Электронные таблицы и треугольник Паскаля

Что мы получим? Покажем это на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2.

Здесь, конечно, можно и не раскрывать скобки.

Но можно и раскрыть некоторые скобки, начать преобразование этого выражения. В этом случае можно найти и вторую, и третью, и четвертую степень двух слагаемых с помощью того же треугольника Паскаля. Вот что мы получим (рисунок 2.3):

Рисунок 2.3.

Можно и дальше раскрыть скобки, и тогда мы получим 15 одночленов. Самое интересное заключается в том, что степень каждого из них равна четырем (то есть тому самому показателю степени, в который мы возводим всю сумму). Напомним, что степенью одночлена обычно называют сумму степеней всех переменных, из которых он состоит.

Кстати говоря, можно заранее просчитать, какими именно будут все возможные сочетания букв (пока без коэффициентов при этих сочетаниях), если точно известно, что степень каждого одночлена будет равна четырем.

Можно поставить задачу: рассчитать, какие именно могут быть сочетания букв в пределах каждого из полученных одночленов, чтобы букв в каждом одночлене было не больше трех, а степень каждого одночлена была бы равна четырем.

Этот расчет можно выполнить с помощью Эксель. Но перед этим можно присвоить код каждому возможному сочетанию. Например, «7004» будет означать, что переменная a будет в нулевой степени, переменная b — тоже в нулевой степени, а переменная c — в четвертой степени. Первая же цифра — в нашем случае речь идет о семерке — нужна исключительно для того, чтобы код каждого из вариантов имел бы одинаковое количество цифр. Тогда вариант «7400» будет означать: a4b0c0 (то есть просто a4), ну и так далее.

Как уже было сказано, поиск всех подобных вариаций можно осуществить с помощью Эксель. Создадим новый файл Эксель, при его сохранении (при присвоении имени) укажем, что это будет файл с поддержкой макросов.

В этом файле создадим два листа Эксель. Первый лист назовем «Треугольник», а второй — «Расчеты». Пока нам пригодится только второй лист, то есть лист под названием «Расчеты».

Создать все возможные коды можно даже без применения макросов.

Расскажем подробно про один из вариантов создания нужных кодов без привлечения макросов.

В столбце A Эксель можно разместить все числа подряд от 7003 до 7400 включительно. Почему именно от 7003, а не 7004? Ведь очевидно, что минимальное число, которое может быть нашим кодом, — это число 7004. Но дополнительное число (7003) нам необходимо из-за того, что если нам понадобится использовать фильтрацию данных, тогда верхняя строчка с данными будет восприниматься как заголовок (мы же до этого не создавали заголовки столбцов). Это значит, что самая верхняя строка данных при использовании фильтра будет как бы потеряна, исключена из списка тех элементов, что надо отфильтровать. В этой строке будут расположены сами фильтры. Поэтому в качестве как бы заголовка будем использовать такое число, которое точно не может быть одним из кодов. Лучший вариант для этого числа — 7003.

В столбце B Эксель мы будем показывать вторую цифру от нашего кода. Так, например, формулу для ячейки B1 мы покажем на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4.

Формулы для ячеек C1, D1 и E1 аналогичны той формуле для ячейки B1, которую мы только что показали. Если в ячейке B1 мы показывали вторую цифру кода, то в ячейке C1 надо будет показать третью цифру кода, а в ячейке D1 — четвертую цифру. В самой формуле отличия будут только в самом среднем аргументе (первый аргумент — это текст, второй аргумент означает начальную позицию, а третий аргумент — это количество знаков, которые надо показать. Разница в формулах будет только в том аргументе, который отвечает за начальную позицию.

А вот в столбце E Эксель мы уже будем вычислять сумму последних трех цифр нашего кода. Если эта сумма равна четырем, то это значит, что код того числа, что находится в столбце A Эксель, — это именно тот самый код, который нам нужен.

В принципе, можно на этом и остановиться, но можно добавить еще один столбец. Например, можно для столбца F добавить формулу, которая будет особо выделять ту строку, где находится нужный нам код. Один из возможных вариантов формулы для ячейки F1 покажем на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5.

Затем нужно заполнить все остальные строки нашей таблицы. Если в столбце A Эксель будут все числа подряд от 7003 до 7400 включительно, то формулы для ячеек B1, C1, D1, E1 и F1 составлены таким образом, что их можно копировать, а затем вставлять в интервалы B…F любых других строк Эксель. Главное — убедиться в том, что в столбце A при этих строчках Эксель уже имеется то самое кодовое число, которое и является основой для вычислений, то есть то самое число от 7003 до 7400, о котором говорилось ранее.

Если мы заполним несколько строк Эксель именно так, как это и было сказано, а затем применим фильтрацию данных, чтобы с помощью фильтра выбрать все значения «да» в столбце F, то мы получим ситуацию, изображенную на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6.

Далее можно в столбце G показать, как полученные коды превращаются в одночлены, состоящие из переменных и их степеней. Кстати, эти одночлены и будут основными частями того выражения, что изображено на рисунке 2.3. Но только с той разницей, что на рисунке 2.3 есть не только все сочетания переменных в нужной степени, но еще и конкретные коэффициенты при этих сочетаниях переменных.

А пока в столбце G покажем только все возможные сочетания переменных (без коэффициентов).

Можно убрать фильтрацию данных, а затем добавить в ячейку G1 формулу (рисунок 2.7):

Рисунок 2.7.

Если эту формулу скопировать на несколько строк (от 1 до 398 включительно), а затем снова добавим фильтр для всех столбцов от A до G включительно, чтобы снова выбрать только нужные варианты с помощью столбцов E или F, то мы получим следующий результат (рисунок 2.8):

Рисунок 2.8.

Таким образом, информация в столбце G показывает все теоретически возможные сочетания всех трех переменных, причем каждая из этих переменных будет находиться в правильной степени.

Итак, как уже было сказано ранее, при возведении суммы, состоящей из нескольких слагаемых (из нескольких одночленов), в какую-то степень, мы всегда будем получать какой-то многочлен, он будет состоять из суммы нескольких одночленов, причем степень каждого из этих одночленов будет равна именно показателю степени, в которую надо возвести всю сумму. Более того, количество всех слагаемых (одночленов) будет строго равно максимальному количеству всех возможных вариантов (сочетаний), которыми можно собрать одночлен нужной степени, если у нас есть заданное количество переменных, а также известно, в какую именно степень нужно вводить их сумму (то есть известна степень каждого из итоговых одночленов).

В нашем конкретном случае мы на рисунке 2.8 мы не только рассчитали максимальное количество этих самых вариантов, но и показали, как именно будет выглядеть каждый из этих вариантов (правда, без коэффициентов при каждом из этих вариантов).

Итак, максимальное количество вариантов — 15. Но мы можем вычислить это самое число достаточно быстро. Снова нам пригодится треугольник Паскаля. Обратим внимание: если надо возвести в четвертую степень всего одно число, то результатом будет один одночлен — то есть это самое число, которое нужно возвести в четвертую степень. А когда мы возводили в четвертую степень сумму, которая состоит из двух слагаемых, тогда в результате мы получали такой многочлен, который состоит из пяти одночленов.

Если мы в треугольнике Паскаля найдем такую диагональ, первым элементом которой будет единица, а вторым элементом будет пятерка, то вся эта диагональ целиком будет показывать, сколько именно будет одночленов при возведении суммы нескольких одночленов в четвертую степень с каждым увеличением количества тех слагаемых, которые возводятся в четвертую степень. Покажем эту диагональ на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9.

Выделенная диагональ показывает, сколько именно будет слагаемых-одночленов в конечном результате, если мы будем возводить в четвертую степень несколько слагаемых. Если возводить в четвертую степень только одно число — будет в результате один одночлен (то есть a4). Возведем в четвертую степень два слагаемых — получим в результате 5 одночленов (а именно: a4, 4a3b, 6a2b2, 4ab3, b4). Возведем в ту же четвертую степень 3 слагаемых — в результате будет 15 одночленов. Ряд можно продолжать бесконечно, ведь у треугольника Паскаля нет конечной (нижней) строки, продолжать вниз можно бесконечное число раз. Но с каждым увеличением номера строки это правило сохранится: следующее число в этой диагонали будет означать новое количество слагаемых, которое получится при возведении в четвертую степень всей суммы при увеличении количества самих слагаемых.

Итак, как было только что сказано, при возведении суммы, состоящей из трех одночленов, в четвертую степень, мы получим такой многочлен, который будет включать в себя 15 одночленов.

Вернемся к рисунку 2.3. Если мы там раскроем все скобки, мы действительно получим те самые 15 одночленов, что показаны на рисунке 2.8. Но на рисунке 2.3 мы получим не только все возможные сочетания разных переменных и их степеней, но и все те коэффициенты, которые должны быть при каждом из этих пятнадцати одночленов.

Покажем на рисунке 2.10, что мы получим, если раскроем все скобки в том выражении, что показано на рисунке 2.3.

Рисунок 2.10.

Можно обратить внимание на несколько вещей:

1. Если одночлен состоит из одной переменной, то степень этой переменной будет максимальной. В нашем конкретном случае эта степень будет равна четырем, она же равна показателю степени, в которую нам надо возвести всю сумму, состоящую из трех слагаемых, то есть a+b+c.

2. Чем больше максимальная степень каждой переменной, из которой состоит одночлен, тем меньше коэффициент, который стоит перед этим одночленом. Так, например, максимальный показатель степени — это 4, а коэффициент при каждой переменной в четвертой степени всегда равен единице.

2.3. Другой вариант отображения (снова слагаемых — три)

Но эту же ситуацию можно расписать более красиво, и тоже с помощью треугольника Паскаля. Сейчас это покажем.

Когда слагаемых было 2, нам было достаточно одной строки от треугольника Паскаля. Теперь слагаемых — три. Это значит, что уже одной строки будет недостаточно. Что будем искать вместо одной строки? Если одну строку треугольника можно условно назвать отрезком, который соединяет два конца этого отрезка (две точки), то сейчас нужно искать такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек. Лучше всего для этого подойдет треугольник. Причем если для двух слагаемых мы использовали отрезок, у которого было 5 ключевых точек (имеется в виду то, что при возведении двух слагаемых в четвертую степень мы получим именно 5 разных одночленов), то сейчас нам понадобится равносторонний треугольник, в каждой стороне которого будет тоже 5 ключевых точек.

Для начала покажем простой треугольник Паскаля нужного нам размера (рисунок 2.11).

Рисунок 2.11.

Комментарии к рисунку 2.11. Мы изобразили треугольник Паскаля, в котором 5 строк, 5 диагоналей, которые идут сверху вниз и влево (мы их уже ранее называли «юго-западными» диагоналями), а также 5 диагоналей, которые идут сверху вниз и вправо (это те самые «юго-восточные» диагонали).

Самая верхняя строка состоит из одного элемента. Там будет только третья переменная (то есть переменная c) в четвертой степени. Вторая строка расположена чуть ниже первой, она состоит из двух элементов, в каждом из них будет присутствовать переменная c в третьей степени. Если начинать нумерацию строк с нуля, как это обычно и принято в треугольниках Паскаля, то можно сказать следующее: если к номеру строки прибавить показатель степени, в котором будет присутствовать переменная c в данной строке, то всегда будет получаться одно и то же число. Это число — тот самый показатель степени, в который мы возводим сумму, состоящую из нескольких слагаемых. В нашем конкретном случае мы должны получать число 4. В самой нижней строке уже будет c в нулевой степени, то есть переменной c не будет совсем. Итак, опускаясь ниже на одну строку, мы вынуждены отнимать единицу от показателя степени при переменной с. Таким образом, самая нижняя строка нашего треугольника будет содержать переменную c