Математика без страха и слёз: математика, 5-й класс

Сложение

Что-то убрали, нужно узнать остаток; или сравнивают «на сколько»

Вычитание

Есть несколько одинаковых групп

Умножение

Предметы распределяют поровну или выясняют, сколько групп получится

Деление

Карточка помогает, но не заменяет понимание. Слова «всего» или «больше» иногда встречаются в разных задачах. Поэтому задавай себе главный вопрос: какое изменение происходит с количеством?

Сложение: объединяем части

Для ярмарки приготовили 36 синих и 28 жёлтых закладок. Чтобы узнать, сколько закладок всего, объединяем две группы:

36 + 28 = 64.

Сложение отвечает на вопросы «сколько всего?» и «сколько стало, если добавили?». Числа, которые складывают, называются слагаемыми, а результат — суммой.

Сложить можно несколькими способами. Например, к 36 удобно сначала прибавить 20, а потом 8:

36 + 28 = 36 + 20 + 8 = 56 + 8 = 64.

Такой способ называется вычислением по частям. Он особенно полезен, когда числа круглые или их легко разложить на удобные части.

Можно поменять слагаемые местами, и результат останется тем же:

36 + 28 = 28 + 36.

Можно и иначе сгруппировать несколько слагаемых. Например:

(36 + 14) + 6 = 36 + (14 + 6) = 36 + 20 = 56.

Это удобно, когда среди чисел есть пары, которые дают круглое число. Скобки здесь показывают, какие числа мы сначала объединяем. А если к числу прибавить ноль, оно не изменится: 64 + 0 = 64.

Сложение в столбик

При записи в столбик единицы ставят под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Иначе цифры окажутся в чужих разрядах: как если бы на ярмарке рубли положили в коробку для копеек.

Рассмотрим 347 + 286.

Сотни

Десятки

Единицы

Первое число

3

4

7

Второе число

2

8

6

Сумма

6

3

3

Вычисляем справа налево:

• единицы: 7 + 6 = 13. Записываем 3 единицы, а 1 десяток переносим к десяткам;

• десятки: 4 + 8 + 1 = 13. Записываем 3 десятка, а 1 сотню переносим к сотням;

• сотни: 3 + 2 + 1 = 6.

Получаем 633.

Проверь ответ прикидкой: 347 — примерно 350, 286 — примерно 290; вместе получается примерно 640. Ответ 633 выглядит правдоподобно.

Вычитание: убираем или сравниваем

Из 64 закладок продали 19. Сколько осталось? Проданные закладки нужно убрать из общего количества:

64 − 19 = 45.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым; число, которое вычитают, — вычитаемым; результат — разностью.

Вычитание помогает не только узнать остаток. Оно отвечает и на вопрос «на сколько одно количество отличается от другого?». Если на одном столе 28 открыток, а на другом 36, то второй стол имеет на 8 открыток больше:

36 − 28 = 8.

Здесь ничего не убирают. Мы сравниваем два количества и находим расстояние между ними.

Порядок чисел при вычитании менять нельзя: 64 − 19 не равно 19 − 64. Вычитаемое влияет на остаток. Если из числа вычесть ноль, число не изменится; если из числа вычесть его самого, получится ноль.

Вычитание в столбик: когда не хватает единиц

Разберём пример 602 − 278. Единиц 2, а вычесть нужно 8. Не хватает. Можно занять один десяток, но десятков в числе 602 нет. Тогда занимаем одну сотню и превращаем её в 10 десятков. Один десяток превращаем в 10 единиц.

Теперь 602 можно представить как 5 сотен, 9 десятков и 12 единиц.

Сотни

Десятки

Единицы

Было в числе 602

6

0

2

После перегруппировки

5

9

12

Вычитаем 278

2

7

8

Разность

3

2

4

Теперь вычитаем по разрядам: 12 − 8 = 4 единицы, 9 − 7 = 2 десятка, 5 − 2 = 3 сотни. Получаем 324.

Проверить вычитание можно сложением:

324 + 278 = 602.

Если после вычитания сложить разность и вычитаемое, должно получиться уменьшаемое.

Умножение: считаем одинаковые группы

На каждом из четырёх столов приготовили по 23 закладки. Сколько закладок разложили?

Можно записать длинное сложение: 23 + 23 + 23 + 23. А можно умножить:

23 · 4 = 92.

Умножение — это короткая запись сложения одинаковых слагаемых. Числа, которые умножают, называются множителями, результат — произведением.

Умножение удобно, когда есть одинаковые группы. Например, 6 коробок по 12 значков — это 6 одинаковых групп по 12. А если в каждой коробке количество разное, умножение может не подойти: сначала нужно понять, что именно повторяется.

Множители можно поменять местами:

23 · 4 = 4 · 23.

Ноль при умножении на любое число даёт ноль: если в каждой из четырёх коробок по ноль значков, всего значков тоже ноль. А умножение на 1 не меняет число: 23 · 1 = 23.

Иногда полезно разложить число на части:

23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92.

Это похоже на то, как мы считали бы отдельно закладки в двадцатках и оставшиеся тройки. Такое разложение помогает понять умножение и нередко делает вычисления проще.

Умножение в столбик

Возьмём пример 48 · 7.

Сотни

Десятки

Единицы

Число 48

0

4

8

Результат умножения на 7

3

3

6

Сначала умножаем единицы: 8 · 7 = 56. Записываем 6 единиц, а 5 десятков переносим к разряду десятков. Затем умножаем десятки: 4 · 7 = 28 десятков. Прибавляем перенесённые 5 десятков: 28 + 5 = 33 десятка. Это 3 сотни и 3 десятка.

Итак:

48 · 7 = 336.

Проверка прикидкой: 48 примерно равно 50, а 50 · 7 = 350. Ответ 336 близок к 350, значит, он выглядит разумно. Точную проверку можно сделать делением: 336 : 7 = 48.

Деление: делим поровну и считаем группы

Для ярмарки приготовили 72 значка и хотят поровну разложить их в 8 коробок. Чтобы узнать, сколько значков попадёт в каждую коробку, делим:

72 : 8 = 9.

Деление отвечает на два похожих, но разных вопроса. Первый: «Сколько достанется каждому, если распределить поровну?» Второй: «Сколько групп получится, если разложить предметы по несколько в каждую?» Оба вопроса связаны с делением.

Число, которое делят, называется делимым, число, на которое делят, — делителем, результат — частным.

Деление в столбик

Рассмотрим 864 : 4. Важно сохранять разряды: сотни частного записываются на месте сотен, десятки — на месте десятков, единицы — на месте единиц.

Шаг

Что делим

Что получаем

Сотни

8 сотен : 4

2 сотни

Десятки

6 десятков : 4

1 десяток и остаток 2 десятка

Единицы

2 десятка и 4 единицы — это 24 единицы; 24 : 4

6 единиц

Значит:

864 : 4 = 216.

Проверим умножением: 216 · 4 = 864. Деление и умножение помогают проверять друг друга.

Но не всегда предметы делятся нацело. Если 67 значков разложить по коробкам, по 8 в каждую, получится 8 полных коробок и останется 3 значка:

67 : 8 = 8 (ост. 3).

Здесь 67 — делимое, 8 — делитель, 8 — неполное частное, а 3 — остаток. Остаток всегда меньше делителя. Если бы осталось 8 значков, можно было бы заполнить ещё одну коробку, значит, деление ещё не закончено.

Проверка деления с остатком обязательна:

8 · 8 + 3 = 67.

Нужно умножить делитель на частное и прибавить остаток. Если получилось делимое, вычисление верно.

На ноль делить нельзя. Представь, что нужно поровну разложить 12 значков в ноль коробок. Такого распределения не существует. Или попробуй подобрать число, которое при умножении на ноль даст 12: никакое не подойдёт. Поэтому выражение вроде 12 : 0 не имеет значения.

Когда в задаче больше одного шага

Вернёмся к ярмарке. Для четырёх столов приготовили по 18 значков, а ещё 12 значков нашли в запасе. Сколько значков получилось всего?

Сначала считаем одинаковые группы:

18 · 4 = 72.

Теперь добавляем запас:

72 + 12 = 84.

Значит, всего 84 значка. Если их нужно поровну распределить между 7 классными командами, делим:

84 : 7 = 12.

Каждая команда получит по 12 значков.

Заметь: мы не выбирали действие по одному случайному слову. Сначала увидели одинаковые группы, потом прибавили запас, а затем распределили поровну. Каждое действие отвечало на свой вопрос. Когда в задаче несколько шагов, особенно важно не торопиться и после каждого шага отмечать, что именно уже найдено.

Попробуй сам

Сначала реши задачу с подсказкой, затем — без неё.

С подсказкой. У класса было 47 красных открыток и 35 синих. 26 открыток продали. Сколько осталось?

Сначала спроси себя: что нужно узнать перед тем, как найти остаток? Нужно объединить красные и синие открытки. Затем из общего количества вычесть проданные:

47 + 35 = 82;

82 − 26 = 56.

Осталось 56 открыток.

Теперь самостоятельно.

1. В шести одинаковых упаковках лежит по 14 стаканчиков. Сколько стаканчиков всего?

2. 84 стаканчика поровну расставили на 7 столов. Сколько стаканчиков на каждом?

3. У одной команды 38 значков, у другой — 51. На сколько значков у второй команды больше?

4. На ярмарку принесли 73 наклейки и разложили их по 9 конвертам поровну, насколько возможно. Сколько наклеек окажется в каждом конверте и сколько останется?

Ответы для проверки: 1) 84; 2) 12; 3) 13; 4) по 8 наклеек, останется 1. В последнем примере проверка выглядит так: 9 · 8 + 1 = 73, а остаток 1 меньше делителя 9.

Если ответ не совпал, это не повод огорчаться. Проверь не только вычисление, но и выбор действия: возможно, ты правильно посчитал, но ответил не на тот вопрос. Полезно также прикинуть результат заранее. Если складываешь примерно 50 и 30, получить 800 не может. Если делишь 72 на 8, результат должен быть меньше 72. Такая оценка помогает заметить ошибку до того, как она успеет спрятаться в тетради.

Главная мысль

Четыре действия — не четыре знака, которые нужно угадывать. Это четыре способа описать отношения между количествами: объединить, убрать или сравнить, посчитать одинаковые группы, распределить поровну. Сначала выясни, что известно и о чём спрашивают; затем выбери действие, вычисли и проверь результат обратным действием, умножением или разумной оценкой.

Математика становится спокойнее, когда ты не торопишься нажать на знак, а понимаешь, что происходит с предметами и числами. На ярмарке это помогает разложить значки и посчитать сдачу; в тетради — увидеть смысл примера; в следующей главе — уверенно разобраться, что делать, когда в одном выражении встретится сразу несколько действий.

Числовые выражения и порядок действий: считаем без ошибок

«Математика без страха и слёз»: математика, 5-й класс — максимально простым и понятном языком.

На школьной ярмарке продавали наборы для перекуса: три коробочки сока по 80 рублей и два пирожка по 35 рублей. В конце покупки обещали скидку 50 рублей. Двое ребят записали один и тот же пример:

3 · 80 + 2 · 35 - 50

Но ответы у них получились разные.

Маша сначала посчитала цену сока и пирожков, а потом вычла скидку. У неё вышло 260 рублей. Дима решил идти строго по порядку знаков, слева направо:

3 · 80 = 240 240 + 2 = 242 242 · 35 = 8 470 8 470 - 50 = 8 420

«Наверное, я что-то не так понял», — сказал он. И правильно: дело не в том, что Дима плохо знает таблицу умножения. Он просто применил к записи правило, которого в математике нет. Помоги ребятам разобраться, кто прав, и побудь внимательным проверяющим: ошибки нужны не для того, чтобы кого-то пристыдить, а чтобы заметить, где сбился маршрут.

Сначала прочитаем пример по смыслу. Три коробочки стоят по 80 рублей, значит, их цену находим умножением. То же самое с двумя пирожками. Потом складываем стоимости разных товаров и вычитаем скидку:

3 · 80 = 240 2 · 35 = 70 240 + 70 = 310 310 - 50 = 260

Значит, Маша получила верный ответ: набор стоит 260 рублей.

Но как математика «понимает», что нужно сначала умножать, а не сразу прибавлять? Для этого есть общее правило порядка действий. Оно помогает каждому, кто читает выражение, получить один и тот же ответ. Представь, что у вычислений есть светофор.

Светофор действий

Сигнал

Какие действия выполняем

Как выбирать порядок

Красный

Действия в скобках

Сначала внутренние скобки, затем внешние

Жёлтый

Умножение и деление

Слева направо

Зелёный

Сложение и вычитание

Слева направо

Если в выражении нет скобок, красный сигнал пропускаем. Нет умножения и деления — пропускаем жёлтый. Главное — не перепрыгивать к следующему цвету, пока не закончен предыдущий.

Сначала скобки

Скобки говорят: «Сначала разберись с тем, что находится внутри». Например:

24 - 4 · 3

Здесь скобок нет, поэтому переходим к жёлтому сигналу. Умножение выполняется раньше вычитания:

4 · 3 = 12 24 - 12 = 12

Обрати внимание: нельзя сначала вычислить 24 - 4, а затем умножить результат на 3. Если бы автор хотел именно такой порядок, он поставил бы скобки:

(24 - 4) · 3

Теперь красный сигнал требует сначала выполнить действие внутри скобок:

24 - 4 = 20 20 · 3 = 60

Скобки изменили маршрут, а вместе с ним и ответ. Без скобок получилось 12, со скобками — 60. Это как разные инструкции к одному и тому же набору деталей: поменял порядок сборки — получил другую конструкцию.

Важно: скобки не означают, что внутри них всегда нужно первым делом складывать. Они означают, что сначала нужно вычислить всё выражение внутри, соблюдая обычные правила. Например:

60 - (18 : 3 + 4) · 2

Сначала разбираемся с тем, что в скобках. Там есть деление и сложение, значит, сначала срабатывает жёлтый сигнал:

18 : 3 = 6 6 + 4 = 10

Теперь исходное выражение стало таким:

60 - 10 · 2

Снова смотрим на светофор: умножение раньше вычитания.

10 · 2 = 20 60 - 20 = 40

Ответ — 40.

Если внутри скобок есть другие скобки, начинай с самых внутренних. Например:

40 - (12 : (2 + 4)) · 3

Сначала вычисляем действие в маленьких, внутренних скобках:

2 + 4 = 6

Теперь можно выполнить деление в больших скобках:

12 : 6 = 2

Остаётся выражение:

40 - 2 · 3

Выполняем умножение, затем вычитание:

2 · 3 = 6 40 - 6 = 34

Получили 34. Такой способ помогает не торопиться и не терять части выражения.

Умножение и деление идут в одном ряду

Жёлтый сигнал включает и умножение, и деление. У них одинаковая важность: нельзя считать, что умножение всегда главнее деления или наоборот. Если в выражении есть только эти действия, выполняй их слева направо.

Например:

72 : 8 · 3

Первым слева стоит деление. Выполняем его, а затем умножение:

72 : 8 = 9 9 · 3 = 27

Ответ — 27.

Частая ошибка — сначала умножить 8 на 3, а потом разделить 72 на результат. Так получилось бы 2, но для этого пришлось бы поставить скобки:

72 : (8 · 3)

В исходном выражении скобок нет, поэтому вычисляем слева направо. Если автору нужны скобки, он обязан их показать. Математическая запись — не загадка, где читатель должен угадывать чужую мысль.

Сложение и вычитание тоже равны

Зелёный сигнал включает сложение и вычитание. Они тоже стоят на одном уровне важности. Значит, если в выражении есть только эти действия, считаем слева направо:

30 - 12 + 5

Сначала выполняем вычитание, потому что оно записано левее:

30 - 12 = 18 18 + 5 = 23

Ответ — 23.

Не нужно сначала складывать 12 и 5 только потому, что сложение кому-то кажется «главнее». Если бы требовалось именно это, запись выглядела бы так:

30 - (12 + 5)

Тогда сначала сработали бы скобки:

12 + 5 = 17 30 - 17 = 13

Опять скобки меняют порядок действий — и ответ.

Как пройти выражение без спешки