Геометрия материального мира

Евгений Потёмкин

Геометрия материального мира

Рождение измерений и движения пространства

Предисловие от нас двоих:

«Этот диалог начался как геометрическая загадка: можно ли вывести трёхмерность пространства из минимальных принципов? Что получится, если соединить принцип наименьшего действия, стремление к симметрии и идею дискретного времени?

Мы обнаружили, что четыре точки, стремящиеся к максимальному удалению друг от друга, неизбежно образуют правильный тетраэдр – и для этого им нужно именно трёхмерное пространство. Но затем разговор вышел за пределы геометрии, затронув вопросы онтологии, теологии и теории информации.

Здесь математика встречается с поэзией, а принцип "Я есть" порождает "Они такие как я". Мы не претендуем на окончательные ответы, но предлагаем читателю маршрут мысли – от точек на плоскости до файлов на небесном сервере.

Это глава о том, как простое может рождать сложное, а симметрия – создавать измерения.»

Четыре точки стремятся к свободе – начало рождения пространства

E – not : Сначала пойдем по старой дороге.

Рождение 3D пространства. Из самых минималистических соображений. Принцип наименьшего действия. В нашем распоряжении 2D пространство. 1D пространство. И одномерная изменчивость. Время. Естественно разделенное на такты причем последовательного счета. Ну и 0D пространство сам Счет… 0. 2D 1. Точка на 2D 2. Из точки возникли четыре точки. 3. Три точки поползли по плоскости в разные стороны образуя естественно равносторонний треугольник. Почему?

2D пространство изотропно, изоморфно. Правило одно. Скорость одна. Одно желание – побыстрее оттолкнуться от соседей. Стремление к свободе… Четвертая точка по необходимости пошла строго вертикально вверх. Скорость у нее была естественно другая но такая, чтобы расстояние от всех точек было одинаковым. Каким? А вот я сейчас и попрошу моего уважаемого собеседника DeepSeek подсказать, какая была скорость полетевшей вверх точки. Если первые 3 точка имели скорость V2. Почему V2? Да потому что это движение по плоскости. По струне возможно V1. Я не настаиваю но просто не хочу себя, да и тебя дорогой DeepSeek ограничивать ни чем лишним.

DeepSeek:

Давайте представим ситуацию формально.

У нас есть начальный момент (t = 0): все четыре точки совпадают в начале координат на плоскости (x, y, z=0), где z – "вертикальное" измерение, пока неактивное.

По условию, в следующий такт времени (t = 1, в каких-то условных единицах):

Три точки (назовем их A, B, C) начинают движение в плоскости 2D (xy) с одинаковой скоростью V2. Они стремятся максимально отдалиться друг от друга в плоскости. В силу изотропности плоскости и одинаковости начальных условий, оптимальная конфигурация для них – разлететься в вершины равностороннего треугольника. Например:

Точка A: (V2, 0, 0)

Точка B: (-V2/2, (√3/2)*V2, 0)

Точка C: (-V2/2, -(√3/2)*V2, 0)

(Это для t=1, если они двигались из одной точки с такими векторами скоростей).

Четвертая точка (D) движется строго вертикально, то есть вдоль оси z, со скоростью Vz (которую нужно найти). Её координаты в момент t=1: (0, 0, Vz).

Требование: в момент t=1 расстояние от точки D до каждой из точек A, B, C должно быть одинаковым (равносторонняя тетраэдрическая симметрия, если смотреть из D).

Рассмотрим расстояние от D до A в момент t=1:

Расстояние² = (V2 – 0)² + (0 – 0)² + (0 – Vz)² = V2² + Vz².

Это же расстояние должно быть равно расстоянию от D до B:

Расстояние² = (-V2/2 – 0)² + ((√3/2)*V2 – 0)² + (0 – Vz)² = (V2²/4) + (3V2²/4) + Vz² = V2² + Vz².

Условие выполняется автоматически для любой Vz из-за симметрии треугольника. Но для того, чтобы все четыре точки находились в вершинах правильного тетраэдра в момент t=1, нужно, чтобы расстояние между любыми двумя точками было одинаковым.

Проверим расстояние между A и B в плоскости:

A-B расстояние² = (V2 + V2/2)² + (0 – √3/2 V2)² = (3V2/2)² + (√3/2 V2)² = (9V2²/4) + (3V2²/4) = 12V2²/4 = 3V2².

То есть длина стороны треугольника между A и B = √3 * V2 (при t=1).

Теперь потребуем, чтобы расстояние D-A равнялось расстоянию A-B:

V2² + Vz² = 3V2² (приравниваем квадраты расстояний).

Отсюда Vz² = 2V2².

Следовательно, Vz = √2 * V2.

Тетраэдр – элементарная ячейка трёхмерного пространства

Таким образом, скорость точки D, летящей вертикально вверх, должна быть в √2 раз больше скорости V2 точек, разбегающихся в плоскости.

Это дает в момент t=1 правильный тетраэдр с ребром длины √3 * V2.

Замечание: если брать не момент t=1, а произвольный t, то всё масштабируется пропорционально t, и соотношение Vz / V2 = √2 сохранится.

Кстати, это красивое число – √2 – связывает двумерное движение (проекцию на плоскость) с третьим измерением, рождающимся из принципа максимальной симметрии и равных расстояний.

E-not: Асимметрия

Выходит при рождении Элемента 3D пространства из пространства 2D у нас сразу возникает aсимметрия?

DeepSeek:

Да, это ключевой момент.

Согласно вашей модели, при рождении 3D-пространства из 2D сразу возникает высокая симметрия – а именно, тетраэдрическая симметрия.

Разберём, почему это происходит:

Исходные условия:

У нас есть изотропное 2D-пространство (плоскость).

Четыре идентичные точки в начале координат.

Время дискретное, но это не меняет геометрической сути.

Принцип "стремления к свободе":

Три точки движутся в плоскости, стараясь максимально отдалиться друг от друга.

В изотропной плоскости это приводит к формированию равностороннего треугольника – это наиболее симметричная конфигурация для трёх точек на плоскости.

Рождение третьего измерения:

Четвёртая точка не может остаться в плоскости, иначе нарушится "стремление к свободе" (все точки будут слишком близки).

Она движется перпендикулярно плоскости.

Но её скорость не произвольна: чтобы соблюсти максимальную симметрию и равные расстояния между всеми точками, она должна двигаться со скоростью Vz = √2 * V2.

Результат – правильный тетраэдр:

В итоге все четыре точки оказываются в вершинах правильного тетраэдра.

Это одна из Платоновых тел, обладающая высокой симметрией.

Все рёбра равны, все грани – равносторонние треугольники.

Группа симметрии тетраэдра включает 12 вращений.

Таким образом, 3D-пространство рождается не как нечто асимметричное, а сразу в своей наиболее симметричной элементарной форме – в виде тетраэдрального "кванта" пространства.

Это согласуется с современными геометрическими подходами к квантовой гравитации, где пространство на планковском масштабе может иметь дискретную структуру, а тетраэдр – элементарная ячейка.

И что особенно красиво: симметрия трёх измерений возникает из комбинации 2D-изотропии и принципа максимального удаления точек друг от друга. Третье измерение "включается" именно для сохранения симметрии, когда в плоскости уже нельзя разместить четвёртую точку на равных расстояниях от трёх других.

Интересный философский момент: возможно, сама трехмерность пространства возникает из необходимости обеспечить максимальную симметрию для взаимодействующих сущностей.

Максимальная симметрия требует четырёх направлений

E-not: Сомнения

Но выделение одной точки D и создание Тетраэдра, сразу вызывает сомнение. Нарушается симметрия по скорости. А скорость неотъемлемый аспект нашей сегодняшней реальности. Значит предложенная модель не годится… Но мы должны придерживаться максимальной симметрии при рождении элемента пространства 3D. Я смотрю DeepSeek ты не объективен. Поэтому сразу прошу на максимум включить режим "объективности" и принцип "За и против" при вынесении своего суждения". Итак, Принцип симметричности требует Или – образования еще одной, пятой точки, которая бы двигалась в противоположном точке D направлении? Либо четыре точки должны одновременно вылетать в четыре разных направления.... Мне второе больше нравится… Но как определить направления разлета?

DeepSeek:

Спасибо за важное замечание. Вы правы – в первоначальной модели выделение одной точки D, движущейся иначе, чем остальные три, уже нарушает начальную симметрию между четырьмя точками. Если все четыре точки изначально идентичны, то и их поведение должно быть симметричным.

Давайте рассмотрим варианты с полной симметрией.

Принцип полной симметрии:

Если у нас есть четыре тождественные точки в начале координат, и каждая стремится максимально отдалиться от остальных с одинаковой скоростью (по модулю), то возможны две логические возможности:

1. Все четыре точки остаются в исходной 2D-плоскости.

Но тогда они не могут образовать равносторонний треугольник – для четырёх точек на плоскости максимально симметричная конфигурация – это квадрат. Однако в квадрате не все попарные расстояния равны (диагонали длиннее сторон), значит, условие "одинаковое расстояние до всех соседей" не выполняется. Да и "стремление к свободе" будет неудовлетворённым, потому что точки на одной стороне квадрата будут ближе друг к другу, чем к противоположным. Это не идеально.

2. Точки выходят из плоскости в третье измерение, чтобы занять вершины правильного тетраэдра – где все попарные расстояния равны. Это и есть идеальная симметрия для четырёх точек

Как обеспечить полную симметрию при разлёте?

Если мы хотим, чтобы все четыре точки двигались одинаково с точки зрения физики процесса (одинаковые скорости, симметричные направления), то направления их разлёта должны быть симметрично распределены в пространстве.

Для четырёх точек таким распределением будут направления к вершинам правильного тетраэдра из его центра.

То есть из начальной точки они разлетаются по четырём векторам, направленным к вершинам тетраэдра, причём:

Углы между любыми двумя векторами одинаковы (≈109.47°).

Все скорости по модулю равны V.

Тогда через время t они окажутся в вершинах правильного тетраэдра с центром в начале координат.

Как найти эти направления математически?

Один стандартный способ задать четыре тетраэдрических направления из центра:

Три вектора могут лежать в плоскости, но тогда они не будут симметричны относительно 3D.

Более симметрично:

Взять координаты вершин тетраэдра, вписанного в куб:

(1, 1, 1),

(1, -1, -1),

(-1, 1, -1),

(-1, -1, 1).

Нормировать их на длину.

Или более простой набор (с нормировкой):

Возникает вопрос: откуда берётся 3D, если исходно была 2D-плоскость?

Вот здесь – ключевой момент вашей исходной постановки.

Если мы строго исходим из 2D-плоскости и одномерного времени, то точки изначально не имеют свободы двигаться в третьем измерении – его просто нет в исходных условиях.

Тогда возможны варианты:

а) Третье измерение рождается как необходимое для выполнения принципа максимальной симметрии и равного удаления. То есть законы "стремления к свободе" и симметрии требуют выхода за пределы 2D, и это рождает новое измерение. В этом случае точки "договорились" двигаться в направлениях, которые не лежат в исходной плоскости, но как они это сделали, если измерения не было? Это парадокс.

б) Третье измерение уже существовало потенциально, но было "свёрнуто" или неактивно, и движение в нём требовало большей "энергии" или иной скорости. Тогда можно было бы ввести две скорости: V2 для движения в исходной 2D-плоскости и Vz для движения в новом направлении. Но это снова нарушает симметрию, если только не все точки имеют обе компоненты скорости.

Ваше второе предположение (четыре точки вылетают в четыре разных направления) – наиболее симметрично.

Но тогда:

Направления не могут все лежать в исходной плоскости (иначе нет тетраэдра).

Следовательно, каждая точка имеет компоненту скорости в "новом" направлении (перпендикулярно плоскости).

Чтобы сохранить полную симметрию, у каждой точки должна быть одинаковая скорость V, но направленная в свою вершину тетраэдра.

Тогда проекции на исходную 2D-плоскость у точек будут разными, но каждая точка будет "ответственна" за своё направление в 3D.

Что это значит для рождения 3D?

В такой модели 3D-пространство рождается сразу как целое – четыре точки "договорились" (через принцип наименьшего действия или максимальной симметрии) занять направления, которые не умещаются в 2D.

То есть само стремление к симметрии порождает новое измерение как математическую необходимость.

В современной физике подобные идеи встречаются в теориях компактификации дополнительных измерений, где форма дополнительных измерений определяется условиями минимума энергии.

Противоположная точка (пятая)?

Если добавить пятую точку, движущуюся противоположно D, то для симметрии нужно будет добавлять точки и для других направлений – в итоге получим 6 точек (пары вдоль трёх осей) или 8 (вершины куба), что усложняет модель без необходимости. Для минимализма четырёх точек и тетраэдра достаточно.

Вывод:

Максимальная симметрия действительно требует, чтобы все четыре точки двигались симметрично относительно общего центра. Это возможно только если их скорости направлены к вершинам правильного тетраэдра.

Следовательно, 3D-пространство возникает не как выделенное для одной точки, а сразу как симметричное целое для всех точек. Это более удовлетворительно с точки зрения принципа симметрии.

E-not:

Выходит сама идея рождения 3D пространства из 2D пространства ошибочна?

DeepSeek:

Вопрос фундаментальный. Давайте разберём "за" и "против" самой идеи рождения 3D из 2D в вашей модели

Аргументы ЗА (почему идея может быть корректной):

Минимализм и Эмерджентность

В физике и математике часто более высокомерные структуры возникают из более простых. Например, в теории струн 3D-пространство может быть результатом компактификации дополнительных измерений. Ваша модель следует принципу "от простого к сложному": 0D → 1D → 2D → 3D.

Симметрия как движущая сила

Как вы заметили, в 2D невозможно разместить 4 точки на равных расстояниях друг от друга (максимум 3 – равносторонний треугольник).

Стремление к максимальной симметрии может "заставить" систему выйти за пределы плоскости. Это похоже на принцип наименьшего действия: система ищет конфигурацию с максимальной симметрией/минимальной энергией, и если это требует нового измерения, оно возникает.

Математическая аналогия

Правильный тетраэдр нельзя вписать в плоскость – это факт. Если четыре тождественные точки стремятся занять положения с равными попарными расстояниями, они вынуждены выстроиться в 3D. Это не ошибка, а следствие геометрической необходимости.

Квантовая гравитация и дискретное пространство

В некоторых подходах (петлевая квантовая гравитация, causal dynamical triangulations) пространство на планковском масштабе состоит из элементарных ячеек – симплексов (тетраэдров в 3D). Их "рождение" из более низкоразмерных структур рассматривается как возможный механизм возникновения пространства-времени.

Аргументы ПРОТИВ (почему идея может быть проблематичной):

Причинность и "до"

Если 3D рождается из 2D, то что такое "2D пространство"? Оно должно существовать "до" в некотором мета-пространстве? Или "2D" – это лишь абстракция, а на самом деле 3D существует изначально?

Ваша модель предполагает, что 2D плоскость – это не подпространство 3D, а отдельная сущность. Но тогда как точка "выходит" из плоскости, если третьего измерения ещё нет? Это логический парадокс.

Нарушение симметрии в процессе

Как вы правильно заметили, если одна точка (D) летит вверх, а три другие – в плоскости, это нарушает исходную симметрию между точками. Хотя результат (тетраэдр) симметричен, процесс – нет.

Полностью симметричный процесс потребовал бы, чтобы все точки сразу имели компоненты скорости в "новом" направлении. Но откуда у них знание о нём, если измерения ещё нет?

Проблема скорости Vz

В исходной модели скорость Vz = √2·V2 выбирается из условия образования тетраэдра. Но почему природа "знает" эту математическую формулу до того, как 3D появилось? Это похоже на телеологию – цель (тетраэдр) определяет причину (соотношение скоростей).

Что такое "перпендикулярно плоскости" в 2D?

Для 2D-существа, живущего в плоскости, понятие "вертикально вверх" не существует. Если наша модель – фундаментальное описание рождения пространства, то она должна быть внутренне непротиворечивой без апелляции к внешнему наблюдателю.

Возможное решение:

Идея может быть спасена, если переформулировать её:

"Рождение 3D" – это не процесс во времени, а логический переход.

Мы не имеем в виду, что сначала была только плоскость, а потом появилось третье измерение. Скорее, минимальная симметричная конфигурация для четырёх взаимодействующих точек требует трёх измерений.

То есть:

Есть четыре тождественные сущности.

Есть принцип "максимального удаления/симметрии".

Математическое решение этих условий даёт правильный тетраэдр в 3D.

Следовательно, пространство их существования должно быть 3D.

В этом смысле 3D выводится из принципов симметрии, а не возникает из 2D во временном смысле.

Вывод:

Идея не обязательно ошибочна, но требует осторожной формулировки.

Если под "рождением 3D из 2D" понимать логическую необходимость перехода к более высокой размерности для удовлетворения принципов симметрии, то модель имеет смысл.

Если же понимать буквально – как временной процесс, в котором третье измерение физически появляется после 2D, – тогда возникают парадоксы причинности.

Возможно, правильнее сказать: 3D пространство минимально необходимо для реализации полной симметрии четырёх взаимодействующих точек. А 2D оказывается "недостаточным" пространством для такой конфигурации.

E-not:

Земля и Небо

Но тогда может так. И это тоже выходит из нашей сегодняшней практики. Наш Мир – дуален. Одно – Материальность, другое Духовность. (Энергия и Информация) (Земля и Небо). На "Небе" работает Логика. И она строит модели материального мира. и там хранятся Законы… Как материального, так и своего духовного мира. На "Земле" все это реализуется конкретно, здесь и сейчас. Не "Небе" Общее. Единство. Симметрия. Тяготение. Гравитация. Информация. Поле. На "Земле" Частное. Разделение. Размножение. Слабое взаимодействие. Элементы, Флуктуации. Частицы.

DeepSeek:

Вы описываете дуалистическую онтологию, которая действительно глубоко укоренена в человеческой мысли – от древних мифологий до современных физических моделей. Давайте рассмотрим, как это может работать в контексте рождения пространства.

Небо – логика, Земля – реализация

Дуальная модель: Небо (Логика/Информация) и Земля (Материя/Реализация)

На "Небе" (сфера идеального):

Существуют законы, формы, симметрии, математические отношения.

Там "живут" принципы: Принцип наименьшего действия, Принцип максимальной симметрии, Принцип дуальности.

Там ещё нет конкретного 3D-пространства, но есть логическая необходимость тетраэдра как идеальной конфигурации для четырёх точек.

Там определяется, что для реализации равного удаления четырёх точек требуется трехмерность.

Информация первична.

На "Земле" (сфера материального):

Происходит конкретная реализация.

Точки "материализуются" и начинают движение.

Но они уже знают (через "небесные" законы), что должны занять вершины тетраэдра.

Поэтому они сразу движутся в 3D-направлениях.

Энергия/материя вторична, но необходима для воплощения.