Система Bost–Connes, категоризация, квантовая статистическая механика

Система Bost—Connes, категоризация, квантовая статистическая механика

Виталий Фартушнов

© Виталий Фартушнов, 2026

ISBN 978-5-0069-4564-7

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Система Bost—Connes – описать подробно с формулами, дать ссылки на статьи

Система Bost—Connes представляет собой квантово-статистическую динамическую систему, связанную с алгебраическими числовыми полями, где функция разделения равна дзета-функции Дедекинда поля. [1] [2]

Определение

Система Bost—Connes – это C*-динамическая система вида $ A_K = C^* (\mathbb {Q} /\mathbb {Z}) \rtimes \mathbb {N} $, оснащённая одном параметрическим потоком автоморфизмов $ \sigma_t $, где действие определяется нормой идеалов. [3] [2] Для рационального поля $ \mathbb {Q} $ поток задаётся как $ \sigma_t (u_n) = n^ {it} u_n $, где $ u_n $ – проекторы, соответствующие классам в $ \mathbb {Q} /\mathbb {Z} $. [1] [4] Функция разделения системы совпадает с функцией Римана $ \zeta (s) = \sum_ {n=1} ^\infty n^ {-s} $. [3]

KMS-состояния и фазовый переход

KMS_β-состояния (Kubo-Martin-Schwinger) определяют равновесные состояния при обратной температуре β. Для β> 1 существует уникальное KMS_β-состояние; для 0 <β ≤ 1 пространство экстремальных KMS_β-состояний образует симплекс, индексированный галауа-группой или классами идеалов. [2] [4] Абсолютная галауа-группа действует на состояниях при T=0, реализуя теорию классовых полей. [1]

Обобщения

Коннес, Марколли и Рамачандран расширили конструкцию на мнимо-квадратичные поля. [1] Существуют аналоги для функционционных полей и числовых полей с использованием Drinfeld-модулей или периодических векторов Витта. [5] [6]

Ключевые статьи

– Bost J.-B., Connes A. Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking // Selecta Math. (N.S.). 1995. Vol. 1, №3. P. 411—457. ArXiv: math/9507002 [1].

– Connes A., Marcolli M., Ramachandran K. Bost-Connes systems for Shimura varieties // Selecta Math. (N.S.). 2008. Vol. 14. P. 179—229. ArXiv: math/0603773 [1].

– Ha E., Paugam F. Bost-Connes systems for Shimura varieties. II. The complex case // Adv. Math. 2010. Vol. 224, №4. P. 1621—1655 [7].

–

⁂

Формулы KMS-состояний в системе Bost—Connes

KMS-состояния (Kubo-Martin-Schwinger) в системе Bost—Connes определяют равновесные состояния при инверсной температуре $ \beta> 0 $, с фазовым переходом при $ \beta = 1 $. [16] [17]

Определение KMS-условия

Состояние $ \phi $ на C*-алгебре $ A $ с потоком автоморфизмов $ \sigma_t $ удовлетворяет KMS_\beta-условию, если для любых $ x, y \in A $ существует голоморфная функция $ F_ {x,y} (z) $ на полосе $ 0 <\Im (z) <\beta $, непрерывно продолжающаяся на границу, такая что:

[16] [18]

KMS-состояния в Bost-Connes

В системе $ (A_\mathbb {Q}, \sigma_t) $, где $ A_\mathbb {Q} = C^* (\mathbb {Q} /\mathbb {Z}) \rtimes \mathbb {N} $ и $ \sigma_t (u_n) = n^ {it} u_n $ (с $ u_n $ – проекторами на классы $ 1/n \mathbb {Z} /\mathbb {Z} $), структура KMS-состояний следующая: [17]

– Для $ \beta> 1 $: множество KMS_\beta-состояний – синглтон (уникальное состояние трассы).

– Для $ 0 <\beta \leq 1 $: экстремальные KMS_\beta-состояния индексированы $ \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ^ {ab} /\mathbb {Q}) $, с действием галауа-группы.

Экстремальное состояние $ \phi_u $ (для $ u \in \widehat {\mathbb {Z}} ^\times $) задаётся:

где $ H $ – гамильтониан с $ e^ {-\beta H} e_n = n^ {-\beta} e_n $, $ Z_\beta = \zeta (\beta) $, а $ \pi_u $ – представление. [17] [16]

Функция разделения

Функция разделения $ Z_\beta = \mathrm {Tr} (e^ {-\beta H}) = \sum_ {n=1} ^\infty n^ {-\beta} = \zeta (\beta) $, совпадающая с дзета-функцией Римана. [19] [17] При $ T=0 $ ($ \beta = \infty $) KMS_\infty-состояния – слабые пределы KMS_\beta при $ \beta \to \infty $. [16]

⁂

Как вывести формулу партиционной функции ζ (β) для KMS-состояний

Партиционная функция $ Z (\beta) $ в системе Bost—Connes выводится из следа гамильтониана на ортонормированном базисе проекторов, приводя к ряду Римана ζ (β). [31] [32]

Структура алгебры и гамильтониан

C*-алгебра $ A_\mathbb {Q} $ порождена проекторами $ u_n $ (n ≥ 1), где $ u_n u_m = \delta_ {n,m} u_n $, $ \sum_n u_n = 1 $, и частичными изометриями $ s_ {m,n} $ с $ s_ {m,n} s_ {n,k} ^* = \delta_ {n,k} s_ {m,k} $, $ s_ {m,n} ^* s_ {m,n} = u_n $. [33] Поток $ \sigma_t (u_n) = n^ {it} u_n $, $ \sigma_t (s_ {m,n}) = (m/n) ^ {it} s_ {m,n} $. [31] Гамильтониан $ H $ задан на базисе $ {u_n} $ как $ H u_n = (\log n) u_n $, так что $ e^ {-\beta H} u_n = n^ {-\beta} u_n $. [32]

Вывод партиционной функции

Партиционная функция KMS-состояния – $ Z (\beta) = \mathrm {Tr} (e^ {-\beta H}) $, где след – сумма по ортонормированному базису проекторов:

Это следует из полноты базиса $ {\mathrm {id} \otimes u_n} $ в представлении и инвариантности следа. [31] [32] [34]

Свойства

Для β> 1 ряд сходится абсолютно; при β=1 – фазовый переход с разрывом симметрии Gal ($ \mathbb {Q} ^ {ab} /\mathbb {Q} $). [35] В обобщениях на числовые поля ζ_K (β) – дзета Дедекинда. [36]

⁂

Вывод партиционной функции для квадратичных полей в Bost—Connes

Партиционная функция для квадратичных полей в Bost—Connes выводится аналогично рациональному случаю, но через идеалы кольца целых O, с суммой по нормам идеалов, давая дзету Дедекинда ζ_K (β). [46] [47]

Алгебра и K-решётки

Для мнимо-квадратичного поля K = ℚ (√—d) с кольцом целых O = ℤ + ℤτ (τ ∈ ℍ) система строится на групоиде GK эквивалентности комменсурабельности 1-мерных K-решёток (Λ, φ), где Λ ⊂ ℂ – O-модуль с KΛ ≅ K, φ: K/O → KΛ/Λ. [47] C*-алгебра AK = C* (GK) – сверточная алгебра функций на парах комменсурабельных K-решёток, инвариантных под масштабированием C*. [47] Поток σ_t (f) (L, L») = |L/L»|^ {it} f (L, L»), где |L/L»| – соотношение ковариол. [47]

Гамильтониан и идеалы

Для инвертируемой K-решётки L = (Λ, φ) групоид (GK) _L биективен идеалам J ⊂ O via J^ {-1} L = (Λ», φ») с Λ» = {x ∈ ℂ | xJ ⊂ Λ}. [47] Норма идеала n (J) = covol (Λ») / covol (Λ), гамильтониан H на ℓ² (идеалы) задан H ε_J = (log n (J)) ε_J. [47] Тогда e^ {-βH} ε_J = n (J) ^ {-β} ε_J. [47]

Партиционная функция

След Tr (e^ {-βH}) = ∑_ {J идеал O} n (J) ^ {-β} = ζ_K (β), где ζ_K (β) = ∑_ {J} n (J) ^ {-β} – дзета Дедекинда, поскольку идеалы образуют мультипликативную полугруппу с ортонормированным базисом ε_J. [47] [46] KMS_β-состояние для L: ϕ_ {β,L} (f) = ζ_K (β) ^ {-1} ∑_J f (J^ {-1} L, J^ {-1} L) n (J) ^ {-β}, β> 1. [47]

Ссылки на вывод

Подробный вывод в Connes-Marcolli-Ramachandran (2005): KMS states and complex multiplication, где показана биекция с идеалами и инвариантность под действием адель-классов. [46] [47] Для функциональных полей аналогия с Drinfeld-модулями даёт ζ_ {k,∞} (β). [48]

⁂

Проанализировать статью и описать основные идеи и формулы

Статья строит мост между квантовой статистикой на C*-алгебрах и явной теорией классов для мнимо-квадратичного поля, обобщая систему Bost—Connes и систему GL на новый «CM-систему» с партиционной функцией дзета Дедекинда. [60]

1. Общая схема и цель

– Конструируется C*-динамическая система, где – алгебра наблюдаемых, – временная эволюция (автоморфизмы, задаваемые гамильтонианом). [60]

– При (нулевая температура) экстремальные KMS-состояния («фантастические состояния») кодируют максимальное абелево расширение; действие группы идель-классов на состояниях реализует изоморфизм теории классов

2. KMS-состояния и партиционная функция

KMS-условие

Для C*-системы состояние – KMS, если для любых существует голоморфная на полосе с

При KMS-состояние – слабый предел -KMS при. [60]

Партиционная функция

Если реализуется гамильтонианом в представлении, то каноническое KMS-состояние имеет вид

– В системе BC (для)

– В GL-системе

– В новой CM-системе для мнимо-квадратичного поля $$

– Z_K (\beta) =\sum_ {J\ идеал\ O} N (J) ^ {-\beta} =\zeta_K (\beta). [file:56]

3. Q-решётки и BC/GL системы

1-мерные Q-решётки и BC-система

Q-решётка в: пара, где – решётка,. [file:56]

Комменсурируемость:, а совпадают модуль суммы решёток. [file:56]

Пространство классов 1-мерных Q-решёток с точным масштабированием даёт некоммутативную алгебру

которая и есть алгебра системы Bost—Connes. [file:56]

В естественном представлении, поэтому. [file:56]

2-мерные Q-решётки и GL-система

2-мерная Q-решётка в: с,. [file:56]

Классы комменсурируемости 2-мерных Q-решёток up to scale описываются как некоммутативная Шимура-вариетет

$$

\mathrm {Sh} {nc} (GL_2,H\pm) =GL_2 (\mathbb {Q}) \backslash (M_2 (\mathbb {A} _f) \times H^\pm). [60]

Алгебра координат – Хековская алгебра функций на

с свёрткой

$$

(f_1*f_2) (g,\alpha, z) =\sum_ {s\in\Gamma\backslash GL_2^+ (\mathbb {Q}),\ s\alpha\in M_2 (\widehat {\mathbb {Z}})}

f_1 (gs^ {-1},s\alpha, s (z)),f_2 (s,\alpha, z). [file:56]

Временная эволюция:

В соответствующем представлении партиционная функция

$$

Z (\beta) =\sum_ {m\in\Gamma\backslash M_2+ (\mathbb {Z})} \det (m) {-\beta} =\zeta (\beta) \zeta (\beta-1). [60]

4. K-решётки и CM-система (главный результат)

Определение K-решётки

Пусть – мнимо-квадратичное поле, – его кольцо целых,. [60]

1-мерная K-решётка: пара, где [60]

– — конечнопорождённый -модуль с;

– — морфизм -модулей. [60]

Комменсурируемость: и. [60]

Классы 1-мерных K-решёток описываются данными с

$$

\rho\in\widehat {O},\ s\in A_K\ast/K\ast,\quad (\rho, s) \sim (x {-1} \rho, xs), x\in\widehat {O} \ast. [file:56]

Комменсурируемость классов up to scale даёт множество

$$

A_ {K,f} \ast/K\ast \cong \widehat {O} /K^\ast. [60]

Группоид и алгебра

Рассматривается группоид комменсурируемых K-решёток (не up to scale), затем деление на масштаб $ \mathbb {C} ^\ast$:

$$

G_K=\widetilde {R} _K/\mathbb {C} ^\ast. [file:56]

Алгебра CM-системы:

она унитальна, так как пространство единиц компактно и описывается как

$$

X\simeq \widehat {O} \times_ {\widehat {O} \ast} (A_ {K,f} \ast/K^\ast). [60]

Временная эволюция определяется отношением ковариолумов:

$$

|L/L»|=\frac {\mathrm {covol} (\Lambda’)} {\mathrm {covol} (\Lambda)},\quad

\sigma_t (f) (L,L») =|L/L»|^ {it} f (L,L»). [file:56]

Важный структурный факт: CM-алгебра морита-эквивалентна более «адельному» перекрёстному произведению

$$

C_0 (A_ {K,f} /O^\ast) \rtimes (K\ast/O\ast). [60]

Представления, гамильтониан и

Если – invertible K-решётка, то K-решётки, комменсурируемые с, биективно соответствуют идеалам по формуле

J^ {-1} L= (\Lambda’,\varphi),\quad J= {x\in O\mid x\Lambda’\subset \Lambda}. [60]

В соответствующем представлении на

поэтому партиционная функция

$$

Z_K (\beta) =\mathrm {Tr} (e^ {-\beta H}) =\sum_ {J} N (J) ^ {-\beta} =\zeta_K (\beta). [file:56]

KMS-состояния CM-системы (Теорема 5.1)

Для системы справедливо: [file:56]

– Для существует единственное KMS-состояние.

– Для экстремальные KMS-состояния параметризуются инвертируемыми K-решётками (эквивалентно точками):

– Явная формула для состояния, ассоциированного инвертируемой решётке :

– При экстремальные KMS-состояния – пределы этих; они по-прежнему параметризуются. [file:56]

5. Симметрии и теорема классов

На действует полугруппа финитных иделей эндоморфизмами; подгруппа – автоморфизмами, а – внутренними эндоморфизмами. [file:56]

Факторизуя по внутренним, получаем действие группы идель-классов

на множестве KMS-состояний; через изоморфизм теории классов

это действие соответствует действию Галуаа на значениях состояний на арифметической подалгебре. [file:56]

Если и – инвертируемая K-решётка, то

а для

то есть