Ранний старт – высокий результат на олимпиадах и экзаменах

Групповые занятия эффективнее индивидуальных. Идеальная группа – 5—8 детей одного уровня. В группе дети учатся не только сами, но и на чужих примерах, развивают стрессоустойчивость и соревновательный дух. Онлайн-формат при наличии мини-группы работает даже лучше индивидуальных очных занятий.

Мотивацию можно найти через любые увлечения ребёнка. Танцы, роботы, дружба – математика поможет в любом деле. Главное – показать ребёнку, как математические навыки помогут достичь его собственных целей и мечтаний.

Глава 2. Пять-семь лет: золотое окно возможностей для ума

В этой главе мы подробно разберём, что должен освоить ребёнок в 5—7 лет, чтобы уверенно стартовать в олимпиадной математике. Многие родители удивляются, узнав, что путь к математическим победам начинается не с примеров и задач, а с чтения. Или что таблицу умножения лучше выучить ещё до школы, а ментальной арифметикой заниматься только в дошкольном возрасте.

Возможно, некоторые рекомендации покажутся вам слишком серьёзными для малышей. Но помните: мы готовим фундамент, на котором будет строиться вся дальнейшая математическая подготовка. Чем крепче основание, тем выше можно построить здание.

В этом возрасте дети невероятно восприимчивы к новым знаниям, их мозг активно формирует нейронные связи. Это золотое время, когда можно заложить привычки и навыки, которые потом станут естественными инструментами для решения самых сложных задач.

Я покажу вам конкретную дорожную карту: что изучать в 5 лет, что добавить в 6, как организовать занятия и когда начинать участвовать в первых олимпиадах. Главное – помнить, что в этом возрасте обучение должно быть интересным и не перегружать ребёнка.

Пять-шесть лет: фундамент чтения, логики и счёта

Может прозвучать неожиданно, но первый шаг в уверенную математику – это чтение. Мы хотим, чтобы к шести годам ребёнок умел в идеале бегло читать, понимать и пересказать прочитанное.

Во-первых, читающий ребёнок уже может сам осваивать материал. Я уже высказывала своё мнение о содержательной помощи родителей в обучении – лучше, чтобы она была минимальной.

А если ребёнок бегло читает, он может сам работать с пособиями. Для этого возраста, например, есть отличные книжки и тетрадки Евгении Кац. Ряд полезных пособий я разработала сама, их можно посмотреть на нашем сайте. Родителю нужно только выделить уголок для занятий ребёнка, и он там читает, решает, разукрашивает. Пятилетний ребёнок минут пятнадцать в день может спокойно заниматься сам.

Во-вторых, уже в первом классе на олимпиадах будут текстовые задачи. Да, нечитающему ребёнку по правилам задачу может зачитать эксперт. Но кто-то хорошо воспринимает информацию на слух, кто-то нет.

Я сама, например, сложно воспринимаю суть задания, если не вижу условия задачи. И таких людей, у которых ведущий канал восприятия – зрение (их называют визуалами), – большинство. У нечитающего ребёнка на олимпиаде будет дополнительная сложность, он может не уловить на слух задание, не сможет быстро сориентироваться.

Поэтому – повторим ещё раз – работаем над чтением, беглостью и обязательно над пониманием прочитанного.

Второе, чем занимаемся с пятилетним ребёнком, – это логика. Она необходима в любом сценарии: даже при поступлении в первый класс обычной школы и при окончании детского сада дети проходят тест на логическое мышление.

Это задания вроде: «Диван, кровать, стул, дождь – что здесь лишнее?». Или: «Весна, лето, что следующее?» Нужно найти лишний предмет или достроить последовательную цепочку. Это самые простые примеры, но вообще логика – это очень широкий круг тем. Например, Санкт-Петербургская академия постдипломного педагогического образования рекомендует даже для самых младших школьников вводить такие понятия, как конъюнкция и дизъюнкция (это логические «И», «ИЛИ»).

Логическое мышление необходимо для решения любой задачи и, можно сказать, для воспитания правильного подхода к решению. Например, многие дети, читая задачу, сами придумывают к ней вопрос, не дочитывая. И логическое мышление помогает разобрать эту проблему. Если ты не дочитаешь задачу до конца, какие последствия могут быть? И приходим к выводу: если не перечитать вопрос два раза, можно ответить не на тот вопрос, который стоит в задаче.

На олимпиадах в старших классах очень важно показать логику решения задачи. Нельзя пропускать какое-то действие или цикл. Каждый полученный промежуточный результат должен получаться из тех данных, которые у тебя были даны в условии или в предыдущих действиях. Если у тебя появилось какое-то число, которого не было ни в условиях, ни в решении – на этом месте тебе ставят «минус», то есть на этом проверка решения обычно заканчивается. За правильный ответ без решения можно получить меньше или даже ноль баллов, чем за неправильный ответ или отсутствие ответа, если эксперт решит, что решение было логически обоснованным.

В общем, логика нам необходима как воздух. И развивать логику с самого раннего возраста очень важно и нужно. И если в начале главы мы говорили о том, что универсальный язык науки – это математика, то в свою очередь её синтаксис (правила соединения слов в словосочетании и предложении) – это логика.

Третья задача для пятилетних – освоить прямой и обратный счёт минимум до 100. Но не как стишок заучить. А так, чтобы ребёнок, допустим, мог продолжить счёт в сторону увеличения или уменьшения с произвольного числа – например, с тридцати семи.

Ещё я искренне рекомендую обратить внимание на ментальную арифметику. Это методика быстрого устного счёта, которая пришла из Китая и Японии и стала популярной во всём мире. Люди, занимающиеся по этой методике, умножают и делят многозначные числа в уме буквально за секунды.

Я тоже веду ментальную арифметику. Для тренировки мы используем онлайн-тренажёр, и он заканчивается на восьмизначных числах, он так устроен. И ученики меня с укором спрашивают: а почему мы десятизначные не умножаем?

Заниматься, не менее трёх – четырёх лет, ментальной арифметикой – это очень полезно для любого ребёнка. Считаю, что такой курс нужно пройти всем ребятам, желательно ещё до школы. Потому что ребята потом совсем по-другому запоминают, учатся. Для них потом всё легко. В настоящее время в Китае, например, все дети в школах проходят курс обучения ментальной арифметике в начальных классах.

Ментальная арифметика помогает быстро думать. И это не только про быстро-быстро, это новые нейронные связи, это просто как новые дорожки для передачи сигналов внутри мозга.

Родители моих учеников по ментальной арифметике удивлялись: ребёнок в начале первого класса читает со скоростью свыше 150 слов в минуту, и это самый высокий результат по школе. Вроде занятия не по скорочтению были, а по счёту. Но на занятиях я использую приёмы развития мозга Кавашимы Рюты – ведущего специалиста в области нейрофизиологии и томографии мозга, доктора медицинских наук, автора бестселлера «Тренируй свой мозг». Также мы работаем с анаграммами для составления слов, таблицами Шульте, – и это развивает также технику чтения.

Начинать занятия ментальной арифметикой нужно в четыре-пять лет, самое позднее – до школы. Потому что в школе прививаются уже другие методы счёта, и ребёнок, который научился считать в школе, в ментальной арифметике будет просто использовать школьный навык, блестящих результатов уже не будет. Когда родители третьеклассников просят взять на ментальную арифметику, чтобы улучшить оценки в школе – я прямо говорю, что станет хуже, а не лучше. Будет поломка, ребёнок запутается.

Шесть-семь лет: от таблицы умножения до первых олимпиад

На следующий год, когда ребёнку исполнилось шесть лет, продолжаем работать над техникой чтения, логическим мышлением и счётом. Но добавляются и новые задачи.

В этом возрасте нужно выучить таблицу умножения, освоить деление. По школьной программе таблицу умножения нужно выучить на летних каникулах перед вторым классом. Но если мы настроены на олимпиады, то уже на олимпиадах первого класса появляются задачи, для которых нужно умножение.

Я считаю так: таблица умножения – это как нотная грамота в музыкальной школе. Сначала изучают ноты, а потом уже только играют и к нотам не возвращаются. Так же и таблица умножения: к первому классу она должна быть как инструмент, возвращаться к её изучению мы не должны.

Причём таблицу умножения тоже надо не просто знать наизусть, а понимать смысл. Тогда и деление ребёнок поймёт очень быстро.

Помимо таблицы умножения, занимаемся геометрическими фигурами.

Эта тема позволяет проработать множество других. Представим квадрат, разделённый на 16 клеток – четыре в длину и четыре в ширину. Задача ребёнка – разделить этот квадрат на две одинаковые по площади части, причём сделать это как можно большим количеством способов. Сначала он может провести прямые линии, разрезающие квадрат пополам, но постепенно обнаружит, что возможны и более сложные варианты – ломаные линии, зигзаги, даже фигуры причудливой формы.

Прежде чем приступить к разрезанию, полезно вместе подсчитать, сколько всего клеток содержит квадрат. Четыре умножить на четыре – шестнадцать. А 16 поделить на две равные части 16:2=8. Значит, каждая из двух частей должна состоять из восьми клеток. Так ребёнок не только осваивает геометрию, но и прорабатывает умножение и деление.

Можно пойти дальше и обсудить, как доказать, что найдены все возможные варианты. А если представить, что это не просто бумажный квадрат, а, например, дачный участок? Тогда задача приобретает практический смысл: как разделить землю поровну, где поставить забор, как расположить грядки. Так геометрия становится ближе к реальной жизни.

Также берём развёртки. Развёртка куба – это плоская фигура, из которой можно склеить кубик. Всего существует двенадцать различных видов таких развёрток. Дети могут вырезать их из бумаги, складывать и склеивать, а потом снова разворачивать, наблюдая, как двумерный лист превращается в трёхмерный предмет.

Полезно предлагать и другие задания: например, раскрасить грани готового кубика, а затем, не глядя на него, попытаться изобразить, как выглядит развёртка. Или мысленно повернуть куб и определить, какая грань окажется сверху. Сначала это может быть непросто – не у всех пространственное мышление развито одинаково. По моим наблюдениям, девочкам такие задания всегда даются сложнее.

Геометрия тесно переплетается с такими темами, как площадь и периметр. Если квадратный «участок» нужно обнести забором, возникает вопрос о периметре – сколько клеточек составит его границу? А если разделить прямоугольник три на пять на три равные части, сколько клеток окажется в каждой?

Ещё в нашей школе с шестилетними мы захватываем и комбинаторику. Это задания типа: в садике готовят рисовую кашу, гречневую кашу, гороховый суп, суп-лапшу, кисель и чай. Ты можешь собрать обед из трёх блюд. Посчитай, сколько разных комплектов может получиться.

Это и есть комбинаторика, в школе её проходят в девятом классе довольно поверхностно. Но на олимпиадах задания на комбинаторику встречаются уже в первом классе, поэтому мы изучаем её в первом классе и захватываем с шестилетними детьми тоже.

Всё это мы берём в шесть лет для того, чтобы в первом классе уже спокойно заниматься по олимпиадной программе.

Когда и где занимаемся

Многие родители в этом возрасте ребёнка ищут подготовительные курсы при школе, в которой будет учиться ребёнок. На таких занятиях ребёнок потихоньку знакомится со школой, с преподавателем, с ребятами, с которыми он будет учиться. Это большие плюсы.

Но группы очень большие, внимания каждому ребёнку мало. И нередко потом к нам приходят родители и говорят: мы так и не научились читать.

Поэтому я всё-таки за специализированные образовательные курсы. Поищите в округе, если не нашли ничего подходящего – попробуйте онлайн. Ещё пять лет назад с пятилетними было работать очень тяжело. Но сейчас есть много интересных тренажёров, которые помогают держать внимание ребёнка. Когда на занятии есть и другие дети – появляется соревновательный элемент и занятия становятся ещё интереснее.

Дошкольникам нужно минимум два часа в неделю под руководством преподавателя. Плюс каждый день от 15 до 30 минут самостоятельно либо на онлайн-тренажёре, либо на распечатках с таблицами с примерами. Ищите все доступные источники, благо их сейчас очень много. Мы, например, на момент написания этого пособия ведем свой сайт и телеграм-канал. Телеграм-канал про развитие детей-победителей, где мы каждый день выкладываем новые задания для младших школьников.

Если мы добавим ещё одно занятие в неделю – ментальную арифметику, будет вообще шикарно.

Желательно, чтобы все занятия были в одном центре. Потому что в разных организациях могут быть разные подходы, и с этим потом может быть сложно работать. Если мы в одном центре научились читать, в другом писать, в третьем каллиграфию изучаем, в четвёртом математику – это похоже на набор продуктов, из которых ещё неизвестно что получится.

И в шесть лет уже можно начинать ходить на олимпиады. Олимпиады, которые могут дать дополнительные баллы для поступления в лицей, появляются с четвёртого класса. Но какие-то городские есть с первого класса и даже с шести лет, есть олимпиады в онлайне.

Я рекомендую проходить как можно больше олимпиад, и начинать как можно раньше. Чем больше соревнований они пройдут – тем спокойнее будут к ним относиться. Одно дело – когда ты на олимпиады ходишь часто, несколько раз в месяц. Другое дело – когда пошёл раз в год, перенервничал, может быть, потерял уверенность, перестал ходить. Я говорю: ребят, просто ходим, ходим, ходим, ходим, набираемся опыта, всё получится. Здесь важно количество подходов. Это, как в спорте, сначала страшно, потом интересно и захватывающе.

Рекомендуемые пособия:

Для 5—6 лет

1. Школа семи гномов. Логика и мышление. Все занятия с детьми;

2. Нескучная математика для детей 5—6 лет / Андреева А. О. – СПб.: БХВ-Петербург, 2020;

Для 6—7 лет

3. Необычная математика. Тетрадь логических заданий для детей 6—7 лет / Кац Е. М. – Москва: Издательство МЦНМО, 2015;

4. Выучить таблицу умножения? Это просто! / Остапенко М. А. – СПб.: Издательский Дом «Литера», 2018

Ключевые идеи главы

Чтение – фундамент математического успеха. К 6 годам ребёнок должен бегло читать, понимать и пересказывать прочитанное. Это позволяет ему самостоятельно работать с пособиями и успешно справляться с текстовыми задачами на олимпиадах, где большинство детей – визуалы.

Логическое мышление необходимо как воздух. Логика нужна для решения любой задачи и воспитания правильного подхода к решению. На олимпиадах важно показать логику решения – каждый промежуточный результат должен логически следовать из предыдущих действий.

Ментальная арифметика – мощный инструмент развития мозга. Начинать нужно в 5 лет, до школы. Методика создаёт новые нейронные связи, ускоряет мышление и улучшает все когнитивные функции, включая скорость чтения. После освоения школьных методов счёта эффективность резко снижается.

Программа для 5—6 лет: прямой и обратный счёт до 100, логические задания, чтение с пониманием, основы ментальной арифметики.

Программа для 6—7 лет: таблица умножения и деление (к первому классу как инструмент), геометрические фигуры, развёртки, площадь и периметр, комбинаторика. Всё это необходимо для спокойных занятий по олимпиадной программе в первом классе.

Оптимальный режим занятий: минимум 2 часа в неделю с преподавателем плюс 15—30 минут ежедневных самостоятельных занятий. Лучше заниматься в одном центре для единого подхода. Можно добавить ментальную арифметику как третье занятие.

Раннее участие в олимпиадах критически важно. Начинать с 6 лет, участвовать как можно чаще. Количество подходов развивает спокойствие и уверенность. Чем больше соревнований, тем легче ребёнок к ним относится.

Глава 3. Младшая школа: 40 приёмов, которые меняют подход к задачам

Итак, ребёнок в первом классе. Будем считать, что благодаря хорошей подготовке в предыдущие два года никаких сложностей со школьной программой у ребёнка не возникает. Потому что всё-таки школьная математика – это фундамент, без которого олимпиадный уровень не доступен.

Большинство олимпиадных задач можно решить методами из школьной программы, тем же самым уравнением. И две – три задачи на олимпиаде ребёнок может решить абсолютно правильно, математически верно.

Но на олимпиаде время ограничено. И победить с тремя решёнными задачами ребёнок не сможет. Поэтому ему нужны приёмы, которые дадут решение этой задачи быстро. Владея ими, ребёнок может за отведённое олимпиадой время решить десять и более олимпиадных задач. Или, имея в своём арсенале несколько методов, он при помощи одного метода может проверить решение, к которому пришёл другим способом.

Школьная математика, как правило, даёт только один путь решения задачи – тот, который формально «одобрен» программой. А олимпиадная – учит искать ВСЕ возможные решения, выбирать между несколькими подходами, искать оптимальный вариант, видеть, какие из них длинные и громоздкие, а какие – быстрые и изящные. А возможно, задача не имеет решения – это тоже надо суметь доказать при помощи логики и поиске противоречий.

Это и есть настоящий рост мышления. И в этом олимпиадная математика пересекается с реальной жизнью как нельзя сильно. Ведь успеха во взрослой жизни добиваются прежде всего те, кто может решать нестандартные задачи, кто сможет придумать новые подходы к проблемам, которые не берутся типовыми решениями. Пластичность интеллекта – настоящая суперспособность, развиваемая занятиями олимпиадной математикой.

В 1—4 классе олимпиадная математика – это про задачи с подвохами, где важно не только знание, но и смекалка. Такие задачи требуют внимания, гибкости, способности посмотреть на ситуацию с разных сторон. Они формируют то, что потом называют «интеллектуальной ловкостью» – умением не теряться, когда нет шаблона.

Дети учатся:

• читать условия внимательно;

• выявлять суть задачи, а не только числа;

• подмечать неочевидные связи и отношения;

• проверять разные гипотезы и оценивать их.

Олимпиадные приёмы для младших школьников

В течение первого класса (или первого учебного года, если ребёнок пришёл чуть позже) мы осваиваем около 40 олимпиадных приёмов. Это такие темы, как метод Прокруста, метод Гаусса, задачи на худший случай, логические цепочки, магические фигуры и другие.

Метод Прокруста

Прокруст – древнегреческий мифологический злодей, который предлагал путникам полежать на своём ложе. Но если человек был длиннее, отрезал ему часть ног, а если короче, то растягивал его нужного размера.

В математике мы делаем нечто похожее: «срезаем лишнее» или «добавляем недостающее», чтобы все величины стали равными. В задаче говорится: на двух полках вместе 28 книг. На одной полке на 2 книги меньше, чем на другой. Мы «уравниваем» полки: мысленно убираем 2 книги с той, где их больше, и делим 26 (28—2=26) пополам. Получаем 13 и 15.

Мне этот недобрый миф не нравится, я ребятам рассказываю немного иначе. «На большой дороге орудовал Прокруст. Он отбирал деньги у богатых и потом делил их между бедными, чтобы у всех стало поровну. Но мы с вами не бандиты с большой дороги, мы сейчас уберём „лишнее“, поделим поровну, но в конце решения обязательно вернём то, что пока забрали».

Такой способ проще и нагляднее, чем составлять уравнение – особенно для младших школьников или на олимпиадах, где важно дать решение быстро. Иногда данный метод решения называют «на избытки и недостатки».

Метод Гаусса

Первый приём, который мы с ребятами изучаем уже на самых первых занятиях – это метод Гаусса.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

Именно Карл ещё в 7-летнем возрасте заметил замечательное свойство слагаемых ряда последовательных чисел и создал алгоритм быстрого сложения чисел от 1 до 100 за пару минут прямо на уроке.

Если записать все числа в ряд по возрастанию (или по убыванию), то сумма первого и последнего, а также всех остальных попарно, будет равна. А значит, можно посчитать сумму пары чисел, умножить на количество пар и, вуаля, ответ готов.

Например, то задание «Посчитать сумму чисел от 1 до 100»:

• 1+100=101 – сумма пары;

• 100:2=50 – количество пар;

• 101×50=5050 – сумма ряда последовательных чисел от 1 до 100.

Кто не знаком с данным методом, может решать данный пример всё время олимпиады. А для тех, кто уже в теме, он пригодится и поможет для многих вариантов заданий.

Следующий метод Гаусса – это способ решения систем линейных уравнений, при котором мы поэтапно упрощаем систему, приводя её в треугольный вид, а затем решаем её, начиная с последнего уравнения. Это делается с помощью элементарных преобразований: можно менять местами строки (уравнения), умножать строку на число и складывать строки между собой. Основная цель – занулить все элементы под главной диагональю, чтобы каждое уравнение содержало всё меньше переменных.

Метод Гаусса – основа линейной алгебры и важный инструмент в инженерии, программировании, физике и экономике. И вне олимпиадной математики его изучают гораздо позже – возможно, что и в вузе. Но принцип метода может понять и первоклассник.

Например, мы можем объяснить ребёнку так. Представь, что у тебя есть несколько весов и на каждом лежат разные фрукты – яблоки, груши и бананы. И ты знаешь, сколько килограммов или граммов на каждых весах, но не знаешь, сколько весит одно яблоко, одна груша и один банан. Твоя задача – догадаться, сколько весит каждый фрукт.

Метод Гаусса – это как игра: ты берёшь весы по очереди, убираешь одинаковые фрукты с двух сторон, заменяешь одни фрукты другими, пока на одних весах не останется только, например, одно яблоко. Тогда ты поймёшь, сколько оно весит. Потом подставляешь этот вес в другие весы и шаг за шагом находишь вес остальных фруктов. Вот и всё – главное, делать это аккуратно и по порядку.

Задачи на худший случай

Петя берёт конфеты из пакета наугад. Сколько конфет нужно взять, чтобы быть уверенным, что среди них будут две одинакового цвета?

Такие задачи учат анализировать не самую простую, а самую неблагоприятную ситуацию, что развивает стратегическое мышление.

Конечно, не стоит рассчитывать, что первоклассник освоит все эти темы и запомнит методы. Но если ребёнок вышел с папой поучиться кататься на велосипеде, но в этот день так и не покатился сам – это не значит, что день прошёл зря. Ребёнок что-то понял, что-то освоил и приблизился к цели – он поедет сам в следующий раз или через несколько таких тренировок.

Если в первом классе ребёнок не понял, что это за метод, я не настаиваю, чтобы он его использовал. На второй, третий год обучения мы заново будем проходить все эти приёмы, но уже с более сложными вычислениями. Не все запоминают названия методов – главное понять его суть.

Но когда решаем задачу, я могу спросить: «Ребят, что за метод мы использовали?» Может быть, кто-то в группе вспомнит, что это метод Прокруста. И когда все остальные услышат: «Ой, умничка, что ты помнишь, дополнительный балл тебе» – шансы, что и другие вспомнят и попробуют использовать в следующий раз, возрастают. Это опять же как количество подходов в спорте.

Как строится система занятий

Согласно нашей дорожной карте, которая ведёт в топовый вуз, у младшего школьника дополнительно к школьным урокам должно быть еженедельное двухчасовое занятие олимпиадной математикой, плюс ежедневные самостоятельные занятия продолжительностью от пятнадцати до тридцати минут.

Чем ребята занимаются самостоятельно? Каждое занятие мы берём новую тему, обычно наша цель – прорешать пару десятков задач по этой теме. На уроке разбираем, допустим, восемь из них. Остальное я задаю на дом.

Иногда ребята могут решить все оставшиеся задачи даже во время перемены, или во время разбора других задач. Но проверять оставшиеся мы будем только на следующем занятии. Каждую задачу разбираем по косточкам. Один желающий рассказывает своё решение. Потом подключается второй, он решил другим способом. Третий начинает говорить: а я вообще сделал по-другому. Потом о своём решении рассказываю сама. И мы разбираем, какое из них проще, быстрее.