Отрицательный результат

Георгий Полянский

Отрицательный результат

Глава 1. Трагедия Готлиба Фреге

В июне 1902 года профессор математики в Йене держал в руках корректуру своей книги. Он ещё не знал, что держит в руках смертный приговор делу всей своей жизни.

Готлобу Фреге было пятьдесят три. Двадцать пять лет он отдал одной мысли — что вся арифметика, всё бесконечное хозяйство чисел, выводится из чистой логики и не держится больше ни на чём. Первый том доказательства вышел девятью годами раньше и утонул в молчании: книгу мало кто мог прочесть и почти никто — оценить. Второй печатался. И вот, когда листы уже уходили под пресс, пришло письмо.

Писал англичанин тридцати лет, Бертран Рассел. Он занимался тем же самым — искал для математики логическое дно — и читал Фреге с восхищением: почти во всём согласен, лучшее, что написано о логике за сто лет. Дальше стояла вежливая оговорка, «лишь в одном пункте я встретил трудность», и несколько строк рассуждения.

Эти несколько строк показывали, что система Фреге противоречива. Не в частности, не в доказательстве отдельной теоремы — в самом правиле, на котором держалось определение числа. Всё здание, законченное и уходящее в печать, стояло на пустоте.

Чтобы понять, что убило одно письмо, надо знать, что строилось и от какой беды.

Беда была настоящая и копилась двести лет. Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление бесконечно малых, и оно работало великолепно — считало орбиты, площади, скорости. Только никто не мог сказать, что такое бесконечно малая. Считали её так: величина меньше любой мыслимой доли — меньше тысячной, меньше миллионной, меньше чего угодно, — и при этом всё-таки не ноль.

Зачем нужна такая небылица, видно на простом вопросе: какова крутизна кривой в одной-единственной её точке? Крутизну меряют отношением — насколько поднялось на столько-то вбок. Но в одной точке никакого «вбок» нет, делить не на что. И тогда отступали в сторону на бесконечно малую: на этот неуловимый шажок считали подъём и делили одно на другое. В ответе вместе с искомым числом оставалась она же, лишней добавкой, — и вот тут её отбрасывали: она ведь бесконечно мала, чего с ней считаться.

Здесь и была бессмыслица, и видели её все. Чтобы поделить, бесконечно малую держали за настоящее число — на ноль делить нельзя. Чтобы получить чистый ответ, ту же величину в том же вычислении объявляли нулём и выкидывали. Одно и то же — то не ноль, то ноль, смотря что сейчас нужнее. Приём давал верные ответы полтора века и оставался при этом откровенным фокусом; епископ Беркли, поймав математиков на подмене, назвал их бесконечно малые «призраками усопших величин».

К середине девятнадцатого века с этим взялись покончить. Коши, Больцано, Вейерштрасс переписали анализ так, чтобы бесконечно малые исчезли вовсе, а их место заняли обычные числа и предельные переходы. Из математики изгоняли всякую опору на картинку, на созерцание, на «ну ведь видно же».

Изгнание пошло вглубь. Непрерывные величины свели к действительным числам, действительные — к рациональным, рациональные — к целым. Всё огромное здание анализа осело на натуральный ряд: один, два, три. И тут открылась вещь, от которой становится не по себе. Всё свели к числу — а что такое число, объяснить не мог никто.

Ответы, которые ходили по рукам, рассыпались при первом нажатии. Число — свойство вещей? Но вот перед вами колода карт: она одна, мастей в ней четыре, карт пятьдесят две. В самих картах ничего не изменилось, а числа вышли разные — значит, число прилипло не к вещам. Число — картинка в голове? Но никто не представляет себе шестьсот пятьдесят четыре тысячи семьсот шестьдесят восемь, а сложить это с другим таким же мы можем и в ответе уверены. Число — обобщение опыта, итог множества виденных пар и троек, как думал Милль? Тогда арифметика перестаёт быть надёжной: вдруг завтра мир поведёт себя иначе, и дважды два окажется другим. Кант отвечал, что арифметика опирается на чистое созерцание, на нашу способность видеть последовательность во времени. Фреге возражал: очень большие числа никто ни в каком созерцании не удерживает, а истины о них мы знаем наверняка.

Оставалась четвёртая возможность, и её-то Фреге и взялся доказать: число есть предмет логики. Не свойство вещей, не образ в сознании, не осадок наблюдений, а нечто, выводимое из одних законов рассуждения.

Стоит понять, что сулила победа, — иначе не видно, чем он рисковал. Если арифметика выводится из логики, то её истины не зависят ни от того, каков мир, ни от того, как устроена наша голова: их не опровергнуть ни новым опытом, ни другой психикой. Уверенность, с которой мы говорим «дважды два четыре», перестаёт быть загадкой или привычкой и получает основание. Дальше — всеядность. Числа приложимы решительно ко всему: считают яблоки, доводы в споре, корни уравнения, ангелов на кончике иглы. Если число есть предмет логики, странность исчезает: логика приложима ко всему, о чём вообще можно мыслить, и арифметика наследует эту всеядность от неё. И наконец — никаких посредников: ни интуиции, ни особого дара, который надо иметь от природы. Только цепочка выводов, которую любой может проверить шаг за шагом.

Ради этого Фреге сначала построил инструмент, которого не существовало. В 1879 году он издал тонкую книжку с формальным языком, где впервые появились кванторы — способ строго записать «всякий» и «некоторый» — и стало можно выражать многослойные общие суждения, ничего не теряя по дороге. Логика со времён Аристотеля почти не двигалась с места; он сдвинул её на девяноста страницах. Книжку почти не заметили. Инструмент был сделан не ради инструмента: им предстояло разобрать понятие числа до последнего винта.

Разбирал он так. Число прилипает не к вещам, а к понятию, под которое их подводят: сказать «четыре» осмысленно только тогда, когда сказано «четыре чего» — четыре масти, а не четыре карты, потому что взято понятие «масть в этой колоде». Значит, число есть нечто, что говорится о понятии.

Дальше — ход, ради которого всё строилось. Когда два понятия имеют одно и то же число? Тогда, когда их предметы можно расставить попарно, ничего не оставив ни с одной стороны, ни с другой. Пастуху не нужно уметь считать, чтобы знать, что овец столько же, сколько камешков в его сумке: он вынимает по камешку на овцу. Взаимно-однозначное соответствие даёт равночисленность без всякого счёта — то есть понятие числа определяется раньше, чем «сколько».

Осталось превратить это в предмет. Число, отвечающее понятию, Фреге определил как объём понятия «равночисленный ему»: четвёрка — то общее, что есть у всех четвёрок мира, взятое как отдельная вещь, с которой можно обращаться в формулах. За словом «объём понятия» прячется знакомое: это прямой предок того, что математики позже назовут множеством. Правило, разрешающее переход от понятия к его объёму, стояло в системе пятым и называлось Основным законом V. Без него числа не из чего сделать: понятия остаются понятиями, считать нечего.

Теперь письмо можно прочесть.

Рассел заметил, что понятия распадаются на два разряда, и различие тут не между словом и вещью, а между самими понятиями. Одни под себя не подпадают: понятие лошади не ест овса, понятие красного не имеет цвета. Другие подпадают вполне: понятие абстрактного само абстрактно, понятие понятия само есть понятие, а понятие «не-лошадь» — и подавно, оно действительно не лошадь. Разряды не выдуманы для случая; они получаются сами, стоит спросить о любом понятии, годится ли оно себе в примеры.

Нагляднее всего — на каталогах. Каталог книг по ботанике сам книгой по ботанике не является и себя в свои строки не вносит. А каталог всех каталогов библиотеки сам есть каталог и себя внести обязан, иначе он неполон. Итак, каталоги бывают двух родов: упоминающие себя и не упоминающие. Составим теперь каталог всех каталогов, которые себя не упоминают. Упоминает ли он себя? Если да — он попал в собственный список, а туда вносят только тех, кто себя не упоминает. Если нет — он ровно таков, каких список собирает, значит, обязан там стоять, то есть себя упомянуть. Оба ответа опровергают себя за один ход, и никакой ошибки в рассуждении нет: беда в самой возможности собрать такой список.

У Фреге вместо каталогов и множеств — объёмы понятий, но удар приходится в ту же точку. Основной закон V обязывает выдать объём всякому понятию без разбора — в том числе понятию «не подпадающий под самого себя». А из него, как из каталога всех себя-не-упоминающих, следует и «да», и «нет».

Закон, без которого числа не из чего сделать, оказался законом, из которого следует что угодно, — а значит, ничто. Никакое наблюдение тут ни при чём. Система убила себя собственными правилами.

Второй том вышел в 1903 году с приложением, дописанным на ходу. Начинается оно так: едва ли может случиться с учёным что-либо худшее, чем то, что после завершения работы одно из оснований его постройки оказывается поколебленным. В такое положение, продолжает Фреге, его поставило письмо господина Бертрана Рассела, когда печатание тома уже подходило к концу.

Дальше видно, из какого человек теста. Противоречие Фреге воспроизводит сам, своими средствами, в своих обозначениях, показывая, что вывести его можно двумя разными путями и оба лежат внутри его системы. Он предъявляет читателю оружие в исправном виде, а не в пересказе. Публикацию не откладывает — том выходит с обвалом внутри. И не сваливает беду на частность: затронуто, говорит он, не одно место, а сам способ, которым он переходил от понятия к предмету.

В том же приложении Фреге предлагает выход, простой на вид: ослабить пятый закон так, чтобы самопожирающий оборот в него не пролез, и выражает надежду, что главные теоремы арифметики удастся спасти. Выход не сработал. Позже показали — сперва польский логик Станислав Лесневский, за ним Гич и Куайн, — что подправленный закон выживает лишь в мире, где предметов не больше одного. Починка спасала систему ценой того, ради чего система строилась: в мире одного предмета арифметика невозможна — там нечего считать.

Он мог поступить иначе, и стоит представить это отчётливо. Приложения он мог не печатать — второй том вышел бы чистым, а обвал остался бы перепиской двух человек. Мог назвать противоречие частным затруднением, отложенным до третьего тома, которого, к слову, так и не будет. Мог объявить, что понятие «не подпадающий под самого себя» вообще не есть настоящее понятие, и запретить его особым правилом — приёмом, которым в философии пользуются постоянно и почти всегда безнаказанно. Он напечатал.

Вот что стоит держать в уме, когда в следующий раз услышишь, что кто-то «признал свою ошибку». Признание бывает в письме приятелю, в частном разговоре, через двадцать лет в предисловии к переизданию — там, где его легко обойти. А бывает под одной обложкой с опровергнутым, в той же книге, которую читатель держит в руках, набранное тем же шрифтом. Кто хочет знать, признана ошибка или нет, пусть смотрит не на слова, а на место: напечатано ли возражение там, где его не обойдёшь.

Фреге не проиграл опыту. Никто не поставил эксперимента, никакое наблюдение ему не противоречило, ни один факт мира не имел к делу отношения. Его постройка была целиком априорной — определения, аксиомы, выводы, и ничего, что можно измерить или увидеть. Такую, казалось бы, нельзя опровергнуть в принципе: её не за что схватить снаружи. И всё же она умерла — от противоречия. У мысли, которая ничего не утверждает о мире, точка поражения тоже есть, и лежит она внутри: система гибнет, если из неё выводится разом и «да», и «нет». Всякому, кто слышит слово «проверяемость» и тут же вспоминает, что математику и логику опытом не проверить, — вот и ответ. Не проверить. Но смерть у них своя, и она наступает.

Та же история показывает цену сцепленности. Здание Фреге держалось на немногих законах, и каждая теорема опиралась на предыдущие; поэтому один изъян в пятом обрушил всё. Части были связаны — и разрушение шло по связям. Рассыпчатая постройка так не гибнет: в ней нечему падать. Уязвимость оказалась платой за то, что вещь была одним целым, а не грудой соображений. И рисковал Фреге не малым: двадцать пять лет, дело жизни, зрелые годы. Печатая приложение, он ставил под удар всё сразу, потому что его труд имел смысл только целиком — логицизм без основания чисел не логицизм, а набор упражнений.

Так и вышло. Программу пришлось оставить. Признания при жизни он не получил и умер человеком, чью главную работу знали десятки людей. Но у этой истории есть последний поворот, и он горше всего.

В свои последние годы, уже в двадцатые, Фреге вернулся к вопросу, которому отдал жизнь, и ответил на него наоборот. В набросках, которые он не успел ни развить, ни напечатать, он пишет, что арифметика в конце концов держится не на логике, а на геометрии; что она, стало быть, синтетична, а не аналитична, — и опирается на созерцание пространства и времени. То есть ровно то, что утверждал Кант и что молодой Фреге взялся опровергнуть двадцатью пятью годами формул. Человек, положивший жизнь на доказательство, что число есть чистая логика, умер в 1925-м, оставив в столе несколько страниц, где написано, что он, кажется, ошибался с самого начала.

Проще всего увидеть в этом крушение. Но есть и другой способ прочесть. Мысль Фреге оказалась настоящей ровно потому, что могла умереть, — и он до последнего дня называл место, где она умирала: сначала в приложении, чужой рукой присланное противоречие; под конец — своей собственной рукой, в набросках без читателя. Есть аппараты, которые нельзя ни опровергнуть, ни поймать, потому что они ничего не выводят, ни на чём не держатся и ничем не рискуют. Их не убить — и не потому, что они прочны, а потому, что в них нечему падать. Здание Фреге можно было убить. Но оно было зданием.

Глава 2. Платон, который опроверг сам себя

Две с половиной тысячи лет назад Платон напечатал полный разгром собственной главной мысли. Разгром он вложил в уста мудрейшего из предшественников, какого мог назвать, а себя вывел мальчиком, который не находит ответа. И ответа не дал. Дыра, которую он тогда открыл в самом основании своего учения, не закрыта до сих пор.

Платон всю жизнь держался учения об идеях, и держался не от любви к странному, а от настоящей нужды. Вот три вещи — яблоко, закат, флаг, — и все три красные. Общего вещества в них нет: яблоко из мякоти, закат из света, флаг из ткани. И всё же общее есть, мы видим его сразу и зовём одним словом. То же с делами поважнее: справедливым мы называем и приговор, и раздел наследства, и поступок чужого человека, у которых нет ни одной общей чёрточки, — а спорить о справедливом не бросаем, значит, есть о чём. Платон ответил: есть сама справедливость и само красное — не в вещах, а отдельно; вещи же таковы постольку, поскольку причастны этому отдельному. Идея одна, причастных ей вещей много; вещи возникают и гибнут, идея неизменна — и оттого возможно знание, ведь знать можно лишь то, что не течёт.

Выигрыш огромен: является предмет знания, не зависящий от того, кто смотрит; является мера, по которой один приговор справедливее другого; является объяснение, почему разные вещи зовутся одним именем. Ради этого можно стерпеть и странность, что где-то отдельно от мира существует само красное.

В диалоге «Парменид» Платон выводит юного Сократа с этим учением и ставит напротив него Парменида — почтенного старца из Элеи, старейшего и чтимого им выше прочих философа, — и тот разбирает постройку по частям, возражение за возражением. Разгром, стало быть, вложен в самые авторитетные уста, какие Платон мог найти. Ни один удар не требует верить на слово: каждый проверяется на самом учении.

Первый — о том, чего вообще есть идеи. Справедливости, красоты — да? Да, отвечает Сократ уверенно. Человека, огня? Тут он мнётся. А волоса, грязи, сора? Сократ говорит: нет, конечно, для этой дряни нелепо предполагать идею. Парменид замечает: это оттого, что ты молод и ещё считаешься с мнением людей; философия возьмёт тебя крепче, и тогда ты ничем не станешь пренебрегать. Удар точен: учение обязано отвечать за всё, к чему приложимо, а не за одну красивую половину.

Второй — о причастности. Как вещь причастна идее: целая идея входит в неё или часть? Если целая — она вся, целиком, в каждой из тысячи вещей разом, то есть отделена сама от себя. Если часть — идея делится, и вещи достаётся не справедливость, а ломоть справедливости.

Третий, самый известный. Много вещей велики, потому что причастны одному — самому большому. Но само большое, чтобы быть большим, должно быть большим. Поставим его рядом с прежними — вот новая совокупность больших, и над ней по тому же правилу требуется ещё одно большое. И так без конца. Идей выходит не одна над многими, а бесконечная лестница, и ни одна ступень ничего не объясняет, пока не подпёрта следующей. Аристотель потом назовёт этот довод «третьим человеком», и имя пристанет.

Сократ пробует ускользнуть, и каждый выход закрывают. Пусть идеи будут не вещами, а мыслями в душе — тогда они никуда не разбегутся? Но мысль есть мысль о чём-то, за нею всё равно стоит мыслимое; а если вещи причастны мыслям, то либо всё состоит из мыслей, либо всё мыслит. Пусть тогда идеи будут образцами, а вещи — их подобиями? Но подобие взаимно: раз вещь похожа на образец, то и образец на вещь, а похожее похоже по причастности чему-то общему — и над образцом требуется новый образец, и та же лестница из третьего довода выстраивается заново, с другого конца.

И последний, который Парменид называет самым тяжёлым, потому что бьёт не в устройство, а в назначение. Идеи существуют сами по себе, отдельно от нашего мира. Значит, и соотносятся они сами с собой, а наши вещи — с нашими. Само знание относится к самой истине; наше знание — к нашим вещам. Выходит, до идей нам не дотянуться: их достаёт лишь знание-само-по-себе, которого у нас нет. И симметрично: если у Бога есть совершенное знание, оно относится к идеям, а не к нам, — и Бог не знает наших дел. Идеи вводили, чтобы сделать знание возможным; отделённость была условием их неизменности, то есть условием знания, — и она же, доведённая до конца, делает их недостижимыми. Лекарство и болезнь оказались одним веществом.

Разгромив учение, Парменид не заключает, что идей нет. Наоборот: если, наслушавшись всего этого, отказаться от идей, мысли не на что будет опереться — не останется ничего, что всегда одно и то же, — и погибнет сама возможность рассуждать. Трудности огромны, отказаться нельзя, а справится лишь человек одарённый и хорошо обученный.

И вместо решения даётся упражнение. Прежде чем определять, говорит Парменид, надо натренироваться: брать предположение и выводить следствия не только из того, что нечто есть, но и из того, что его нет, — и всякий раз для самой вещи и для всего прочего. Вторая половина диалога и есть такая гимнастика: восемь длинных выводов о едином, приходящих к несовместимым итогам, и ни один не объявлен верным. Итог диалога такой: учение необходимо, учение противоречиво, ответа нет, вот вам способ работать дальше. Платон не смягчил, не отложил до продолжения, не починил. И спорят о том, что он всем этим хотел сказать, по сей день — что само по себе доказывает: дыру он оставил открытой.

Напечатать сильнейший довод против собственного основания и оставить его без ответа — вещь редчайшая. И сделала это не вражеская рука — не соперник, не письмо. Платон сам построил оружие против себя, сам его обнародовал, придал ему весь возможный авторитет, вложив в уста величайшего спорщица, и себя вывел мальчиком, которому нечего сказать.

Но есть второй урок, и он менее лестный. Найти изъян Платон сумел, а починить — нет. И это не его личная слабость. Отыскать оружие против себя и починить сломанное — две разные способности. Первой хватает одного ума; вторая почти всегда требует других людей, времени, работы, продолженной после смерти автора. «Третьего человека» Платон не отбил ни в этом диалоге, ни в позднейших; поправки, если приходили, приходили от других и через века. Значит, одиночка, при всей редкой своей честности, в конце концов проигрывает тому, кого поправляют другие: собственных сил хватает на приговор себе и не хватает на исправление.

Ни Платон, ни другие редкие, кто оборачивал нож на себя, не сделали одного: не превратили это оборачивание в правило. Всякий раз это был подвиг отдельного человека особого склада, а подвиг — дело случая. На подвигах науки не построишь: проверка, которая ждёт, пока родится великая душа, чаще всего не состоится — потому что великая душа чаще всего не рождается, а обыкновенный автор защищает своё основание до последнего. То самое, что в Платоне редко и прекрасно, и делает его негодным как метод: на него нельзя рассчитывать.

Платон оставил глубочайшую дыру собственной мысли распахнутой, нарочно, в своей же книге, и она так и не затянулась. Это была не слабость, а честность редчайшего разбора — и вместе с тем признание границы. До предела своего зрения он видел, где неправ. И не мог, в одиночку, сделать правым. Это не одно и то же, и в разнице между ними — всё расстояние от смелого человека до работающей науки.

Глава 3. От горла к подбородку. Случай Витгенштейна

Самую полную философию столетия сломал не довод, а грубый итальянский жест — движение пальцев под подбородком. Возразить этой философии было нельзя: она сама устанавливала, что считается возражением. А жест не спорил. Он просто не подчинялся её правилам — и этого хватило.

В 1921 году молодой Людвиг Витгенштейн издал тонкую, кристально ясную книгу — «Логико-философский трактат», — в которой считал, что покончил с философией: раз и навсегда провёл границу того, что вообще можно осмысленно сказать.

Стержень её такой. Осмысленное предложение — это картина. «Кошка на коврике» что-то значит потому, что у слов и у мира общее устройство: расположению слов отвечает возможное расположение вещей — кошка, коврик, «на». Предложение и положение дел сцеплены, как рисунок и то, что на нём изображено; их роднит, по слову Витгенштейна, общая логическая форма. А всё, чего нельзя разложить в такую картину возможных фактов, осмысленно сказать нельзя вовсе. Не ложно — бессмысленно: этика, Бог, смысл жизни не описывают никакого расположения вещей, о них можно только молчать. Последняя строка книги: о чём нельзя говорить, о том следует молчать.

Постройка вышла герметичной. Она определяла, что такое смысл, — а значит, спорить с ней, не пользуясь смыслом в её же понимании, было нельзя: любое возражение приходилось строить по её правилам, и на этих правилах она всегда оставалась права. Витгенштейн счёл дело сделанным, оставил философию и ушёл — учительствовать в деревенской школе, работать садовником.

Вернувшись в Кембридж, он спорил с экономистом Пьеро Сраффой, итальянцем и другом. История, которую Витгенштейн потом рассказывал, такая. Он настаивал на трактатной мысли: у предложения и у того, что оно описывает, должна быть одна и та же логическая форма. В ответ Сраффа провёл кончиками пальцев одной руки от горла наружу под подбородком — неаполитанский жест, означающий примерно пренебрежение, «да брось», «что за вздор», — и спросил: а какая логическая форма вот у этого?

Жест что-то значил. В Неаполе его понимает всякий. Но он не был картиной никакого факта; у него не было логической формы, отражающей расположение каких-то предметов; он не подчинялся ни одному правилу «Трактата» о том, как рождается смысл, — и при этом бесспорно нёс смысл. Одно движение пальцев — и у герметичной теории появился случай, которого она не могла удержать.

Отчего жест сумел там, где не помог бы довод?

Удар нанесён не встречным доводом. Встречный довод был бы осмысленным предложением, а осмысленные предложения «Трактат» определял сам — и любой довод переварил бы на своих условиях: принял бы, отверг, разложил. Систему нельзя победить изнутри её собственных правил: внутри она всегда права, потому что сама написала правила того, что значит «право».

Сраффа предъявил не довод, а предмет, который теория обязана была объяснить и не могла, — кусок несомненного смысла без единой требуемой чёрточки устройства. Удар пришёл снаружи системы, в форме, для которой у системы не было хода. Замкнутую теорию бьёт не лучший ход в её игре, а то, что вообще не ход в её игре и при этом неоспоримо есть.

Что сделал автор?

Он не залатал прореху. Не приделал оговорку, по которой жесты задним числом сошли бы за картины. Он заключил, что неверна вся картина: смысл — не зеркало фактов, а то, что делают, — ход в бесконечных играх, которые люди ведут словами и руками (он назовёт их языковыми играми), и выучивается он употреблением, а не устройством. Остаток жизни Витгенштейн разбирал по камешку ту самую книгу, что принесла ему славу, — и назвал человека с жестом. В предисловии к позднему своему труду он благодарит Сраффу за критику, которой обязан больше всего: этому толчку, пишет он, я обязан самыми важными мыслями этой книги. Автор разрушил собственный собор и назвал того, кто бросил первый камень.