ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Доказательство для школьников.

Александр Митькин

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Доказательство для школьников.

Введение

Правильное изложение материала – это когда последовательно излагают теорию, начиная с азов и затем, опираясь на эту теорию доказывают теорему. Только в этом случае обычный читатель может разобраться что откуда получается.

Так поступают авторы хороших учебников. Однако я отойду в этот раз от этой традиции. Мне хочется показать простоту доказательства, с одной стороны. С другой стороны, изложение базовой теории было бы слишком долгим. Поэтому я буду вести повествование в прямо противоположном направлении. Сначала я докажу основную теорему алгебры, потом докажу теоремы, на которые опирается это доказательство, потом доказательство тех теорем, которые мне требовались для доказательства основной теоремы. Ну и т.д., т.е. порядок изложения обратный. Кроме того, обозначения, как правило локальны. Это связано с тем, что индексов довольно много и для упрощения восприятия лучше их локально вводить. Кроме того, тащить их с собой из теоремы в теорему тоже неудобно. Но, вообще-то по правилам, обозначений желательно придерживаться одних.

Те положения, что надо будет доказать в последствии, я выделяю жирным курсивом.

Основная теорема алгебры

Основную теорему алгебры в своё время доказал Гаусс в своей докторской диссертации в 1799 году. Я приведу своё доказательство, оно, я думаю, будет понятно школьникам.

Теорема (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ)

.

Всякий многочлен имеет в комплексной области хотя бы один корень.