Полная версия
Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики
Вся лекция Гильберта, а по мнению некоторых, и весь его подход к математике – это масштабный ответ Дюбуа-Реймону. Он рассматривает математику как единую ткань, состоящую из отдельных волокон – геометрии, алгебры, теории чисел, логики, математической физики. Все они образуют единое, гармоничное, переплетенное полотно, которое покрывает все и способно открыть что угодно. Рывками и скачками к концу XIX века математика проникла во все уголки науки, заполняя пробелы и скрепляя трещины в человеческом познании.
Наконец, в 1900 году, после столетий успехов и побед, люди уже давно превозносили математику, называя ее царицей наук. Лекция Гильберта о 23 проблемах – это, по сути, громкая защита его царицы. Она может все. Она – это все. Если его речь – величайший призыв к оружию, который знала наука, то это триумф Царицы Математики. «В математике, – говорит Гильберт, – не существует ignorabimus!»
И все же в глубине души он таит сомнение. За маской вечного оптимизма часто прячется тихое отчаяние. В 1900 году Царица Математика в опасности, и Гильберт это понимает.
Любая власть конечна. Правителей свергают, не переизбирают, или же их срок проходит. Они уходят в отставку или умирают в должности. Неодушевленные предметы тоже разрушаются. Вещи ломаются, теряют актуальность, приходят в запустение. Здания рушатся. Города осыпаются. Нации исчезают. Империи гибнут. Даже идеи и творения ума не могут избежать этой участи. Песни остаются непетыми. Истории – нерассказанными. Память слабеет. Знания забываются. Имена стираются. Величие угасает. Парадигмы свергаются. Время уничтожает любого монарха, даже величайшего Озимандию. Гильберт боится такой судьбы для старой Царицы Математики. Похоже, ее золотые дни подходят к концу. В 1900 году математика чувствует себя колоссом на глиняных ногах. «Взгляните на мои деянья и дрожите!»
Вот почему он приехал в Париж. Вот почему он говорит о будущем. В этом весь смысл его оптимизма: будущее должно сиять, а не пугать тьмой. Гильберт встревожен, и он не собирается бросать судьбу Царицы на произвол судьбы. Он хочет определить курс науки на столетие вперед, и эта лекция – его главный ход.
Его Царица при смерти, и он намерен в одиночку спасти ее.
«Взгляд не вынес бы большей роскоши»
По другую сторону Ла-Манша другая властительница занимает одинокий трон. Ее мир тоже переживает кризис. Александрина Виктория находится на закате долгого и славного правления. Она королева с 1838 года, что делает ее вторым по длительности правления монархом Британии (до тех пор, пока в 2020-х ее не обойдет Елизавета II).
Виктория – правитель уникальный, хотя, честно говоря, на старте планка была не так уж высока. Когда она взошла на трон в возрасте 18 лет, 20 июня 1837 года, троих ее предшественников – Георга III, Георга IV и Вильгельма IV – некоторые считали сборищем глупцов. Американский журналист и историк Роберт К. Мэсси называет эту троицу «имбецилом, мотом и паяцем».
Виктория твердо решила не быть таким же посмешищем и неудачницей, как они. «Я очень молода, – объявила она, принимая власть, – но уверена: мало у кого больше доброй воли и искреннего желания поступать так, как должно и правильно».
Империя, которую она унаследовала, была готова к росту. Охвачена воодушевлением. Британия откликнулась на призыв королевы и расширилась – это были лучшие шесть десятилетий, которые когда-либо видела империя. Поначалу ее колониальные владения напоминали случайный набор фишек из мешка: Гамбия, Калькутта, Гудзонов залив, Ньюфаундленд, Южная Африка, Австралия. Но к 1900 году, к концу ее правления, империя разрослась, включив в себя тысячу озер, 2 тысячи рек, 10 тысяч островов и больше пустынь, гор и побережий, чем можно обойти за всю жизнь. Только за последние 25 лет XIX века Британия добавила 12,3 миллиона квадратных километров суши и накрыла своим имперским зонтиком 90 миллионов человек (для сравнения: все население Земли в 1900 году – 1,9 миллиарда).
К 1900 году Великобритания собрала колонии по всему свету. Теперь ей принадлежит более пятой части всей суши на планете. Британия повсюду. Могущественная империя Виктории правит морями. Британские флаги развеваются над портами от Вэйхайвэя до Веллингтона, от Галифакса до Гибралтара, от Кейптауна до Фолклендов и от Черт-те-откуда до Черт-знает-где.
Британские законы управляют городами. Британские идеи проникают в культуру. Британское влияние меняет мужской костюм. Темный шерстяной костюм, который мы привыкли считать итальянской классикой, на самом деле был изобретением лондонских модных домов XIX века. К 1900 году он становится нормой. Американские послы, венгерские официанты, русские музыканты, японские банкиры, бразильские гробовщики, немецкие математики, мексиканские президенты – все носят его. И все самодовольные, красующиеся дельцы с Кей-стрит и Уолл-стрит наших дней должны благодарить модников золотого века Британской империи за свой обязательный деловой стиль.
Каждый четвертый житель Земли в 1900 году – подданный Британии. Что это значит? Английская речь. Английское право. Глобальные банки. Свободная торговля. Поставки всего и вся. Поля для крикета. И тот самый тонкий, ванильный аромат свободы.
* * *Если солнце никогда не садится над Британией, оно точно никогда не садится над королевой Викторией. Ее называют «воплощением стабильности». Большинство никогда не знали другого монарха. Когда в 1897 году праздновали бриллиантовый юбилей – 60-летие ее правления, – Лондон кипел. Красные дорожки, толпы монархов и политиков. Это был величайший парад военного тщеславия, какой видел мир. 47 тысяч солдат со всей империи прошли торжественным маршем. Безупречные мундиры. Золотые и красные плюмажи. Драгуны и кортики. Жандармы-заптии и воины-даяки. Гуаяберы и фески. Ножны в перьях и верблюжий корпус. Гусары и шумные колонны. Какое великолепие! «Взгляд не вынес бы большей роскоши», – заметил очевидец.
«Самая могучая и благословенная империя в истории человечества», – писала The Times. «Почти несокрушима», – вторила ей берлинская Kreuzzeitung (имея в виду империю, если не саму королеву). Почти несокрушима!
Но три года спустя, незадолго до триумфа Гильберта в Париже, от парадных треуголок не осталось и следа. Праздник кончился. Над Британией сгустились тучи, королева Виктория была мрачной. В начале 1900 года ее сфотографировали в открытом экипаже: угольно-черный костюм и шляпа с белым пером. Это был официальный визит в Дублин. Британия воевала, и королева занималась набором рекрутов. Дела шли очень, очень плохо.
Так быть не должно. При Виктории Британия почти не знала поражений. Империя выиграла около 72 «малых войн» и всегда выходила победителем. Ее армия была современной. Отлично экипированной. Грозной. Это были опытные солдаты, профессионалы. Офицеры – сливки аристократии. Рядовой Томми Аткинс и Лорд Как-его-там в седле были всегда готовы под барабанную дробь проложить путь к славе – кровавый шаг за кровавым шагом. Красота!
Но в 1900 году Британия увязла в конфликте, который совсем не походил на «малую войну». В Южной Африке она столкнулась с врагом, который, как считалось, не знал строевой подготовки. Никогда не маршировал. Не имел военного образования. Носил пыльное тряпье. Недисциплинированное ополчение – сброд, а не армия. Еда в мешках и клячи, которым самое место на живодерне. Оборванная банда «потрепанных жизнью стариков и мальчишек-недорослей», ведущая войну без отрыва от фермы. Именно такую картину рисовали британской публике.
Но эта версия событий не стыкуется с реальностью. В 1900 году она кажется ложью. А действия, основанные на ложном фундаменте, всегда подозрительны. Война быстро превратилась в самый долгий, дорогой и смертоносный конфликт в истории империи. Призыв «Бог, Королева и Англия» звучит хрипло, как стон отчаяния. Королева в Дублине носит черное. Боль – ее меховое манто. Молчание – ее дрожащая шаль. Вся империя в трауре.
* * *Тем временем в Южной Африке на берег сходят солдаты. Стучат сапогами по трапам, пересекают доки. Совсем еще мальчишки, еще не мужчины. Хохочут. Грузятся в вагоны. И сотни миль трясутся под перестук колес. Поезда не простые – военные. Бронированные вагоны, пулеметные башни, прорези бойниц по бортам. Следом тянутся санитарные вагоны. Эшелоны ползут по пыльному африканскому вельду. Где-то там война. И там же правда – голая, логическая правда войны. Трупы. Смерть. Слава? Война – это не столько вранье другим, сколько ложь самим себе. Иллюзия спасения в общем строю. Мятый хаки. Тугие воротнички. Новая форма, поначалу чистая. Затем пыльная. Затем красная. Затем черная.
Королева умирает в 1900 году. И в этом мрачном закате нет никакого величия. Фески полиняли. Драгуны заколоты. Рубашек-гуаябер и след простыл. Дублин 1900-го – начало последнего года жизни Виктории.
В то лето вся Европа предвкушает будущее, глядя на чудеса искусства и техники в Париже. Но если 1900-й кажется рождением сказки, то ближайшие годы покажут, что это заря ужаса. Очень скоро Великая война потрясет Европу до основания. Мир изменится навсегда – и в политике, и в математике. Все стоит на зыбком фундаменте.
Насилия и надежды восход!Но в будущем нас мало что ждет!Грядет десятилетий кошмар!И войн нескончаемый жар!Не будет радости нам никакой,Лишь двух властительниц вечный покой!То лето…тот день…та толпа…та выставка…та речь…1900-йПариж.Глава 2. Приключения деревянного человечка: 1883–1884
Поэт должен видеть то, чего не видят другие… математик должен делать то же самое.
Софья КовалевскаяГод 1883-й. Происходят четыре события, которые станут прологом к Великой математической войне, растянувшейся на 55 лет. Четыре события, четыре перекрестка судьбы и четыре героя: Софья Ковалевская, Георг Кантор, Бертран Рассел и Пиноккио – ну, по крайней мере три человека и одна деревянная кукла.
Пиноккио буквально врезается в нашу память в 1883 году, когда в Италии выходят в свет «Приключения Пиноккио» Карло Коллоди. Книга не то чтобы перевернула мир – это случится полвека спустя, когда Уолт Дисней увековечит на экране этого очаровательного лживого чурбана с растущим носом и ослиными ушами. Он вечно принимает неверные решения, связывается не с теми друзьями, и с удачей у него совсем беда. Но зачем нам этот нелепый дурачок? Какое отношение этот бестолковый Одиссей имеет к истории математики? Ровным счетом никакого! Но это книга о лжи – о лжи, которую мы говорим другим, и, что важнее, о лжи, которую мы говорим себе. Пиноккио – не просто меткая метафора для нашей истории. Он ее живое, деревянное воплощение. Настоящий мальчишка!
* * *Одновременно с рождением Пиноккио свой собственный важный выбор делает и один настоящий, живой мальчишка. В конце лета 1883 года в Англии 11-летний Бертран Артур Уильям Рассел внезапно увлекается математикой. Его брат Фрэнк проводит каникулы дома, убивая время перед отъездом в Оксфорд. Одним августовским утром он решает показать младшему брату кое-что из самой известной математической книги в истории – «Начал» Евклида. Это классический, пусть и сухой, утомительный стандартный текст по геометрии возрастом в 2 тысячи лет. (И та самая книга, которую Гильберт переосмыслит 16 лет спустя в своих «Основаниях геометрии».)
«Сегодня днем я дал Берти первый урок по Евклиду, – вспоминает Фрэнк. – Он справился очень хорошо, мы прошли половину определений».
Для Рассела это один из величайших моментов жизни – но также и один из самых разочаровывающих. «Ослепительно, как первая любовь», – назовет он это чувство. Однако вскоре он спотыкается, когда они доходят до аксиом Евклида – так называемых пяти постулатов, служащих фундаментом для всей остальной книги.
«Откуда мы знаем, что эти постулаты верны?» – спрашивает юный Берти.
«Доказательств нет, – говорит Фрэнк. – Их нужно просто принять».
Это, как позже вспомнит Рассел, было ударом. «Мои надежды рухнули», – говорит он.
Тем не менее этот «братский момент» отправляет его на долгий и извилистый путь к философии, математике и поиску абсолютной логической истины, как только первоначальное разочарование сменяется отчаянной решимостью.
Тем не менее этот момент, когда ему пришлось уступить как младшему брату, выводит его на долгий и мучительный путь к философии, математике и поиску высшей логической истины. «Почему я должен принимать эти вещи, если их нельзя доказать?» – скажет он позднее. Доказательства появятся, причем довольно скоро.
* * *Попав в университет, Рассел не теряет времени. В Тринити-колледже Кембриджа он погружается в математику и становится одержим логикой. Казалось бы, странный путь для человека с его происхождением – аристократа из мира привилегий и накрахмаленных воротничков. Он происходит из великой семьи. Старинного, влиятельного и богатого рода Стэнли из Олдерли, чье состояние берет начало в английской Реформации. Столетиями ранее, когда король Генрих VIII порвал с католической церковью, захватив огромные земли и средства, многие из этих богатств отошли его верным сторонникам, включая предков Бертрана. Расселы в одночасье стали баснословно богаты. Глава их клана получил титул графа Бедфорда и обширные владения в Девоне, Корнуолле и Дорсете.
Спустя столетия рождается Берти, как позже будут называть его друзья и семья, – младший сын виконта Джона Рассела, известного как лорд Амберли, и виконтессы Кэтрин Луизы Стэнли Рассел, леди Амберли. Его дед, лорд Джон, – знаменитый политик, прогрессивный парламентарий и последний член либеральной Партии вигов на посту премьер-министра. Лорд Джон прославился своими законодательными успехами: реформой смертной казни, защитой прав рабочих, настойчивым внедрением законов о здравоохранении и расширением избирательных прав для многих британцев (хотя и не для женщин). Чарльз Диккенс был так очарован лордом Джоном, что посвятил ему «Повесть о двух городах»: «в знак памяти о многочисленных заслугах перед обществом и о внимании, многократно оказанном автору».
Жена лорда Джона – бабушка Бертрана, леди Фрэнсис Анна Мария, графиня Рассел. В 1883 году она возлагает на мальчика большие надежды, вкладывая в него все свои мечты о будущем с пеленок. Она считает само собой разумеющимся, что он добьется величия и совершит грандиозные дела. И почему бы нет? Очевидно, однажды он станет премьер-министром. Она знает это и говорит об этом без тени иронии. Ее влияние на Берти было странным, глубоким, пожизненным и, возможно, даже губительным – этакая мощная смесь из высокородного «положение обязывает», взбитая с меланхоличным самоотречением, с добавлением нотки религиозного рвения и поданная холодной, со льдом.
«Чувство общественного долга», – напишет Рональд Кларк, биограф Рассела конца XX века, – «пропитывало этот дом, как запах хмеля пивоварню».
Кейт и Джон, Дуг и Кейт
Детство Рассела отмечено прежде всего одиночеством – и не только из-за гнетущего давления семейных ожиданий и его собственной замкнутости. Его ранняя жизнь омрачена трагедией и полна потерь. Его родители, Кейт и Джон, были страстными, душевными и прямыми либералами. В десятилетие перед его рождением они находились на острие политической борьбы за права женщин. Отец Берти, Джон, был молодым членом парламента, но разрушил свою карьеру в самом начале, еще до рождения сына, выступив за легализацию контроля рождаемости – тему крайне скандальную для викторианской Англии XIX века. Пресса не оставила от него камня на камне, и разразившийся скандал привел его парламентскую деятельность к бесславному концу после первого же срока.
После этого жизнь в доме стала странной. У Амберли поселился жилец по имени Дуглас Сполдинг – биолог-любитель, который произвел фурор в экспериментальной психологии, открыв явление импринтинга у цыплят: он заменял им наседку с момента вылупления. И они следовали за ним повсюду, целая стайка пищащих птенцов, кудахча так, словно он их понимал.
Дом Расселов был наводнен мелкими экспериментами Дуга. Много лет спустя Рассел вспоминал странные сцены, похожие на лихорадочный бред. Всякого рода безумные странности. Вскрытие живого лосося. Сполдинг, отрезающий головы осам. Птенцы, запертые в крошечных коробках с рождения, ни разу не взмахнувшие крылом, – так проверяли, смогут ли они летать взрослыми. Его эксперименты кажутся грустными и жестокими по нынешним этическим стандартам; ни одна современная комиссия по этике их бы не пропустила. Пожалуй, и к лучшему, что большая часть его трудов забыта.
Однако самый смелый эксперимент Сполдинга касался родителей Рассела, Кейт и Джона. Кейт была ассистенткой Дуга, и они спали вместе – открыто и, по-видимому, с согласия ее мужа Джона. У Дуга был активный туберкулез – та иссушающая легочная инфекция, которую в те забытые дни называли чахоткой. Она десятилетиями терзала Европу, возведя этот изможденный, бледный вид с лихорадочным румянцем в ранг своеобразного «героинового шика» той эпохи. Шарлотта Бронте однажды назвала чахотку «болезнью, которая красит», и дамы часто одевались, подражая стилю больных. Тугие корсеты. Набеленные лица. Яркий румянец. Но если выглядеть так, будто у тебя чахотка, было модным заявлением, то иметь живущего в доме любовника с туберкулезом считалось еще более престижным.
Этот красочный и нетрадиционный ménage à trois оборвался внезапно из-за другой трагедии. Когда семья вернулась из поездки за границу, у старшего брата Берти, Фрэнка, сильно разболелось горло. Врачи определили дифтерию – крайне заразную инфекцию, которая сегодня редка в Европе благодаря вакцинам. Фрэнка изолировали, он, казалось, поправился, был признан здоровым и отправлен домой. Но слишком рано. Он все еще был носителем инфекции и заразил мать и сестру. Фрэнк полностью выздоровел. А вот его мать Кейт и сестра Рэйчел погибли. Отец Рассела, Джон, был раздавлен – даже больше, уничтожен. Две главные женщины его жизни ушли. Джон погрузился в тяжелую депрессию, описывая свою судьбу как «чистейшее счастье, обратившееся в самую горькую боль». Он потерял волю к жизни и умер несколько месяцев спустя.
* * *Двух оставшихся членов семьи, Берти и его старшего брата Фрэнка, передают под опеку леди Рассел, их бабушки. Дугласа увольняют, и остаток детства Рассел проводит подчиняясь причудам бабушки – строгим, регламентированным, холодным и пуританским. По свидетельствам, она презирает комфорт. Равнодушна к кухне. Ненавидит вино. Начинает каждый день с ледяной ванны и унылого утреннего ритуала: уроков фортепиано и строгой молитвы. Она держится отстраненно. «Не способна к любви», – так позже охарактеризует ее Рассел. Его любимой поговоркой, как он вспомнит, была этакая ограничивающая, закольцованная фраза:
Что есть дух?Не материя.Что есть материя?Не бери в голову.Леди Рассел также испытывает экзистенциальный ужас перед школой. Она решает, что Берти нужно оградить от учебных заведений, чтобы сохранить его «чистым, религиозным и полным любви». «Он должен быть подготовлен, чтобы занять место деда на посту премьер-министра и продолжить священное дело реформ», – говорит она.
Она решает, что спасать брата Берти, Фрэнка, уже поздно, и отсылает его в пансион. Поэтому к моменту, когда Фрэнк дает Берти первые уроки геометрии в 1883 году, младший Рассел уже несколько лет сидит на домашнем обучении, в мрачной атмосфере эмоционального вакуума и запустения. Это так же печально, как и судьбоносно. «Я пытаюсь установить хоть какой-то человеческий контакт, – говорит он в один из моментов детства, – но это невозможно».
«Я знаю, что обречен навеки на одинокое бессилие».
Изучение геометрии Евклида в 1883 году подобно свету в этой покинутой тьме. «Я не представлял, что в мире есть нечто столь восхитительное», – вспоминал он позже. Это вкус, который он разовьет и будет ценить в последующие десятилетия.
Недолгая жизнь Софьи Ковалевской
Еще один поворотный момент 1883 года: Стокгольмский университет нанимает молодого русского математика Софью Васильевну Ковалевскую. Она становится первой в Европе женщиной – профессором точных наук. (До этого в Италии женщины изредка получали кафедры, но только в гуманитарных областях.)
В типичной для той эпохи эгоистичной и сексистской манере Ковалевской приходится преодолевать огромное сопротивление. Ей ставят жесткие условия: первый год – испытательный срок, работа без зарплаты. Но даже так ее назначение вызывает скандал. В европейских университетах распространены мизогинные взгляды. Большинство заведений не позволяют женщинам даже заходить в аудитории – ни как студенткам, ни уж тем более как преподавателям.
«Женщина-профессор – это пагубное и неприятное явление, – пишет один видный шведский литератор в местной газете, выступая против ее назначения. – Можно даже сказать, уродство».
Многие мужчины соглашаются с ним. Некоторые называют Ковалевскую «королевой математики» – и совсем не как комплимент. Немецкий химик Роберт Бунзен называет ее «опасной женщиной» из-за ее ума. (Полагаю, это и есть тот самый «эффект горелки Бунзена».) Какой идиот!
Для Ковалевской в этом нет ничего нового. Десятью годами ранее она преодолела почти непреодолимые преграды, став первой в Европе женщиной – доктором математики. Это выдающееся, но своеобразное достижение: степень она получила заочно, так как университет не позволял ей посещать занятия.
Она также станет первой женщиной, имя которой украсит список редакторов крупного математического журнала, и первой принятой в ряды консервативной и элитарной Императорской Академии наук. Устав академии пришлось переписывать после ее избрания, так как по старым правилам ей запрещалось даже переступать порог здания. Когда она впервые попыталась войти, перед ней буквально захлопнули дверь.
* * *Ковалевская была средним ребенком в семье богатого и влиятельного русского генерала Василия Васильевича Корвин-Круковского, владевшего огромным имением с тысячами десятин земли у литовской границы. Там были овцеводческая ферма, молочное хозяйство, винокуренный завод, большой лес, полный дичи, и озера, полные рыбы. Когда Софья была маленькой, генерал вышел в отставку, и вся семья переехала из Санкт-Петербурга в загородное имение.
Дальнейший жизненный путь юной Софьи определила случайность, связанная с оформлением интерьера. Обновляя усадьбу, семья просчиталась с количеством обоев – для одной комнаты не хватило ровно одного рулона. Посылать гонца за сотни верст в Петербург ради одного рулона сочли барством и решили сэкономить: просто оклеить детскую Софьи бумагой, что была под рукой. Сначала думали о газетах, но тут кто-то наткнулся на кипу старых лекций по математике, сохранившихся со времен учебы генерала Василия Васильевича в артиллерийском училище. Ими и оклеили стены. Начальные скорости, углы возвышения, дуги траекторий, дальность полета, закон падения тел… Много лет спустя Софья скажет, что именно так она и выучила математику – часами глядя на отцовские конспекты, окружавшие ее со всех сторон.
«Я начала очень внимательно разглядывать стены, – вспоминала она. – Смысла я тогда не понимала совершенно, но что-то меня влекло».
«Я помню, как я в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны бы следовать друг за другом, – вспоминала она. – От долгого ежедневного созерцания внешний вид многих формул так и врезался в моей памяти, да и самый текст оставил по себе глубокий след в мозгу, хотя в самый момент прочтения он и остался для меня непонятным».
Однако, когда она школьницей проявляет интерес к математике, отец приходит в ужас. Он традиционный русский человек старой закалки и не видит смысла в образованной женщине, даже если это его дочь. Особенно если это его дочь! Он запрещает ей учить математику. Она делает это тайком, одолжив старый учебник алгебры у одного из учителей и читая его по ночам, когда все спят.
Следующий поворот происходит, когда семью навещает профессор физики, живший неподалеку. Он оставляет в подарок написанный им учебник, надеясь, что старый генерал проявит интерес. Но книгу в руки берет Софья. У нее совсем нет необходимой подготовки по тригонометрии, и вскоре она понимает, что совершенно запуталась. Но, будучи натурой изобретательной, она придумывает способ численно аппроксимировать тригонометрические функции. И это срабатывает. В следующий приезд профессора Софья жаждет обсудить с ним книгу. Старый профессор поначалу не знает, что и думать. Он позабавлен. Затем вежливо отстраняется. Затем его начинает утомлять ее настойчивость. И наконец, он откровенно раздражен. Она прочла его книгу? Это шутка? Полноте! Она не могла этого понять.
Когда Софья говорит ему, что заменила тригонометрические функции собственными оригинальными численными приближениями, он закатывает глаза. «Ну, вот и хвастаетесь», – говорит он. Но когда Софья показывает ему свои записи, он не может в это поверить. Она не шутит. Ей удалось в одиночку, с нуля, воссоздать основы тригонометрии почти так же, как это делали математики за столетия до нее. Он ошеломлен. Девочка – гений! Теперь он сам умоляет генерала позволить ей изучать математику.