Матрицы и системы. 12 разборов с проверками

К маршруту по разборам

Упражнение 3.1

После законного прямого хода получена система 2x + y - z = 1; -3y + 2z = 8; 4z = 10. Ученик нашёл z = 5/2, затем записал -3y = 8 + 5 = 13. Найдите ошибку, закончите обратный ход точно и объясните, нужна ли дополнительная строковая редукция до единичной матрицы.

Подсказка - Упражнение 3.1

Решение - Упражнение 3.1

Упражнение 3.2

В системе 2y + z = 5; x - y = 1; 2x + y - z = h требуется, чтобы решение имело z = 1. Найдите правую часть h и докажите, что при ней решение единственное. Объясните, почему ноль при x в первом уравнении не мешает начать прямой ход.

Подсказка - Упражнение 3.2

Решение - Упражнение 3.2

Разбор 4. Противоречие и пустое условие

Задача: Увидеть несовместность как конкретное невозможное равенство, отличить строку 0 = 0 от строки 0 = c при c != 0 и найти точное условие на правую часть, при котором противоречие исчезает.

Чтение строк расширенной матрицы и обратимые действия над ними.

Понимание того, что система требует одновременного выполнения всех уравнений.

Система называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если нет ни одного. Эти слова ничего не говорят о единственности: совместная система может иметь много решений.

Строка (0; 0; 0 | 0) при трёх неизвестных задаёт 0x + 0y + 0z = 0, то есть тождество 0 = 0. Оно выполняется при любом наборе координат и не добавляет ограничения к остальным строкам.

Строка (0; 0; 0 | c), где c != 0, задаёт невозможное равенство 0 = c. Она не разрешается выбором неизвестных: все их коэффициенты уже равны нулю. Такая строка делает всю систему несовместной независимо от других строк.

Обратимые действия сохраняют множество решений в обе стороны. Поэтому противоречие, полученное законным прямым ходом, доказывает отсутствие решений у исходной системы; оно не является новой случайной помехой, внесённой методом.

Если правая часть противоречивой строки содержит параметр, сначала решают условие её равенства нулю. После этого отдельно проверяют оставшиеся уравнения: исчезновение одного противоречия необходимо, но без такой проверки не всегда достаточно.

Схема 2 - три отдельные системы, не продолжение одного преобразования. Система x = 1, y = 2 имеет единственное решение. Система x + y = 3, 0 = 1 несовместна. Система x + y = 3, 0 = 0 имеет все решения (3 - t; t), t in R. Само по себе тождество в одной строке не определяет ответ: нужно учитывать остальные строки и число переменных.

Исследуйте систему x + 2y - z = 4; 2x + 4y - 2z = 8; 3x + 6y - 3z = 13 в порядке (x; y; z). Не ищите приблизительную точку: определите, существует ли точное решение, и покажите, какая строка даёт решающий вывод.

1. Матрица A размера 3*3 имеет строки (1; 2; -1), (2; 4; -2), (3; 6; -3). Расширенная матрица размера 3*4 имеет строки (1; 2; -1 | 4), (2; 4; -2 | 8), (3; 6; -3 | 13). Коэффициенты второй и третьей строк кратны первой, но правые части нужно проверить отдельно.

2. Выполним R2 <- R2 - 2R1. Меняется только вторая строка целиком: все три коэффициента становятся нулевыми, а правая часть равна 8 - 2*4 = 0. Получена строка (0; 0; 0 | 0). Она означает, что второе исходное уравнение повторяло первое с множителем 2.

3. Теперь выполним R3 <- R3 - 3R1. Первая строка по-прежнему сохранена. Новые коэффициенты третьей строки нулевые, а правая часть равна 13 - 3*4 = 1. Третья строка становится (0; 0; 0 | 1).

4. Полученные уравнения равны x + 2y - z = 4; 0 = 0; 0 = 1. Вторая строка не ограничивает координаты, но третья не выполняется ни для одной точки. Нельзя исправить равенство 0 = 1 подбором больших или дробных значений x, y, z: умножение на нулевые коэффициенты всегда даёт ноль.

5. Следовательно, преобразованная система не имеет решений. Оба шага обратимы прибавлением соответствующего кратного первой строки, поэтому исходная система тоже не имеет решений. Мы не отбросили неудачный кандидат, а исключили сразу все возможные кандидаты.

6. Проверим вывод непосредственно без матричной записи. Если первое равенство верно, его утроение требует 3x + 6y - 3z = 12. Третье исходное равенство требует для той же левой части 13. Одно и то же число не равно одновременно 12 и 13; это независимый короткий довод о несовместности.

Ответ: Система несовместна. Решающая строка - (0; 0; 0 | 1), полученная как R3 - 3R1; она задаёт невозможное равенство 0 = 1. Строка (0; 0; 0 | 0) сама по себе противоречия не содержит.

Проверка: Комбинация третьего уравнения минус утроенное первое имеет нулевую левую часть и правую часть 13 - 12 = 1. Этот расчёт не зависит от x, y, z и потому доказывает отсутствие любого решения, а не только неудачу нескольких пробных точек.

Ошибочное утверждение: Любую строку, у которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, можно удалить как ненужную.

Слово "коэффициенты" здесь не включает правую часть. У строк (0; 0; 0 | 0) и (0; 0; 0 | 1) одинаковые коэффициенты, но противоположная роль: первая разрешает любую точку, вторая запрещает все. Удаление второй строки превратило бы пустое множество решений в непустое.

Как исправить: Прежде чем убрать нулевую строку, прочитайте её вместе с числом после черты. Удалять как избыточное условие можно тождество 0 = 0; равенство 0 = c при ненулевом c нужно сохранить как свидетельство несовместности.

Нулевая левая часть - ещё не диагноз. Всегда смотрите направо: 0 = 0 ничего не требует, а 0 = c при c != 0 запрещает все решения. Для параметрического условия доказывайте и необходимость отсутствия противоречия, и достаточность оставшейся системы.

К маршруту по разборам

Упражнение 4.1

Для каких действительных h совместна система 2x - y = 3; 6x - 3y = h? Найдите точное условие и при допустимом h предъявите хотя бы одно решение. Полное множество решений в этом упражнении описывать не требуется.

Подсказка - Упражнение 4.1

Решение - Упражнение 4.1

Упражнение 4.2

Две системы с порядком (x; y; z) уже приведены обратимыми действиями к строкам (1; 0; 2 | 5), (0; 1; -1 | -2) и (0; 0; 0 | c). Для первой c = 0, для второй c = -4. Сравните совместность. Для совместной системы укажите две разные точки, чтобы проверить утверждение "раз осталось два уравнения, решение одно".

Подсказка - Упражнение 4.2

Решение - Упражнение 4.2

Разбор 5. Свободный выбор и все решения

Задача: Описать все решения системы с двумя уравнениями и тремя неизвестными с помощью свободного параметра. Проверить оба направления: каждый параметр даёт решение и всякое решение получается при некотором параметре.

Прямой и обратный ход для расширенной матрицы.

Различение тождества, противоречия и содержательного уравнения.

После приведения к ступенчатой форме переменные ведущих столбцов выражают через остальные. Переменную неведущего столбца называют свободной: в совместной системе её значение можно выбрать, а затем восстановить ведущие переменные.

Параметризация должна содержать область значений параметра. Фраза "t - любое действительное число" существенно сильнее перечня t = 0, 1, 2: решения с отрицательными числами и дробями тоже должны быть охвачены.

Первое направление проверки - достаточность: подставить общие формулы координат и получить все исходные правые части при произвольном разрешённом параметре. Несколько числовых подстановок не заменяют это тождественное вычисление.

Второе направление - полнота: взять произвольное решение, назвать одну его координату параметром и вывести для остальных именно предложенные формулы. Тогда ни одно решение не оказалось за пределами семейства.

Разные параметры и разные формулы могут описывать одно множество. Для сравнения полезно выразить один параметр через другой и проверить, что замена достигает всех разрешённых значений, а не только части из них.

Найдите все решения системы x + 2y - z = 4; 2x - y + 3z = 1 в порядке (x; y; z). Укажите одну свободную переменную и докажите полноту ответа. Затем перепишите то же множество, используя y вместо z как параметр.

1. A имеет размер 2*3 и строки (1; 2; -1), (2; -1; 3). Расширенная матрица размера 2*4 имеет строки (1; 2; -1 | 4) и (2; -1; 3 | 1). Действие R2 <- R2 - 2R1 изменяет только вторую строку целиком и даёт (0; -5; 5 | -7).

2. Ведущие коэффициенты находятся в столбцах x и y. Второе уравнение -5y + 5z = -7 равносильно y - z = 7/5, поскольку делим всю строку на ненулевое -5. Следовательно, y = z + 7/5. Отдельного уравнения, фиксирующего z, нет.