Элементы математического анализа и нейросети. Практикум

\ [\lim_ {x \to 0} f (x) = \frac {2} {3 (\sqrt {1+0} + \sqrt {1—0})} = \frac {2} {3 (1 +1)} = \frac {2} {6} = \frac {1} {3} \]

Таким образом, предел функции равен:

\ [\lim_ {x \to 0} f (x) = \frac {1} {3} \] /. Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→0) f (x) = lim (x→0) ((1+x) ^ (1/2) – (1- x) ^ (1/2)) /3x) = lim (x→0) (1 + x – 1 + x) /3x ((1+x) ^ (1/2) + (1- x) ^ (1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x) ^ (1/2) + (1- x) ^ (1/2) I = 2/ (3 (1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.

2. Найти предел функции f (x) = (x^ (1/2) – 3^ (1/2/)) / (x^2 – 9) при x, стремящемся к 3.

GPTutor

Чтобы найти предел функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} – \sqrt {3}} {x^2 – 9}) при (x) стремящемся к (3), проделаем следующие шаги:Сначала заменим (x) на (3) в функции (f (x)):𝑓 (3) =3—332—9Вычислим знаменатель:32—9=9—9=0Теперь числитель:3—3=0Таким образом, получаем неопределённость (\frac {0} {0}). Для разрешения этой неопределённости можно применить правило Лопиталя или другие методы. В данном случае, выглядит логичным использовать разложение в ряд Тейлора для функции (\sqrt {x}) около (x = 3):𝑥≈3+𝑥—323Тогда:𝑥—3≈𝑥—323Теперь заменим в исходной функции:𝑓 (𝑥) ≈𝑥—323𝑥2—9=𝑥—323 (𝑥2—9)Теперь вычислим предел при (x \to 3):lim𝑥→3𝑥—323 (𝑥2—9) =lim𝑥→3123⋅2𝑥=1123Таким образом, предел функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} – \sqrt {3}} {x^2 – 9}) при (x) стремящемся к (3) равен (\boxed {\frac {1} {12\sqrt {3}}}).ChatGPT Online – AI Chat GPTДля нахождения предела функции f (x) при x, стремящемся к 3, подставим значение x == 3 в выражение:f (3) = (3^ (1/2) – 3^ (1/2)) / (3^2 – 9) = (3^ (1/2) – 3^ (1/2)) / 0Заметим, что числитель у нас равен 0, а знаменатель равен 0. Это означает, что данное выражение неопределенно, и мы не можем найти предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, используя обычные правила.Для решения данной задачи можно воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя и вычислим предел их отношения при x, стремящемся к 3:f (x) = (x^ (1/2) – 3^ (1/2)) / (x^2 – 9)f’ (x) = (1/2) x^ (-1/2) / (2x)f’ (x) = 1 / (2x^ (3/2))g (x) = x^2 – 9g’ (x) = 2xПодставляем x = 3 в производные:f’ (3) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3^ (3/2)) = 1 / (2 * 3 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * 3^ (1/2)) = 1 / (6 * √3) = √3 / 18g’ (3) = 2 * 3 = 6Теперь найдем предел отношения производных при x, стремящемся к 3:lim (x-> 3) f’ (x) / g’ (x) = lim (x-> 3) (√3 / 18) / 6 = (√3 / 18) / 6 = √3 / 18 / 6 = √3 / 108Таким образом, предел функции f (x) при x, стремящемся к 3, равен √3 / 108. Ответ: √3 / 108.ChatGPT- 4о – mini

Для нахождения предела функции (f (x) = \frac {\sqrt {x} – \sqrt {3}} {x^2 – 9}) при (x) стремящемся к 3, подставим (x = 3):

[f (3) = \frac {\sqrt {3} – \sqrt {3}} {3^2 – 9} = \frac {0} {0}]

Это неопределенность вида (\frac {0} {0}). Чтобы устранить ее, можно воспользоваться правилом Лопиталя или преобразованием. В данном случае попробуем преобразовать числитель.

Используем формулу разности квадратов для знаменателя:

[x^2 – 9 = (x – 3) (x +3)]

Теперь мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

[f (x) = \frac {(\sqrt {x} – \sqrt {3}) (\sqrt {x} + \sqrt {3})} {(x – 3) (x +3) (\sqrt {x} + \sqrt {3})} = \frac {x – 3} {(x – 3) (x +3) (\sqrt {x} + \sqrt {3})}]