Полная версия
Логико-философский трактат. Философские исследования
4.1273. Если мы хотим выразить в понятийной записи общее суждение «b следует за a», нам требуется выражение общего в последовательности форм
aRb,
(Ǝ х): aRx × xRb,
(Ǝ x, y): aRx × xRy × yRb, …
Чтобы выразить общее последовательности форм, мы должны использовать переменную, поскольку понятие «общее последовательности форм» есть формальное понятие. (Именно это упустили Фреге и Рассел: способ, каким они хотели выражать общие суждения, наподобие приведенного выше, некорректен; он содержит порочный круг.)
Мы можем определить общее последовательности форм, задав первый член последовательности и общую форму операции, которая порождает следующий член из суждения, ему предшествующего.
4.1274. Спрашивать, существует ли формальное понятие, бессмысленно. Ибо никакое суждение не может быть ответом на подобный вопрос.
(Нельзя, например, спросить: «Существуют ли не поддающиеся анализу субъектно-предикатные суждения?»)
4.128. Логические формы не имеют исчисления.
Поэтому в логике нет привилегированных чисел, как нет и возможности философского монизма или дуализма и т. п.
4.2. Смысл суждения заключен в его соотнесенности или несоотнесенности с возможностью существования или не-существования позиций.
4.21. Простейшая разновидность суждения, элементарное суждение, утверждает существование позиции.
4.211. Признак элементарного суждения – ему не противоречит никакое другое элементарное суждение.
4.22. Элементарное суждение состоит из имен. Это сочетание, сцепление имен.
4.221. Очевидно, что анализ суждений должен приводить к элементарным суждениям, состоящим из имен, связанных непосредственно.
Отсюда вопрос, как воплощаются подобные связи в суждении.
4.2211. Даже если мир бесконечно сложен и каждый факт состоит из бесконечного множества позиций, а каждая позиция включает в себя бесконечное множество объектов, всегда будут объекты и позиции.
4.23. Лишь в составе элементарного суждения имя входит в суждение.
4.24. Имена являются простыми символами: я обозначаю их отдельными буквами («x», «y», «z»).
Я записываю элементарные суждения как функции имен, и они имеют форму «fx», «φ (x, y)» и т. д.
Или же я присваиваю им буквы «p», «q», «r».
4.241. Используя два знака с одним и тем же значением, я выражаю это постановкой между ними знака «=».
Так, «a = b» означает, что знак «b» может быть заменен знаком «a».
(Если я использую уравнение, чтобы ввести новый знак «b», предполагая, что он заменит уже имеющийся знак «a», тогда, подобно Расселу, я записываю уравнение-определение в форме «a = b Def». Определение есть правило действий со знаками.)
4.242. Выражения в форме «a = b» суть, таким образом, простые представления. Они ничего не говорят о значениях знаков «a» и «b».
4.243. Можем ли мы понять два имени, не зная, обозначают ли они одно и то же или различное? Можем ли мы понять суждение, в котором встречаются два имени, не зная, одинаковы их значения или различны?
Предположим, мне известны значения английского и немецкого слов, которые обозначают то же самое; я не могу не признать, что они означают одно и то же; в этом случае я должен суметь перевести одно слово в другое.
Выражения вида «a = a» и их производные не являются элементарными суждениями и ни в каком отношении не имеют смысла.
(Это станет очевидно позднее.)
4.25. Если элементарное суждение истинно, позиция существует; если элементарное суждение ложно, позиция не существует.
4.26. Если заданы все истинные элементарные суждения, мы получим полное описание мира. Мир полностью описывается заданием всех элементарных суждений и указанием, какие из них истинны, а какие ложны.
4.27. Для n числа позиций имеются
Из этих позиций любая комбинация может существовать, а прочие – не существовать.
4.28. Этим комбинациям соответствует равное число возможностей истинности и ложности для n элементарных суждений.
4.3. Возможность истинности элементарных суждений означает возможность существования или не-существования позиций.
4.31. Мы можем представить возможности истинности схемой следующего вида («И» значит «истинно», «Л» значит «ложно», столбцы знаков «И» и «Л» под строками элементарных суждений символизируют их возможности истинности наглядным образом).
4.4. Суждение есть выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений.
4.41. Возможности истинности элементарных суждений суть условия истинности или ложности суждений.
4.411. Сразу становится очевидным, что введение элементарных суждений создает основу для понимания всех прочих суждений. В самом деле понимание общих суждений ощутимо зависит от понимания элементарных суждений.
4.42. Для n числа элементарных суждений имеется
вариантов, какими суждение может соотноситься или не соотноситься с возможностями истинности.
4.43. Соответствие возможностям истинности можно выразить индексом «И» в приведенной выше схеме. Отсутствие этого индекса означает несоответствие.
4.431. Выражение соотнесенности или несоотнесенности с возможностями истинности элементарных суждений обозначает условия истинности суждения.
Суждение есть выражение условий его истинности. (И Фреге был абсолютно прав, используя их как отправную точку для объяснения знаков своей понятийной записи. А вот в объяснении понятия истинности Фреге допустил ошибку: если «истинное» и «ложное» – реальные объекты и аргументы в формуле ~p и т. д., тогда метод, каким Фреге определял смысл «~p», оставил бы их неопределенными.)
4.44. Знак, который получается из сопоставления индекса «И» с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.
4.441. Очевидно, что совокупность знаков «И» и «Л» не имеет объекта (или совокупности объектов), сопоставленных ей, как ничто не сопоставлено вертикальным и горизонтальным линиям в таблице или скобкам. Нет никаких «логических объектов».
Разумеется, то же применимо ко всем знакам, выражающим то, что выражают знаки «И» и «Л» в таблице.
4.442. Например, следующее есть пропозициональный знак.
(Знак утверждения Фреге «⊢» логически не имеет значения; в работах Фреге (и Рассела) он просто указывает, что эти авторы считают суждения, отмеченные таким знаком, истинными. Поэтому «⊢» является составной частью суждения не более чем, допустим, номер суждения. Невозможно, чтобы суждение утверждало свою истинность.)
Если последовательность возможностей истинности в таблице фиксирована при помощи комбинаторного правила раз и навсегда, тогда последний столбец сам по себе будет выражением условия истинности. Если записать этот столбец в строку, пропозициональный знак приобретет вид
«(ИИ – И) (p, q)»,
или, более наглядно,
«(ИИЛИ) (p, q)».
(Число мест в левых скобках определяется числом членов выражения в правых скобках.)
4.45. Для n элементарных суждений имеется Ln возможных групп условий истинности.
Группы условий истинности, извлекаемые из возможностей истинности заданного числа элементарных суждений, можно организовать в последовательности.
4.46. Среди возможных групп условий истинности есть два предельных случая.
В одном случае суждение истинно для всех возможностей истинности элементарного суждения. И мы говорим, что условия истинности тавтологичны.
Во втором случае суждение ложно для всех возможностей истинности, и условия истинности противоречивы.
В первом случае мы называем суждение тавтологией, во втором – противоречием.
4.461. Суждения показывают, о чем они говорят; тавтологии и противоречия показывают, что они не говорят ни о чем. Тавтология не имеет условий истинности, поскольку она безусловно истинна; а противоречие не может быть истинным ни при каких условиях.
Тавтология и противоречие не имеют смысла.
(Подобно точке, из которой две стрелки расходятся в противоположных направлениях.)
(Например, я не знаю ничего относительно погоды, когда знаю, что дождь то ли идет, то ли не идет.)
4.4611. При этом тавтология и противоречие не бессмысленны. Они являются частью символики, как нуль является частью символики арифметики.
4.462. Тавтология и противоречие не могут быть картинами реальности. Они не отображают возможные ситуации. Потому что первая признает все возможные ситуации, а последняя не признает ни одну.
В тавтологии условия соотнесенности с миром – условия отображения – отменяют друг друга, и потому она не находится ни в каком отношении отображения к реальности.
4.463. Условия истинности суждения определяют область, которую суждение предоставляет фактам.
(Суждение, картина, модель выступают в отрицательном смысле, как твердое тело, которое препятствует свободе движения, а в положительном смысле – как пространство, окруженное твердой субстанцией, в котором есть место для тела.)
Тавтология предоставляет реальности всю бесконечность логического пространства; противоречие заполняет логическое пространство собой, не оставляя места реальности. Поэтому ни одно из них не способно как бы то ни было определить реальность.
4.464. Истинность тавтологии достоверна, суждения – возможна, противоречия – невозможна.
(Достоверно, возможно, невозможно – вот первое указание на шкалу, которая необходима для теории вероятности.)
4.465. Логическое произведение тавтологии и суждения говорит то же, что само суждение. Это произведение потому тождественно суждению. Ведь невозможно изменить то, что существенно для символа, не изменив смысл последнего.
4.466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Лишь знакам, не включенным в комбинации, может соответствовать любая комбинация.
Иными словами, суждения, истинные для любой ситуации, не могут быть комбинациями знаков, поскольку в противном случае им соответствовали бы сугубо конкретные комбинации объектов.
(А то, что не является логической комбинацией, не имеет соотнесенности с объектами.)
Тавтология и противоречие суть предельные случаи – точнее, распад – знаковых комбинаций.
4.4661. Допустим, что знаки по-прежнему сочетаются друг с другом в тавтологии и противоречии – что они находятся в определенных отношениях друг к другу; эти отношения не имеют смысла, они несущественны для символа.
4.5. Теперь возможно вывести наиболее общую пропозициональную форму: то есть дать описание суждений любого знакового языка таким образом, что любой возможный смысл может быть выражен символом, удовлетворяющим описанию, и всякий символ, удовлетворяющий описанию, может выразить смысл при условии, что значения имен были подобраны соответственно.
Очевидно, что лишь существенное для наиболее общей пропозициональной формы может быть включено в ее описание – иначе это уже не будет наиболее общей формой.
Существование общей пропозициональной формы доказывается тем фактом, что нет суждения, формы которого нельзя было бы предугадать (то есть сконструировать). Общая форма суждения такова: что-либо имеет место.
4.51. Предположим, что мне задали все элементарные суждения; тогда я просто спрошу: какие суждения я могу составить из них? И у меня были бы все суждения, и так устанавливались бы их границы.
4.52. Суждения включают все, что следует из совокупности элементарных суждений (и, конечно, из того обстоятельства, что это совокупность их всех).
(Так, в известном смысле, можно сказать, что все суждения суть обобщения элементарных суждений.)
4.53. Общая пропозициональная форма – переменная.
5. Суждение – функция истинности элементарных суждений. (Элементарное суждение есть собственная функцияистинности.)
5.01. Элементарные суждения выступают аргументами истинности суждений.
5.02. Аргументы функций нередко смешивают с индексами имен. Поскольку и аргументы, и индексы позволяют узнавать значения знаков, их содержащих.
Например, когда Рассел пишет: «+ c», «c» представляет собой индекс, который указывает, что данный знак есть дополнительный знак количественного числа. Но использование этого знака является результатом произвольной договоренности, и вполне возможно выбрать простой знак вместо «+c»; но в выражении «~p» «p» является не индексом, а аргументом: смысл выражения «~p» нельзя понять до тех пор, пока нам неизвестен смысл «p». (В имени «Юлий Цезарь» индексом будет «Юлий». Индекс всегда часть описания объекта, к имени которого мы его прибавляем; в данном случае Цезарь из рода Юлиев.)
Если я не ошибаюсь, теория Фреге относительно значения суждений и функций основана на смешении аргументов и индексов. Фреге рассматривал логические суждения как имена, а их аргументы – как индексы этих имен.
5.1. Функции истинности могут организовываться в последовательности. Вот основа теории вероятности.
5.101. Функции истинности заданного числа элементарных суждений всегда можно отразить в схеме следующего вида:
(ИИИИ) (p, q) Тавтология (если p, то p, и если q, то q) (p ⊃ p × q ⊃ q)
(ЛИИИ) (p, q) Словами: Не p и не q вместе. [~ (p × q)]
(ИЛИИ) (p, q) Словами: Если q, то p. [q ⊃ p]
(ИИЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q. [p ⊃ q]
(ИИИЛ) (p, q) Словами: p или q. [p ∨ q]
(ЛЛИИ) (p, q) Словами: Не q. [~q]
(ЛИЛИ) (p, q) Словами: Не p. [~p]
(ЛИИЛ) (p, q) Словами: p или q, но не вместе. [p × ~q: ∨: q × ~p]
(ИЛЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q, и если q, то p. [p ≡ q]
(ИЛИЛ) (p, q) Словами: p.
(ИИЛЛ) (p, q) Словами: q.
(ЛЛЛИ) (p, q) Словами: Ни p, ни q. [~p × ~q или p | q]
(ЛЛИЛ) (p, q) Словами: p, но не q. [p × ~q]
(ЛИЛЛ) (p, q) Словами: q, но не p. [q × ~p]
(ИЛЛЛ) (p, q) Словами: q и p. [q × p]
(ЛЛЛЛ) (p, q) Противоречие (p и не p, и q и не q).[p × ~p. q × ~q]
Я назову основаниями истинности суждения те возможности истинности его истинностных аргументов, которые делают суждение истинным.
5.11. Если все основания истинности, общие какому-либо числу суждений, являются и основаниями истинного некоего конкретного суждения, мы говорим, что истинность этого суждения следует из истинности других.
5.12. В частности, истинность суждения «p» следует из истинности суждения «q», если все основания истинности последнего являются и основаниями истинности первого.
5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого: p следует из q.
5.122. Если p следует из q, значение «p» содержится в значении «q».
5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некие суждения, тем самым он создает и мир, в котором будут истинны все суждения, следующие из первых. При этом он не может создать мир, в котором суждение «p» будет истинно, не создав все его объекты.
5.124. Суждение подтверждает любое другое суждение, которое из него следует.
5.1241. «(p × q)» – суждение, которое подтверждает одновременно «p» и «q».
Два суждения противопоставляются друг другу, если нет осмысленного суждения, подтверждающего оба.
Всякое суждение, противоречащее другому, его отрицает.
5.13. Когда истинность одного суждения следует из истинности других, мы видим это по структуре суждения.
5.131. Если истинность одного суждения следует из истинности других, это находит выражение в отношениях, в которых пропозициональные формы находятся друг с другом; для нас нет необходимости устанавливать эти отношения, объединяя формы в одном суждении. Эти отношения являются внутренними, их существование непосредственно вытекает из существования суждений.
5.1311. Когда мы выводим q из (p ∨ q) и ~p, отношение между пропозициональными формами «p ∨ q» и «~p» скрыто способом обозначения. Но если вместо «p ∨ q» мы запишем, например, «p | q × | | × p | q», а вместо «~p» – «p | p» (p | q = ни p, ни q), тогда внутренняя связь станет очевидной.
(Возможность вывода fa из (x) × fx показывает, что символ «(x) × fx» содержит в себе всеобщность.)
5.132. Если p следует из q, я могу заключить от q к p, вывести p из q.
Природа взаимосвязи проявляется лишь в двух суждениях.
Они сами являются единственными возможными оправданиями вывода.
«Законы вывода», которые должны оправдывать вывод, как в работах Фреге и Рассела, лишены смысла и потому излишни.
5.133. Все выводы делаются априорно.
5.134. Элементарное суждение нельзя вывести из другого элементарного суждения.
5.135. Нет способа из существования одной ситуации сделать вывод о существовании другой, полностью отличной ситуации.
5.136. Не существует причинной связи, оправдывающей подобный вывод.
5.1361. События будущего нельзя вывести из событий настоящего. Суеверие есть вера в подобную причинную связь.
5.1362. Свобода воли состоит в невозможности знания действий, лежащих в будущем. Мы могли бы узнать их, только будь причинность внутренней необходимостью, как в случае логического вывода. Связь между познанием и тем, что известно, есть связь «логической необходимости».
(Суждение «A знает, что есть p» не имеет смысла, если p – тавтология.)
5.1363. Если истинность суждения не следует из того, что она очевидна для нас, тогда эта очевидность никоим образом не оправдывает нашу веру в его истинность.
5.14. Если одно суждение следует из другого, тогда последнее говорит больше первого, а первое – меньше последнего.
5.141. Если p следует из q, а q следует из p, они являются одним и тем же суждением.
5.142. Тавтология следует из всех суждений: она не говорит ничего.
5.143. Противоречие – такой общий фактор суждений, который не является общим ни для одной пары суждений. Тавтология – общий фактор всех суждений, которые не имеют ничего общего друг с другом.
Можно сказать, что противоречие кроется вовне всех суждений, а тавтология – внутри них.
Противоречие есть внешний предел суждений; тавтология – несубстанциальная точка в центре.
5.15. Если Иr есть количество оснований истинности суждения «r» и если Иrs есть число оснований истинности суждения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», тогда мы назовем отношение Иrs: Иr степенью вероятности, которую суждение «r» придает суждению «s».
5.151. Вставим в схему пункта 5.101 индекс Иr в качестве числа «И» в суждении r, а индекс Иrs – в качестве числа «И» в суждении s для столбцов, где присутствуют индексы «И» суждения r. Тогда суждение r придаст суждению s вероятность Иrs : Иr.
5.1511. Не существует особого объекта, присущего вероятностным суждениям.
5.152. Когда у суждений нет общих аргументов истинности, мы называем их независимыми.
Два элементарных суждения дают друг другу вероятность 1/2.
Если p следует из q, тогда суждение «q» наделяет суждение «p» вероятностью 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности.
(Применение этого к тавтологии и противоречию.)
5.153. Само по себе суждение ни вероятно, ни невероятно. Событие происходит или нет; третьего не дано.
5.154. Предположим, что урна содержит равное количество черных и белых шаров (и никаких других). Я достаю один шар за другим и кладу обратно в урну. Этим экспериментом я могу установить, что количество вытянутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании.
Это не математическая истина.
Теперь я говорю: «Вероятность вытянуть белый шар равна вероятности вытянуть черный шар», и это означает, что при всех известных мне обстоятельствах (включая законы природы, понимаемые как гипотеза), у одной вероятности нет преимущества перед другой. Иными словами, общая вероятность составляет 1/2, что легко вывести из предыдущего описания.
Этим экспериментом я подтверждаю, что наступление обоих событий не зависит от обстоятельств, о которых я не имею подробных сведений.
5.155. Минимальная единица вероятностного суждения такова: обстоятельства – о которых я мало что знаю – сулят такую-то и такую-то степень вероятности конкретного события.
5.156. В этом отношении вероятность является обобщением.
Она включает в себя общее описание пропозициональной формы.
Мы используем вероятность за отсутствием достоверности – наше знание не является сколько-нибудь полным, но мы знаем нечто об этой форме.
(Суждение может быть неполной картиной конкретной ситуации, но всегда является полной картиной чего-то.)
Вероятностное суждение есть своего рода извлечение из других суждений.
5.2. Структуры суждений находятся во внутренних отношениях друг к другу.
5.21. Чтобы показать эти внутренние отношения, мы можем применить следующий способ выражения: мы можем представить суждение как результат действия, которое порождает его из других суждений (оснований действия).
5.22. Действие есть выражение отношения между структурами его результата и его оснований.
5.23. Действие – то, что нужно сделать с одним суждением, чтобы получить из него другое.
5.231. Это, разумеется, зависит от их формальных свойств, от внутреннего сходства форм.
5.232. Внутреннее отношение, упорядочивающее последовательности, эквивалентно действию, которое порождает один член последовательности из другого.
5.233. Действия не проявляют себя до того, пока одно суждение не возникнет из другого логически значимым путем: до того, пока не начнется логическое конструирование суждений.
5.234. Функции истинности элементарных суждений суть результаты действий над элементарными суждениями. (Я называю эти действия истинностными действиями.)
5.2341. Смысл функции истинности p есть функция смысла p.
Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. п. являются действиями. (Отрицание меняет смысл суждения на противоположный.)
5.24. Действие проявляет себя в переменной; оно показывает, как можно получить одну пропозициональную форму из другой.
Оно выражает различие между формами.
(То, что основания действия и его результаты имеют общего, есть лишь сами основания.)
5.241. Действие – не характеристика формы, а только различие между формами.
5.242. Действие, создающее «q» из «p», также создает «r» из «q», и так далее. Есть лишь один способ выразить это: «p», «q», «r» и пр. должны быть переменными, позволяющими выразить некие общие формальные отношения.
5.25. Наличие действия не характеризует смысл суждения.
Ведь действие ничего не сообщает; говорит лишь результат, который зависит от оснований действия.
