Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Натурализованные геометрические элементы образуют либо отрезки прямых определённой длины, либо составленные из них геометрические фигуры. Сделать из них фигуры с криволинейными контурами, (конус, эллипсоид, параболоид, гиперболоид), проблематично, поэтому возникает необходимость перехода к представлению геометрических фигур уравнениями. Для этого их нужно размещать в системе координат. Тогда необходимость в натурализованных элементах отпадает, и они полностью замещаются числами, например, уравнение прямой на плоскости выглядит как y=ax+b, а окружности x2+y2=r2, где x, y – переменные, a, b – константы смещения и наклона прямой, r – радиус окружности. Декарт и независимо от него Ферма разработали основы такой, (аналитической), геометрии, однако Ферма пошёл дальше, предложив ещё более совершенные методы анализа кривых, которые легли в основу дифференциального и интегрального исчисления Лейбница – Ньютона.

2

В условиях, когда общее состояние науки никак не контролируется, естественно, идёт процесс её замусоривания и разложения. Также бесконтрольно и качество обучения, поскольку в этом заинтересованы обе стороны, и ученики, которые его оплачивают, и учителя, которые на нём зарабатывают. Всё это вылезает наружу, когда ситуация в обществе становится конфликтной из-за некачественного управления общественными институтами и «исправить» её могут только войны и уничтожение основ разумной цивилизации.

3

Само название «основная теорема арифметики», которую небезосновательно ещё называют «фундаментальной теоремой», казалось бы, должно привлекать к ней особое внимание. Но это может быть так только в нормальной науке, а в той, которая есть, ситуация как в сказке Андерсена, когда из большой толпы людей, окружающих короля, находится лишь один, да и тот ребёнок, заметивший, что король-то голый!

4

На сохранившейся надгробной плите от захоронения Ферма так и написано: «qui literarum politiorum pluriumque linguarum» – искусный знаток многих языков (см. рис. 93-94 в Приложении V).

5

Считается, что Ферма оставил только одно доказательство [36], но это не совсем так, поскольку на самом деле это просто словесное описание метода спуска для конкретной задачи (см. Приложение II).

6

Это была поистине грандиозная мистификация, организованная Принстонским университетом США в 1995 г. после публикации в собственном коммерческом издании «Annals of Mathematics» «доказательства» ВТФ Э. Вайлса и мощнейшей информационной кампанией в СМИ. Казалось бы, такое сенсационное научное достижение должно было быть выпущено массовым тиражом по всему миру. Ан нет! Понимание этого текста доступно только специалистам с соответствующей подготовкой. Вот это да! Теперь даже то, что нельзя понять, может считаться доказательством! Однако справедливости ради следует признать, что даже такое откровенно циничное глумление над наукой, представленное как величайшее «научное достижение» светил университета из Принстона, и в подметки не годится блистательной афере их земляков из Национального космического управления NASA, в результате которой весь цивилизованный мир в течение половины столетия ничуть не сомневался в том, что американские астронавты действительно побывали на Луне!

7

«Доказательство», которое Э. Вайлс готовил в течение семи лет упорного труда и опубликовал аж на 130 (!!!) журнальных страницах, превзошло все разумные пределы научного творчества и, конечно же, его ожидало неминуемое горькое разочарование. Ведь такой внушительный объём казуистики, понятной только её автору, ни по форме, ни по содержанию никак не подходит для того, чтобы представлять это в качестве доказательства. Но тут произошло самое настоящее чудо. Вдруг невесть откуда появился сам всемогущий нечестивый! Тут же нашлись влиятельные люди, подхватившие «гениальные идеи» и развернувшие бурную пиар кампанию. И вот тебе мировая слава, множество титулов и премий! Открыты двери в самые престижные учреждения! Но вот такого чуда даже и врагу не пожелаешь, ведь рано или поздно афера-то всё равно откроется.

8

Если бы эта книга была опубликована при жизни Ферма, то его просто порвали бы на куски, т.к. в своих 48 замечаниях он не дал доказательства ни одной из своих теорем. Но в 1670 г. т.е. через 5 лет после его смерти расправляться было не с кем и маститым математикам пришлось самим искать решения предложенных им задач. С этим как-то уж совсем не задалось и, конечно, многие из них не могли простить Ферма такой дерзости. Не забылось и то, что ещё при жизни он дважды устраивал вызовы английским математикам, с которыми те явно не справились, несмотря на его великодушное признание их достойными соперниками в письмах, полученных ими от Ферма. Только через 68 лет после первой публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма ситуация, наконец-то, сдвинулось с мёртвой точки, когда величайший гений науки Леонард Эйлер доказал частный случай ВТФ для n=4, применив метод спуска в точном соответствии с рекомендациями Ферма (см. Приложение II). Позже, благодаря Эйлеру, получили решения и другие задачи, а вот ВТФ так никому и не покорилась.

9

В пункте 2-30 письма Ферма к Мерсенну ставится задача: «Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб» [9, 36]. Датировка этого письма в издании Таннери вызывает сомнения, т.к. оно было написано после писем с более поздней датировкой. Поэтому вероятнее всего оно было написано в 1638 г. Отсюда делается вывод, что ВТФ появилась в 1637 году??? Но разве у ВТФ такая формулировка? Даже если эти две задачи есть частные случаи ВТФ, то как же можно приписывать Ферма то, о чём в то время он вряд ли мог даже догадываться? Кроме того, на неразрешимость задачи о разложении куба на сумму двух кубов впервые указал арабский математик Абу Мухаммед аль Худжанди ещё в X столетии [36]. А вот неразрешимость такой же задачи с биквадратами является следствием решения задачи из пункта 2-10 того же письма: «Найти прямоугольный треугольник в числах, площадь которого равнялась бы квадрату». Способ доказательства Ферма даёт в своем 45-м замечании к «Арифметике» Диофанта, которое начинается так: «Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом». Таким образом, в то время постановка этой задачи и подход к её решению сильно отличались даже от частного случая ВТФ.

10

Чтобы сомнений не возникало, были предприняты попытки как-то «обосновать» то, что у Ферма не могло быть доказательства, упоминаемого в оригинальном тексте ВТФ. См. например, https://cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node26.html (Did Fermat prove this theorem?). Подобная «аргументация» никому из здравомыслящих людей, имеющих отношение к науке, и в голову не придёт, т.к. это даже в принципе не может быть убедительно. Ведь таким способом можно приписать Ферма любую галиматью. Но инициаторы подобных вбросов явно не учли, что это и есть свидетельство организованной и срежиссированной информационной кампании со стороны тех, кто был заинтересован в продвижении «доказательства» Вайлса.

11

Исключением является один из величайших английских математиков Джон Валлис (John Wallis) см. п. 3.4.3.

12

Очевидно, что если бы речь шла только о формулировке ВТФ, то было бы очень неразумно записывать её на полях книги. Но сетования Ферма на узкие поля повторяются и в других замечаниях, например, в 45-м, в конце которого он добавляет: «Полное доказательство и пространные объяснения не могут поместиться на полях из-за их узости» [9, 36]. А ведь только одно это замечание занимает целую печатную страницу! Конечно, он ничуть и не сомневался, что его гасконский юмор будет оценён по достоинству. Когда его сын Клеман Самюэль, который, естественно, обнаружил несоответствие пометок на полях подготовленным к публикации замечаниям, то совсем этим не был удивлён, поскольку для него было очевидно, что сразу по ходу чтения книги дать точные формулировки задач и теорем совершенно невозможно. То, что этот экземпляр «Арифметики» Диофанта с рукописными пометками Ферма не дошёл до нас наводит на мысль, что уже тогда он был исключительно ценным раритетом, поэтому мог быть куплен другим владельцем за очень высокую цену и тот, конечно, хотя бы ради собственной безопасности не был настолько глуп, чтобы трубить об этом на весь мир.

13

Текст последней фразы ВТФ: «Я открыл тому поистине удивительное доказательство, но эти поля слишком узки, чтобы вместить его здесь», − явно не относится к сути содержания теоремы, однако для многих математиков он выглядит настолько вызывающе, что они всячески стремились показать, что это просто пустое бахвальство. При этом они не заметили ни юмора насчет полей, ни ключевого слова «открыл», которое здесь явно не подходит. Более подходящими словами здесь могли быть, скажем, «получил» или «нашёл». Если бы оппоненты Ферма обратили на это внимание, то им стало бы ясно, что слово «открыл» указывает на то, что доказательство он получил неожиданно, решая задачу Диофанта, к которой и было написано замечание, получившее название ВТФ. Таким образом, математики столетиями безуспешно искали доказательство ВТФ вместо того, чтобы искать решение задачи Диофанта о разложении квадрата на сумму двух квадратов. Им-то казалось, что задача Диофанта явно не стоит их внимания. А вот для Ферма она стала едва ли не самой трудной из всех, которыми он занимался, и когда он все-таки с ней справился, то в награду и получил открытие ВТФ.

14

Любопытно, что русскоязычное издание фундаментального труда Эйлера вышло в 1768 г. под названием «Универсальная арифметика», хотя оригинальное название «Vollständige Anleitung zur Algebra» должно переводиться как «Полное руководство по алгебре». Видимо, переводчики, (студенты Петр Иноходцев и Иван Юдин), резонно полагали, что уравнения исследуются здесь главным образом с точки зрения их решений в целых или рациональных числах, т.е. методами арифметики. Для сегодняшнего читателя это 2-х томное издание представляется как китайская грамота, поскольку вместе с сильно устаревшим русским языком и орфографией здесь просто неимоверное количество опечаток. Вряд ли сегодняшняя РАН как наследница «Императорской академии наук», издавшей этот труд, понимает его истинную ценность, иначе он давно был бы переиздан в современном и общедоступном виде.

15

Здесь есть аналогия между алгеброй и аналитической геометрией Декарта и Ферма, которая выглядит более универсальной по сравнению с геометрией Евклида. Тем не менее, арифметика и геометрия Евклида являются фундаментами, на которых только и могут появиться алгебра и аналитическая геометрия. В этом смысле идея Эйлера рассматривать все вычисления сквозь призму алгебры заведомо ущербна. Но его логика была совсем иной. Он понимал, что если наука будет развиваться только путём увеличения разновидностей уравнений, которые она способна решать, то рано или поздно она зайдет в тупик. И в этом смысле его исследования представляли для науки огромную ценность. Другое дело, что их алгебраическая форма была воспринята как магистральный путь развития и это привело в дальнейшем к разрушительным последствиям.

16

Здесь-то и возникает понятие «числовой плоскости», где по оси x располагаются действительные числа, а по оси y мнимые, т.е. те же действительные, только умноженные на «число» i= √-1. Но тогда между этими осями получается противоречие – на действительной оси множитель 1n является нейтральным, а на мнимой оси множитель in нет, а это не согласуется с базовыми свойствами чисел. Если уж вводится число i, то оно должно присутствовать на обеих осях, но тогда нет никакого смысла введения второй оси. Вот и выходит, что с точки зрения базовых свойств чисел эфемерное создание в виде числовой плоскости – полная бессмыслица.

17

Согласно основной теореме арифметики разложение любого натурального числа на простые множители всегда однозначно, например, 12=2×2×3, т.е. иными простыми множителями это число, как и любое другое, представить невозможно. Но для «комплексных чисел», в общем случае однозначность утрачивается, например, 12=(1+√–11)×(1+√–11)=(2+√–8)×(2+√–8). Фактически это означает крушение науки в самих ее основах. Однако общепринятых критериев, (в виде аксиом), того, что можно относить к числам, а что нет, как не было, так и нет до сих пор.

18

Теорема и ее доказательство даётся в «Началах» Евклида книга IX, предложение 14. Без этой теоремы решение преобладающего множества арифметических задач становится либо неполным, либо вообще невозможным.

19

Советский математик Лев Понтрягин показал, что эти «числа» не обладают базовым свойством коммутативности, т.е. для них ab ≠ ba [34]. Следовательно, одно и то же такое «число» нужно представлять только в виде, разложенном на множители, иначе в нём будут одновременно разные величины. Когда в оправдание подобных творений говорят, что математикам не хватает каких-то чисел, то на деле это может означать, что им явно не хватает разума.

20

Если какой-то очень уважаемый общественный институт поощряет таким образом развитие науки, то что на это можно возразить-то? Однако вот такая возникающая невесть откуда щедрость и бескорыстность со стороны непонятно откуда взявшихся благодетелей выглядит как-то странно, если не сказать заведомо предвзято. Ведь с давних пор хорошо известно, откуда берутся и куда приводят подобные «благие намерения», да и результат этих деяний тоже очевиден. Чем больше возникает учреждений для поощрения учёных, тем в большей степени реальная наука оказывается в руинах. Чего стоит одна только нобелевская премия за «открытие», подумать только … ускоренного разбегания галактик!!!

21

Проблема Варинга – это утверждение о том, что любое натуральное число N представимо в виде суммы одинаковых степеней xin, т.е. в виде N=x1n+ x2n+…+ xkn. Впервые её очень сложным способом доказал Гилберт в 1909 году, а в 1920 г. математики Харди и Литлвуд упростили доказательство, но их методы ещё не относилось к элементарным. И только в 1942 г. советский математик Ю. В. Линник опубликовал арифметическое доказательство, применив метод Шнилермана. Теорема Варинга – Гилберта имеет фундаментальное значение с точки зрения сложения степеней и не противоречит ВТФ, т.к. в ней нет ограничений количества слагаемых.

22

Контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера, представляется как 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814; Другой пример 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734. Для пятой степени всё значительно проще 275+ 845+ 1105+ 1335= 1445. Возможно также, что может быть разработан и общий метод подобных вычислений, если удастся получить соответствующее конструктивное доказательство проблемы Варинга.

23

Конечно же, это вовсе не означает, что компьютерщики лучше разбираются в этой проблеме, чем Гилберт. У них просто не было иного выхода. Ведь замкнутые ссылки зацикливаются, а это приведёт к зависанию компьютера.

24

Аксиома о том, что сумма двух целых положительных чисел может быть равна нулю, явно не относится к арифметике, т.к. с натуральными или производными от них числами это явно невозможно. Но если есть только алгебра, а арифметики нет, то и не такое станет возможным.

25

Любопытно, что даже Эйлер, (видимо по оплошности), назвал извлечение корня операцией обратной по отношению к возведению в степень [8], хотя и отлично знал, что это не так. Но ведь это и не секрет, что даже особо одарённые люди часто путаются в очень простых вещах. Эйлер явно не испытывал тяги к формальным построениям основ науки, поскольку у него всегда было в избытке всяких других идей. Он-то думал, что с формальностями разберутся и другие, а получилось так, что именно отсюда и выросла самая большая проблема.

26

Это очевидно хотя бы по факту того, в какой мощный толчок для развития науки воплотились бесчисленные попытки доказать ВТФ. Кроме того, доказательство ВТФ, полученное Ферма, открывает путь к решению уравнения Пифагора новым способом (см. п. 4.3) и волшебным числам типа a+b–c=a2+b2–c2 (см. п. 4.4).

27

В русскоязычном разделе «Википедии» эта тема названа «Гипотеза Била». Но поскольку имя автора в оригинале Andrew Beal, то мы будем использовать название «Гипотеза Биэла», чтобы избежать путаницы между именами Beal (Биэл) и Bill (Бил).

28

В письме Ферма к Мерсенну от 15.06.1641г. сообщается следующее: «Я пытаюсь как можно более полно удовлетворить любопытство г. де Френикля… Однако он просил меня прислать решение одного вопроса, что я откладываю до тех пор, пока не вернусь в Тулузу, так как я теперь нахожусь в деревне, где мне понадобилось бы много времени, чтобы сделать заново то, что я написал по этому поводу и что оставил в своем кабинете» [9, 36]. Это письмо – прямое свидетельство того, что Ферма в своей научной деятельности никак не мог обходиться без своих рабочих записей, которые, судя по дошедшим до нас документам, были весьма объемистыми и их вряд ли можно было постоянно иметь при себе в различных поездках.

29

Если бы Ферма дожил до того времени, когда Академия наук была создана и стал бы академиком, то и в этом случае он вначале публиковал бы только постановки задач и, только спустя достаточно длительное время, основную суть их решения. Иначе могло бы создастся впечатление, что эти задачи слишком просты.

30

Для этой задачи нужно использовать тождество: (a2+b2)×(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad−bc)2 = (ac−bd)2 + (ad+bc)2. Далее берём два числа 4 + 9 = 13 and 1 + 16 = 17. Их произведение будет 13×17 = 221 = (4 + 9) × (1+16) = (2×1 + 3×4)2 + (2×4 − 3×1)2 = (2×1 − 3×4)2 + (2×4 + 3×1)2 = 142 + 52 = 102 + 112; Теперь если 2216 = (2213)2 = 107938612; то требуемый результат будет 2217 = (142 + 52)×107938612 = (14×10793861)2 + (5×10793861)2 = 1511140542 + 539693052 = (102 + 112)×107938612=(10×10793861)2 + (11×10793861)2=1079386102 + 1187324712; Но можно пойти и другим путём, если представить исходные числа, например, следующим образом: 2212 = (142 + 52)×(102 + 112) = (14×10 + 5×11)2 + (14×11 − 5×10)2 = (14×10 − 5×11)2 + (14×11+5×10)2 = 1952 + 1042 = 852 + 2042; 2213 = 2212×221 = (1952 + 1042)×(102 + 112) = (195×10 + 104×11)2 + (195×11 − 104×10)2 = (195×10 − 104×11)2 +(195×11 + 104 × 10)2 = 3 0942 + 11052 = 8062 + 31852; 2214 = (1952 + 1042)×(852 + 2042) = (195×85 + 104×204)2 + (195×204 − 85×104)2 = (195×85 − 104×204)2 + (195×204 + 85×104)2 = 377912 + 309402 = 46412 + 486202; 2217 = 2213×2214 = (30942 + 11052)×(377912 + 309402) = (3094×37791 + 1105×30940)2 + (3094×30940 − 1105×37791)2 = (3094×37791 − 1105×30940)2 + (3094×30940 + 1105×37791)2; 2217 = 1511140542 + 539693052 = 827366542 + 1374874152

31

Если были бы найдены рабочие записи Ферма, то оказалось бы, что его способы решения задач гораздо проще, чем те, которые известны сейчас, т.е. сегодняшняя наука еще не достигла того уровня, который имел место в его утраченных работах. Но как же могло случиться, что эти записи пропали? Вероятными могут быть две версии. Первая – это наличие у Ферма тайника, о котором никто, кроме него не знал. Если это было так, то шансов на то, что он сохранился почти нет. Дом в Тулузе, где жил Ферма со своей семьей не сохранился, иначе там был бы музей. Остаются места работы – это тулузский Капитолий, (перестроен в 1750 г.), и здание в городе Кастр, (не сохранилось), где Ферма руководил собранием судей. Только призрачные шансы есть на то, что хотя бы какие-то стены сохранились с тех времен. Другая версия заключается в том, что бумаги Ферма имелись у его семьи, но по каким-то причинам не сохранились, (см. Приложение IV, год 1660, 1663 и 1680).

32

Для математиков и программистов понятие аргумента функции вполне обычно и уже давно общепринято. В частности, как f(x,y,z) обозначают функцию с переменными аргументами x,y,z. Определение сущности числа через понятие аргументов функции делает его очень простым, понятным и действенным, поскольку всё, что известно о числе, исходит отсюда, а то, что этому определению не соответствует должно подвергаться сомнению. Это не просто необходимая осторожность, но и эффективный способ проверки на прочность всякого рода конструкций, незаметно подменяющих сущность числа на сомнительные нововведения, делающие науку бестолковой и непригодной для обучения.

33

Точного определения понятия «данные» не существует, если не относить к нему описание из толкового словаря. Отсюда следует и неопределённость производных от него понятий, таких как «форматы данных», «обработка данных», «операции с данными» и т.п. Такая неопределённая терминология порождает шаблонное мышление, указывающее на то, что разум не развивается, а тупеет и, достигая в этой мешанине из пустых слов некоторой критической точки, просто перестает соображать. В данной работе это определение понятия «данные» дано в п. 5.3.2, но для этого требуется дать самое общее определение понятия «информация», которое по своей трудности будет ещё и покруче определения понятия числа, поскольку и само число есть информация. Подвижки в этом вопросе настолько значимы, что за ними следует реальный технологический прорыв с таким потенциалом эффективности, который будет несопоставимо выше того, что был обусловлен появлением компьютеров.

34

Вычисления – это не только действия с числами, но и применение методов достижения конечного результата. С действиями справляется даже машина, если разум оснащает её соответствующими методами. Но если разум сам становится подобием машины, т.е. не осознаёт методов вычислений, то он способен создавать только чудовища, которые его же и уничтожат. Именно к этому всё сейчас и идёт из-за полного отсутствия решения проблемы обеспечения безопасности данных. А вся эта проблема в том, что информатика как наука просто не существует.

35

Специалисты, комментирующие древние, по их мнению, «Начала» Евклида и «Арифметику» Диофанта, будто завороженные видят, но никак не могут признать очевидное. Ни Евклид, ни Диофант не могут быть создателями содержания этих книг, это не под силу даже современной науке. Более того, эти книги появились только в эпоху позднего средневековья, когда уже развилась необходимая для этого письменность. Авторы этих книг были всего лишь переводчиками действительно древних источников, принадлежавших другой цивилизации. В наше время людей с такими способностями называют экстрасенсами.

36

Если мы с самого начала не определились с понятием числа и имеем представление о нём только через прототипы, (количество пальцев рук, или дней недели и др.), то рано или поздно мы обнаружим, что вообще ничего о числах не знаем и при вычислениях следуем необъятному множеству способов и правил, полученных эмпирическим путем. Но если же изначально мы имеем точное определение понятия числа, то при любых вычислениях сможем следовать только одному этому определению и вытекающему из него относительно небольшому перечню правил. Если мы сами создаём требуемые числа, то сможем это делать через аргументы функции, представляемые в общепринятой системе счисления. А вот когда нужно вычислить неизвестные числа, соответствующие заданной функции и условиям задачи, то зачастую потребуются особые методы, которые без понимания сущности чисел будут очень трудными.

37

Содержание аксиом Пеано следующее:

(А1) 1 есть натуральное число.

(А2) Для любого натурального числа n есть натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом, следующим за n.

(А3) Если m' = n' для каких-либо натуральных чисел m,n, то m = n.

(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.

(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n' также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.