Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Юрий Красков

Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Реферат

В рамках обозначенной темы в данной книге:

1. Восстановлены некоторые малоизвестные факты из биографии Пьера Ферма, объясняющие его становление как учёного и особую значимость его творчества.

2. Впервые дано математическое и общее определение понятия числа, а также вытекающие из них новые версии аксиом и базовых свойств чисел.

3. Показана ошибочность доказательств Евклида, Гаусса и Цермело Основной теоремы арифметики (ОТА), без которой рушится фундамент всей науки.

4. Даны комментарии к доказательству ОТА Цермело.

5. Восстановлено доказательство ОТА Ферма методом спуска.

6. Восстановлен неизвестный сегодняшней науке новый и очень простой способ доказательства Ферма частного случая ВТФ для n=4.

7. Показана ошибочность идеи Г. Фрая в основе доказательства ВТФ Э. Вайлса 1995 г.

8. Реконструировано доказательство Ферма его Великой Теоремы на основе нового решения уравнения Пифагора x2+y2=z2 методом ключевой формулы и с использованием открытой им формулы под названием Бином Ферма.

9. Как следствие доказательства ВТФ сформулированы Теоремы о волшебных числах, верность которых подтверждена примерами вычислений.

10. Предложена формулировка Теоремы Биэла, раскрывающая суть его гипотезы (Beal Conjecture) для уравнения Ax+By=Cz. Даны примеры вычислений, выполненных согласно этой теореме.

11. Восстановлен авторский способ доказательства Золотой теоремы Ферма.

12. Восстановлен способ доказательства грандиозного открытия Ферма о простых числах вида 4n+1.

13. Реконструирован авторский способ решения уравнения Архимеда – Ферма Ax2+1=y2.

14. Восстановлено доказательство теоремы Ферма о единственном решении уравнения y3= x2+2 .

15. Показаны примеры применения способов решения задач, предложенных Ферма.

16. Показана роль арифметики как основы основ всей науки.

17. Показаны примеры несуществующих наук – история, информатика и экономика.

18. Даны определения сущности базовых понятий информатики и экономики.

19. Впервые дано общее определение понятия информации.

20. Предложены основы информатики как науки.

21. Предложен способ систематизации знаний с применением Основного закона систем.

22. Предложен способ обеспечения экономического прорыва на основе ИТ нового поколения.

23. Предложено новое понимание сущности денег и их функций.

24. Предложена принципиально новая Международная Платёжная Система c использованием национальных валют в международных расчётах.

25. Дано сущностное понимание источника прибыли на вложенный капитал.

26. Исторические эпизоды изложены в стилизованной литературной форме.

27. Выполнена реставрация надгробной плиты П. Ферма с русским переводом.

28. Предложено 15 задач без их полного решения в виде загадок в стиле Ферма.

29. Полный список представленных в книге научных проблем состоит из 100 пунктов.

30. Русский оригинал книги переведён автором на английский язык.

Отзывы и замечания можно присылать на [e-mail]

Книга предназначена для широкого круга читателей.

От автора

Представьте себе, что вы решили написать книжку, но такую интересную, чтобы у-ух, дух захватывало! А как начать? Да очень просто, открываете её, эту книжку-то, а там сразу знаменитая картинка с портретом нашего главного героя легендарного Пьера де Ферма из полного собрания всех сохранившихся его письменных работ, которое в начале XX века выпустили Поль Таннери (Paul Tannery) и Чарльз Генри (Charles Henry). Так вот эта картинка теперь уже украшена чудесной формулой под названием «Бином Ферма», о которой нынешняя наука пока ещё и понятия не имеет, хотя опубликована она была ещё в 2008 году.

Рис. 1. Портрет сенатора Пьера де Ферма

А следующая картинка – это восхитительная скульптурная композиция. Наш герой такой красавец, а рядом с ним его муза, у которой он черпал своё вдохновение и творил такие чудеса, от которых весь цивилизованный мир ещё с XVII века и до сих пор просто с ума сходит.

Рис. 2. «Пьер Ферма и его муза» в Капитолии Тулузы

А после этой картинки следует изображение страницы из «Арифметики» Диофанта с опубликованным в 1670 году текстом «Великой теоремы Ферма». Вот так сразу и появляется главная тема.

Рис. 3. Страница «Арифметики» Диофанта греческо-латинского издания 1670 г. с задачей VIII и замечанием к ней, ставшим впоследствии Великой теоремой Ферма

Так ведь это ж про науку, а разве в ней может быть что-то действительно захватывающее?

В той, что нас учат, вряд ли, а в настоящей ещё какие могут быть чудеса! Ведь в отличие от обычной беллетристики наука – это не просто литературное воплощение идеи автора, здесь всё намного сложнее, т.к. он должен отобразить не придуманную им, а самую настоящую реальность, которую всегда можно проверить и если что-то не так, то вся работа пойдёт насмарку. Таковы уж жестокие законы этого жанра. Впрочем, действительно, если просто посмотреть на содержание книжки… здесь какие-то задачи, проблемы, опровержения… внешне выглядит как-то не очень интригующе. Но впечатление изменится, когда мы после чудесных двух картинок сразу раз, и берём быка за рога – даём ещё картинку с настоящими письменными пометками нашего героя на полях одной старинной книжки…

Рис. 4. Запись П. Ферма на полях книги Аполлония Пергского

«Конические сечения»

и сразу за ней вдруг… бабах!!!

Рис. 5. Страница издания «Арифметики» Диофанта 1621 г.и восстановленный текст записи на полях Великой теоремы Ферма

Ой, что это???… Да этого же просто не может быть!!! Даже глазам не верится, страничка из той же «Арифметики» Диофанта», только более ранней от 1621 года издания из личного экземпляра книги Ферма с записью на полях его самой знаменитой теоремы, от которой весь учёный мир лихорадит до сих пор! И откуда она здесь взялась эта книга-то? Она ведь была потеряна!

А вот оттуда! Она так хорошо была спрятана, что до сих пор о ней никто и не знал!

Та-ак… и что же дальше?

А то, что эта формула «Бином Ферма» как раз из этой нашей книжки, где она будет выведена, и легко убедиться, что она настоящая. Бери два любых числа x, y, и третье z их сумму, (или разность), подставляй в формулу и всё будет тик в тик! Разве не любопытно?

Ну и какой же прок от этой формулы и в чём уж её такая значимость?

Так без неё-то эта самая Великая теорема Ферма так и останется недоказанной!

Да-а, неужели Ферма утаил от всех такое сокровище?

Ну что же, это хороший вопрос. Во всяком случае сюжет уже закручивается в нужную сторону и довольно лихо …хотя это даже ещё не начало, а так, только легкий аперитив, но уже действует-то ох как хорошо!

А правда, что за эту теорему были обещаны большие деньги?

Хм, обещаны – да, и даже выплачены … но вовсе не за ВТФ!

Как это так, а за что же?

За то, что ошибка обнаружилась в доказательстве, но наука 25 лет в упор её не замечала.

Так выходит, что вся эта наша работа с книжкой пойдёт мимо кассы?

Ну вот, ещё один хороший вопрос. Впрочем, уже давно известно, что за науку денег не платят. Вот если… как бы за… занятие наукой… или заботу о ней… ну ради блага государства, то это да, здесь крутятся миллиарды, а вот самой-то науки как не было никогда, так нет и теперь.

Так может быть нам насвистеть здесь в этой книжке-то что-нибудь этакое, чтобы нам из этих миллиардов что-нибудь перепало?

Ну уж нет, тогда её никто и читать-то не будет, да и все места у раздачи денег уже давно заняты. Придётся делать эту книжку с настоящей наукой, но для этого нужно задействовать особые подходы и принципы. В частности, главный принцип должен заключаться в том, чтобы все затронутые здесь темы содержали тайны, причём такие, которые скрыты не иначе…как это говорится-то… ах да, за семью печатями!

Ого, сказать-то можно…

И более того, об этом должно быть заявлено заранее, (мы сейчас это и делаем), что даже в относительно спокойных местах изложения ни у кого не должно быть сомнений в том, что в каждой теме где-то что-то обязательно должно очень сильно удивить или даже потрясти! Нет, не в прямом смысле, конечно. Скажем, даётся, в каком-то месте спокойное разъяснение каких-то сущностей или их составляющих и вдруг неожиданно… бабах!!! И выясняется, что здесь-то и прячется потрясающая тайна, которая скрывалась под видом того, что длительное время было известно, но не привлекало никакого внимания. Другой принцип – это из всех раскрытых нами тайн, (а их здесь более сотни!!!), оставить какую-то долю, (скажем, десятка полтора!), нераскрытыми. А то ведь дети обидятся, что им ничего не оставили для собственных открытий…

!!!… Какие ещё дети?

Ах да, мы чуть не забыли сказать, что книжка-то эта в основном детская. Большинство взрослых такой основательной науке уже не переучишь. Понятно, что им слышать такое очень обидно, но мы, конечно, об этом не будем трубить на весь мир и даже соблюдём приличия – из всех задач фундаментальной науки, о которых мы расскажем, только самые лёгкие выделим специально для детей. Они-то этому будут ох как рады, ведь среди них будет… и сама ВТФ!!! Да, именно в этой нашей книжке впервые за всю историю ВТФ эта проблема, и не просто проблема, а одна из фундаментальных основ науки (!!!), будет решена в развёрнутом виде, причём вместе с некоторыми другими имеющими отношение к ней проблемами. В этом смысле ВТФ станет для нас путеводной звездой, а её первооткрыватель Пьер Ферма – нашим наставником, от которого мы напрямую (!) будем получать все необходимые нам сведения.

Однако ВТФ – это только одна из целой сотни задач, которые также впервые (!!!) получат здесь решения. Вместе с решением проблемы ВТФ появится ещё целый ворох других очень впечатляющих задач, которые обрадуют многих детишек и заинтересуют их на долгое время. А мы будем очень сильно стараться привлечь их внимание, тогда глядишь они и взрослых втянут в эту игру. Если сравнивать значимость решаемых здесь задач, то неоспоримое лидерство останется за ВТФ, хотя по трудности её решения она совсем не сложная и с ней запросто справятся учащиеся средней школы… Сомневаетесь? Так ведь это же задача из XVII века, а вот сегодняшние будут потруднее, но, чтобы их решать, нужно иметь надёжный фундамент знаний и ВТФ – это один из его краеугольных камней.

О других задачах мы ещё расскажем в подробностях, и они тогда перестанут быть тайной за семью печатями, а вот те, которые мы только назовём, но не раскроем до конца будут очень даже любопытными. Взять хотя бы, к примеру, одну проблему астрономов, у которых накопились огромные коллекции записей космических сигналов электромагнитного излучения со всех областей звёздного неба. А что делать с ними, они до сих пор не знают. То ли это братья по разуму с нами общаются, то ли это просто естественное излучение. Денег потрачено немерено на гигантские радиотелескопы и кучу людей, на них работающих, а толку никакого. Вот бедолаги-то!

А мы знаем способ, как можно отличать разумные сигналы от естественных, но пока скромно об этом умолчим. Ведь знаем мы это только потому, что раскроем здесь одну из величайших тайн науки об определении сущности феномена информации. Сегодняшняя-то наука, понятное дело, в этом вопросе ни бум-бум. Но как только мы её, ну эту сущность информации, проясним, то кроме нас и другие смогут тогда догадаться, как можно анализировать электромагнитные сигналы на предмет их разумного происхождения.

Начнём же мы подбираться к решению этой задачи через проникновение в самую главную проблему всей науки – это определение сущности феномена числа, в чём наука, к нашему большому сожалению, также ни бум-бум, впрочем, как и во многих других таких же «простых» вопросах. И вот теперь, когда речь заходит о самой главной сущности, способной отображать все другие сущности, (да, да, это о числе!), мы уже можем видеть, что дело принимает куда более серьёзный оборот, и подвижки нас ожидают такие, каких не было даже за всю обозримую историю нашей цивилизации!!!

Опять сомневаетесь? Но вот потому-то и ни за что не догадаетесь, что это за подвижки, а когда узнаете, то вряд ли поверите, что это возможно, но ведь тайны за семью печатями другими не бывают. Пока до них кто-то не доберётся и не начнёт их потихоньку раскрывать, все так и будут оставаться в неведении относительно того, как многое в этом мире устроено и почему об этом лучше знать, чем жить в неведении о существовании замечательного мира науки, где главенствуют совершенство и точность. Да и просто любопытно ведь узнать, как выглядят, например, доказательства теорем Ферма, оказавшиеся недоступными даже величайшим учёным. Теперь же есть книга, позволяющая всем желающим увидеть воочию все эти сокрытые и сокровенные тайны, неведомые сегодняшней науке, и получить тем самым уникальную возможность подняться на недосягаемую доселе высоту.

Достаточно увидеть в заглавии нашего труда имя Ферма, чтобы предположить в нём нечто великое. Ведь то был столь замечательный муж, что он не мог создать ничего мелкого, даже среднего: ум его сиял таким блеском, что не терпел ничего тёмного. Можно сказать, что он подобен солнцу, в миг разгоняющему сумрак и проливающему ослепительный свет своих ярких лучей даже в бездны. До сих пор все поражались Диофанту, и это вполне заслуженно; но, как бы велик он ни был, это пигмей в сравнении с таким гигантом, который проделал долгий путь по всему миру математики, исколесив невиданные дотоле земли. Виету восхваляли все те, кто в нашем веке посвятили себя изучению алгебраических операций, так что для прославления какого-нибудь учёного достаточно было сказать, что в труде по анализу он следовал мысли этого автора. Но и он не достиг вершин науки, что станет ясно из многих объясненных ниже примеров. Перед Клодом Гаспаром Баше я всегда преклонялся как перед человеком тончайшего ума; в добавок он был моим близким другом, а его изыскания о Диофанте прекрасно показывают, насколько проницателен он был в науке о числах. Но его взор слабее, если сравнить его с рысьими глазами нашего Ферма, проникавшими в самые сокровенные глубины.

Жак де Би л ь и (Jacques de Billy), 1670 г.

Священник и профессор математики

Введение

В содержании книги основная тема представлена состоящей из трёх десятков пунктов. В этом не было бы ничего особенного, если бы все эти пункты не содержали… самые настоящие и невероятно громкие сенсации! Но сказать об этой книжке только это, означало бы не сказать о ней ничего. Одна только иллюстрация восстановленного нами реального (!) текста на полях пропавшей книги, (см. рис. 5), может вызвать у знатоков основной темы настоящий шок! «Неужели это та самая книга с пометками Пьера Ферма на полях?», − подумают они. Но нет, пока ещё эта книга недоступна. А поскольку нам всё же удалось узнать, чтó на самом деле было записано на её полях там, где должна располагаться Великая теорема Ферма, то мы изобразили эту запись всеми доступными нам средствами. Если же сравнить этот восстановленный текст с тем, который был опубликован ещё в 1670 году, (см. рис. 3), то станет очевидно, что это совершенно разные записи!

Впрочем, в наше время Интернет буквально заполонён истошно кричащими заголовками о неких сенсациях, которых на самом-то деле нет, а прибегают к ним только для поднятия статистики просмотров. Когда же речь идёт о науке, то если и есть действительно сенсации, то только в дозах не уловимых никакой статистикой. Проблема здесь в том, что оценки в заголовках дают сами же распространители информации, доверять которым явно не стоит. Что же касается содержания данной книги, то здесь ситуация принципиально иная, поскольку все данные здесь оценки и выводы может проверить самый что ни есть объективный и неподкупный судья, т.е. обычный калькулятор, и все желающие всегда могут к нему обратиться.

В частности, если возникнут подозрения в том, что восстановленная запись Ферма на полях – это не более чем очередная фальшивка среди моря всяких других, то они окажутся не только неконструктивны, но и отвергающие саму возможность узнать настоящее решение знаменитой научной проблемы. Если же этот фактор не учитывать, то упорствующие в таких подозрениях рискуют оказаться в очень даже глупом положении, т.к. в этой самой восстановленной записи есть как раз то, о чём наука до сих пор не имела ни малейшего представления. Ведь для неё ВТФ всегда была всего лишь головоломкой, которую более трёх веков так и не смогли разгадать.

Такое пренебрежительное отнесение одной из фундаментальных научных проблем к сфере интеллектуальных развлечений привело к тому, что реальная наука стала уступать место идеям, не имеющим с ней ничего общего. В итоге получилось так, что все справочники и энциклопедии в унисон и безапелляционно сообщают нам, мол проблема ВТФ давно решена, а на самом деле наука и понятия не имеет о том, как реально обстоят дела в действительности. Если бы это и на самом деле было так, то последствия оказались бы настолько существенными, что радикально изменили бы состояние вообще всей науки в целом!!!

Не верите? Ну что ж, судите сами, вот лишь одно из таких последствий. Если ВТФ доказана, т.е. решение в целых числах уравнения Ферма an+bn=cn при n>2 невозможно, то это уравнение оказывается единственным (!!!) исключением из более общего случая Ax+By=Cz, в котором можно для любых (!!!) заданных натуральных x, y, z, кроме, естественно, x=y=z>2, вычислить сколько угодно (!!!) решений в целых числах! Ну и как? Разве наука знает, как решать это общее уравнение? Конечно, нет. А может быть она хоть что-нибудь знает о детских уравнениях Ферма с волшебными числами? Или о чудесной формуле «Бином Ферма»? Тоже нет. Впрочем, об этой формуле каким-то невероятным образом догадался советский писатель-фантаст Александр Казанцев, но математики не могли помочь её вывести, вот и пришлось ему вместо эффектного уравнения, (см. рис. 1), демонстрировать пустой муляж.

Видимо он и не подозревал, что ему надо было обратиться за помощью не к математикам, а к детям, тогда и результат его фантастической догадки появился бы намного раньше данной книжки, где эта формула выведена как раз к месту, т.е. в восстановленном доказательстве ВТФ от самого Ферма! Если же об этом доказательстве, (полученном ещё аж 365 лет назад!!!), узнáют дети, которые учатся в обычной средней школе, то они легко справятся и с решениями уравнений, содержащих волшебные числа. Эти-то числа, в отличие от некоторых, с которыми работают математики, настоящие, т.к. они подчиняются основной теореме арифметики (ОТА). Но беда в том, что сегодняшняя наука даже и не подозревает, что эта самая фундаментальная из всех теорем до сих пор не доказана!!!

Ведь если бы науке стало об этом известно, то у неё не было бы иного выхода, как принять ОТА в качестве аксиомы, т.к. иначе сама наука просто исчезла бы и её тогда не могло быть вообще! Теперь же для неё станет настоящим сюрпризом узнать о том, что проблему доказательства ОТА решил опять-таки тот же Пьер Ферма, причём он использовал для этого свой брэнд под названием «метод спуска». Однако он не мог своё доказательство обнародовать, поскольку это указывало бы на замеченную им ошибку в доказательстве Евклида, а это, не то, что в те времена, но и теперь никак непозволительно, т.к. боги по определению не могут ошибаться. Любопытно и то, что, не заметив ОТА в «Началах» Евклида, даже такой исполин науки, как Карл Гаусс, в точности повторил его ошибку, что видимо также указывает на его истинно божественное происхождение.

В этой книге доказательство ОТА, полученное Ферма, теперь также, как и ВТФ, восстановлено и уже лазейки для проникновения в науку всяких псевдо чисел закрыты, хотя очиститься от них будет совсем не просто, поскольку прецедент для них создал не кто иной, как величайший учёный и математик Леонард Эйлер! Косвенно к этому оказался причастен и Карл Гаусс, доказавший «основную теорему алгебры», которая без этих якобы чисел, получивших название «мнимые» или «комплексные», была бы неверна. Задолго до Эйлера и Гаусса такие известные учёные, как Лейбниц и Кардано высказали своё категорическое неприятие «чисел» такого рода. Но они-то и не знали, что вот эти казанцевские мнимы не подчиняются ОТА, поскольку лишь в 1847 году это пренеприятнейшее известие впервые всему учёному миру поведал Эрнст Куммер. Однако почему-то этот самый учёный мир и до сих пор упорно не желает избавиться от иллюзии того, чего на самом деле нет вообще! Например, вызывающая восторг формула Эйлера eiπ+1=0 на самом деле есть полная нелепица, не имеющая к науке никакого отношения, кроме разве что того, чтобы учить детей не верить в реальность таких фокусов. Ведь здесь даже им очевидно, что eiπ=-1=i2, а это уж точно явная туфта, т.к. находящееся здесь мнимое число i=√-1 делает мнимым и бессмысленным всё, в чём оно присутствует.

Главный герой нашего повествования Пьер Ферма даже в жутких снах не мог бы себе представить, что только одна из целой сотни его задач [30] сможет даже через 325 лет после первой публикации его трудов дискредитировать науку так, что она окажется не просто недееспособной, но и в буквальном смысле стоящей вверх ногами! Как раз в период 1993-1995 гг. произошли сразу два события, имеющих отношение к ВТФ. Первое – это гипотеза Эндрю Биэла об уравнении Ax+By=Cz, якобы позволяющая доказать ВТФ в одном предложении, и второе – это никем до сих пор не понятое «доказательство» ВТФ Эндрю Вайлса, весть о котором каким-то невероятным образом появилась в газете «Нью Йорк Таймс» аж на два года раньше его самого! Но тогда было просто невозможно себе представить, что будет, когда аж через 25 лет вдруг обнаружится, что оба эти события – это чистые недоразумения!!!

Гипотеза Биэла по трудности её доказательства годится разве что для детей школьного возраста. Но это же просто уму непостижимо, как же её до сих пор не могли доказать даже за премию в целый миллион долларов!!! Другая не менее удивительная сторона этой гипотезы – это непонимание того, каким образом она связана с доказательством ВТФ, т.к. то, что написано по этому поводу в Википедии, является полным абсурдом. Тем не менее, Эндрю Биэл, учредивший за свою гипотезу такую большую премию, явно заслуживает всеобщего уважения, т.к. он таким своим шагом обратил внимание науки на тему, которая имела место ещё у Ферма в упомянутой выше восстановленной записи ВТФ на рис. 5.

Объявленный конкурс на доказательство гипотезы Биэла не позволяет нам в рамках этой книги внести ясность в решение этой проблемы, т.к. это может вызвать в научном мире настоящий переполох. Несмотря на простоту доказательства этой гипотезы, его последствия станут громкой сенсацией, поскольку они позволят действительно получить самое простое доказательство ВТФ. С другой стороны, это будет слишком скромный результат для гипотезы Биэла, потому что её научный потенциал несопоставимо более мощный и впечатляющий. Чтобы исправить эту ситуацию в наилучшую сторону, в данной книге будет предложена более содержательная формулировка этой задачи под названием «Теорема Биэла», которая не только подтверждает верность гипотезы, но и открывает возможности решать уравнение Ax+By=Cz для любых натуральных степеней, кроме случая x=y=z>2.

Что же касается «доказательства» ВТФ Вайлса, то оно держится только на идее Герхарда Фрая, где опять-таки, (в который уже раз за прошедшие 350 лет!), была допущена элементарная ошибка!!! Тогда, если что-то и было доказано, то это полная неспособность науки замечать подобные ошибки, которым она должна обучать школьников. В итоге эти события происходили так, что по проблеме ВТФ и её обобщения в виде гипотезы Биэла наука вновь оказалась жертвой недоразумений, т.е. нынешняя ситуация с решением проблемы ВТФ стала теперь ничуть не лучше той, которая была 170 лет назад, когда немецкий математик Эрнст Куммер предоставил доказательство частных случаев ВТФ для простых чисел из первой сотни натурального ряда.