(НЕ)страшная математика: как ее понять и прокачать свой мозг

Эти три злодея – математический ум, процедурный подход к дисциплине и избыточное тестирование (а вдобавок еще и определенное системное неравенство) – работают абсолютно синхронно и порождают ужасный опыт, от которого мало кто оправляется. Мало того, некоторые из тех, кто пережил этот кошмар (обычно богатые и влиятельные личности), противостоят тем, кто пытается изменить ситуацию, стремясь сохранить сложившийся порядок вещей. Они ведь выдержали, почему бы не заставить и других пройти тем же путем? Я отказываюсь уступать этим людям, и мое постоянное сопротивление принесло мне за эти годы несколько боевых ран22. По завершении последнего проекта – я участвовала в создании новой системы обучения математике в штате Калифорния – на меня обрушился шквал писем с ненавистью и угрозами от группы людей, стремящихся дискредитировать мои исследования и работу23. Я продолжаю эту борьбу и по сей день, потому что знаю, что математику можно воспринимать совершенно иным, прекрасным образом – через разнообразие, через многоплановый подход. И когда люди смотрят на математику под другим углом, даже в рамках жесткой культуры успеваемости, пронизывающей учебные заведения, они получают удовольствие от нее и добиваются высоких результатов24.

К счастью, не все люди, добившиеся успеха в нынешней системе преподавания математики, сражаются за ее сохранение в прежнем виде. Я рада сотрудничать с выдающимися математиками, инженерами и учеными, которые понимают, что нам нужны кардинальные изменения в методах преподавания и изучения этого предмета25. Юджиния Ченг – один из математиков, которыми я восхищаюсь, – посвятила бо́льшую часть своей карьеры попыткам изменить представления людей о том, чем является и чем может быть математика. Она точно подмечает, что мы не уделяем достаточно времени тому, чтобы дарить молодежи радости математики; вместо этого мы стараемся научить их прыгать сквозь непонятные обручи, поощряем запоминать методы и правила, которые, вероятно, мало помогут им в жизни, а то и вовсе не пригодятся26.

Связь между мышлением и познанием

Есть много причин для того, чтобы думать о математике по-другому. Важное исследование в этой области провел Лан Чэнь, нейробиолог и профессор Университета Санта-Клары27. Уже давно известно, что учащиеся с положительным отношением к учебе добиваются более высоких результатов28. Позитивный подход снижает тревожность, повышает мотивацию и увеличивает настойчивость учеников29. Чэня интересовало более детальное изучение этой взаимосвязи, чтобы выявить задействованные неврологические механизмы и факторы, способствующие или препятствующие оптимистичному настрою.

Профессор и его коллеги пришли к выводу, что отношение учащихся к математике – положительное или отрицательное – коррелирует с их успеваемостью по этому предмету (но никак не связано с другими дисциплинами). Исследования учитывали также показатель IQ30 испытуемых, их возраст, рабочую память[11] и наличие/отсутствие страха перед математикой31. Оказалось, что положительное отношение напрямую связано с активностью гиппокампа – точнее, с активацией правой и левой его областей. Это действительно важно, потому что многие люди – как относящиеся к научному миру, так и за его пределами – полагают, что их отношение не связано с математическими когнитивными способностями, что за них отвечают какие-то другие, неопределенные части мозга. Однако гиппокамп – одна из самых математических областей мозга, играющая важную роль в обучении и пространственном ориентировании. Возможности гиппокампа напоминают Google; нейробиолог Сиэн Байлок называет его «поисковой системой разума»32. Мы можем включить этот механизм у учеников, если начнем уделять больше времени тому, чтобы они получали удовольствие от занятий математикой, избавленной от тестов, оценок и других факторов, мешающих успеваемости. Чэнь обнаружил, что восприятие математики меняет гиппокамп, а значит, меняется и способ функционирования вашего мозга во время учебы33. На получение знаний уходит много денег и сил, но почти никто не обращает внимания на тот важный факт, что огромный рост успеваемости (и не только) происходит, когда меняется отношение и ощущения учащихся, формируется их математический образ мышления.

Ученые выяснили, что, когда людям, испытывающим боязнь математики, задают какие-нибудь математические вопросы, в их мозгу возбуждается тот же самый центр страха[12], который активируется при виде змей и пауков34. Существуют доказательства, что страх и тревога выводят из строя отдельные части нашего мозга, в том числе гиппокамп, что снижает эффективность обучения. И наоборот, позитивное мышление активизирует те же самые важные части мозга, что приводит к хорошей учебе и более высокой успеваемости. Уже один этот факт должен заставить отказаться от использования в математических классах методов, вызывающих тревогу, и поощрять подход, который формирует положительное отношение к математике. Именно так мы обучаем школьников средних и старших классов в летних лагерях, организованных Стэнфордским университетом, – результат налицо35.

Первый летний лагерь, где мы преподавали, предназначался для учеников средней школы. Тесты успеваемости продемонстрировали, что за четыре недели, проведенные с нами, они получили прирост, эквивалентный 2,8 года обучения в школе36. Школьники изменили образ мышления, поверили в собственный потенциал, наладили отношения с математикой. Сочетание этих перемен проявило всю свою мощь.

Результаты настолько впечатляли, что опытные педагоги из моей команды центра Youcubed в Стэнфорде начали проводить семинары для других учителей, чтобы они могли создавать аналогичные лагеря37. Исследование, проведенное в десяти школьных округах США, показало такие же положительные результаты в успеваемости38. Учащиеся не только добились значительного прогресса в результатах к окончанию лагеря, но и по возвращении в свои школы существенно повысили оценки GPA[13] по математике в следующем семестре по сравнению с учениками, не поехавшими в лагерь39. Что же в этих лагерях настолько изменило траекторию обучения? Они научились тому подходу к математике, о котором я расскажу в этой книге.

Новая модель для успеха

Мои собственные знания о подходах к образованию, которые меняют опыт учащихся, черпаются из нескольких различных источников. Я учусь у нейробиологов из Стэнфорда, с которыми работаю: за последние годы они сделали невероятные и важные открытия и объяснили, как наш мозг обрабатывает математическую информацию40. Я также прохожу обучение по когнитивной психологии у специалистов, исследующих, каким образом люди учатся. Такие ученые, как Кэрол Дуэк, Андерс Эрикссон и Джим Стиглер, написали книги, в которых изложили бесценные знания из области психологии41. Однако из многолетней практики преподавания я знаю, что, хотя эти нейроученые и психологи предлагают крайне важные концепции, их потенциал максимально раскрывается только в сочетании со знаниями, которыми обладают педагоги. Ведь именно педагоги имеют полное представление об обучении в школе и дома, и именно специалисты в сфере образования изучают разные учебные среды, чтобы понять влияние различных подходов к преподаванию и обучению. Понимание математики – это базовая форма грамотности, которая необходима каждому человеку, и этого может добиться каждый. В этой книге я делаю то, чего никогда не делала раньше: объединяю важнейшие идеи ученых в единую модель преподавания и изучения.

Именно эта методика, которую я и другие использовали в течение последних нескольких лет, обеспечила значительный и долговременный рост успеваемости42.

⁂

Популярные книги по математическому образованию описывают устройство и способы организации школьных кабинетов, которые могут оказаться продуктивной средой для развития мышления и обучения школьников и полезными для учителей, но зачастую ничего не упоминают о создании важных математических отношений43. Эти отношения важны – между взрослыми и учащимися, между самими учащимися, с самими собой. Я знаю, что позитивные математические отношения возникают благодаря двум важным направлениям работы: одно из них включает трансформацию той математики, с которой люди имеют дело, – от узких вопросов к широким, приветствующим разнообразие творческих идей; другое включает поощрение уважительных сотруднических отношений между людьми. Эта книга содержит информацию о способах достижения обеих целей и вдохновляющие примеры людей, которые прошли этот путь и добились потрясающих результатов.

Я надеюсь, что идеи, изложенные в этой книге, помогут вам и тем, с кем вы работаете, сформировать прекрасные отношения с математикой. Кем бы вы ни были – родителем, учащимся, педагогом или просто человеком, который хотел бы улучшить свои взаимоотношения с этой дисциплиной, – я приглашаю вас встретиться или заново познакомиться с двумя понятиями, которые оживут на следующих страницах: математическим разнообразием и ish-математикой. Эти идеи рождаются, когда разнообразие, обеспечиваемое разными людьми и идеями, сочетается с той версией математики, которая достаточно открыта и «ish-на», чтобы извлечь пользу из этого разнообразия. Если вы по-настоящему познакомитесь с этой версией, она изменит вас. Возможно, после этого, если вас когда-нибудь остановят на улице и попросят описать математику, вы расскажете не о своем неприятном опыте или оценках, а о том, как она освещает ваш мир.

2. Учимся учиться

Оказывается, есть большая разница в изучении математики у людей, более способных к ней и менее. Первые достигают высоких результатов не потому, что родились какими-то особенными, а потому, что знакомы с некоторыми идеями и методами работы, о которых я расскажу в этой главе. Обычно о них узнают от друзей или членов семьи, поскольку в школьной системе подобные вещи обсуждают редко. Но когда у учащихся появляется информация, позволяющая им иначе взглянуть на математику, их пути обучения меняются.

Важно, что другому, более успешному подходу к пониманию математики вполне можно научиться. И эффект такого измененного подхода выходит за рамки одной науки: исследования показывают, что методы и представления, которые способствуют повышению успеваемости учащихся, одновременно способствуют улучшению их жизни. Измененный подход начинается с метакогнитивных действий, которые позволяют людям легче решать проблемы, формулировать мысли и задавать вопросы, мотивировать себя, выстраивать лучшие отношения и повышать успешность своей работы. Воздействие на учеников впечатляет: они получают огромный прирост в результатах, причем это преимущество распространяется на все возрастные группы и все предметы.

В ходе своего сотрудничества с педагогами я обнаружила, что, по мнению большинства людей, метапознание (метакогнитивные процессы) – это процесс размышления о собственном мышлении. Я предпочитаю воспринимать его как изучение процесса обучения, как приобретение навыков эффективности в жизни. Метапознание играет важную роль в развитии креативности, независимости, саморегулирования, гибкости и способности решать сложные проблемы. Несмотря на доказательства влияния методов метапознания на учебу и успеваемость, они редко применяются на уроках математики. Я сомневаюсь, что такие идеи регулярно поощряются на работе или дома. Подобное отсутствие мета-когнитивного обучения имеет серьезные последствия для долгосрочного успеха человека в математике и за ее пределами. К счастью, существует определенный набор стратегий, доступных любому человеку. Рассказывая о них в этой главе, я приглашаю вас в метакогнитивное путешествие, которое улучшит не только вашу учебу, но и жизнь в целом.

Новая теория познания

В 1979 году профессор психологии из Стэнфорда Джон Флейвелл разработал теорию метапознания (метакогнитивных процессов), и с тех пор исследователи изучают ее влияние44.

Приставка «мета–» происходит от греческого слова μετα, означающего «после, за», так что метапознание подразумевает важные процессы, выходящие за рамки мышления, – такие как планирование, отслеживание и оценивание. Флейвелл описывает метапознание как совокупность знаний о себе, о поставленной задаче и о стратегиях, поэтому неудивительно, что оно способствует решению задач, поддерживает математическое разнообразие и повышает эффективность работы45. В этой главе я поделюсь стратегиями, которые помогут вам сформировать метакогнитивный взгляд и многоплановый подход к математике, чтобы вы могли применить их при чтении книги.

В 2015 году широкомасштабная Международная программа по оценке образовательных достижений учащихся (PISA) исследовала подходы к обучению у 15 миллионов человек и их связь с успеваемостью по математике. Результаты показали, что худшие показатели были у учеников, опиравшихся исключительно на запоминание. Самые высокие результаты продемонстрировали те, кто придерживался «реляционного» подхода или метода «самоконтроля»46: они либо старались находить связи между идеями (смотрите главу 6), либо стремились следить за своей учебой. Оба метода являются квинтэссенцией метакогнитивного подхода. Организация экономического сотрудничества и развития (ОЭСР), которая занимается проведением тестов PISA по всему миру, разработала «компас обучения 2030», определяющий «знания, навыки, установки и ценности, которые необходимы учащимся для реализации своего потенциала и внесения вклада в благополучие своих сообществ и планеты в целом»47. Метакогнитивные навыки занимают центральное место в этих рекомендациях, предназначенных для того, чтобы сформировать людей, которые эффективно функционируют в обществе и могут внести значимый вклад в его развитие.

Джон Хэтти – специалист по метаанализу (методу, когда объединяется несколько различных научных исследований, а полученные результаты имеют широкую применимость). Хэтти провел новаторское исследование, рассматривавшее различные подходы в образовании, для каждого из которых определялся размер эффекта. Размер эффекта – это величина, отражающая степень взаимосвязи между двумя переменными. Чтобы понять, насколько сильно различные подходы влияют на успеваемость, Хэтти изучал связь между ними в образовании и успеваемостью учащихся. Он проанализировал 138 различных образовательных подходов, упоминаемых в 70 000 исследований, которые охватывали 300 миллионов учеников, и обнаружил, что средний размер эффекта (определяемый в виде коэффициента d Коэна) для различных подходов составил 0,40. Чтобы понять, какие подходы стоит использовать, он сравнил эффективность всех существующих относительно этой величины. Один из подходов сильно выделялся среди остальных размером эффекта 1,33: учащиеся составляли отчеты о своем прогрессе. Среди других подходов, показавших высокую результативность, оказались дискуссии на занятиях (0,82), использование метапознания (0,75) и изучение методов решения проблем (0,68). Среди подходов, которые отличались столь низким уровнем влияния, что не оправдывали применения, оказались индивидуализированное обучение (0,23), системы внешней отчетности (которые я рассматриваю как навязанные тесты!) (0,31) и распределение по способностям (0,12)48. Метаанализ Хэтти обобщает результаты тысяч исследований, поэтому из него нельзя почерпнуть подробности, как применяются те или иные подходы, однако он дает полезные с точки зрения статистики подсказки, каким методикам отдать предпочтение.

«Метапознанием» именовалась только одна из категорий, однако то действие, которое оказывает наибольшее влияние – учащиеся сообщают о своем прогрессе, – весьма метакогнитивно; ниже в этой главе я расскажу о некоторых способах предоставления ученикам такой важной возможности.

В школе и на работе хорошо видно, кто освоил метакогнитивные стратегии, а кто – нет. Наверное, все мы знаем людей, которые впадают в уныние, когда перед ними ставят сложные задачи, полагая, что не справятся с ними, и сдаются, столкнувшись с какими-либо препятствиями. Вероятно, мы также знакомы с лицами, которые не воспринимают идеи, отличные от их собственных, а при попытках чем-нибудь поделиться с ними замыкаются в себе.

Напротив, человек, освоивший метакогнитивные стратегии, скорее всего, проявляет любознательность и любопытство, он стремится учиться и приветствует различные точки зрения. Если же он столкнулся с затруднением, он может вернуться назад и проанализировать, что он знает и должен знать, или выбрать одну из других освоенных стратегий. Важно, что подобные люди получают удовольствие от процесса решения проблем и учебы. Такое сложное комбинирование правильного образа мышления и планирования, реализующегося при наличии метакогнитивных способностей, происходит в передней префронтальной коре нашего мозга49.

Когда люди учатся быть метакогнитивными, они не только улучшают навыки решения проблем, но и формируют более просоциальное поведение, совершенствуют навыки коммуникации, развивают эмпатию и когнитивный контроль[14]50. Некоторые люди учатся задействовать различные способы, прибегая в жизни к сложной комбинации ментальности и мышления высшего порядка, благодаря чему становятся более успешными51. Как отмечают Донна Уилсон и Маркус Коньерс, два эксперта по «нейробиологическому обучению», если когнитивные функции – это музыканты, то метакогнитивные процессы – это дирижер52.

Я вижу потенциал метакогнитивного подхода в трех различных сферах жизни и работы. Во-первых, область, которую чаще всего ассоциируют с метапознанием – это самоанализ, связанный с нашим обучением и социальным взаимодействием. Когда я преподаю учителям в Великобритании и США, я часто прошу их проанализировать какой-либо проведенный ими урок. Я заметила одну интересную вещь. Некоторые учителя невероятно вдумчивы, они вспоминают детали уроков и задумываются над возможностью сделать что-то иначе, разбирают важные взаимодействия в классе и свою роль в них. Другие вообще не склонны к анализу, они лишь ограничиваются фразами, что урок прошел нормально или хорошо. Неудивительно, что рефлексирующие люди всегда оказываются более эффективными преподавателями и зачастую вырастают в лидеров в сфере образования. Важно отметить, что самоанализу может научиться каждый, особенно если учителя, родители и другие люди будут поощрять этот процесс.

Второй аспект метапознания включает в себя различные способы концентрации на задаче, желание и способность разобраться в ней и поразмышлять о том, что туда заложено. Метакогнитивная личность будет искать разные пути решения – возможно, возвращаясь к проблеме, анализируя, какая информация необходима, размышляя вслух или упрощая вопрос. Тот, кто проработал множество стратегий, может выбрать одну из них или попробовать интегрировать сразу несколько подходов.

Третья часть метапознания – это оценивание, способность отслеживать собственный прогресс и задумываться над тем, что необходимо для достижения целей. Именно здесь важнейшую роль играют учителя и родители: они указывают ученикам, куда им следует двигаться и как этого добиться. Специалисты в области образования Пол Блэк и Дилан Вилиам предложили подход, который они назвали «оценивание для обучения», определив его как информирование учащихся о том, где они находятся сейчас, где им следует быть и как сократить этот разрыв53. Такая информация формирует ответственных учеников, способных регулировать ход обучения, и она не коррелирует с оценками, выставляемыми на уроках математики54.

Применяйте метапознание на практике

Когда я работаю с учителями, я часто сталкиваюсь с тем, что они, может, и осознают ценность метакогнитивного подхода, но не знают, каким образом развить его у себя или своих учеников. В следующем разделе я расскажу о некоторых наиболее эффективных методах, которые я использовала сама или наблюдала, как применяют другие, а также о реакции тех, на ком их опробовали. Не будет преуменьшением сказать, что потенциал многих учащихся раскрывается после изучения стратегий.

Говорите о ценности метапознания Логичным началом метакогнитивного обучения является рассказ о важности различных способов взаимодействия со знаниями, которые доступны всем нам. Влияние метапознания на успеваемость учащихся показывают многие исследователи55. Важно доносить до учащихся, что существуют разные способы взаимодействия с математикой (и не только с ней!) и что выбор подхода действительно имеет значение.

Донна Уилсон и Маркус Коньерс являются специалистами в сфере нейробиологических подходов к обучению, и одна из их стратегий для учеников помладше – предложение нарисовать собственный «мозговой автомобиль»: они говорят школьникам, что те способны «управлять своим мозгом»56. Ученики могут представлять, что ведут свой автомобиль, уклоняясь от отвлекающих факторов или возвращаясь задним ходом, чтобы потом двинуться в другом направлении.

Но сообщение о важности метакогнитивного подхода принесет пользу только в том случае, если мы при этом будем поощрять любые способы становиться метакогнитивными личностями – различные возможные стратегии и способы мышления и общения. Я рекомендую сначала объяснить людям важность метакогнитивного подхода, а затем помочь им освоить ряд метакогнитивных стратегий.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Сноски

1

Английский суффикс – ish означает как наличие свойства, так и его неполноту. Далее автор объяснит, что подразумевает под словом math-ish, и будет использовать – ish в качестве компонента других неологизмов. (Здесь и далее, если не указано иное, прим. переводчика.)

2

В описываемое время школьники сдавали экзамены на аттестат со следующими возможными оценками: A, B, C, D, E, F, G. Еще ниже была оценка U, означавшая несдачу экзамена.

3

Английское слово calculus не имеет точного соответствия в русском языке. Так называют и математический анализ в целом, и отдельные области, где мы используем термин «анализ» (например, vector calculus – векторный анализ) или «исчисление» (например, differential calculus – дифференциальное исчисление). В школе обычно ограничиваются основами интегрального и дифференциального исчисления.

4

Марш смерти – пеший переход, к которому вынуждали военнопленных или заключенных.

5

Американская система образования делится на три уровня: начальная школа (1–5-й классы), средняя школа (6–8-й классы) и старшая школа (9–12-й классы).

6

SET – стандартный тест оценки готовности к высшим учебным заведениям США, который проходят старшеклассники. 800 баллов – максимальный результат по математике.

7

Общественный колледж – учебное заведение, обучение в котором ведется по двухгодичной программе. Выпускникам таких колледжей присваивается степень ассоциата (associate’s degree), позволяющая работать на младших должностях или продолжить обучение в университете. (Прим. ред.)

8

Курс Алгебра 2 в американской средней школе включает линейные уравнения, многочлены, тригонометрию, показательные и логарифмические функции и так далее.

9

Курсы, помогающие ученикам, которые имеют академические недостатки или пробелы в знаниях и навыках. (Прим. ред.)

10

Имеется в виду синаптогенез – процесс формирования синапсов (связей) между нейронами в нервной системе на протяжении всей жизни человека. (Прим. ред.)

11

Рабочая память – тип памяти, который отвечает за временное хранение и обработку информации, необходимой для выполнения различных задач. Она играет ключевую роль в обучении и понимании речи. (Прим. ред.)

12

Имеется в виду миндалевидное тело – область мозга, клетки которой активируются при ощущении страха и агрессии. (Прим. ред.)

13

GPA (Grade Point Average) – средняя оценка за школьные предметы (от 0,0 до 4,0). К ней можно свести учебные показатели любой страны.

14

Когнитивный (или исполнительный) контроль – способность мозга управлять и регулировать мыслительные процессы, внимание и действия. Он включает в себя такие функции, как планирование, принятие решений, решение задач, переключение между задачами и подавление импульсивных реакций. (Прим. ред.)