Полная версия
Основы R-анализа
Далее, если f – функция класса гладкости Сn, то мы для неё можем записать ряд Тейлора:
f (x+Δx) =-n ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) Δxk,
Также для поличисла α введём поличисло 0α, которое на нулевой координате имеет ту же координату, что α, а остальные координаты нулевые.
Пусть
– α = (x-n,x-n+1,…,x-1,0,0,…,0,),
+α = (0,0,…,0,0,x1,…,xn-1,xn),
n1 = (0,…,0,1,0,…,0).
Тогда
α = 0α + -α + +α.
Определим функцию f (α) на поличисле α∈nF в следующем виде:
(f) f (α) = f (0α + -α + +α) = f (0α + (-α + +α)) = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) (-α + +α) p = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k.
Проверим эту формулу для α = (х-2,х-1,х0,х1,х2) и второй степени α2, где α2 = (2х-2х0 + х-12, 2х-2х1 +2х-1х0, х02 +2х-2х2 +2х-1х1, 2х-1х2 +2х0х1, 2х0х2 + х12).
Здесь имеем:
0α = (0,0,х0,0,0),
– α = (х-2,х-1,0,0,0),
+α = (0,0,0,х1,х2),
f (α) = α2 = (0α + (-α + +α)) 2 = ∑2p=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k = (f (0) (x0) /0!) ∑0k=0 (0!/k! (0-k)!) (-α) 0-k (+α) k + (f (1) (x0) /1!) ∑1k=0 (1!/k! (1-k)!) (-α) 1-k (+α) k + (f (2) (x0) /2!) ∑2k=0 (2!/k! (2-k)!) (-α) 2-k (+α) k = (x0) 2 (-α) 0 (+α) 0 +2х0 ((-α) + (+α)) + ((-α) 2 +2 (-α) (+α) + (+α) 2) = x02 (-α) 0 (+α) 0 +2х0 ((-α) + (+α)) + (-α) 2 +2 (-α) (+α) + (+α) 2,
(-α) 2 = (х-12,0,0,0,0),
(+α) 2 = (0,0,0,0,х12),
(-α) (+α) = (х-2,х-1,0,0,0) ∙ (0,0,0,х1,х2) = (x-2 + x-1) (x1 + x2) = x-2x1 + x-2x2 + x-1x1 + x-1x2 = (0,x-2x1,x-2x2 + x-1x1,x-1x2,0),
2x0 (-α) +2x0 (+α) + (-α) 2 +2 (-α) (+α) + (+α) 2 = (2x0х-2,2x0х-1,0,0,0) + (0,0,0,2x0х1,2x0х2) + (х-12,0,0,0,0) + (0,2x-2x1,2x-2x2 +2x-1x1,2x-1x2,0) + (0,0,0,0,х12) = (2x0x-2 + x-12, 2x0х-1+2x-2x1, 2x-2x2 +2x-1x1, 2x0х1+2x-1x2, 2x0х2+ х12).
Примем, что
α0 = n1, тогда получим:
(x0) 2 (-α) 0 (+α) 0 = (x0) 2 (n1),
(x0) 2 (n1) + (2x0x-2 + x-12, 2x0х-1+2x-2x1, 2x-2x2 +2x-1x1, 2x0х1+2x-1x2, 2x0х2+ х12) = (2x0x-2 + x-12, 2x0х-1+2x-2x1,x02 +2x-2x2 +2x-1x1, 2x0х1+2x-1x2, 2x0х2+ х12), что в точности совпадает с алгебраическим выражением.
6. Симметрия бесконечно малых и бесконечно больших координат
Попробуем определить функцию sin на поличисле α = (х-1,х0,х1). Здесь имеем:
– α = (x-1,0,0),
+α = (0,0,x1),
sin (х-1,х0,х1) = ∑1p=0 (sin (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k = (sin (0) (x0) /0!) ∑0k=0 (0!/k! (0-k)!) (-α) 0-k (+α) k + (sin (1) (x0) /1!) ∑1k=0 (1!/k! (1-k)!) (-α) 1-k (+α) k = (sin (x0) (0!/0! (0—0)!) (-α) 0 (+α) 0 + cos (x0) ((1!/0! (1—0)!) (-α) 1—0 (+α) 0+ (1!/1! (1—1)!) (-α) 1—1 (+α) 1) = (sin (x0) (n1) + cos (x0) ((-α) + (+α)) = (cos (x0) x-1, sin (x0), cos (x0) x1).
Итак,
sin (х-1,х0,х1) = (cos (x0) x-1, sin (x0), cos (x0) x1).
Отсюда возникает предположение: не является ли и в общем случае выражение для функции на поличисле симметричным для бесконечно больших и бесконечно малых координат?
Покажем, что это в самом деле так.
Для этого нужно выражение (f) для функции на поличисле представить как координатную сумму.
f (α) = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k.
∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k = (p!/0! (p-0)!) (-α) p-0 (+α) 0 +
+ (p!/1! (p-1)!) (-α) p-1 (+α) 1 + … +
(p!/ (p-1)! (p- (p-1))!) (-α) p- (p-1) (+α) p-1 + (p!/p! (p-p)!) (-α) p-p (+α) p =
(p!/0!p!) (-α) p (+α) 0 + (p!/1! (p-1)!) (-α) p-1 (+α) 1 + … +
(p!/ (p-1)! (p- (p-1))!) (-α) 1 (+α) p-1 + (p!/p!0!) (-α) 0 (+α) p
Отсюда мы видим, что на каждое слагаемое (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k имеется симметричное слагаемое
(p!/ (p-k)! (p- (p-k))!) (-α) p- (p-k) (+α) p-k = (p!/ (p-k)!k!) (-α) k (+α) p-k.
Теперь нужно показать, что
∀m=-n,…,n (((-α) p-k (+α) k) m =f ((-α) k (+α) p-k) -m),
где =f – некоторый вид эквивалентности (эквиформности).
Здесь имеем:
(-α) p-k (+α) k = (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=p-k,kj≥0((p-k)!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k0+k1+k2+…+kn=k,kj≥0(k!/k0!k1!k2!…kn!) x0k0x1k1x2k2…xnkn)
При х0 = 0 и k0≠0 всё слагаемое также нулевое, поэтому в сумме остаются только члены с k0=0, когда х0k0 = 00 = 1. В итоге можем записать:
(-αp-k (+α) k = (∑nm=1,k1+2k2+…+nkn=m,k1+k2+…+kn=p-k,kj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,q1+2q2+…+nqn=m,q1+q2+…+qn=k, qj> 0 (k!/q1!q2!…qn!) x1q1x2q2…xnqn).
Также перепишем сумму для отрицательных m в случае степеней -α и раскроем скобки:
(-α) p-k (+α) k = (∑-1m=-n,k1+2k2+…+nkn=-m,k1+k2+…+kn=p-k,kj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) x-1k1x-2k2…x-nkn) · (∑nm=1,q1+2q2+…+nqn=m,q1+q2+…+qn=k, qj> 0 (k!/q1!q2!…qn!) x1q1x2q2…xnqn) =
= ∑nm=-n,-k1-2k2-…-nkn+q1+2q2+…+nqn=m,k1+k2+…+kn=p-k,q1+q2+…+qn=k,kj>0,qj>0((p-k)!/k1!k2!…kn!) (k!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn).
Что же касается произведений (-α) k (+α) p-k, то здесь аналогично получим:
(-α) k (+α) p-k = ∑nm=-n,-k1-2k2-…-nkn+q1+2q2+…+nqn=m,k1+k2+…+kn=k,q1+q2+…+qn=p-k,kj>0,qj>0(k!/k1!k2!…kn!) ((p-k)!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn).
Для одной координаты m получим для (-α) p-k (+α) k
((p-k)!k!)/(k1!k2!…kn!) (q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn),
где -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=m, k1+k2+…+kn=p-k, q1+q2+…+qn=k, kj> 0, qj> 0.
С другой стороны, для противоположной координаты -m для (-α) k (+α) p-k будем иметь:
(k!/k1!k2!…kn!) ((p-k)!/q1!q2!…qn!) (x-1k1x-2k2…x-nkn) (x1q1x2q2…xnqn),
где -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=-m, k1+k2+…+kn=p-k, q1+q2+…+qn=k, kj> 0, qj> 0.
Условие -k1—2k2-… -nkn+q1+2q2+…+nqn=-m равносильно k1+2k2-…+nkn-q1—2q2-… -nqn=m. Если поменять символы q и k, то мы в точности получим условие для m-й координаты произведения (-α) p-k (+α) k.
Отсюда следует, что произведения (-α) p-k (+α) k и (-α) k (+α) p-k имеют эквиформные значения (с точностью до замен xm на x-m) для координат m и -m, что приведёт к эквиформности координат m и -m и для функции f (α) на поличисле α.
7. Общая формула для степенных функций на полных поличислах
Выше было показано, что если α = {xi} 0i=-n, то
∀m=0, -1,…, -n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = (
где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.
Также была определена функция f на поличисле α:
(f) ⠀f (α) = f (0α + -α + +α) = f (0α + (-α + +α)) = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) (-α + +α) p = ∑np=0 (f (p) (x0) /p!) ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (-α) p-k (+α) k.
Но теперь нужно показать, что это определение совпадает с адгебраическими операциями для степенных функций на полных поличислах, а не только бесконечно малых, т.е. нужно показать, что
если α = {xi} ni=-n, то
∀m=-n,…,0,…n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = (
где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.
Здесь также будем использовать представление поличисла α в виде
α = 0α + -α + +α
и формулу полинома Ньютона:
(x1 + x2 + … +xm) n = ∑kj≥0,k1+k2+…+km=n(n!/k1!k2!…km!) x1k1x2k2…xmkm.
Тогда
sα = s0α + s-α + s+α,
sαp = ((s0α + s-α) + s+α) p = ∑pk=0 (p!/k! (p-k)!) (s0α + s-α) k (s+α) p-k.
Тогда имеем:
(∑ni=-nxi) p = ∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} = p (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – полином Ньютона,
∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} = p,∑ni=-n (ik (i))} = m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – координатное представление полинома Ньютона по координате i от i=-n до i=n.
Имеем:
(**) (∑ni=-nxi) p =n ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =p,∑ni=-n (ik (i))} =m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) – полином Ньютона n-равен (по координате i от i=-n до i=n) своему координатному представлению по координате i от i=-n до i=n.
Уточнив представление для полинома Ньютона, теперь подобное же уточнение нужно будет сделать для ряда Тейлора.
Для ряда Тейлора можем записать:
f (sα) = f (∑ni=-nxi) = f (x0 + ∑-1i=-nxi + ∑ni=1xi) = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) (∑-1i=-nxi + ∑ni=1xi) k = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) (∑ni=-nxi) k|xi≠0 = ∑nk=0 (f (k) (x0) /k!) ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k,∑ni=-n (ik (i))} = m (k!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0.
При f (x) = xp имеем:
f (sα) = ∑pk=0 ((p!/ (p-k))!x0p-k/k!) ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k, {∑ni=-n (ik (i))} = m (k!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0 = ∑pk=0∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =k, {∑ni=-n (ik (i))} = m ((p!/ (p-k))!x0p-kПni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) |xi≠0.
Обозначим k (0) = p-k. Тогда р = k (0) +k, и из условия
{∑ni=-n (k (i))} |i≠0=k
прибавлением к обеим сторонам k (0) получим:
{∑ni=-n (k (i))} =k+k (0) = p.
Также условие
{∑ni=-n (ik (i))} |i≠0=m
эквивалентно условию
{∑ni=-n (ik (i))} =m,
поскольку ik (i) = 0 при i=0.
Также варьирование k от нуля до р будет эквивалентно варьированию k (0) от нуля до р, что как раз выражено условием {∑ni=-n (k (i))} = p, так что суммирование по k можно снять.
В итоге последнее выражение для ряда Тейлора мы можем переписать в следующем виде (для f (x) = xp):
(Т) f (sα) = ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =р, {∑ni=-n (ik (i))} = m ((p!/k0))!x0k0Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i) = ∑nm=-n∑k (i) ≥0, {∑ni=-n (k (i))} =р, {∑ni=-n (ik (i))} = m (p!/Пni=-nk (i)!) Пni=-nxik (i),
что полностью совпадает с выражением (**) для полинома Ньютона.
Здесь только остаётся показать, что k (0) = p-k для представления через ряд Тейлора – то же k (0), что в представлении через полином Ньютона. Это следует из условия
∑ni=-n (k (i)) =p
для представления (**) и условия
{∑ni=-n (k (i))} |i≠0=k
для представления через ряд Тейлора.
В самом деле, здесь имеем:
∑ni=-n (k (i)) |i≠0 + k (0) = ∑ni=-n (k (i)) = p,
откуда получаем:
k + k (0) = p, т.е.
k (0) = p-k.
Итак, мы доказываем более общую теорему:
Теорема 2.
Если α = {xi} ni=-n, то
∀m=-n,…,0,…n ((s (α∙α∙ … ∙α)) m = (
где α∙α∙ … ∙α – произведение поличисла α на себя р раз, f (x) = xp, Tp [f] – ряд Тейлора от функции f до членов степени р.
8. Обобщённо-инверсная интерпретация поличисел
При симметричной интерпретации поличисло α = {xi} ni=-n в связи с определением на нём функций будем понимать как центральное значение х0, относительно которого определяются прямые и обратные приращения.
Чтобы определить реализацию поличисла, используя его симметричную интерпретацию, рассмотрим вариант α = {xi} 2i=-2 из 2-предполя 2F.
Здесь имеем:
α = (x-2,x-1,x0,x1,x2).
Определим далее реализацию для дифференциальной части:
r-2 (d2x-2 +’ dx-1 +’ x0) = x0 + Rm1 (x-1 + R-1m2 (x-2)) =
= R-1m1 (x0) oR-1m2 (x (-1)) (x-2),
где R-1m (а) (х) = а + R-1m (х).
В общем случае для дифференциальной части {xi} 0i=-n поличисла α = {xi} ni=-n получим:
r-2 ({xi} 0i=-n) = [Сni=1R-1mi (x (1-i))] (x-n)
Запишем нечто подобное для интегральной части. Сначала запишем вид реализации, аналогичный дифференциальной части для n=2:
х2 + R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0)),
а затем подействуем на неё оператором обобщённой инверсии Iv:
Iv (х2 + R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))) = Iv (R-1M1 (х2) oR-1M0 (х1) (x0)) =
= Iv (х2) + *Iv (R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))).
Как и ранее, будем использовать функцию IR-1M (Iv (α)) = IvoR-1M (α). Тогда можем записать:
Iv (х2) +* Iv (R-1M1 (х1 + R-1M0 (x0))) = Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1 +
+R-1M0 (x0)))) = Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1) +* IvoR-1M0 (x0))) =
= Iv (х2) +* IR-1M1 (Iv (х1) +* IR-1M0 (Iv (x0))) =
= х2* +* IR-1M1 (х1* +* IR-1M0 (x0*)) = [С1i=2IR-1М (i-1) (хi*)] (х0*),
где IR-1Мi (хi*) = хi* +* IR-1Мi, и оператор обобщённой инверсии определён для шкалы величин х2.
Посмотрим, как будет выглядеть такая реализация графически.
Первоначально мы находимся во внутренней метрике системы обратного конечного количества Q (0) *, и здесь имеем величину х0. Далее переходим к внутренней обратной метрике системы бесконечно больших величин первого порядка Q (1) *, где имеется величина х1. Система Q (0) * проецируется в систему Q (1) * обратной R-функцией R-1М0, в итоге здесь получаем величину х1 + R-1М0 (х0). Теперь мы получаем количественную систему Q (0,1) *, в которой скоординированы системы Q (0) * и Q (1) *. Далее ситуация повторяется, и для внутренней метрики системы бесконечно большого количества второго порядка Q (2) * получаем величину у = х2 + R-1М1 (х1 + R-1М0 (х0)), образуя систему Q (0,1,2) *, в которой скоординированы системы Q (0) *, Q (1) * и Q (2) *. Полученная величина у – это величина ∞у, данная во внутренней метрике обратного количества. Чтобы получить её представление в системе прямого количества IvQ (0,1,2) *, действуем на неё оператором обобщённой инверсии Iv, определённом для количественной системы Q (0,1,2) *. Получаем величину Iv (у) ∞, где
Iv (y) = Iv (х2 + R-1М1 (х1 + R-1М0 (х0))) = х2* +* IR-1M1 (х1* + *IR-1M0 (x0*)) =
= [С1i=2IR-1М (i-1) (хi*)] (х0*).
Все эти преобразования можно следующим образом представить графически – см. рис. 10.
Эти преобразования аналогичны таковым для конечной и бесконечно малых количественных систем, но в случае кнечной и бесконечно больших систем мы исходно движемся во внутренней метрике этих систем как систем обратного количества и лишь на конечном этапе переходим к прямой метрике.
Отсюда становится понятной общая форма реализации интегральной части для поличисла α∈nF. Это реализация вида
[С1i=nIR-1М (i-1) (xi*)] (х0*).
Рис. 10. Графическое представление этапов симметричной реализации тройки (х0,х1,х2) обратной конечной величины х0 и бесконечно больших величин первого х1 и второго порядка х2.
Наконец, определим полную симметричную реализацию поличисла α в следующем виде:
r±n {xi} ni=-n = ([Сni=1R-1mi (x (1-i))] (x-n), [С1i=nIR-1М (i-1) (xi*)] (х0*)),
где оператор обобщённой инверсии определён для количественной системы Q (0,…,n) *.
9. К структуре бесконечного расширения n-предполя nF
В монографии «Логика открытого синтеза»8 я ранее развил определённую версию R-анализа, исследуя бесконечные в обе стороны поличисла
α = {xi} ∞i=-∞
с тем условием, что для каждого поличисла найдётся максимальная ненулевая координата xn, а все координаты xm, где m> n, будут нулевыми. Таким образом, это поличисла, которые могут обладать бесконечным числом ненулевых координат в дифференциальной своей части, но всегда имеют нулевое или конечное число ненулевых координат в интегральной части.
Множество таких поличисел было обозначено как ∞F, и для него не существует делителей нуля, и для каждого поличисла α можно находить всё большее число координат для поличисла α-1, так что в этом предельном случае мы имеем дело не с предполем, а именно с полем. Было показано выполнение основных свойств операций сложения и умножения, характерных для структуры поля, введено отношение порядка, как это было сделано и для предполя nF, доказана теорема Архимеда.
Поле ∞F можно рассматривать как предельный случай предполя nF при n→∞.
В качестве реализации поличисел из ∞F был принят следующий случай:
Была доказана теорема, что при определённых требованиях к обратным R-функциям μ (α) является конечным числом. Показано также, что множество ∞F может быть рассмотрено как гильбертово пространство.
Были рассмотрены также подпространства nmF, где n≥m и α∈nmF е.т.е. ∀i∀j (i> n ∧ j Отсюда видно, что это реализации иерархического типа. В целом, была проделана достаточно большая работа по определению структуры ∞F и её расширения на комплексный случай. Имея в виду возможность симметричной и иерархической интерпретации поличисел, теперь можно отметить только тот момент, что алгебра поличисел в «Логике открытого синтеза» строилась на основе симметричной интерпретации, а реализация поличисел предполагала иерархическую интерпретацию. Но поскольку вторая может быть рассмотрена как частный случай первой, то все конструкции остаются в силе. Следует только уточнить, что если поличислу α мы даём иерархическую реализацию, то и алгебраически его нужно представить так, чтобы в нём не встречались одновременно интегральные и дифференциальные координаты, т.е. все координаты, кроме нулевой, должны быть либо дифференциальными, либо интегральными. В частности, поскольку бесконечные поличисла α∈∞F могут иметь бесконечное число ненулевых координат только в дифференциальную сторону, то и алгебраически их ненулевые координаты все должны быть только дифференциальными. Все ненулевые интегральные координаты возможны только для конечных поличисел α∈nmF. Все эти структуры вполне можно включить в «Основы R-анализа», рассматривая как вариант бесконечного обобщения структур n-предполя nF, но повторять их здесь я не буду и отсылаю заинтересованного читателя к указанной монографии.
10. Стандартный математический анализ как частный случай R-анализа
Используя конструкции R-анализа как исчисления поличисел, можно с помощью этих средств попытаться представить конструкции стандартного математического анализа.
Пусть мы работаем с R-анализом в рамках поличисел α∈nF, где n≥1. В этом случае мы можем использовать следующий естественный принцип соответствия: вещественное число х в стандартном математическом анализе моделируется как поличисло α = {xi} ni=-n, где х = х0, а все остальные координаты α нулевые. Такие поличисла обозначим как α (х). На поличислах α (х) n-предполе nF переходит в обычное поле 0F вещественных чисел, и все конструкции стандартного анализа тривиально воспроизводятся. Например, если у = f (x1,…,xn) – некоторая n-местная вещественная функция, то может быть определена функция f* на поличислах α (х) такая, что
f* (α1 (x1),…,αn (xn)) = α (f (x1,…,xn)).
Аналогично, если Р – n-местный предикат на вещественных числах, то может быть определён его аналог Р* такой, что
P* (α1 (x1),…,αn (xn)) истинен е. т. е. Р (x1,…,xn) истинен.
В то же время для ряда конструкций стандартного анализа можно определить более богатые поличисловые определения, которые затрагивают ненулевые координаты поличисел.
Пусть, например, в рамках стандартного математического анализа дана предельная последовательность {xn} ∞n=1, где limn→∞xn = x. Тогда можно принять следующее соотношение в 1F:
limn→∞ (0,xn,0) = (y, limn→∞xn,0),
где y = limn→∞ (nxn).
В частности, если xn = 1/n, то получим:
limn→∞ (0, (1/n),0) = (y,0,0), где
y = limn→∞ (n (1/n)) = 1, т.е.
limn→∞ (0, (1/n),0) = (1,0,0).
Полная запись будет такой:
limn→∞ (0,xn,0) = (limn→∞ (n (xn)),limn→∞xn,0).
Тем самым мы выражаем ту идею, что предельная последовательность даёт не только 0-координату, но и (-1) -координату поличисла.
Последовательность {1/n} ∞n=1 является эталонной в том смысле, что она даёт в пределе единицу бесконечно малых величин.
Для бесконечно больших последовательностей {xn} ∞n=1, где limn→∞xn = ∞, примем следующее соотношение:
limn→∞ (0,xn,0) = (0,0,р),
где р = limn→∞ (xn/n).
В этом случае эталонной окажется последовательность {n} ∞n=1, которая будет давать бесконечно большую единицу:
limn→∞ (0,n,0) = (0,0,1).
Переходя к непрерывному случаю, примем следующие соглашения:
если limх→0f (x) = 0, то
limх→0 (0,f (x),0) = (y,0,0),
где y = limx→0 (f (x) /x).
В частности, получим:
limx→0 (0,x,0) = (1,0,0).
Пусть функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в х0, т.е. limx→x0f (x) = X∈R и limx→x0g (x) = X»∈R. Тогда примем, что
limx→x0 (0,f (x),0) = (y, limx→x0f (x),0) = (у,Х,0),
limx→x0 (0,g (x),0) = (y’,limx→x0g (x),0) = (y’,X», 0),
где
|y/y’| = limx→x0 (|Х-f (x) / (X» – g (x) |).
Пусть функции f (x) и g (x) имеют бесконечный предел в х0, т.е. limx→x0f (x) = ± ∞ и limx→x0g (x) = ±∞. Тогда примем, что
limx→x0 (0,f (x),0) = (0,0,±p).
limx→x0 (0,g (x),0) = (0,0,±p’), где
p, p’> 0,
р/р» = limx→x0 (f (x) /g (x)).
Будем называть функцию f (y,x,0) = (у», x’, 0) 0-непрерывной в точке х е. т. е. limx→x0 (0, f (x), 0) = (у, f (x0), 0).
Будем называть функцию f (y,x,0) = (y’,x’,0) (0, -1) – непрерывной в точке х е. т. е. верно, что f (y,x,0) = (y’,f (x),0).
Если вещественная функция у = f (x) дифференцируема в точке х, то примем следующее соотношение:
limΔx→0 (0,f (x+Δx),0) = (limΔx→0f (x+Δx) /Δx, limΔx→0f (x+Δx),0) = (df (x) /dx, f (x),0).
Если вещественная функция у = f (x) дифференцируема в точке х, то определим оператор дифференцирования d для тричисла (0,f (x),0) следующим образом:
d (0,f (x),0) = (df (x) /dx,0,0).
Конец ознакомительного фрагмента.
Текст предоставлен ООО «Литрес».
Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.
Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.
Примечания
1
Robinson, Abraham. Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996.
2
Под стандартным математическим анализом имеется в виду версия математического анализа, которая построена на подходе Ньютона к трактовке бесконечно малого и преподаётся сегодня во всех вузах, где имеется предмет высшая математика.
3
У натуральных чисел также есть сильная граница – это бесконечность ∞, но она продолжает оставаться во всех последующих расширениях и остаётся таковой у вещественных чисел, которые переход к бесконечности распространяют как на верхнюю, так и на нижнюю границу количества.
4
Например, в случае отношения двух бесконечно малых величин, которое является конечным, – как в случае определения производной от функции.
5
В самом деле, если бы R-1М (0) = х≠0, то -х = -R-1М (0) = R-1М (-0) = R-1М (0) = х, т.е. -х = х, что возможно только для нуля. Противоречие доказывает, что R-1М (0) = 0.
6
Благодарю Романа Сузи, который обратил моё внимание на статью Каспера Мюллера (Kasper Müller) «Пятая фундаментальная операция арифметики и красота параллельного исчисления» («A Fifth Fundamental Operation of Arithmetic and the Beauty of Parallel Calculus»), где также используется операция обратного сложения и развиваются разного рода следствия из неё, которые автор называет «параллельным исчислением». См.: Электронный ресурс: https://www.cantorsparadise.com/a-fifth-fundamental-operation-of-arithmetic-and-the-beauty-of-parallel-calculus-93a2dfe28dda (Дата обращения 30.11.24). Моя собственная публикация, где впервые была описана эта операция и ряд следствий из неё: Моисеев В. И. Об одном расширении вещественных чисел // Труды конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений». Воронеж. 30 июня – 4 июля 2003 г. – Воронеж: Типография ВГУ, 2003. – 242 с. – С.172—182.
7
Моисеев В. И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – 743 с. – С.188.
8
Моисеев В. И. Логика открытого синтеза: в 2-х тт. Т.1. Структура. Природа. Душа. Кн.2. – СПб.: ИД «Мiръ», 2010. – 743 с.