Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели

Все, да не все включил в книгу Евклид. Скажем, задачи на построение циркулем и линейкой он включает, а любые задачи на построение с помощью других инструментов – нет, не включает.

Так в «Начала» Евклида не входят три знаменитые неразрешимые задачи на построение (см.[12]).

Рисунок 6.3: Решение Архимеда задачи о трисекции угла

методом "вставки".

Задача удвоения куба. Построить отрезок такой, чтобы куб с таким ребром имел вдвое больший объем, чем заданный. (Иначе говоря: дан отрезок, построить другой отрезок, который будет длиннее данного раз).

Задача о квадратуре круга. Построить квадрат, равновеликий заданному кругу (или же наоборот: построить круг, равновеликий заданному квадрату)6.

Трисекция угла. Разделить угол на три равные части (не на две, как биссектрисой, а на 3).

Математики разных времен пытались эти задачи решать. Естественно, не упомянуто, но подразумевается, что надо решать эти задачи с помощью циркуля и линейки. И с помощью циркуля и линейки у них не получалось. Зато иногда получалось с помощью других инструментов. Архимед, например, кажется, придумал, как с помощью разных инструментов решать все три эти задачи. Правда, Архимед жил позже Евклида (мы до него еще не дошли), но смысл тот же.

Так вот, решения с помощью "чего попало" в стиле пифагореизма было запрещено, считалось читерским, некрасивым. Поэтому Евклид не включил в свой трактат даже самые изящные и красивые из таких решений.

На рис.6.3 мы видим решение Архимеда задачи о трисекции угла методом "вставки". Если вы совсем-совсем неподготовленный читатель, то следующий абзац без потери смысла можно пропустить.

Угол АОВ – исходный, который надо поделить на три равные части. Произвольным радиусом строим окружность с центром в точке О. Продлеваем прямую АО. Теперь берем линейку, отмечаем на ней отрезок, равный радиусу окружности. И прикладываем эту линейку так, чтобы она проходила через точку А и чтобы отрезок, "зажатый" между окружностью и прямой ОВ был равен радиусу (тому самому, который мы заблаговременно отметили на линейке). В таком случае, полученный угол СDO будет как раз равен трети исходного угла. (Углы, отмеченные 1 равны между собой, т.к. в равнобедренном треугольнике; углы, отмеченные 2 равные между собой и вдвое больше углов 1 (т.к. угол АСО внешний к треугольнику ОСD). Ну, и дальше сумма углов в треугольнике равна π и сумма трех углов с вершиной О равна π. Значит, угол, отмеченный 3 втрое больше угла 1. Вот и все.)

Что тут используется? Почти что циркуль и линейка. Но только предлагается на линейке поставить засечку (отмечающую равный радиусу отрезок). Все. Так нельзя! Это не благородно, и недостойно.

Вот такие задачи Евклид так и не включил в свои Начала.

Кстати, древние греки не зря не могли найти решение с помощью циркуля и линейки в середине XIX века было доказано, что с помощью циркуля и линейки решить эти задачи нельзя, как ни исхищряйся.

Лекция 7

.

Архимед

Итак, «Начала» уже написаны. Доказательства почти на том же уровне строгости, как принято в математике сейчас. Геометрия на необычайно высоком уровне. Приложения математика находит в астрономии, музыке, зачатках теории перспективы. Т.е. приложения приняты внутри науки и искусства. "Извлекать выгоду" из науки не принято, недостойно – по соображениям почти религиозным, как мы помним.

Казалось бы, куда уж боле?

И тут на сцене возникает Архимед.

Архимед родился в Сиракузах, жил в Сиракузах, занимался математикой, механикой и астрономией в Сиракузах, а затем умер, защищая Сиракузы, в возрасте 75 лет.

Тут надо сказать, что Сиракузы – город на юге острова Сицилия (ныне это в Италии). В те времена был автономным греческим городом-государством, а вот вся остальная Сицилия уже была поглощена римлянами. Проходило время господства на мировой арене Древней Греции, наступало время господства Древнего Рима. Поэтому всю жизнь Архимеда Сиракузы были очень лакомым кусочком, за который постоянно сражались греки, римляне и карфагеняне. В связи с этим есть информация об Архимеде практически в любых книгах по истории того времени (ведь битвы и баталии в исторической литературе отражены очень хорошо!). Еще Плутарх, живший на рубеже I и II веков нашей эры, и писавший трактаты про историю того времени, обязательно писал об Архимеде.

А кроме того, уцелело довольно много сочинений, работ, чертежей самого Архимеда (и на русском языке есть отличная книжка с этими остатками [17]). Поэтому о том, чем этот невероятно гениальный человек занимался в науке, мы знаем довольно хорошо.

Отец Архимеда был известный в те времена астроном Фидий. И Архимед, таким образом, возможно, первый в истории потомственный ученый. Сейчас бывают целые ученые династии, а уж потомственные ученые – повсеместность /*автор этой книги, ваша покорная слуга, сама из таких: мои родители оба математики. Но в наши времена это не редкость.*/, а вот Архимед был первым.

Рисунок 7.1: Архимед. 287–212 гг. до н.э.

Архимед вел переписку с разными известными учеными разных стран. И, возможно, это первая в истории научная переписка. С тех пор и поныне научная переписка – один из главных движителей науки.

Ученые обязательно общаются между собой, обсуждают доказанное, ставят друг другу задачи и так далее. Кстати, в связи с научной перепиской встает моральный вопрос: как доказать в науке свой приоритет? Сейчас авторы пишут статьи, издают их или в научных журналах или в электронном виде (например, на https://arxiv.org/), и все знают: кто первый встал – того и тапки. То есть, тьфу, чья первая вышла статья, того и изобретение. Еще один путь: выступить на научной конференции или на научном семинаре. Рассказать о своем открытии, заодним рассказать о том, что это открытие – твое. Но в те времена журналов не было. Научные семинары тоже появятся еще только в XVII веке. Как избежать того, что ты расскажешь какую-то теорему коллеге, а он ее потом будет везде рассказывать от своего имени? Можно было написать книгу (подобно Евклиду), но это очень долго.

Архимед писал в своих письмах результаты, но не писал доказательств. Доказательства были в его трудах. А кроме того, Архимед обожал троллить своих адресантов (например, постоянно слал Эратосфену нерешаемые задачи или неправильные теоремы).

7.1

Архимед и анекдоты

А еще, кажется, Архимед – первый ученый, про которого сочиняют анекдоты. Анекдоты про ученых – ныне явление повсеместное (например, крайне рекомендую всем заинтересованным книгу [73]). Но до Архимеда про ученых не сочиняли анекдотов. К ним относились с большим почтением, очень благоговейно. А Архимеда, хоть и уважали, но подсмеивались над его рассеянностью и увлеченностью наукой.

Например, рассказывают, что даже когда он принимал ванну, он не мог оторваться от геометрических чертежей и чертил их буквально на пене в ванной, на расплескавшейся вокруг ванной воде, и вообще на любых поверхностях.

В целом, подобные анекдоты о рассеянности ученых потом рассказывали постоянно. Например, судя по анекдоту, Ньютон както раз вместо яйца сварил по рассеянности свои карманные часы. А Эйнштейн… Впрочем, не буду вам все пересказывать, не зря же я вам книжку отдельную упомянула! Но Архимед был первым.

Ну, а самый известный анекдот, безусловно, про корону царя Гиерона.

Жил-был царь Гиерон. Страна, которой он управлял, была очень мала. А самомнение у него было очень велико. Поэтому он велел создать для него корону, самую большую, самую дорогую, и самую красивую! Выделил Гиерон ювелиру каменьев драгоценных и золота 10 пудов. И через некоторое время получил корону, которая весила ровно столько, сколько нужно. Была самая большая в мире и самая красивая. Но пошел слушок, что ювелир оказался нечист на руку, и использовал для короны не чистое золото, а часть золота заменил серебром того же веса.

Но как же это узнать? Архимед умный, вот пусть Архимед и узнает, – порешил царь.

Архимед долго бился над задачкой. Пилить корону, брать пробы – испортишь! А корона Гиерону очень нравилась, он с ней не хотел расставаться в любом случае. Как же проверить, из чистого она золота, или часть золота заменил-таки прохвост-ювелир на серебро? Думал-думал, ничего в голову не шло. И вот в один день пошел Архимед принимать ванну. А слуги наполнили ванну до самых краев, и когда Архимед залезал, вода выплеснулась на пол.

– А сколько же воды выплеснулось? – подумал Архимед. – Так ровно столько, каков мой объем.

– Эврика! – вскричал Архимед. На греческом это означало "нашел!" – выбежал из ванной и побежал прямо в чем мать родила через все Сиракузы во дворец, рассказывать царю Гиерону, как, не разрушая его корону, узнать, из чистого ли она золота.

И ведь правда, серебро – намного менее тяжелый металл (как бы мы сказали сейчас, плотность серебра меньше). Поэтому серебро того же веса займет больший объем, нежели золото. А объем можно вычислить, погрузив предмет в воду. Так можно узнать, не добавили ли в золото серебра.

А вот что случилось с тем ювелиром, анекдоты умалчивают. Вероятно, это уже не такая забавная история.

7.2

Механические изобретения

Архимед очень стыдился своего занятия механикой и изобретением разных механических приспособлений, но поделать с собой ничего не мог. Ну, нравилось ему это дело! Хотя и было немного стыдно извлекать прибыль из математики, вопреки неписанному уставу древнегреческих математиков. Изобретения свои он считал "забавами геометрии". Так что же изобрел Архимед?

Рисунок 7.2: Т. Спенс. Архимед руководит обороной Сиракуз. 1895г.

Более всего известен Архимед своими военными инженерными разработками. Когда в 212 году до н.э. римляне напали на Сиракузы в очередной попытке захватить этот город, у сиракузян на самом деле не было ни единого шанса на поле боя. Они многократно уступали в численности, в умении, в опыте… Но на помощь пришел Архимед и его приспособления.

Атакующих с суши встретили катапульты и скорпионы (которые изобрел Архимед, и подобного оружия у римлян не было). Причем, совершенно гениально Архимед изобрел бойницы. Уникальное изобретение, которое после смерти Архимеда было в Европе утеряно аж до Позднего Средневековья (а в Сиракузах бойницы встречаются в 3 веке до н.э.) Очевидно, сквозь бойницы метать снаряды при помощи скорпионов куда как удобнее, чем с вершины стен. Поэтому римляне не могли ничем ответить этой смертоносной бомбардировке, не могли ни разрушить как-то машины, ни подстрелить из луков сиракузян, управляющих этими машинами.

А вот на море римлян встречало еще одно изобретение Архимеда – клешня Архимеда (или коготь Архимеда). Это крюк, который захватывал судно под днище, потом с помощью системы блоков, нос корабля медленно поднимался из воды. После чего (вот тут тоже состоит гениальность), блок вышибали, веревка ослабевала и корабль под собственным весом падал в море, уходя под воду. Можно было веревку перерезать – но тогда изобретение было одноразовым. Архимед придумал, как такую систему сделать "многозарядной". (Можно посмотреть реконструкцию этого процесса, например, тут: [22]).

Были у Архимеда и мирные изобретения, как же не быть? Например, он изобрел перископ. Т.е. изогнутую трубку с системой зеркал, позволяющую заглянуть за стену.

Или вот, например, Архимед изобрел "Винт Архимеда" – устройство, которое до сих пор используют в некоторых странах для осушения полей или для поднимания воды на большую высоту. (Про это устройство тоже можно посмотреть видео. Например, вот такое: [23]).

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Однажды я придумала, что могу каждому студенту, выбравшему себе как специализацию что-то из математических наук на нашем факультете, выдавать справку о том, какая у него "математическая генеалогия". У кого-то в математических предках затесался Гаусс, как и у меня, у кого-то один Ляпунов (который А.М.), у кого-то другой (который А.А.), у кого-то Лобачевский, у кого-то Чебышёв. Было интересно! Хороший способ для студента почувствовать, что он связан с историей, и история это не где-то что-то постороннее, а что-то очень близкое.

2

Конечно, письменность появилась не везде и не сразу. Многие народности и в начале 20 века еще жили на доисторическом уровне, без письменности. И, кстати, это тоже один из источников наших знаний о том, что знали доисторические люди, а чего не знали. В исторические времена европейцы наталкивались на народы без письменности, с другими системами счета и так далее, наблюдали за их укладом жизни....

3

Когда я была маленькая, я любила иногда читать странные книжки. Например, книжку [2] Тома Придо "Кроманьонский человек" я читала, когда мне было лет 8-10. В этой книге было написано, что росписи в пещере Альтамира около 15 тысяч лет. А теперь в любом источнике можно найти, что роспись возникла за 35 тысяч лет до нашей эры. Отсюда, очевидно, не составит труда вычислить мой текущий возраст (хотя бы с точностью до тысячи лет).

4

Кстати, Стоунхендж не уникальный в своем роде. Ну, то есть, конечно, уникальный. Но в те времена, а то и раньше, люди строили много подобных же мегалитических конструкций. Например, Караундж на территории современной Армении.

5

По правильному, по-египетски, сверху надо нарисовать "луночку", а не палочку – но палочку мне в нарисовать намного проще.

6

То, что эти задачи равнозначны, древние греки прекрасно знали. Если научиться решать одну из них, другую они понимали, как решать.