La Didáctica y la Dificultad en Matemática

En Zan (2007) se pone en evidencia el hecho de que son los estudiantes considerados «mejores» los más interesados en la explicación dada por los docentes de un error cometido, mientras que los otros parecen desinteresarse.

Parece oportuno entonces, en primer lugar, hacer que, por parte de los estudiantes, haya plena conciencia de su propio error, en el sentido que se creen situaciones en las cuales el estudiante se convenza que él pueda corregir sus errores y cómo hacerlo.

Entre los instrumentos adoptados para lograr este propósito se utiliza en primer plano todo lo relacionado con la meta-cognición, un buen uso específico de la discusión colectiva, para la evaluación participativa y la auto-evaluación.

Cada uno de estos cuatro términos, sin embargo, debe entenderse desde un punto de vista técnico y no debe considerarse intuitivo o de sentido común. Existen excelentes estudios sobre cada uno de estos, en el campo específico de la matemática; habiendo decidido dar al libro otra dirección, nos limitamos aquí a dar sólo indicaciones bibliográficas para quien desee ahondar en el tema; para facilitar este trabajo, nos limitamos a un mínimo de textos en italiano, advirtiendo que en cada uno de ellos se encontrará abundante bibliografía.

Sobre la meta-cognición en general, véase Cornoldi (1991) (útil también en estudios sobre dificultad del aprendizaje); Cesare Cornoldi y sus colaboradores han estudiado de manera específica la meta-cognición en matemática; por ejemplo, entre los más recientes y específicos, ver: Cornoldi, Caponi, Falco, Focchiatti, Lucangeli, Todeschini (1995).

Sobre la discusión colectiva, véase Bartolini Bussi (1989).

Sobre la evaluación participativa y la auto-evaluación, insertada también en un ámbito más general, véase Fandiño Pinilla (2006).

1.7. Influencia de los factores psicológicos sobre la dificultad

Es cierto, la bibliografía está llena de estudios sobre la influencia de factores psicológicos sobre las dificultades, algunos de los cuales ya mencionamos. Para comprender a fondo, debemos siempre saber distinguir el punto de vista del docente del punto de vista del estudiante.

Nos limitaremos a mencionar algunos entre los más interesantes, sin entrar en detalles y limitando al mínimo las referencias bibliográficas.

Empezamos con el papel que juegan conceptos como estima y autoestima; «estima» en dos sentidos, aquel que el docente tiene del estudiante A, estima que A advierte por parte del docente; estima que A tiene de sí mismo en general y de sí mismo como un agente en el mundo matemático en particular. Aquí las cosas están entrelazadas fuertemente; si el estudiante no siente estima por parte de su docente, debe tener reacciones para remediar esta laguna; que puede ser constructiva o destructiva. Si el estudiante siente la estima de parte del docente, puede tener diversas reacciones: tratar de conservarla a toda costa, o intentar merecerla, con diferentes comportamientos a veces decisivos en sus resultados para el aula. Volveremos sobre este punto.

Hemos visto cómo el estudiante puede tener imágenes de la matemática que se transforman en convicciones: miedo, sentimiento de pérdida, confusión, laguna en la memoria, casualidad en la realización de las pruebas, auto-convicción sobre la falta de capacidad, de inteligencia, necesidad de una predisposición natural etc. A éstos se adjuntan los factores psicológicos que figuran en el párrafo anterior.

Consideramos entonces la pareja motivación - volición (Pellerey, 1993; D’Amore, 1999); por un lado, es tarea del docente crear motivaciones para el trabajo; y la necesidad del estudiante de hacerse cargo de su propio aprendizaje, como responsabilidad personal (se denomina volición, desde un punto de vista psicológico, el desear hacer y no sólo el hacer), ya había sido puesto en evidencia por Guy Brousseau en la teoría de situaciones desde los años ’70 (Brousseau, 1986; D’Amore, 1989a, 2003). El docente puede motivar el tiempo que quiera, pero si el estudiante no desea acceder al conocimiento, no acepta la devolución, no se hace cargo personal de su propio aprendizaje, no construirá el conocimiento. Lo que hará será participar, más o menos activamente, en el «juego» que es vivir la vida escolar en un ámbito que estudiaremos en detalle en el Capítulo 4.

La meta-cognición, que ya hemos hecho sentir en el párrafo anterior, también se inscribe dentro de este párrafo; la enseñanza de la meta-cognición, por décadas, ha estado evidenciada como una actividad necesaria en el proceso de enseñanza-aprendizaje específico de la matemática (Schoenfeld, 1987; D’Amore, Martini, 1997a).

Todavía hay mucho que decir, pero este libro no está concebido en el sentido psicológico, debido a la formación de los autores; queremos limitarnos sólo a algunas indicaciones para completar, y así llegar rápido a los Capítulos 2, 3 y 4 que son específicos de la didáctica de la matemática.

Sin embargo, no podemos dejar de mencionar aquí el gran capítulo de las estrechas relaciones que se encuentran entre las convicciones de los docentes y el fracaso de los estudiantes; las primeros orientan la labor del aula y, por tanto, determinan el comportamiento y las expectativas de los estudiantes; en ocasiones el docente ni siquiera es consciente de sus convicciones y, por tanto, el estudiante resulta orientado de manera tal que aún más es advertida como casual o contradictoria. (Sobre la epistemología implícita del docente, se pueden ver algunos artículos de Speranza, 1997; sobre las contradicciones epistemológicas que se revelan en el proceso de enseñanza - aprendizaje, véase D’Amore, 1987; sobre modernos análisis epistemológicos de las bases de la didáctica, véase D’Amore, 2003).

Por último, existen estudios clásicos que evidencian cómo expectativas creadas explícitamente y a priori por los docentes con respecto a la capacidad de los estudiantes elegidos al azar, vienen confirmadas a posteriori por la evaluación que los docentes dan a las actividades en el aula con los mismos estudiantes; lo cual es una fuerte demostración de que las convicciones (en cualquier sentido, no sólo epistemológicas) influyen significativamente la vida en el aula.

Aún más interesante es el hecho que estudiantes evaluados positivamente de esta forma realmente han mejorado sus resultados debido al aumento de la autoestima y a causa del deseo de conservar la estima de los docentes, los dos factores psicológicos ya vistos, pero que se entrelazan en una enmarañada madeja de interés excepcional.

Tal resultado se conoce como el efecto Pigmalión y fue revelado por primera vez en los estudios ahora considerados clásicos de Rosenthal, Jacobson (1968-1972), hoy muy citados (véase, por ejemplo, Canevaro, 1999).

1.8. Errores específicos

Es cierto que en matemática los estudiantes cometen errores específicos que parecen no poder ser generalizados bajo una teoría general; a estos va reservada una función específica. Creemos, sin embargo, que incluso a pesar de esta especificidad, podemos encontrar generalizaciones útiles que ayuden a los docentes a tomar decisiones ya sea en su acción sobre la transposición didáctica, ya sea en la elección de la ingeniería didáctica, ya sea en la evaluación.

Ejemplo 1: Área y perímetro

Tanto el libro de Fandiño Pinilla, D’Amore (2007) como en las investigaciones que lo precedieron y lo hicieron posible (citadas en el libro), se evidencian errores de los estudiantes en la evaluación de las relaciones entre el área y el perímetro de figuras planas. No entraremos en mayores detalles. Nos limitaremos a decir que, por ejemplo, muchos estudiantes están convencidos del hecho de que, si dos figuras A y B tienen el mismo perímetro, entonces también tendrán la misma área.

Una investigación efectuada con los docentes de estos mismos estudiantes ha mostrado ampliamente que este preconcepto albergaba también en ellos; y esgrimen como excusa el hecho de no haber tenido más información o cursos específicos que negaran esta aparente obvia verdad16. Como se ve, de un lado las convicciones de los docentes influencian significativamente las de los estudiantes;17 y, del otro, la voluntad que existe de modificar sus propias convicciones, incluso el tipo de contenido.

Entonces, ¿cómo intervenir en este «error» específico? Primero verificando bien la transposición didáctica y la ingeniería didáctica, verificando casos posibles de errores de interpretación en la comunicación, no sólo de aquellas explícitas, sino también de aquellas implícitas y que a veces dejan una marca mayor.

Ejemplo 2: Fracciones

Tanto en el libro de Fandiño Pinilla (2005a), como en los trabajos de investigación que lo precedieron (que se mencionan en la bibliografía), como en los trabajos de investigación que lo siguieron (véase, por ejemplo, Campolucci, Fandiño Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006), se evidencian infinidades de «errores» específicos hechos por los estudiantes que la literatura ha estudiado por décadas, clasificándolos desde un punto de vista netamente matemático y, por tanto, sin grandes éxitos didácticos.

Las investigaciones preliminares y tal vez, incluso más, las sucesivas, como la indicada, han mostrado ampliamente una vez más como los errores de los estudiantes tienen motivaciones y causas que residen en las convicciones de los docentes.

Por ejemplo, muy pocos de los docentes entrevistados han reflexionado sobre el hecho de que el típico «igual» que se menciona en la definición de las fracciones, cuando, precisamente, una unidad se divide en partes «iguales», es un término genérico que va interpretado según el contexto, por lo menos 12 contextos diferentes que el primer libro evidencia.

Por ejemplo, si se trata de dividir una figura plana en partes «iguales» en realidad quiere decir «equi-extensas»; si se divide un conjunto de personas en partes «iguales» en realidad se refiere sólo al número; si se divide un número en partes iguales, entonces se trata de realizar una operación de división (y a menudo es incierto si se habla de N o de Q, dado que en N la operación de división no es interna); si se divide una pizza en partes iguales, se hace referencia a una división abstracta que está fuera del contexto concreto al cual se recurre del objeto «pizza», porque «iguales» aquí tiene poco sentido concreto: nadie cortaría una pizza, por ejemplo, con un corte paralelo al plano del plato sobre el cual descansa, y nadie espera que las dos rebanadas de pizza obtenidas por un corte concreto, sean realmente «iguales» etc.

Las consideraciones que a este punto pueden seguir son totalmente idénticas a las hechas al final del ejemplo anterior y, por tanto, las omitimos.

Tendremos que hablar por mucho tiempo de la relación entre los conceptos (correctos) que se esperan del proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática y los misconceptos que se crean en la mente de los estudiantes o pre-existentes en la mente de los docentes. Muchos de estos serían ejemplos oportunos que podrían ser presentados aquí; sin embargo, el Capítulo 3 se dedica específicamente a este tema, con gran riqueza de ejemplos.

Pero volvamos a los métodos para remediar este estado de cosas.

El estudio cognitivo de los conocimientos reales de los estudiantes en un cierto dominio del saber matemático necesita de un análisis profundo y no basta una sola prueba o un sólo test, para llegar a una conclusión en este campo; valga para todos el siguiente ejemplo.

Niños de 5 años se colocan delante de una mesa sobre la cual se colocan 5 tacitas dispuestas en línea recta delante de los niños y 5 platitos, cada uno delante de una taza, por lo tanto, más cerca del grupo de niños.

Se pregunta a los niños: «¿Hay más tacitas o más platitos?». En el coro y sin duda alguna, cada uno a su manera, responden que las dos cantidades son iguales.

Ahora, ante la atenta mirada de los niños, dejando inmóviles los platitos, se dispersan las tacitas en la parte de la mesa comprendida entre los platitos y los niños, de modo tal que ocupen una superficie visiblemente más amplia que la anterior.

En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», con énfasis en las palabras en cursiva. En coro, sin duda alguna, los niños responden que hay más tacitas.

Hipótesis A: Fin de la actividad.

Conclusión: los niños confunden la cantidad numérica con el espacio ocupado o con el movimiento producido o con la abundancia de energía… y así sucesivamente.

Hipótesis B: La actividad prosigue.

Ante la mirada atenta de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se disponen las tacitas exactamente igual a como estaban al comienzo, todas alineadas frente a su platito.

En este punto, se pregunta a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», haciendo énfasis en las palabras en cursiva. En el coro, sin ninguna duda, los niños responden, cada uno a su manera, que hay tantas tacitas como platitos.

Ahora, de nuevo, ante la atenta mirada de los niños, dejando siempre inmóviles los platitos, se esparcen las tacitas en la parte de la mesa entre los platitos y los niños, de modo de que las tacitas ocupen una superficie mucho mayor.

En este punto se pide una vez más a los niños: «Y ahora, ¿hay más tacitas o más platitos?», siempre haciendo énfasis en las palabras en cursiva. Y aquí, sucede el hecho nuevo: mientras todavía algún niño dirá que hay más tacitas, una gran parte de ellos, sin embargo, afirmará que las dos cantidades son iguales.

El aprendizaje ha ocurrido, ahora basta dejarlos hacer, dejar que el debate venga de inmediato, para que los niños aprendan de sus compañeros, como es justo y es más eficaz (Vigotsky, 1956-1962 -1977; en: 1977, cap. IV).

La pregunta insidiosa y provocadora es: ¿está bien detenerse en el punto A, o es mejor seguir, como en el punto B?18

El pseudo-error específico debido al cual los niños asignan a las tacitas esparcidas una mayor cantidad, hecho que se puede explicar de muchas maneras diferentes (el tipo de solicitud, el hecho de ampliarse el espacio ocupado, energía excesiva utilizada etc.), es fácilmente superado con un cuidadoso análisis de la situación.

Era lo que queríamos evidenciar: el error en sí mismo dice poco, es el análisis que el docente es capaz de hacer el que revela las causas y, como consecuencia, a veces, sugiere la recuperación.

Entre los factores que se deben tener en cuenta, hay otros de gran interés.

Uno de estos tiene que ver con la diferencia entre las expectativas del docentes y las expectativas del estudiante.

Un ejemplo.

A la propuesta del ejercicio: «Un pastor tiene 12 ovejas y 6 cabras; ¿cuántos años tiene el pastor?», muchísimos niños en el aula responden: 18 (D’Amore, 1993b; D’Amore, 1999) (pero sobre el contrato didáctico volveremos en el Capítulo 4).

La «lógica» con la cual el adulto ha construido esta prueba es más o menos la siguiente: veamos si cualquier niño es capaz de romper el contrato didáctico y responder cualquier cosa del tipo: «Este problema no se puede resolver» o algo similar. Pero, una vez que el investigador pregunta a un niño que gritaba convencido hasta quedar sin aliento «18», cómo justificaba su respuesta, el niño responde: «Porque hice la “suma”». La lógica de las expectativas adultas y aquella del resultado del niño son radicalmente diferentes. De la primera habíamos hablado y es obvia, de la segunda diremos que el niño se limita a elegir la operación que espera sea la expectativa del investigador, totalmente desinteresado de la lógica adulta sobre la cual se ha construido el problema. Pero a ese mismo niño, el investigador le pregunta, «¿Por qué hiciste la “suma” y no la “división”?», ayudado por el lenguaje espontáneo del niño; en aquel punto, después de haber pensado un poco, acompañando la respuesta con una radiante sonrisa, el niño responde: «No! Sería demasiado pequeño!». El sentido es obvio: se está refiriendo a una improbable edad de un pastor, inconcebible. Sólo con esta última pregunta, el niño está obligado a dar un sentido a su propia respuesta. No antes. Al comparar los dos resultados, el de la “suma” que le da 18 y el de la “división” que da 2, sólo a este punto se toma en consideración la edad del pastor, la lógica cambia entonces y se convierte: Haciendo las operaciones que yo conozco, ¿cuál de las dos da un resultado más confiable a la respuesta, es decir, una posible edad de un pastor?

Asistimos a un continuo juego de lógicas diversas y de cambios de sentido. Si no se hace un análisis final de lo que está sucediendo, no se sabe qué hacer para recuperar.

Retornaremos nuevamente sobre este argumento en el Capítulo 4, aquí sólo queríamos hacer notar la diferencia de las expectativas «lógicas» del docente y las del estudiante, la una a priori y la otra a posteriori; y la complejidad del cambio de sentido que se origina en la práctica didáctica. A estos errores se necesita contraponer análisis serios y finos, de lo contrario el juego se pierde.

Declamar banalmente que «Los niños de hoy no saben razonar» o que «Pablo no tiene ninguna lógica», no tiene sentido, no se sabe que significa, no es una frase profesional, da la idea de un juicio pero en realidad es una razón condicionada no profesional.

Por último, no porque se haya terminado la casuística, sino debido a que es necesario cerrar este Capítulo 1 para afrontar finalmente los capítulos más específicos de este libro, damos una breve nota sobre el tema que aborda las construcciones diversas del mismo concepto, las gestiones diversas de los registros semióticos, el uso de diferentes registros para comunicar, para el diseño, para la narración, los registros formales etc.

La literatura sobre la gestión de los registros semióticos en el aula es, por decir algo, inmensa.

En primer lugar, afirmamos que ha quedado ampliamente demostrado que la dificultad en la gestión de los diferentes registros semióticos es una de las causas más frecuentes de los errores, la pérdida del sentido del trabajo en el aula, el rechazo a la devolución (D’Amore, 2002a, b).

Además, hoy sabemos que ciertas orientaciones metodológicas y didácticas que el docente creía ciertas, que garantizaban el éxito, no lo son en absoluto.

Utilizar la línea numérica para las operaciones, en la escuela primaria, no es en sí mismo ciertamente eficaz; impulsar a hacer un diseño pensando que esto ayuda la resolución de un problema de geometría en la escuela media, puede ser del todo irrelevante; impulsar a ciertas escrituras polinomiales, por ejemplo, obligando al estudiante, en los niveles superiores, a escribir siempre fórmulas que terminen con «= 0», es decir a la derecha, genera la convicción de que la igualdad no es simétrica. Y así sucesivamente.

El uso y la gestión de los diferentes registros semióticos, aunque es necesaria, no es incruenta ni indolora; por sí misma no genera conocimiento, no facilita la noética, es decir, la construcción conceptual, y debe ser estudiada vez por vez, caso por caso. La noética pasa a través de la semiótica (Duval, 1993), es cierto, pero el uso y manejo de la semiótica no son por sí mismos garantía de que se llegue a la noética.

Errores específicos en el manejo de los registros semióticos deben ser abordados en la práctica escolar, así como han sido el objeto de investigación en los últimos tiempos.

Se da por descontado que el Lector conoce el hecho de que las operaciones específicas de la semiótica son tres:

• la elección de las características distintivas del objeto que quiere representar en un determinado registro semiótico rm, llegando a una representación ;

• la operación de transformación de tratamiento, con la cual se pasa de la representaciones semiótica , a otra (i ≠ j), diferente de la precedente, pero siempre en el mismo registro semiótico rm;

• la operación de transformación de conversión, con la cual se pasa de la representación semiótica a otra , distinta de la anterior (m ≠ n), en otro registro semiótico rn.

Por ejemplo, se quiere representar el concepto de «mitad»;

Entre los miles de discursos que podemos hacer ahora elegimos uno.

Frente a la dificultad del estudiante, señalada por Raymond Duval (1993), para hacer frente a las conversiones, hoy, por ejemplo, en el nuestro NRD19, está activo el estudio de las dificultades encontradas en los estudiantes y en docentes en las transformaciones de tratamiento. Sólo para dar una idea de la intensidad de la investigación en este campo citamos a: D’Amore, 2006a, b; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2007; D’Amore, 2007c; D’Amore, Fandiño Pinilla, 2008b.

Pues bien, no hay errores específicos de los estudiantes que se deban atribuir al manejo de las transformaciones semióticas de tratamiento; si no se sabe detectar y reconocer la causa, de nada servirá una intervención genérica, porque perderá eficacia.

Por ejemplo, en algunos de los trabajos precedentes se ha visto que los estudiantes (y docentes) están dispuestos a admitir que:

Esta actitud revela un hecho de gran impacto sobre el cual aún se está indagando y que debe atribuirse a fuertes influencias de los legados culturales construidos en aritmética, en el pasaje a otras actividades matemáticas o a modelos específicos construidos, del tipo: si se habla de probabilidad de los valores obtenidos lanzando un dado, en el denominador debe aparecer 6.

Para nada banales son las revelaciones de detección de estas situaciones y el estudio de las posibles actividades de recuperación.

Como se ha visto, aunque sólo en los pocos ejemplos tratados, de la aparente especificidad de un error matemático, se termina siempre con pasar a cuestiones mucho más generales que están en la base de dificultad y cuyo análisis desde un punto de vista general revela siempre mucho más de lo que aparece a primera vista, con un análisis genérico precipitado.

Pero serán los capítulos posteriores, los que presenten el discurso sobre temas de carácter didáctico, con toda la potencia analítica que en este campo se ha construido en el último decenio.

Una observación, para cerrar este capítulo.

En D’Amore (1999) se propone la distinción entre la investigación en la didáctica A (como ars docendi), centrada sobre el proceso de enseñanza, y en didáctica B, como epistemología del aprendizaje (específico) de la matemática. Si se hace referencia al triángulo de la didáctica, se puede intuir con la didáctica A se centra en el saber, mientras que la B en el estudiante.

Recientemente (D’Amore, 2006d) propuso una didáctica C que se centra en el vértice “docente”, considerado mucho más importante en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática, dado que el estudiante no accede normalmente al Saber, si que lo hace a través de la mediación del docente que reconstruye una matemática de aprender para él.

Esto explica el por qué de nuestra determinación de tomar en examen al docente tan a menudo como sea posible, sus convicciones, sus funciones, su profesionalidad, su formación cultural específica en la disciplina y en la didáctica etc.

Por otra parte, no sólo los estudiosos de didácticas disciplinarias específicas se han concentrado en «la epistemología del docente»; basta ver las reflexiones de Canevaro (2006), para comprender que este interés es ahora muy difundido y determinante.

2 Para la preparación de esta sección, hemos hecho uso de diversos expertos en la materia; no podemos mencionarlos todos, pero queremos agradecer explícitamente a Athanasios Gagatsis y a Daniela Lucangeli, un agradecimiento especial va a Silvano Locatello y a Gianna Meloni, de los cuales hemos extraído frases enteras.

3 Sobre el uso de una terminología demagógica, como invidente por ciego, no oyente por sordo etc., con su habitual sutil sarcasmo también ha intervenido Umberto Eco (2006, pág. 92): «Si se decide no llamar más a personas en sillas de ruedas inválidos o incluso minusválidos sino diversamente hábiles, pero después no se les construyen rampas de acceso a lugares públicos, es evidente que hipócritamente se eliminó la palabra, pero no el problema».