Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Николай Конон

Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Введение

Известны многочисленные свойства ряда натуральных чисел. Одно из них состоит в том, что для любого числа на числовой оси найдется пара чисел, отстоящих слева и справа на одинаковое числовое расстояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].

1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел

Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N+0 = N+U {0} [1].

Исследуем числовую ось натурального ряда N+0 (рис. 1)

N+0 = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k}

Рис. 1

Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство:

n – a = b – n. (1.1)

Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n.

Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N+0 показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно:

1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние δ.

2) Числовое расстояние δ, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:

δ = n – a = b – n. (1.2)

3) Из выражения (1.2) получаем:

a = n – δ; b = n + δ. (1.3)

4) При этом из выражения (1.2) также имеем:

n = a + δ = b – δ. (1.4)

5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна

a + b = 2n. (1.5)

6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна

b – a = 2δ. (1.6)

Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.

7) Из выражения (1.6) вытекает

δ =(b – a)/2. (1.7)

8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.

Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние δ.

Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.

Таблица 1

Число n

Симметричная пара чисел {(a, b)} числа n

Числовое расстояние δ

1

{(0,2)}

1

2

{(1,3),(0,4)}

1,2

3

{(2,4),(1,5),(0,6)}

1,2,3

4

{(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}

1,2,3,4

.

……………….

………

n

{(n–1, n+1), (n–2, n+2),…… (1, n+n-1), (0, n+n)}

1,2,3,.…n–1,n

где a и b – симметричные пары для числа n.

Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние δ, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.

Назовем числовое расстояние δ шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется

δ = (1,2,3,……… n). (1.8)

Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

Доказательство. Из свойств натуральных чисел N+0 известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде

ni+1 = ni + 1, (1.9)

Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать

ni+δ = ni + δ, (1.10)

где δ число равное 1, 2, 3.….

Тогда можно записать, что и

ni-δ = ni – δ. (1.11)

Отсюда имеем

ni = ni-δ + δ. (1.12)

Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем

ni – ni-δ = ni+δ – ni = δ. (1.13)

Далее если принять ni+δ = b, ni-δ = a, ni = n, то в новых обозначениях можно записать

n – a = b – n = δ. (1.14)

Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.

a = n – δ; b = n + δ.

Ввиду того, что δ = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.

В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

2. Исследование множеств симметричных пар

Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

C = {an,…ai,…a3, a2, a1, b1, b2, b3,… bi…bn }, (2.1)

где ai, bi. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

A = {a1, a2, a3,…an } и множества B = {b1, b2, b3,…bn }. (2.2)

Очевидно C = A U B.

Для нашего примера эти множества будут

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (ai, bi).

Действительно, имеем a1 = n–1, a2 = n – 2, a3 = n – 3, …ai = n – i, …….. an-3 = 3, an-2 = 2, an-1 = 1, an = 0, и b1 = n + 1, b2 = n + 2, b3 = n + 3, …….. bi = n + i,……. bn-1 = n + n – 1, bn = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

ai = n – i, bi = n + i, (2.3)

где i = 1,2,3, …….n.

Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

ai + bi = 2n и bi – ai= 2i, (2.4)

где i = 1,2,3, …….n.

Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. δ=i.

Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать

A = nchA U chA;

B = nchB U chB, (2.5)

где nchA и chA – подмножества нечетных и четных чисел множества A;

nchB и chB – подмножества нечетных и четных чисел множества B.

Для указанного выше примера, имеем

nchA= {1, 3, 5, 7, 9} и chA= {0, 2, 4, 6, 8}.

nchB= {11, 13, 15, 17, 19} и chB= {12, 14, 16, 18, 20}.

Очевидно, и это не требует доказательств, что мощности подмножеств |nchA| и |chA| одинаковы, т.е. равны. Также можно сказать и о подмножествах |nchB| и |chB|, мощности которых также равны между собой.

Легко видеть, что мощности четных подмножеств |chA| и |chB| равны друг другу, и мощности для нечетных подмножеств |nchA| и |nchB| также равны друг другу, при этом само число n, являющееся центром симметрии, и ни в какие множества не входит.

Таким образом, можно записать следующие тождества:

|chA| = |chB|;

|nchA| = |nchB|;

|chA| = |nchA|;

|chB| = |nchB|; (2.6)

|chA| = |nchB|;

|chB| = |nchA|;

|nchA| = |chB|;

|nchB| = |chA|.

Отметим и то, что симметричная пара может состоять либо только из нечетных чисел, либо только из четных чисел, но ни как по-другому, т.е. пара (ai,bi) не может иметь одновременно разную чётность. Этот очевидный факт является очень важным и в дальнейшем будет использован. Чтобы увидеть правильность сказанного, следует внимательно посмотреть на выражения (2.4), так как в правых их частях стоят четные числа, и, следовательно, суммы левых частей должны быть также четными, что возможно только тогда, когда два слагаемых в левых частях будут одновременно нечетными или четными.

Докажем следующую небольшую лемму.

Лемма 2. Любое четное число может быть однозначно отнесено к натуральному числу вдвое меньшему данного четного числа.

Доказательство. Действительно, так как четное число n выражается формулой ch=2n, то разделив его на двойку, получим утверждаемое натуральное число, что и доказывает высказанное утверждение.

Рассмотренные выше соображения позволяют сформулировать следующее важное утверждение или теорему.

Теорема 1. Любое число n представимо суммой чисел любой симметричной пары, отнесенной к числу 2n, вдвое меньшему данному числу, т.е. равной удвоенному значению числа n, находящемуся на середине отрезка числовой оси [0;2n].

Доказательство. Действительно, согласно выражению (2.3) на числовой оси [0;2n] можно составить n симметричных пар (ai,bi) таких, что ai + bi = 2n. Таким образом, утверждение теоремы 1 доказано.

Из сформулированной выше теоремы следует две леммы, доказательства которых очевидны.

Лемма 3. Любое четное число 2n представимо суммой симметричных пар четных или нечетных чисел, количество которых равно n.

Доказательство указанного утверждения фактически приведено выше.

Из рассмотренного выше исследования симметричных пар чисел нас интересует класс нечетных симметричных пар чисел, среди которых класс симметричных простых чисел.

3. Симметричные пары простых чисел

Рассмотрим в первую очередь интересный класс симметричных пар чисел из множества нечетных чисел.

В предыдущем разделе было показано, что числа симметричной пары всегда имеют одинаковую четность, т.е. состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел.

Исследуем подмножества симметричных пар нечетных чисел, сумма которых, конечно, является четным числом.

Как было показано в предыдущем разделе, оба подмножества нечетных чисел nchA множества A и nchB множества B имеют однозначное соответствие и, следовательно, имеют одинаковые мощности или то же самое равное количество элементов.

Выделим в каждом из них еще по два подмножества, а именно:

Подмножество составных нечетных чисел S и подмножество простых чисел P, которые запишем следующими выражениями

nchA = SA U PA;

nchB = SB U PB, (3.1)

где SA, SB – подмножества составных нечетных чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно;

PA, PB – подмножества простых чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно.

Так в примере, приведенном выше

SA= {9}, а PA= {1, 3, 5, 7}

SB = {15} и PB = {11, 13, 17, 19}.

Исследуем вопрос, как будут соотноситься элементы указанных подмножеств, при формировании симметричных пар конкретного числа n.

Анализ рис. 2 показывает, что при формировании симметричных пар числа n будут участвовать как составные нечетные, так и простые числа. Из (2.6) имеем, что мощность |nchA| подмножества элементов нечетных чисел nchA множества A будет равна мощности |nchB| подмножества нечетных nchB множества B, т.е. имеем

|nchA| =|nchB|. (3.2)

Тогда, исходя из того же выражения (2.6) можно записать

|nchA| =|SA| + |PA| = |nchB| =|SB| + |PB|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|SA| + |PA| = |SB| + |PB|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

SA U PA<=>SB U PB. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств SA и PA однозначно соответствуют объединению подмножеств SB и PB.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a1 n b1

Рис. 2

Запишем подмножество nchA. Оно будет

nchA ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nchB будет состоять из следующих элементов

nchB ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nchA| = |nchB| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

SA = {15;9}, PA = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |SA| =2, а |PA| =6.

Аналогично

SB = {21;25;27}, PB = {17;19;23;29;31}, при чем, |SB| =3, а |PB| =5.

Построим таблицу соответствия подмножеств nchA и nchB для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар

Таблица 2

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел

Таблица 3

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

15

9

PA

13

11

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

SB

21

25

27

PB

17

19

23

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).

Далее, рассмотрим случай числа n=32.

Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют

nchA ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nchA| =16.

Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет

SA ={27;25;21;15;9}, |SA| =5.

Подмножество простых чисел и его мощность составляет

PA={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |PA| =11.

Соответственно для подмножества В

nchВ ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nchВ| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.

Соответственно,

SВ ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |SВ| =9,

PВ ={37;41;43;47;53;59;61}, |PВ| =7.

Таблица симметричных пар тогда будет

Таблица 4

nchA

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

27

25

21

15

9

PA

31

29

23

19

17

13

11

7

5

3

1

nchВ

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

SВ

33

35

39

45

49

51

55

57

63

PВ

37

41

43

47

59

61

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).

Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:

1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);

2) только нечетных составных чисел;

3) только простых чисел.

Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства

|SA|< |SВ|, (3.6)

и соответственно

|PA| > |PВ|. (3.7)

Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.

Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением

π(n) = n/ln(n), (3.8)

где ln – натуральный логарифм.

Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно

π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)

Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать

|PA|= π(n), а (3.10)

|PB|= π(2n) – π(n). (3.11)

Для того чтобы определить справедливость неравенства |PA| > |PВ| исследуем разность

|PA| – |PВ| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)

Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем

2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)

Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)

ln(2n) > ln(n). (3.14)

Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем

1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)

Отсюда получаем положительную следующую разницу

|PA| – |PB| > 0, (3.16)

что доказывает справедливость утверждения (3.7).

Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство

|SB| – |SA| = |PA| – |PB|. (3.17)

Тогда с учетом (3.16) получаем

|SB| – |SA| > 0, (3.18)

что доказывает справедливость утверждения (3.6).

Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.

4. Таблица симметричных простых пар чисел

Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.

В таблице в первой строке и первом столбце P1 обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.

Таблица 5

dp 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1