразно с третьим законом Ньютона.

Это – опытная истина; но она не может быть поколеблена опытом. В самом деле, что мог бы открыть нам более точный опыт? Он открыл бы, что закон только приближенно верен; но это мы уже знаем.

Теперь выясняется, каким образом опыт, с одной стороны, мог служить основанием для принципов механики, а с другой – никогда не будет в состоянии стать с ними в противоречие.

Антропоморфная механика. Кое-кто скажет: Кирхгоф только поддался общей склонности математиков к номинализму; талант, присущий ему как физику, не предохранил его от этого. Он сделал попытку дать определение силы и взял для этого первое попавшееся предложение; но в определении силы мы и не нуждаемся: идея силы есть понятие первичное, которое ни к чему не сводится и через что-либо не определяется, мы все знаем, что это такое, – мы имеем его в прямой интуиции. Эта прямая интуиция проистекает из понятия усилия (de la notion d’effort), хорошо знакомого нам с детства.

Но если бы даже эта прямая интуиция и открывала нам истинную природу силы самой по себе, она была бы недостаточна для обоснования механики; мало того, она была бы совсем бесполезна. Не важно знать, что такое сила, а важно знать, как ее измерить.

Все, что не научает нас измерять силу, так же бесполезно механику, как было бы, например, бесполезно субъективное понятие теплого и холодного для физика, изучающего теплоту. Это субъективное понятие не может быть переведено на язык чисел; значит, оно бесполезно: ученый, у которого кожа была бы абсолютно дурным проводником тепла и который, следовательно, никогда не испытывал бы ощущений ни холода, ни тепла, мог бы не хуже других наблюдать термометр, и этого ему было бы достаточно, чтобы построить всю теорию тепла.

Так и непосредственное понятие усилия не может служить нам для измерения силы; ясно, например, что, поднимая тяжесть в пятьдесят килограммов, я утомился бы сильнее, чем человек, привыкший таскать тяжести. Более того: это понятие усилия не открывает нам истинной природы силы; оно сводится в конце концов к воспоминанию мускульных ощущений; но никто не стал бы утверждать, что Солнце испытывает мускульное ощущение, притягивая Землю.

Все, что можно найти в нем, есть символ, менее точный и менее удобный, чем стрелки, которыми пользуются геометры, но столь же далекий от действительности.

Антропоморфизм сыграл важную историческую роль в происхождении механики; быть может, он доставит иной раз символ, который покажется некоторым умам удобным; но он не может обосновать ничего, что имело бы истинно научный или истинно философский характер.

«Школа нити». Андрад в своих «Лекциях по физической механике» возродил антропоморфную механику. Школе механиков, к которой принадлежит Кирхгоф, он противополагает ту, которую он довольно своеобразно называет школой нити.

Эта школа стремится свести все к «рассмотрению некоторых материальных систем с ничтожно малой массой, находящихся в состоянии напряжения и способных передавать значительные силы отдаленным телам, – систем, идеальным типом которых является нить».

Нить, передающая какую-нибудь силу, под действием ее слегка удлиняется; направление нити указывает нам направление силы, а величина последней измеряется удлинением нити.

Поэтому можно предпринять, например, такой опыт. Тело А прикреплено к нити; к другому ее концу прилагают силу, величину которой изменяют до тех пор, пока нить не получит удлинения α; замечают ускорение тела А; затем отвязывают А и прикрепляют тело В; снова прилагают ту же или другую силу и изменяют ее до тех пор, пока нить снова получит удлинение α; замечают ускорение тела В. Затем опыт повторяют как с телом А, так и с телом В, но уже таким образом, чтобы нить получала удлинение β. Четыре отмеченных ускорения должны быть пропорциональными. Таким образом получается опытная проверка сформулированного выше закона ускорения.

Далее подвергают тело совместному действию нескольких тождественных нитей, равно натянутых, и исследуют на опыте, как должны быть расположены все эти нити, чтобы тело оставалось в равновесии. Получается опытная проверка правила сложения сил.

Однако чего же мы достигли в конце концов? Мы определили силу, приложенную к нити, деформацией, испытываемой этою нитью, – это довольно основательно; мы допустили затем, что если тело привязано к нити, то сила, передаваемая ему этой нитью, равна действию, которое это тело оказывает на нить; в конце концов мы воспользовались принципом равенства действия противодействию, рассматривая его не как опытную истину, но как само определение силы.

Это определение совершенно так же условно, как и определение Кирхгофа, но оно гораздо менее общо. Не все силы могут быть передаваемы при помощи нитей (к тому же для возможности сравнивать их необходимо было бы, чтобы все они передавались совершенно одинаковыми нитями). Если бы даже допустить, что Земля привязана к Солнцу какой-нибудь невидимой нитью, то по меньшей мере надо согласиться с тем, что мы не имеем никакого средства измерить ее удлинение.

Следовательно, в девяти случаях из десяти наше определение было бы недостаточно; ему нельзя было бы придать никакого смысла и пришлось бы вернуться к определению Кирхгофа.

Но тогда к чему же весь этот окольный путь? Вы допускаете известное определение силы, которое имеет смысл только в некоторых частных случаях. В этих случаях вы убеждаетесь при помощи опыта, что оно приводит к закону ускорения. Опираясь на этот опыт, вы принимаете затем закон ускорения за определение силы во всех других случаях.

Не проще ли было бы смотреть на закон ускорения как на определение во всех случаях и рассматривать перечисленные опыты не как подтверждение этого закона, а как проверку принципа противодействия или как доказательство того, что деформации упругого тела зависят только от сил, действующих на это тело? Мы не говорим уже о том, что условия, в которых ваше определение могло бы быть принято, никогда не выполняются в совершенстве – что нить никогда не бывает лишена массы, что она никогда не бывает изолирована от действия других сил, кроме противодействия тел, привязанных к ее концам.

Тем не менее идеи Андрада очень интересны; хотя они не удовлетворяют нашей логической потребности, зато они позволяют лучше понять историческое происхождение основных механических понятий. Размышления, которые они вызывают у нас, показывают нам, как человеческий ум поднимался от наивного антропоморфизма к современным научным идеям.

В точке отправления мы видим опыт, имеющий весьма частное значение и вообще довольно грубый; в конечной точке имеем совершенно точный закон, достоверность коего мы принимаем за абсолютную. Этой достоверностью наделили его мы сами, – так сказать, по доброй воле, – рассматривая его как результат соглашения.

Значит, закон ускорения, правило сложения сил – только произвольные соглашения? Да, это соглашения, но не произвольные. Они были бы произвольными, если бы мы потеряли из виду те опыты, которые привели основателей науки к их принятию и которые, как бы несовершенны они ни были, достаточны для их оправдания. Хорошо, если время от времени наше внимание бывает обращено на опытное происхождение этих соглашений.

Глава VII. Движение относительное и движение абсолютное

Принцип относительного движения. Были попытки связать закон ускорения с некоторым более общим принципом. Движение всякой системы должно подчиняться одним и тем же законам независимо от того, относить ли его к неподвижным осям или к подвижным, перемещающимся прямолинейно и равномерно. Это – принцип относительного движения, который внушается нам двумя обстоятельствами: во-первых, его подтверждает самый обыденный опыт, и, во-вторых, противоположное допущение совершенно противоречило бы нашему разуму.

Итак, допустим его и рассмотрим тело, находящееся под действием силы. Относительное движение этого тела для наблюдателя, перемещающегося с постоянной скоростью, равной начальной скорости тела, должно быть таким же, каким было бы абсолютное движение этого тела, если бы оно выходило из состояния покоя. Из этого заключают, что ускорение тела не должно зависеть от его абсолютной скорости, и отсюда пытаются извлечь доказательство закона ускорения.

Долгое время следы этого доказательства сохранялись в экзаменационных программах на степень бакалавра философских наук. Но эта попытка, очевидно, безнадежна. Препятствие, мешавшее нам доказать закон ускорения, было обусловлено отсутствием определения силы, и оно нисколько не устраняется, так как приведенный принцип не дает требуемого определения.

Но принцип относительного движения от этого не делается менее интересным; он заслуживает изучения сам по себе. Постараемся прежде всего дать ему точную формулировку.

Выше мы сказали, что ускорения различных тел, входящих в состав изолированной системы, зависят только от их скоростей и положений (относительных, а не абсолютных), если только подвижные оси, к которым отнесено движение, перемещаются прямолинейно и равномерно. Или, если угодно, эти ускорения зависят только от разностей скоростей и разностей координат тел, а не от абсолютных значений этих скоростей и координат.

Если этот принцип верен для относительных ускорений (или, лучше сказать, для разностей ускорений), то, сочетая его с законом противодействия, можно вывести, что он верен также и для абсолютных ускорений.

Остается, таким образом, рассмотреть, как можно доказать, что разности ускорений зависят только от разностей скоростей и координат или, говоря математическим языком, что эти разности координат удовлетворяют дифференциальным уравнениям второго порядка.

Можно ли это доказательство вывести из опытов или же из априорных соображений?

Припоминая сказанное выше, читатель сам даст на это ответ. В самом деле, в такой формулировке принцип относительного движения очень похож на то, что выше я назвал обобщенным принципом инерции. Это не совсем то же самое, потому что здесь речь идет о разностях координат, а не о самих координатах. Следовательно, новый принцип учит нас кое-чему большему сравнительно с прежним. Однако те же рассуждения приложимы и к нему, и они привели бы к тем же заключениям; возвращаться к этому было бы бесполезно.

Аргумент Ньютона. Здесь мы сталкиваемся с вопросом, крайне важным и в какой-то степени внушающим беспокойство. Я сказал, что принцип относительного движения не только был для нас результатом опыта, но и что a priori никакая иная гипотеза не допускается нашим разумом.

Но тогда почему принцип верен только в случае прямолинейного и равномерного движения подвижных осей? Казалось бы, он должен внушаться нам с той же силой и в случае, когда это движение переменно или, по крайней мере, когда оно сводится к равномерному вращению. Однако в этих двух случаях принцип неверен.

Я не стану подробно останавливаться на том случае, когда движение осей прямолинейно, но не равномерно; парадокс устраняется сейчас же при исследовании. Я нахожусь в вагоне, и если поезд, натолкнувшись на какое-нибудь препятствие, внезапно останавливается, я буду отброшен на противоположную скамейку, хотя прямо на меня не действовала никакая сила. Здесь нет ничего загадочного: я не подвергся действию никакой внешней силы, зато поезд испытал внешний толчок. Нет ничего парадоксального в том, что относительное движение двух тел оказывается возмущенным, раз движение того или другого тела изменено внешней причиной.

Остановлюсь подробнее на случае относительных движений, относимых к равномерно вращающимся осям. Если бы небо было беспрестанно покрыто тучами, если бы мы не имели никакого средства наблюдать светила, мы все-таки могли бы заключить, что Земля вращается; мы узнали бы об этом по ее сжатию или – еще лучше – из опыта с маятником Фуко.

Однако имело ли бы смысл говорить в этом случае, что Земля вращается? Если нет абсолютного пространства, то как можно вращаться, не вращаясь по отношению к чему-либо, а с другой стороны, как могли бы мы принять заключение Ньютона и верить в абсолютное пространство?

Но недостаточно констатировать, что все возможные решения одинаково не удовлетворяют нас; надо для каждого из них проанализировать основания, по которым мы отвергаем его, чтобы сделать наш выбор сознательно. Да простятся мне поэтому последующие длинные рассуждения.