Фантастическая алгебра: 7-9 класс

Андрей Швец

Фантастическая алгебра: 7-9 класс

Алгебра. Степени

Начнем со степеней. Для людей это просто одна из математических операций, но я знаю мир, в котором местные жители поклоняются и считают божеством ноль в нулевой степени. И в чем-то они правы, потому что 00 – неопределенность и может быть любым числом.

Например, нулевая степень любое число превращает в единицу.

Вы наверняка это знаете. Почти все люди это знают, но мало кто задумывался откуда это правило взялось. Вы, люди, – все готовы принять на веру.

А вот ноль в нулевой степени может быть любым числом.

Почему так – несложно разобраться даже человеку, но все равно удивительно. А затем эти свойства могут превратиться в другие, более сложные и еще более удивительные.

Вспомним основные свойства степеней. И вспоминать будем на примерах, заполняя пробелы.

Пример 1. Вычислить:

Если основания одинаковы, то степени просто ……………………..:

Просто решаем:

Пример 2. Раскрыть скобки

Если «степень возводится в степень», то ………..……. перемножаются:

Решаем:

Пример 3.Раскрыть скобки

По очереди возводим в …………….. все содержимое скобки.

Решаем:

Пример 4. Вычислить

В степень возводится и ……………, и знаменатель:

Применим это правило:

Пример 5. Упростить

К уже известным свойствам добавим еще и операции с отрицательными степенями:

То есть, если мы «переворачиваем» число, то меняется знак степени:

В примерах чаще используется формула:

Применим ее для решения задания:

Вам кажется странным, поклоняться нулю в нулевой степени. Но подумайте, почему 0/0 = x, где x – любое число. И почему 0/0=00. Впрочем, насколько я знаю людей – вам проще принять на веру что-либо, чем проверять самим. Кстати сказать, я была свидетелем одного разговора, в котором жители того мира смеялись над человеческой теорией большого взрыва, мол, как если бы все появилось из нуля. Вы же спросите у них, как что-то может появится из полной неопределенности, такой как 0/0? Впрочем, даже ваша математика, допускает что некоторые функции превращают эту неопределенность в 1, а это уже что-то. Это рождение мира!

Андрей Владимирович Швец, репетитор (физика, математика) и литератор. По поводу занятий пишите по адресу: [e-mail]

Алгебра. Преобразование алгебраических выражений

Мне нравятся простые решения, но на одной из планет галактики Колесо телеги местные жители все усложняют ровно в два раза. Например, вместо того, чтобы назвать число 7 они говорят 6 и 8. Так же и с предметами. Они не видят реального чайника, но видят два одинаковых на некотором расстоянии друг от друга. Они все видят парами, не замечая настоящих тел, и считают, что живут в мире близнецов.

Но мы не будем усложнять. Наоборот, вспомним основные приемы упрощения алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить

6aba3c4*73bz2

Сначала разбираемся с коэффициентами, перемножаем их и получаем ….. , потом с переменной а – перемножаем и получаем а4 , теперь с b – …… . Переменные с и z не имеют подобных – поэтому остаются в той же степени. В результате получаем:

42a ⬚ b4c4z2

Пример 2. Упростить

Тоже разбираемся по очереди, сначала с числами, а потом с каждой ……………………… по отдельности.

Этот же принцип используется и при сложении/вычитании. Груши с грушами, а яблоки с яблоками – как говорил дедушка моего тестировщика.

Пример 3. Упростить

ab2 + ab – a3 + 4ab+5a2 – 4ab2 +a2

Для начала вытянем на свет самое скромное число, которое мы очень часто лишь подразумеваем – 1.

1ab2 + 1ab – 1a3 + 4ab+5a2 – 4ab2 +1a2

Теперь сложим подобные с подобным. Но, во-первых, мы должны помнить, чтобы быть подобными одночлены должны отличаться только коэффициентами, а сами переменные и их степени не должны отличаться. Во-вторых, при сложении складываются/вычитаются, только коэффициенты, все же остальное не меняется.

Получаем:

1ab2– ⬚abab2 = -32

1ab + 4ab=⬚ab

⬚aaa2 +12=62

А вот для а3 подобного не нашлось, поэтому так и оставляем. Результат:

ab2 + ab – a3 + 4ab+5a2 – 4ab2 +a2=-3ab2 + 5ab –a3 +⬚a2

Вспомним еще, что при умножении одночлена на скобку, мы можем не всю скобку умножать сразу, а по отдельности – все что в этой ………….. находится. Причем, при перемножении берем одночлен вместе со своим знаком.

Пример 4 Раскрой скобки

x -3x(2x – y +4)

Все что есть в ……………….. умножаем на -3x, и получаем

x – 6xxy – 12x = -2 + 3⬚x – 6xxy2+3

Вообще, ………… перед скобкой должен вас немного напрягать – при раскрытии скобок, знаки в ней поменяются.

Пример 5. Раскрыть скобки

(x-y)(4-z)

(x-3)(4-x)

(2a-b)(4a-2b+1)

Принцип – каждое с каждым. Сначала берем из первой скобки x и на него умножаем все что есть во второй скобке. Потом берем из первой скобки – -y и проделываем то же самое. Получаем:

(x-y)(4-z)=⬚x – xz -4y +yz

И проверяем на наличие подобных членов.

(x-3)(4-x)=4x-x2-12+3x=7x-x2+⬚x

Обрати внимание, что при ……………….. -3 на –x получили +3x

(2a-b)(4a-2b+1)=8a2-2ab

Пример 6. Вынести общий множитель за скобку

25xxy=5x(5x3+152+⬚y)

16x+4xyx=2x(2-2⬚+2y2-1)

Фактически, вынося, что-то за скобку – вы делите на это все, что в скобке. Но даже если такое правило для вашего человеческого мозга представляет сложность – просто проверяйте себя и мысленно опять раскрывайте скобки – должно получиться изначальное выражение.

Пример 7. Сгруппируйте попарно

2x -z -3y-7x=(2x–z) –(3y+⬚x)

3x -z -3y+5x=(3x–z) –(3y-⬚x)

Обратите внимание, что если перед вновь созданной скобкой стоит минус, то знаки в ней меняются. Опять можете проверить себя и мысленно раскрыть скобки – должно получиться изначальное выражение.

Жители Колеса телеги и себя видели только в раздвоенном виде, поэтому им весь их мир казался густонаселенным близнецами. Причем, если исчезал или появлялся один из близнецов – сразу исчезал или появлялся другой. Что естественно, потому что оба они были отображениями одного – настоящего. Но они этого не знали, и у них такое свойство близнецов (как среди людей, так и среди предметов) называлось "попарной запутанностью". И кстати, в вашем мире тоже есть похожее понятие – "квантовая запутанность". Может быть, не такие вы и разные?

Андрей Владимирович Швец, репетитор (физика, математика) и литератор. По поводу занятий пишите по адресу: [e-mail]