Математика нуждается в систематизации

Иван Деревянко

Математика нуждается в систематизации

Систем в математике много,

Но сущность у них всегда одна:

Четыре исходных объекта строго,

А основа – множество, как среда.

Введение

Технарям часто приходится иметь дело с математикой, которая их не всегда устраивает. Профессиональные математики часто «зацикливаются» на решении сложных проблем, забывая навести порядок в простейших основах математики, поэтому взгляд со стороны иногда бывает полезен. Науке известны случаи, когда взгляд со стороны приводил к открытиям. В данном случае сделана попытка посмотреть на математику со стороны теории систем, которая во всех науках пытается найти системные закономерности. Выясняется, что математика сама является системой, так как содержит все присущие естественным системам атрибуты. Она ведь естественным образом отображает их.

Дело в том, что математика сама по себе мало чего стоит. Она рождена Природой и предназначена для совершенствования искусственных систем по образу и подобию естественных. В этом смысле весь аппарат математики должен отражать соответствующие реальности, развитием и формой существования которых предопределен выбор математических объектов, т.е. он должен быть системой. Только в этом случае чистая математика может принести реальную пользу.

Кратко о системах. «Система» – понятие весьма распространенное. В интернете дается более 66 млн. ссылок на это понятие. Обращает на себя внимание то, что довольно много ссылок на объекты, как на системы, но эти объекты системами не являются и что среди этих ссылок нет ни одной с всеобщим определение систем.

К числу непосредственных предшественников разработки теории систем можно отнести А.А. Богданова с его тектологией, как всеобщей организационной наукой. Современная разработка этой теории осуществлялась такими авторами, как Л. фон Берталанфи, М. Месарович, Р. Акоф, Л. Заде, О Ланге, А.И. Уемов, И.В. Блауберг, В.Н. Садовский, Э.Г. Юдин др.

Авторы едины в понимании общих задач теории систем, но ориентируются на различные предметные области и используют разный логико-математический аппарат. Причем, ни один автор не дал общего определения понятия систем, хотя таких попыток сделано немало. Очевидно, причиной такого положения служит разнообразие систем. В результате этого трудно находить в них общие характеристики, а потому недостаточно полно раскрыта их природа.

Анализ различных видов систем показал, что свойства и закономерности хорошо работающих технических систем соответствуют естественным системам, хотя не раскрытыми остаются теоретические вопросы их структурообразования. Ситуация соответствует тому, что в свое время остроумно подметил А. Эйнштейн.

«Теория— это когда все известно, но ничего не работает. Практика— это когда все работает, но никто не знает почему. Мы же объединяем теорию и практику: ничего не работает… и никто не знает почему!» [1].

Эйнштейн оказался прав в том, что в существующей теории систем вроде все известно, но универсальная система не работает, а технические системы работают, но никто не знает почему. В данном же случае сделана попытка показать, что многие системы не работают потому, что не соблюдаются закономерности образования естественных систем.

Технические системы работают потому, что методом проб и ошибок технари вышли на законы Природы и по ним построили свои системы. Гуманитарии же, в том числе математики, возомнили себя членами особой касты, которая может обходиться без аналогий с техникой и вообще без всеобщих законов развития Природы. Технические системы большие и малые хорошо работают, а, например, математику нельзя назвать системой.

В чем тут дело? А дело в том, как выразился Фридрих фон Хайек, что из-за огромной, разницы между методами, характерными для технических наук и наук социальных, учёный естествоиспытатель, обратившийся к тому, что делают профессиональные исследователи общественных явлений, зачастую обнаруживает, что науки об общественных системах, соответствующей техническим стандартам, до сих пор не существует.

Приходится с величайшим сожалением констатировать, что ученые – гуманитарии не признают методологии технических наук. Ведь технари, прежде чем описать свою идею, сначала нарисуют эскиз или схему, затем просчитают возможные взаимодействия элементов, создавая проектно-конструкторскую документацию и только после этого идея реализуется на практике.

Из общих методов системного исследования следует отметить достаточно хорошо разработанный фон Берталанфи метод, при котором принимается мир таким, каким он обнаруживается, исследуются содержащиеся в нем различные системы – зоологические, физиологические и т. п., а затем делаются выводы о наблюдаемых закономерностях [2].

С этим можно было бы согласиться, если бы не было более простых естественных систем. Но в одном фон Берталанфи прав: системы надо изучать не просто как образ живой природы, а начинать надо с самой сложной системы биологического развития, т.е. с человека, который имеет хорошо известную и постоянно применяемую простейшую систему управления.

Что общего у всех систем? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо провести тщательный анализ всех типов систем и их свойств. На основе такого анализа станет возможным построение всеобщей модели систем и появятся основания для формулирования общего определения этого понятия.

О понятийном аппарате математических теорий.

В каждом конкретном случае выбор математического аппарата предопределяется, главным образом, традициями той научной школы, представителем которой является исследователь. Существенных неудобств это обстоятельство, как правило, не вызывает, если исследование носит узко дифференцированную направленность. В нашем же случае, когда требуется описать интегрированную в самом широком смысле систему отношений между объектами с качественно различной природой, вопрос выбора математического аппарата приобретает первостепенное значение.

Особую остроту ему придает то обстоятельство, что как выразился один из выдающихся математиков XX века Герман Вейль, вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Это достаточно сдержанное выражение было сделано в 1944 году ученым, который с глубоким чувством гуманизма боролся за истину, понимаемую, прежде всего, как нравственную ценность общечеловеческого характера, и, с уходом которого из науки ушло единство и бескорыстность знания.

Поэтому современные математики и философы выражаются более категорично: кризис математики не преодолен, утрачены критерии абсолютности истины, существует неуверенность в выборе правильного подхода к математике, конфликты по основаниям математики отрицательно сказались на развитии и применении математической методологии и т. д.

Однако, такая категоричность в оценке состояния математики вовсе не означает отказа от ее применения. "Если я не знаю, как работает мой желудок, это не означает, что я не должен кушать". Эта мысль Гегеля является лейтмотивом современных оптимистов в математике, успешно применяющих ее в науке, технике, экономике и других областях. В нашем случае с таким оптимизмом в определенном смысле можно согласиться, но только отчасти.

Речь может идти лишь о том уровне неопределенности применяемого математического аппарата, который, с одной стороны, предопределен нашими возможностями получения достоверной информации об объекте исследования, а с другой стороны, ограничен целью описания изучаемых явлений. Это предъявляет особые требования к выбору математического аппарата, который должен обеспечить получение результата исчерпывающей полноты при довольно широком диапазоне неопределенности информации о разных объектах и при весьма жестких условиях применения, требующих предельной простоты и наглядности применяемых выкладок.

Это весьма существенное в данном случае обстоятельство заставляет проанализировать самые разнообразные области математики с целью выявления такого минимума наиболее простых математических форм и средств, который был бы необходим и достаточен для решения поставленных перед данным исследованием задач. При этом, прежде всего, будем исходить из чисто прагматического соображения практической полезности рассматриваемых математических теорий: любая из них имеет право на существование, если с ее помощью получен хотя бы один положительный результат.

Такой принцип является основой системного подхода, методологическая форма которого выражает естественную (природную) сущность потребностей человека. Потребительские свойства объекта (в данном случае -теории) предопределяют ее полезность, продолжительность и "географию" проявляемого к ней интереса со стороны наиболее авторитетных исследователей. В этом заключается суть второго принципа системного подхода – соответствие основных свойств объекта (теории) потребностям человека (исследователя).

Заниматься поисками чего-то общего в существующих теориях, не оговорив заранее, что же мы хотели бы в них найти, дело весьма бесперспективное. Поэтому обратимся к третьему принципу системного подхода, т. е. определимся относительно принципа подобия форм, согласно которому к любой теоретической системе предъявим следующие формальные требования:

– теория должна иметь неопределимые первичные понятия об объектах исследования;

– быть непротиворечивой;

– содержать независимые с точки зрения познания методы исследования;

– обладать симметрией.

Эти требования можно обобщить в виде принципов, в той или иной форме сформулированных учеными-классиками и ставших фундаментальными в прикладных науках, особенно, в физике. К ним относятся принципы неопределенности, сохранения, относительности и симметрии. Этот, пожалуй, исчерпывающий перечень фундаментальных в науке принципов должен стать своего рода эталоном для сравнения оснований рассматриваемых теорий, причем в первую очередь с точки зрения их наличия и использования в явном или неявном виде.

Выбранных путей не должно быть слишком много, чтобы не превратить их анализ в самостоятельное исследование, а сами они должны принадлежать к соперничающим научным течениям, что гарантирует от ошибок при выявлении наиболее общих принципов в построении математического аппарата.

Исходя из этих соображений, можно рассмотреть следующие классические теоретические направления в математике:

– теоретико-множественное направление, система аксиом которого известна как система Цермело-Френкеля;

– логизм Фреге-Рассела;

– интуиционизм Брауэра;

– формализм Гильберта;

– единая теория Вейля;

– единая теория поля Эйнштейна;

– всеобщая организационная наука – тектология Богданова.

Из наиболее популярных в настоящее время можно выделить теорию групп и топологию. Все эти теории претендуют или в свое время претендовали на универсальность, следовательно, их выбор не противоречит четвертому принципу системного подхода – принципу всеобщности результата.

Любой анализ того или иного объекта, а системный тем более, должен, во-первых, дать ответ на вопрос, достигнута ли поставленная цель. Во-вторых, при этом требуется определить причины, которые привели объект к известным последствиям. В-третьих, должно быть раскрыто содержание противоречий, свойственных этим причинам. И, в-четвертых, безусловно необходимым является количественная оценка каждого из противоречий по отношению к другим, т. е. определение их весомости.

На первый вопрос ответ дает история: ни одна из математических концепций экзамен на всеобщую универсальность не выдержала. Существует даже мнение, что такую единую теорию в принципе создать нельзя. Тем не менее поиски в этом направлении не прекращаются, очевидно, потому что результаты таких работ оказываются весьма плодотворными. Здесь все ясно: достичь абсолютной истины нельзя, но к ней надо стремиться.

Вопрос заключается в оценке направления движения к истине и темпов приближения к ней. Но этот вопрос относится к следующему этапу анализа – выявлению причин. Тщательный анализ перечисленных выше теорий, и не только их, показал, что все они опираются на фундаментальные принципы, независимо от того, признаются ли они авторами теорий, умалчиваются ли или категорически отрицаются. Более того, именно этими принципами и именно в такой их совокупности объясняется живучесть этих теорий и их полезность.

Другое дело, что авторы соответствующих теорий по-разному относились к ним и весьма неоднозначно их толковали, в результате чего и возникали различные противоречия по типу знаменитого парадокса Рассела в теории множеств. Так, квантовая теория поля строится, главным образом, на основе принципа неопределенности Паули, формализм Гильберта базируется на принципе непротиворечивости, единая теория поля Эйнштейна немыслима без принципа относительности, а многие открытия в ядерной физике обязаны теориям, в основе которых заложен принцип симметрии.

Вообще говоря, это вполне естественно, когда ученый берет в качестве первичного какой-то один фундаментальный принцип и относительно него комбинирует все остальные. Неестественным является категорическое отрицание других принципов, поскольку это приводит к казусам в науке, а иногда и к драматическим ситуациям. Последнее особенно характерно для экономических теорий русских ученых (А. Богданов, Е Бухарин и многие другие).

Математика – наука достаточно строгая, поэтому в ней произвола относительно какого-нибудь принципа значительно меньше, чем в других науках, ибо, отбросив его, невозможно сохранить строгость доказательств. Наглядный пример этого демонстрирует М. Клайн, описывая взгляды Лейбница на возможность построения универсальной логики. Перечислив три основных элемента, которые, по его мнению, являются необходимыми для такого построения (универсальный научный язык, исчерпывающий набор логических форм и набор основных понятий), он тут же делает оговорку, что к числу фундаментальных принципов следует отнести, например, закон тождества.

Совершенно очевидно, что по своей сути эти элементы вместе с законом тождества есть не что иное, как сформулированные выше четыре фундаментальных принципа математики. Современные математические теории, особенно такие "долгожители" как теория групп, имеют непреходящее значение для науки, очевидно, потому, что не просто сохраняют, но и специально оговаривают фундаментальные принципы.

Так, теория групп имеет дело с исходными множествами и операциями над их элементами при обязательном наличии единичных элементов и с применением закона композиции, т. е. по сути те же принципы имеют другие названия. Аналогичная ситуация в топологии, которая занимается построением топологических инвариантов, анализом поведения инвариантов при основных операциях, исследованием инвариантов при отображениях и оценкой соотношений между свойствами топологических пространств и их дополнений, где достаточно четко просматривается роль фундаментальных принципов.

Однако вернёмся к математическим основам экономических наук. Они в нашем случае представляют особый интерес, поскольку именно экономика является самым слабым звеном в рассматриваемой здесь системе отношений. Может быть наши классики экономических наук игнорировали какие-нибудь фундаментальные принципы? Тщательный анализ сколько-нибудь значимых теорий показывает, что все они так или иначе строятся на таком же фундаменте. Этот вывод имеет прямое отношение к политэкономии К. Маркса, который считал едва ли не главным своим достижением, сформулированный им метод восхождения от абстрактного к конкретному, где как раз и прослеживаются все четыре фундаментальных принципа.

Естественно, что эти принципы не могла проигнорировать и философия, претендующая на роль метанауки. Фундамент этот, видимо, был заложен еще в древности, поскольку до нас дошла классификация первооснов познания Аристотеля, который различал цель (то, ради чего), материю, форму и источник движения. Если это так, то вполне закономерно возникает вопрос о причинах разногласий между соперничающими научными школами. Вопрос этот далеко не так прост, как его трактуют наши учебники.

Мало сказать, что А. Богданов, например, не признавал абсолютной истины, а Г. Гегель верил в бога. Релятивизм одного и идеализм другого, действительно явились причинами того, что их главные труды огромной научной ценности оказались практически бесполезными, на которые модно лишь ссылаться и не более. Однако, как сейчас принято говорить, упущенная выгода столь велика, а негативные последствия этого столь значительны, что разобраться в причинах такого положения просто необходимо.

Это вроде бы и не входит в задачи данного исследования, но на самом деле без такого разбора невозможно сделать правильного выбора математического аппарата, ибо не ясны будут следующие шаги в этом направлении. Причины методологического тупика следует искать в философии, а точнее, в ее извечном, ставшем уже банальным, вопросе: что первично в реальном мире, а что – вторично.

Естественно, материалисты утверждают, что первична материя, идеалисты считают, что на первое место следует поставить идею, как исходный момент сознательной деятельности. Механицисты объясняют развитие природы и общества универсальными законами механического движения. Энергецисты сводят все явления природы к видоизменениям энергии. Это – основные философские направления, в рамках которых существует большое количество более мелких течений. До сих пор философы не могут найти компромиссного решения этому спору, негативные последствия которого трудно переоценить.

Кто же из них прав? Прежде, чем попытаться ответить на этот вопрос, рассмотрим один общеизвестный факт. Ни один процесс сознательной деятельности не может быть осуществлен, если отсутствует хотя бы один элемент. Прежде всего, нужен источник энергии, обязательна механическая основа со средствами движения, обеспечивающие обработку материального предмета. Естественно, процессом надо управлять. Этот факт говорит о том, что все авторы упомянутых течений правы.

Именно эта очевиднейшая для всех не-философов правота является причиной непримиримости идеологических противников, ибо философом никто не рождается. Прежде, чем им стать, человек испытывает совокупные воздействия некоторых условий, формирующих его мировоззрение, как правило, с каким-нибудь одним уклоном, так как эти объективно-реальные условия могут вызывать идеалистическую, материалистическую, механическую или энергетическую субъективные направленности. Но эти то условия формируются в системе, где энергия, механика, материя и сознание являются равноправными элементами. Без любого из них система существовать не будет.

Другое дело, что в количественном отношении в каждом конкретном случае эти элементы могут отличаться и, в зависимости от цели и условий, могут отличаться так сильно, что какие-то из них можно безболезненно проигнорировать. Однако это вовсе не означает их отсутствия. Следовательно, формальная правота представителей каждого из философских направлений, в сущности, оборачивается неправотой в том смысле, что каждый из них должен смириться с тем объективным фактом, что все другие его противники имеют точно такое же право на использование своих идеологических воззрений.

В общем, как теперь принято говорить, надо отказаться от имперских амбиций на безграничное распространение своих теоретических концепций на весь наш реальный мир, ограничившись лишь одной четвертой его частью, не больше и не меньше. Уступать своего не следует, но и претендовать на чужое не только безнравственно, но и бессмысленно, ибо это будет себе во вред. История нашей страны убедительно свидетельствует об этом.

Какое же отношение имеют эти рассуждения в неприемлемой для математиков форме к выбору математического аппарата? Самое непосредственное. Дело в том, что математика сама по себе мало чего стоит. Она рождена Природой и предназначена для ее совершенствования. В этом смысле весь аппарат математики должен отражать соответствующие реальности, формой существования которых предопределен выбор математических объектов. Только в этом случае чистая математика может принести реальную пользу.

Это, грубо говоря, то же самое, когда требуется, например, в цеху оптимальным образом расставить оборудование. Чтобы по много раз не перетаскивать станки с места на место, наилучший вариант ищется с помощью масштабных фишек на плане этого цеха. И если фишки не соответствуют размерам реальных станков, то нетрудно представить, к каким последствиям это приведет. Так и в математике. Если ее основы оторвать от реальной действительности, то она превратится в софистику, для которой всякие математические упражнения будут самоцелью и никакой реальной пользы не принесут.

Следовательно, время увлечения только чистой математикой должно безвозвратно уйти в прошлое. Она должна развиваться на равноправной и взаимообогощающейся основе совместно с философией, физикой и экономикой. Поэтому выбору математического аппарата, хотим мы этого или не хотим, всегда соответствует философское обоснование, где Философия выступает как связующий элемент между Природой и Математикой. Естественно, что формы этого обоснования могут быть разные – от простенькой методики проведения эксперимента до анализа методологических основ науки вообще и конкретного исследования в частности.

В данном случае имеет место последнее, поэтому оказались необходимыми такие несколько необычные по форме предварительные суждения философского плана. На основании таких философских обобщений реальной действительности можно констатировать, что математические объекты могут иметь множественную, комплексную, функциональную, (векторную) и параметрическую (тензорную) формы.

Они отражают качественно различную природу соответственно энергетической, механической, материальной и биологической сущности объектов реального мира (Природы и Общества). По аналогии со своей сущностью (реальным миром) эти формы в зависимости от обстоятельств могут рассматриваться и применяться либо изолированно друг от друга, либо в любом сочетании друг с другом (взаимодействии с одним, двумя или тремя другими).

Однако математические объекты разной формы взаимодействовать могут лишь в случае сопоставимости их единиц измерения. Именно в этом заключается задача третьего этапа системного анализа. Как же сделать сопоставимыми энергию, механические объекты, материальные предметы и интеллект, а значит, множества, функции, векторы и числовые параметры?

Анализируя причины парадоксов, обнаруживаемых в тех или иных теориях, можно прийти к выводу, что многие из них возникают в результате стремления ученых создать универсальный математический аппарат для математических объектов разной природы при слишком ограниченном наборе применяемых средств.

Поэтому не случайно этой проблемой занимаются многие исследователи, о чем убедительно свидетельствует библиография работ в этой области, приведенная в обстоятельном обзоре А. И. Орлова. Тем не менее применение математического аппарата "объектов нечисловой природы", а именно такой термин применяется для элементов пространств, не являющихся линейными, ограничено статистикой, а этого в нашем случае явно недостаточно. Внешне задача выражения математических объектов разной природы в числовом виде кажется достаточно простой.

На самом же деле это далеко не так. Главная трудность состоит в том, что требуется не любое число, а только такое, которое было бы, как говорят, математики, инвариантно по отношению как к линейным пространствам, так и к любому нелинейному. Попросту говоря, такое число не должно реагировать ни на возведение в степень, ни на извлечение корня и, в идеале, ни на любую другую операцию над числами, результатом которой может быть это инвариантное число. Эта проблема имеет давнюю историю.

Еще в середине 19-го века Д. Буль разработал математический аппарат символической логики – Булевой алгебры, в основе которой были определены две операции по отношению к единице. Этот аппарат постоянно совершенствовался и нашел широкое применение в топологии, теории вероятности, функциональном анализе и в, других областях математики. По сути, этот аппарат наиболее близок к тому идеалу, о котором шла речь выше.

Если говорить об операциях, то их в Булевой алгебре фактически три: помимо сложения и умножения применяется отрицание (дополнение). Кроме элемента X, единицы и нуля алгебра содержит элемент Сх в качестве дополнения к X. Естественно, имеется соответствующий набор аксиом, которым должны удовлетворять операции. Все это позволяет достичь весьма высокой степени абстрагирования, но тем не менее полной универсализации обеспечить не удалось. К тому же оказался достаточно сложным "выход" из Булевой алгебры в обычную, да и "вход" тоже.

Теория групп в этом отношении более универсальна, т. к. имеет в своем распоряжении, кроме единичного, обратный элемент, позволяющий любое выражение приводить к единице. Однако несмотря на свою универсальность и существенные успехи в прикладных науках эту теорию в ее обычном виде вряд ли можно будет использовать в данном случае по прямому назначению. Видимо потребуются некоторые усовершенствования формального характера.