ТРИ МИРОПРАВИТЕЛЬНИЦЫ. Познавательные рассказы о природе вещей и чисел

Александр Ощепков

ТРИ МИРОПРАВИТЕЛЬНИЦЫ. Познавательные рассказы о природе вещей и чисел

Шагаем след, след в след

Туда где тень, тень, тень…

Да будет свет, свет, свет!

Как будто день, день, день.

Булат Окуджава

БЕСЕДЫ С ВНУКОМ ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

О складывании листов, или полиграфическая беседа с внуком

– Паша, хорошо, что пришёл, дай-ка мне пару листочков вон из той коробки с надписью «Формат А4», надо файл на принтере распечатать. Знаешь, что такое формат А4?

– Потому что у листа четыре стороны? Он ведь прямоугольной формы, нам о разных фигурах в школе рассказывали.

– Нет, не потому. Сейчас расскажу про А4, слушай. Лист бумаги, действительно, имеет прямоугольную форму, короткая сторона прямоугольника равна, навскидку, 20 сантиметров, длинная – приблизительно 28 сантиметров. Будем говорить: «Размер или формат листа 20х28».

Отношение длинной стороны к короткой 28:20=7/5. Ты уже изучал простые дроби, в десятичной форме 7/5=1,4. А теперь, внимание, фокус! Сложим лист пополам поперёк длинной стороны, вдоль короткой, получим два листа размером 14х20. Соотношение сторон 20:14=10/7 или опять примерно 1,4. Сложим ещё раз, получим листы размером 10х14. Соотношение сторон 14:10=7/5=1,4. Опять одна целая четыре десятых! То точно, то примерно. Магия. Можно увеличивать размер листа, приставляя к длинной стороне такой же лист, всегда соотношение сторон будет «примерно 1,4». Сам проверь.

С другими размерами листа этот фокус не проходит. Возьмём стандартную фотографию 9х12 с соотношением сторон листа 12:9=4/3=1,3333. Когда твоя мама пошла в школу, про «фотографию девять на двенадцать» была популярная песенка. Разрежем её (не школу и не песенку – фотографию) пополам, получим лист 6х9. Опять мем – помнишь, в сериале про Жеглова был персонаж-фотограф с прозвищем «Гриша шесть-на-девять»? Получили листочек с соотношением сторон 9:6=3/2=1,5, – далеко не 1,3.

– Кстати, у нас ведь было не точно 1,3, в дроби 4/3 после запятой шли бесконечно повторяющиеся тройки, про них говорят: «Три в периоде». У нас ещё появлялась дробь 10/7. У тебя есть калькулятор в смартфоне? Ну-ка, подели. Читаем ответ: «1,42857142857142». Последовательность, или комбинация цифр 428571 будет повторяться, как и тройка в дроби 4/3. Повторяющиеся последовательности после запятой в десятичной дроби являются признаком того, что это дробное число получено в результате деления одного целого числа на другое, а, значит, такое число может быть представлено в виде простой дроби, где числитель и знаменатель – целые числа. Такие числа называются рациональными.

В чём же магия числа «примерно 1,4», существует ли его точное значение? Давай разберёмся. Нам надо найти прямоугольник, у которого отношение длинной стороны к короткой равно отношению короткой стороны к половине длинной. Составим алгебраическое уравнение. Любишь алгебру?

– Нет.

– Сейчас полюбишь. Обозначим короткую сторону через Х, а длинную – через Y. По условию Y/X=X/(Y/2). По правилу работы с дробями уравнение можно записать в виде Y*Y=2*(X*X). Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Квадратный корень из исходного числа – это такое число, которое при умножении самого на себя даёт исходное число. Например, два умножить на два равно четырём, значит, квадратный корень из четырёх равен двум. Квадратный корень из произведения Y*Y равен Y, из X*X – равен Х. И у нас появляется замечательное число – квадратный корень из двух, обозначим это число как кв_корень(2). Мы нашли ответ:

Y=кв_корень(2)*X, –

значит, магическое отношение равно квадратному корню из двух. Заметь, это решение – единственное.

В калькуляторах клавиша для извлечения квадратного корня обозначается галочкой с хвостиком вправо сверху. Есть у тебя в смартфоне такая клавиша? Ага, нет. Возьмём калькулятор помощней. Читаем ответ:

кв_корень(2)=1,4142135623730950488016887242097.

Больше тридцати знаков – и ни одной повторяющейся комбинации. Не беспокойся, суперкомпьютер выдаст тебе не только тридцать знаков после запятой, но и 30 тысяч знаков, и 30 миллионов знаков – повторов не будет. Нет такой простой дроби, которая точно была бы равна «корню из двух». А число есть! Это число – иррациональное, оно равно «примерно 1,4». Как ни округляй его дальше, точку на числовой оси не поставишь, она будет находиться или слева или справа от истинного значения.

– Ты ведь знаешь про отношение длины окружности к её диаметру. На сколько равных частей ни разделяй окружность, диаметр точно из них не составишь. Это тоже иррациональное число, равно примерно 3,14. Я со школы помню слоган: «Три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть» – 3,1415926. Суперкомпьютеры нашли это число (его обычно обозначают греческой буквой «пи») с точностью до нескольких триллионов знаков после запятой, повторяющихся последовательностей не обнаружено. А, между тем, построить число «пи» геометрически очень просто: с помощью циркуля проводим окружность диаметром 1 см, накладываем на неё ниточку, пожалуйста, длина ниточки равна пи сантиметрам. Получить с помощью геометрических построений корень из двух ещё проще: проводим отрезок прямой линии длиной один сантиметр, к одному концу прикладываем такой же отрезок под прямым углом, расстояние между свободными концами отрезков равно корню из двух сантиметров! Теорема Пифагора, её ещё древние греки знали.

– Мы отвлеклись в теорию чисел, вернёмся к полиграфии. Что же всё-таки означает четвёрка в обозначении формата «А4»? Размер листа, который ты мне дал, и я заправил в принтер, имеет магическое соотношение сторон: длинная сторона относится к короткой, как корень из двух. Этот формат очень удобен, из большого листа путём разрезания пополам можно получать листы такого же формата, поэтому листы разных размеров легко паковать в одну коробку, а главное: при масштабировании изображения от одного формата к другому сохраняются пропорции изображения, я, например, часто использую это свойство при подготовке к печати текстовых файлов. Между прочим, не мы с тобой первыми увидели преимущества при использовании соотношения «корень из двух» для бумажных листов. Оно было отмечено ещё в 1768 году немецким учёным Георгом Лихтенбергом, поэтому называется «соотношение Лихтенберга».

Не будем забывать, что речь идёт о плоском листе, чем и объясняется фокус. Мера такого двумерного листа – площадь. Разные страны договорились (приняли стандарт), чтобы исходным, самым большим листом, обозначаемым как «формат А0», считать лист площадью 1 квадратный метр, это облегчает учёт использованной в полиграфии бумаги. Давай найдём размер листа формата А0. Площадь листа Y*X= кв_корень(2)*X*X=1 кв.м. Отсюда находим, что длина короткой стороны Х равна единице, делённой на корень квадратный из корня квадратного из двух. Сложно? Калькулятор легко выдаёт ответ: 0,8408964…, понятно, что без повторов последовательностей цифр. С точностью до миллиметра получаем: Х0=841 мм. Для длинной стороны находим Y0=1189 мм, то есть эта сторона листа больше одного метра.

Складываем лист формата А0 пополам (сгибаем длинную сторону), получаем лист формата А1, между прочим, основной формат плотной бумаги (ватмана) для конструкторских кульманов, складываем ещё раз, получаем лист формата А2, складываем… Правильно: складываем четыре раза, получаем любимый формат А4, лист, который я держу в руках. Возьми миллиметровую линейку, измерь его стороны.

– Длинная сторона равна 297 миллиметров.

– Да ты что?

– Короткая сторона – 210 миллиметров.

– Кто бы мог подумать!

Мы получили размеры листа формата А4: 210х297 мм, на листе формата А0 их размещается ровно 16 штук.

Международный стандарт А4 (его обозначают ISO 216) принят всеми странами, кроме США и Канады. Ну, так американцы – они ведь за…даваки: «Мы длину в метрах не меряем, нам дюймы подавай!» Соотношение Лихтенберга они используют, но длины сторон бумажных листов их полиграфической продукции немного отличаются от формата А4. Так у них и калибр артиллерийских снарядов не 152 мм, а 155. И так им и надо.

Астрономический рассказ внуку про новый год

– Получил, внучок, подарок от Деда Мороза? Ну да, ну да, Дед Мороз – это сказки для маленьких. Ты ведь теперь большой: арифметику преодолел, через алгебру карабкаешься, скоро до геометрии дотянешься. А вот астрономию в школе отменили. Хочешь, расскажу, почему Новый год 1 января отмечаем? И так знаешь? Всё-равно послушай, может, к твоему знанию новое прибавится.

Видишь, солнце за ёлку зашло. Летом в это же время солнце сверху ёлочки находится, но в том же направлении – между сосной и берёзкой. Завтра в это же время придём на полянку – солнце опять там же окажется. Промежутки времени между одинаковыми по направлению положениями солнышка составляют сутки: день да ночь. Если солнце будет в том же направлении и на той же высоте, что в предыдущий раз, значит, между этими разами прошёл ровно год. Строго говоря, ровно через год повторяется только самое верхнее или самое нижнее положение солнца. Но это мелочи. Придём мы с тобой сюда через год и можем выпить по стаканчику фанты за 1-й новый год. На морозе фанту нельзя? Ну, тогда чайку горячего. Ещё через год выпьем за 2-й год и так далее. Событие, после которого (или от которого) отсчитываются годы, обычно указывают при летоисчислении. Красиво звучит: «5-й год от Дедушкиного рассказа»? В нашей стране тогда будет 2027-й год, в Китае – не знаю какой, у меня будет юбилей, а у тебя школьный выпускной.

В общем, ты понял: начало года может быть когда угодно, оно устанавливается общественным договором, по-другому – государственным законом, если угодно – царским указом. Сейчас сказано: к 1 января, войдя в лета, ты должен доложить госорганам, сколько денег за год получил и сколько потратил. Это, значит, чтобы налог с тебя по полной со… Нет, что ты, через «бэ», не через «дэ». Это раньше мытари драли, а теперь всё культурно: ФНС, ИНН, код быстрого доступа, – от цифровизации не спрячешься.

– Но мы отвлеклись. Календарь ты знаешь: в году 12 месяцев, 365 дней. А иногда 366. Спрашиваешь, почему? Хороший вопрос. Можно подумать, что наши события повторяются через разные промежутки времени. Ничего подобного. Время течёт равномерно и неумолимо. Смотри: пока я тебе рассказывал, прошло четыре минуты, солнце вышло из-за ёлки. Говорят так: «Переместилось по небу вправо на 1 градус». Про транспортир тебе рассказывали? Значит, скоро расскажут. Но то, что в одном часе 60 минут, ты знаешь. Следовательно, за час солнце переместится на 60:4=15 градусов. Умножим 15 на 24, получим 360. В полном круге как-раз 360 градусов. Значит, за 24 часа, то есть за сутки, солнце совершит по небу полный круг. И так происходит изо дня в день, из года в год, отныне и присно, сиречь, всегда.

Годовой цикл тоже не меняет свою длительность. Но для его определения недостаточно знать направление на расположение Солнца и его высоту над ёлочкой, лучше говорить – над горизонтом, ведь ёлочка может за год подрасти. Надо наблюдать положение звёзд на небе. Не будем углубляться в астрономию, тем более ЕГЭ ты по ней сдавать не будешь. Поверь мне на слово: расположение звёзд повторяется примерно, то есть приблизительно через каждые 365 суток. Всё дел в этом «примерно». Годовой цикл составляет 365 суток и 6 часов (примерно!). Если попробуем записать длительность года в минутах или даже в секундах, точного значения всё равно не получим. Замёрз? Ладно, пойдём в дом, там доскажу.

– Итак, о длительности года (годового цикла) и суток (суточного цикла) математики говорят так: их отношение «есть число иррациональное», как отношение длины окружности к её диаметру. На сколько одинаковых мелких частичек ни дели диаметр, окружность из них ровно не составишь: или нехватка или запас получится. Знаешь, если бы за год или за несколько лет солнце совершало бы целое число оборотов (по-умному: отношение года к суткам было бы числом рациональным), – было бы очень подозрительно. Возникло бы много вопросов к Тому, кто завёл этот механизм. Потом поймёшь, о чём (или о Ком) это я. Сейчас поясню просто: иррациональность возникает из-за того, что длительность года не связана с движением Солнца по небу, точнее, с вращением Земли вокруг своей оси, хотя для нас это уточнение не важно.

Смотри, что получается. Встретили мы Новый год, как полагается, погуляли, отдохнули. Проходит 365 дней, куранты бьют двенадцать раз, – а звёзды-то встанут на свои прошлогодние места только через 6 часов. Через два года надо ждать 12 часов, через четыре – 24 часа, то есть целые сутки! Поэтому придумали делать так: эти лишние сутки добавлять к каждому четвёртому году. Дополнительный 366-й день сделали не тридцать вторым декабря (итак терпеть невмоготу!) и не тридцать первым июня (то-то каникулы бы были на один день в високос длиннее), а пристегнули его к самому короткому месяцу: в високосный год появляется 29 февраля.

– Молодец, вьюнош, вник. Недаром говорят, что горячий чай с сахаром для ума полезен. Запомнил, что 6 часов – тоже примерно. На самом деле, чуть меньше. Но про миллениум как-нибудь после, и так опять отвлеклись от главного. «Возвращаемся на первое,» – как говорили старорусские писатели. В Древней Руси начало года отмечали в марте, с приходом весны. После крещения Руси новолетие стали справлять 1 сентября, после уборки урожая (в школе новый учебный год, по-прежнему, начинается 1 сентября). И вот в Московском государстве 1 сентября встретили новый 7207-й год. От какого события? Да какая разница – 7207-й и 7207-й. Допустим, от сотворения мира. Сомневаешься? А если добавлю: «согласно Ветхому завету», – полегчает? В западных странах тогда шёл 1699-й год. Хорошо, хорошо, добавляю: «От Рождества Христова». Россией в то время правил Пётр Алексеевич Романов, пока ещё не император, а просто царь. Очень Петру нравились европейские обычаи, вот и издал он свой царский указ, чтобы 1 января отметить вместе со всем Евросоюзом новый 1700-й год «с пушечной пальбой, фейерверками и превеликим весельем». С тех пор и веселимся с тридцать первого на первое.

Если расположение звёзд на небе изменится? Так ведь и ёлочку могут срубить. Не будем так далеко заглядывать. Вот сейчас отметили очередной Новый год. Никто уж теперь и не уточняет, от какой даты, потому что всё относительно, даже время. Это не я, это Альберт Эйнштейн сказал. Но это уже совсем другая теория. Я о ней тебе как-нибудь потом расскажу.

АЮ

07 января (первая зима дедушкиных рассказов)

Молекулярно-кинетический рассказ, или весенняя беседа с внуком

– Видишь, Паша, снег вокруг нашей ёлочки просел, сугробы меньше стали, как думаешь, почему?

– Деда, ты же сам говорил, что весной солнышко выше, греет лучше, вот снег и тает.

– «Тает» – он, что, исчезает куда-то?

– В воду превращается, а вода ручейками утекает.

– Молодец, Главное слово произнёс: превращается. А почему снег или лёд в воду превращается? Сложный вопрос. Но не переживай, будешь физику в школе изучать, всё узнаешь. А сейчас попробую тебе по-простому объяснить про превращения вещества. Слушай.

Про атомы тебе уже рассказывали. Атомы могут объединяться в молекулы, из которых и состоят вещества. Молекулы – такие крохотные частицы, которые не то что глазом, в микроскоп не увидишь. Будем считать, что молекулы – твёрдые шарики. Летит один такой шарик, навстречу ему другой – бах! Что произойдёт? Правильно – стукнулись и разлетелись. Тут есть маленькая хитрость: шарик, который летит быстрее, после удара никогда не может полететь ещё быстрее, он может только уменьшить свою скорость, передав часть её (точнее говорить о передаче импульса, но для одинаковых шариков это не важно) другому такому же шарику. Если бы мы с тобой сейчас разговаривали на греческом языке, то слово «движение» произносили бы «кинетикос» – при этом нос кверху и голову так: «Кинетикос!» Ладно, слушай дальше по-русски о молекулярной кинетике.

Если молекулы свободно летают и взаимодействуют только путём соударений, то вещество находится в газообразном состоянии. Если газ находится в закрытой банке (лучше говорить – в сосуде), то молекулы-шарики стукаются не только друг о друга, но и о стенки сосуда. Чем быстрее двигаются молекулы, тем сильнее удары, а, значит, больше давление. Если крышку сосуда открыть, весь газ из него улетучится. Вот, когда ты газовый баллончик в обойму пистолета вставляешь, баллончик-сосуд вскрывается, но остаётся перекрытым клапаном курка. Нажимаешь на спуск, клапан открывается, и молекулы углекислого газа своим высоким давлением выбрасывают пульку из ствола, потом разлетаются в разные стороны, перемешиваясь с молекулами воздуха. Кстати, воздух – это не одно вещество, в нём много двухатомных молекул азота, поменьше молекул кислорода, тоже двухатомных, – мы ими дышим, – и совсем немного других газов. Выстрелил из пневматики – засорил атмосферу трёхатомными молекулами «цэ о два», нарушил Киотские соглашения. Шутка. Вернёмся к закрытой банке-сосуду. Пусть его крышка плотно закрыта, но может перемещаться, как поршень. Мы с тобой сильные, давай будем задвигать поршень внутрь сосуда. Молекулы будут сопротивляться, давление газа будет увеличиваться.

– Деда! Ты же говорил, что давление увеличивается, если молекулы двигаются быстрее.

– Опять молодец. Теперь я говорю о втором способе повышения давления – уменьшении объёма. Газ становится плотнее, о стенки ударяется больше молекул, и давление возрастает. А средняя скорость молекул возрастает при увеличении температуры, при уменьшении температуры эта скорость падает. Знаешь, что значит слово «средняя»? Ну да, ну да, у вас же рейтинги, средний балл, ЕГЭ. Видишь, иногда и новации образованию помогают. Сейчас нам важно понять, что при сжатии уменьшается расстояние между молекулами (среднее!), и наступает момент, когда они вплотную прижимаются друг к другу. Молекулы продолжают свободно двигаться, как бы вальсируют, кружатся в хороводе, но не разлетаются. Возникает жидкое состояние вещества. Жидкость принимает форму сосуда, в котором находится, растекается на ровной поверхности. Правда, не всегда газ можно перевести в жидкость только сжатием. Некоторые молекулы, например, того же кислорода, капризничают, убегают от других, пока их не остановишь. Такие вещества нужно ещё и охладить, чтобы перевести в жидкое состояние. Теперь подумаем, что произойдёт, если дальше сжимать жидкость.

– Э, дед, ты же сказал, что молекулы в жидкости вплотную друг к другу прижаты, они, что, будут сплющиваться?

– Нет, молекулу не сплющишь. Объём жидкости при повышении давления не изменяется. Говорят, что жидкость несжимаема. Вспомним о скорости движения молекул. Если сжатие не изменяет состояние жидкости, попробуем её охладить. Молекулы будут вальсировать всё медленнее и медленнее и вдруг (обрати внимание на это «вдруг») перестают покидать то место, на котором находятся. Так, переступают красиво туда-сюда (колеблются), как танцоры в шеренгах сиртаки, – ты знаешь этот танец, в кружок ходишь. Вещество переходит в твёрдое состояние, которое также называют кристаллическим. Места, около которых совершают небольшие колебания молекулы в кристалле, называют узлами кристаллической решётки. Кристалл не изменяет свою форму. Лёд – это кристаллическое состояние воды. Ты рассматривал снежинки?

– Да, видел, очень красиво.

– Конечно, очень красивые звёздочки, с узорами на лучах. Причём двух одинаковых узоров не бывает. Но у всех снежинок есть одно свойство: их звёздочки имеют шесть лучей. Это объясняется свойствами молекул воды, из которых состоят кристаллики льда, из которых состоят снежинки, которые построил Джек. Кристаллы могут немного увеличиваться при нагревании или уменьшаться при охлаждении, не меняя своей формы. Этот процесс называется тепловым расширением. Всё понятно?