Углы и треугольники. 18 задач с пошаговыми решениями

Глеб Зайцев

Углы и треугольники. 18 задач с пошаговыми решениями

Перед началом

Зачем здесь задачи, а не пересказ правила

В теме «углы и треугольники» ошибка часто появляется не из-за сложной арифметики, а из-за неправильно прочитанного условия. Поэтому каждая глава начинается с маленькой ситуации и вопроса: что именно требуется найти и какие данные действительно участвуют в ответе.

Мы работаем с областью «геометрические связи без рисунка» на коротких учебных примерах. Числа подобраны так, чтобы ход решения был виден без калькулятора, но при этом оставались ловушки: неверная база, лишний показатель, перепутанный порядок или слишком ранний вывод.

Задачи не копируют чужие учебники и не обещают оценку на контрольной. Это самостоятельный практикум: понять условие, записать модель, сделать вычисление, проверить смысл ответа и увидеть типичную ошибку.

Как читать решение

Сначала попробуйте решить задачу самостоятельно. Если ответ не находится, прочитайте только раздел «Метод»: он подсказывает направление, но не заменяет решение.

Затем сравните не только последнюю строку, но и рассуждение. Совпавшее число ещё не доказывает, что способ был правильным: иногда две ошибки случайно дают красивый результат.

После основной задачи выполните самостоятельную. Она похожа по приёму, но не является простой заменой имени или одного числа. Цель — перенести способ на соседнюю ситуацию.

Маршрут по задачам

1. Смежные углы: найти угол

2. Вертикальные углы: найти угол

3. Треугольник с двумя углами: найти угол

4. Равнобедренный треугольник: найти угол

5. Внешний угол треугольника: найти угол

6. Углы при параллельных прямых: найти угол

7. Сумма вокруг точки: найти угол

8. Треугольник с прямым углом: найти угол

9. Смежные углы 2: найти угол

10. Вертикальные углы 2: найти угол

11. Треугольник с двумя углами 2: найти угол

12. Равнобедренный треугольник 2: найти угол

13. Внешний угол 2: найти угол

14. Параллельные прямые 2: найти угол

15. Вокруг точки 2: найти угол

16. Прямоугольный треугольник 2: найти угол

17. Треугольник с равными углами: найти угол

18. Угол после биссектрисы: найти угол

Задачи и решения

Задача 1. Смежные углы: найти угол

Ситуация

Дана учебная геометрическая ситуация: смежные углы. На рисунок здесь не опираемся — работаем только с описанными отношениями между углами.

Вопрос

Найдите неизвестный угол и объясните, какое именно свойство геометрии используется.

Метод

Сначала назовите тип пары или фигуры: смежные, вертикальные, треугольник, параллельные прямые, полный оборот или биссектриса.

После выбора свойства запишите сумму или равенство. Не смешивайте правила 180° и 360°: они относятся к разным ситуациям.

Ответ

Второй смежный угол равен 138°, потому что сумма смежных углов равна 180°.

Рассуждение

Смежные углы образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол всегда равен 180°, поэтому известный угол 42° занимает только часть этой суммы.

Чтобы найти оставшуюся часть, вычитаем: 180° − 42° = 138°. Никаких дополнительных предположений о равенстве углов здесь нет.

Проверка: 42° + 138° = 180°. Если сумма не даёт 180°, значит перепутана пара углов или неверно выбран признак.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — автоматически вычитать из 180° любой видимый угол. Иногда углы равны, иногда дают 360°, а иногда нужно сложить удалённые внутренние углы.

Самостоятельная задача

Один смежный угол равен 47°. Найдите второй. Объясните, какое свойство углов вы использовали.

Решение самостоятельной задачи

Определите, какое свойство повторяется в новой ситуации, и не меняйте его на соседнее похожее правило.

Запишите короткую проверку: сумма, равенство или удвоение должны вернуть условие задачи.

Ответ к самостоятельной задаче

133°.

Главная мысль

Геометрическая задача начинается с распознавания связи между углами. Если связь названа точно, вычисление обычно занимает одну строку.

Задача 2. Вертикальные углы: найти угол

Ситуация

Дана учебная геометрическая ситуация: вертикальные углы. На рисунок здесь не опираемся — работаем только с описанными отношениями между углами.

Вопрос

Найдите неизвестный угол и объясните, какое именно свойство геометрии используется.

Метод

Сначала назовите тип пары или фигуры: смежные, вертикальные, треугольник, параллельные прямые, полный оборот или биссектриса.

После выбора свойства запишите сумму или равенство. Не смешивайте правила 180° и 360°: они относятся к разным ситуациям.

Ответ

Вертикальный угол равен 68°, потому что вертикальные углы равны.

Рассуждение

Вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. Их не нужно складывать до 180°.

Если один из вертикальных углов равен 68°, противоположный ему угол тоже равен 68°. Это отдельное свойство, не результат деления пополам.

Проверка через смежный угол: соседний с ними угол был бы 112°, и вокруг точки сумма снова дала бы 360°.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — автоматически вычитать из 180° любой видимый угол. Иногда углы равны, иногда дают 360°, а иногда нужно сложить удалённые внутренние углы.

Самостоятельная задача

Вертикальный угол к углу 61°. Чему он равен? Объясните, какое свойство углов вы использовали.

Решение самостоятельной задачи

Определите, какое свойство повторяется в новой ситуации, и не меняйте его на соседнее похожее правило.

Запишите короткую проверку: сумма, равенство или удвоение должны вернуть условие задачи.

Ответ к самостоятельной задаче

Ответ: 61°.

Главная мысль

Геометрическая задача начинается с распознавания связи между углами. Если связь названа точно, вычисление обычно занимает одну строку.

Задача 3. Треугольник с двумя углами: найти угол

Ситуация

Дана учебная геометрическая ситуация: треугольник с двумя углами. На рисунок здесь не опираемся — работаем только с описанными отношениями между углами.

Вопрос

Найдите неизвестный угол и объясните, какое именно свойство геометрии используется.

Метод

Сначала назовите тип пары или фигуры: смежные, вертикальные, треугольник, параллельные прямые, полный оборот или биссектриса.

После выбора свойства запишите сумму или равенство. Не смешивайте правила 180° и 360°: они относятся к разным ситуациям.

Ответ

Третий угол равен 90°, если два других равны 55° и 35°.

Рассуждение

Внутренние углы треугольника в сумме дают 180°. Поэтому третий угол — это не среднее и не разность двух известных углов.

Складываем известные углы: 55° + 35° = 90°. Остаток до 180° равен 90°.

Проверка: 55° + 35° + 90° = 180°. Все углы положительные, значит треугольник возможен.

Типичная ошибка

Типичная ошибка — автоматически вычитать из 180° любой видимый угол. Иногда углы равны, иногда дают 360°, а иногда нужно сложить удалённые внутренние углы.

Самостоятельная задача

Два угла треугольника равны 52° и 32°. Найдите третий.

Решение самостоятельной задачи

Определите, какое свойство повторяется в новой ситуации, и не меняйте его на соседнее похожее правило.

Запишите короткую проверку: сумма, равенство или удвоение должны вернуть условие задачи.