Репетитор по математике. Арифметика

А) 827 Б) 927 В) 1 027 Г) 977

17. Какое действие выполняется первым при

нахождении значения выражения

850 – 350 + (620 ×3 +50):2

А) вычитание Б) умножение В) сложение Г) деление

18. Сколько тысяч в числе 1 628 255:

А) 628 Б) 162 В) 1 628 Г) 28

19. Сколько сотен тысяч в числе, полученном при сложении

чисел 999 999 и 111 111:

А) 111 Б) 1 В) 11 Г) 1 111

20. Как правильно записать цифрами число:

два миллиарда пятьсот тринадцать миллионов

триста пятьдесят шесть тысяч восемьсот?

А) 25 133 568 Б) 250 013 300 568 В) 2 513 356 800

Г) 20 513 035 608

21. Запишите три раза подряд число 87 и три раза подряд

число 13. Сложите полученные числа. В результате будет:

А) один миллион десять тысяч сто

Б) сто одна тысяча сто

В) десять миллионов сто одна тысяча

Г) сто одиннадцать тысяч сто

22. Какое из чисел больше: 20 000 +9 000 +900 +90 +9

или 30 000 +1 000 +100 +10 +1

А) второе Б) первое В) числа равны Г) не знаю

23. Какое из нижеперечисленных чисел самое большое:

А) 1234567890 Б) 9876543210 В) 102030405060 Г) 980780680

24. Какое из нижеперечисленных чисел самое маленькое:

А) 576675765 Б) 574475754 В) 578875785 Г) 557755575

25.На сколько отличается число 30 000 +8 000 +600 +40 +5

от числа 20 000 +7 000 +500 +30 +4?

А) на 11 111 Б) на 1 В) на 11 Г) на 1 111

26. Выполните действие и отметьте правильный результат

124 × 20 +65:

А) 2 550 Б) 2 545 В) 2 445 Г) 2540

27. Выпишите все двузначные числа, которые можно

записать помощью цифр 1, 0, 3, используя каждую цифру

только один раз. Найдите сумму этих чисел.

А) 40 Б) 53 В) 84 Г) 74

28. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость пешехода

5 км/ч. Во сколько раз скорость автомобиля больше

скорости пешехода?

А) в 12 раз Б) в 24 раза В) в 16 раз Г) в 20 раз

29. Из цифр 2, 4, 6 составляются всевозможные

трёхзначные числа. Найдите разность самого большого

и самого маленького из них.

(каждая цифра используется только один раз):

А) 216 Б) 396 В) 378 Г) 180

30. Из четырёх цифр 1, 2, 3, 4 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наибольшим.

Найдите это произведение.

А) 1300 Б) 1312 В) 903 Г) 1462

31. Из четырёх цифр 1, 2, 4, 5 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наименьшим.

Найдите это произведение.

А) 252 Б) 168 В) 288 Г) 350

32.Укажите такой порядок расположения чисел, чтобы

каждое последующее число было меньше предыдущего

(порядок убывания).

1) 5525 2) 5670 3) 5340 4) 5420

А) 1, 2, 3, 4 Б) 3, 4, 1, 2 В) 2, 1, 3, 4 Г) 2, 1, 4, 3

Тест 2

1.Укажите такой порядок расположения чисел,

чтобы каждое последующее число было больше

предыдущего (порядок возрастания).

1) 2151 2) 2178 3) 2193 4) 2132

А) 1, 2, 3, 4 Б) 4, 1, 2, 3 В) 4, 3, 2, 1 Г) 1, 4, 2, 3

2. Дано 5 чисел: 814, 129, 1235, 756, 307. Наибольшее

значение суммы двух из этих чисел равно:

А) 2049 Б) 1991 В) 2149 Г) 2089

3. Укажите цифры, которые можно поставить вместо звёздочек

так, чтобы были верны неравенства: *428> 4*39> 43*1> *502.

А) (4, 4, 3, 2) Б) (3, 5, 1, 3) В) (5, 9, 2, 6) Г) (5, 5, 9, 3)

4. В четырёх коробках лежат красные, синие и

зелёные карандаши.

В какой из коробок больше всего карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

5. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок больше синих и зелёных карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

6. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок меньше всего красных и синих карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

7. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству – 4 

А) 12 Б) 10 В) 9 Г) 11

8. Укажите наименьшее число:

А) – 150 Б) -149 В) -151 Г) 0

9. Сколько существует целых чисел, которые

больше -10 и меньше 3?

А) 11 Б) 12 В) 10 Г) 9

10. Укажите наибольшее число:

А) 0 Б) -25 В) 12 Г) -45

11. Выполните действие: -30 +65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

12. Выполните действие: -30 – 65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

13.Какое число получается при сумме:

600 000 000 000 [phone] +500 000 +10 000 +6?

А) 6 004 005 106 Б) 6 405 106 В) 6 040 510 006

Г) 600 040 510 006

14.В каком неравенстве знак поставлен неверно?

А) 72 035 122 <72 035 289 Б) 89 012 365 <89 013 365

В) 33 333 142> 33 333 049 Г) 54 235 189> 54 236 189

15. Какое число следует за числом 621 679 899?

А) 621 679 900 Б) 621 680 900 В) 621 679 000 Г) 621 680 899

16. Что отсутствует в числе 231 000 869 192?

А) разряд сотен тысяч Б) класс тысяч В) класс миллионов

Г) разряд сотен

17. Что показывает цифра 3 в числе 21 388 102?

А) единицы миллионов Б) сотни тысяч В) тысячи Г) десятки тысяч

18. В каком числе отсутствует разряд сотен?

А) 12 135 802 Б) 456 650 987 В) 23 156 089 Г) 326 205 122

19. Значение какого выражения самое большое?

А) 250:5 – (2 +10) Б) (250:5 – 2) +10 В) 250:5 – 2 +10

Г) 250: (5 – 2) +10

20. В каком выражении первым действием будет сложение?

А) 32:2 +3 × 7 Б) 32: (2 +3) × 7 В) (32:2 +3) × 7 Г) 32: (2 +3 × 7)

21. В каком числе 55 десятков?

А) 550 Б) 505 В) 515 Г) 55

22. В каком числе отсутствует разряд десятков?

А) 10 Б) 101 В) 110 Г) 11

23. Укажите число, в котором 5 единиц первого

разряда и 7 единиц третьего:

А) 507 Б) 705 В) 570 Г) 750

24. Запишите число пятнадцать тысяч сто шестьдесят два:

А) 150 162 Б) 15 000 162 В) 15 162 000 Г) 15 162

25. Найдите разность чисел 45 132 и 232:

А) 44 999 Б) 44 900 В) 44 990 Г) 44 890

26. Найдите произведение чисел 105 и 215:

А) 225 750 Б) 225 755 В) 275 550 Г) 22 575

27. Дано выражение 232 + (668 – 15 × 5):8.

Какое действие выполняется третьим?

А) умножение Б) деление В) сложение Г) вычитание

28. Найдите частное чисел 3857 и 19:

А) 3838 Б) 3876 В) 73 283 Г) 203

29. На сколько произведение чисел 203 и 69 больше

частного чисел 45 034 и 89?

А) на 234 Б) на 18 011 В) на 1000 Г) на 13 501

30. Запишите выражение: « частное суммы чисел

a и b и произведения чисел 7 и c»:

А) a + b:7×c Б) (a + b): (7×c) В) (a + b):7×c Г) a + (b:7) ×c

31. Укажите пару противоположных чисел:

А) -3 и 3 Б) 0 и -3 В) 0 и 3 Г) -5 и 3

32. Какой из данных примеров решён верно?

А) -2 +7 = -9 Б) -2 +7 = 5 В) -2 +7 =9 Г) -2 +7 = -5

Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите цифрами числа:

А) два миллиона пять.

Б) триста двадцать шесть миллионов сто пять тысяч двенадцать.

В) сто два миллиона тридцать две тысячи сто два.

Г) четырнадцать миллионов одна тысяча два.

Д) семнадцать миллионов шестьдесят тысяч сорок три.

Е) один миллиард двадцать шесть миллионов пятнадцать тысяч десять.

2. Найдите значение выражения:

А) 5040: (28×4) – (888+219):27

Б) 29×104:16+ (5059—988):23

В) (8640:8+5250:5—130) ×3

Г) (9810:9—7560:7+290) -4

3. В городской библиотеке имеется 1 256 684 экземпляров книг, что на 39 684 экземпляра больше, чем в университетской библиотеке, но на 159 200 меньше, чем в областной библиотеке. Сколько экземпляров книг имеется в трёх библиотеках?

4. В гостинице 209 двуместных номера, 162 трёхместных и 89 четырёхместных. Сколько нужно заказать автобусов для экскурсии, чтобы вывезти всех постояльцев отеля, если в каждом автобусе 45 мест.

5. Груша и апельсин вместе весят 285 гр., апельсин и лимон 250 гр. Определите массу груши, лимона и апельсина, если лимон и груша вместе весят 215гр. (решите задачу арифметическим методом)

6. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Их скорости 9 км/ч и 12 км/ч. Через два часа они встретились. Чему равно расстояние между сёлами?

7. От одной пристани до другой можно добраться на теплоходе со скоростью 12 км/ч или моторной лодке со скоростью 13км/ч. Моторная лодка проходит этот путь по течению реки за 4ч., а теплоход против течения реки за 6ч. Определите скорость течения? (решите задачу арифметическим методом).

8. Сравните числа:

А) 3617009 и 3616356

Б) 18532129 и 18532130

В) 198567333 и 198675333

Г) 13325325325 и 1325325325

9. Запишите пятизначное число, которое:

А) меньше 10016 и оканчивается цифрой 7.

Б) больше 9987 и оканчивается цифрой 6.

Тема 2

Арифметические законы, простые и составные числа, признаки делимости, разложение на простые множители, наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель

Существует 5 математических законов, справедливых для любых чисел.

1. Переместительный закон сложения a + b = b + a, например 5 +4 = 4 +5 = 9

Выражаясь простым языком, можно сказать: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

2. Переместительный закон умножения a × b = b × a, например 6 × 2 = 2 × 6 = 12

Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.

3. Сочетательный закон сложения (a + b) + c = a + (b + c), например (7 +5) +3 = 7 + (5 +3) = 15. Или, значение суммы не зависит от того как сгруппированы слагаемые.

4. Сочетательный закон умножения (а × b) × c = a × (b × c), например (3×2) ×5=3× (2×5) =30. Или, значение произведения не зависит от того как сгруппированы множители.

5. Распределительный закон умножения относительно сложения

(a + b) × c = a × c + b × c, например (5 +4) × 2 = 5 × 2 +4 × 2 = 18. То есть, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

– Позвольте, – тут же заметит вдумчивый читатель. – Вы в прошлой теме утверждали, что в арифметике скобки раскрывать нельзя, а тут распределительный закон говорит о противоположном.

И тут же приведёте мне пример: 10:2 (4—2). А я рядом с вашим примером напишу такой: 10: [2 (4—2)]. Скажите, между этими примерами есть разница? Оказывается разница есть в порядке действий и соответственно в получаемом результате. Если в первом примере применить распределительный закон, то мы нарушим порядок действий. А вот во втором примере порядок действий не нарушается и мы можем применить распределительный закон. Действительно, результат не изменится, если сделать сначала действие в круглых скобках и результат умножить на 2, или умножить 2 на каждое из слагаемых в скобке, а потом вычесть из первого произведения второе. Как видите, никакого противоречия нет. Добавив квадратные скобки, мы меняем порядок действий и соответственно получаемый результат.

Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.

Например:

4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.

932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.

158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.

Натуральные числа больше единицы называются простыми, если они делятся только на единицу и на самого себя.

Натуральные числа больше единицы называются составными, если они делятся и на другие числа. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Например, числа 5, 7, 19, 31, 61, 89 простые. Они не делятся нацело на другие числа.

А вот число 21 и 81 составные. 21 делится не только на единицу и самого себя, но и на цифры 3 и 7. 81 делится на цифры 3, 9, 27.

Числа 1, 3, 7, 21 делители числа 21, числа 1, 3, 9, 27, 81 делители числа 81. Число 21 кратное для чисел 1, 3, 7, 21, т.к. делиться на эти числа без остатка.

Интересная задача.

Нумерация домов на улице от 1 до 11. Каких чисел больше, простых или составных в нумерации домов?

Так просто. Однако многие забывают, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам, поэтому дают неправильный ответ. Отбрасываем единицу и начинаем считать: 2, 3, 5, 7, 11 – простые, 4, 6, 8, 9, 10 – составные. Простых и составных чисел оказалось поровну, хотя количество домов на нечётной стороне больше. Можете это проверить.

Часто задают вопрос, каких чисел в математике больше: простых или составных. Вы сами можете ответить на этот вопрос. Все чётные числа – составные, т.к они делятся на 2. А из нечётных чисел не все простые. Даже в первой десятке есть число 9, которое не является простым. В приведённых выше примерах нечётные числа 21 и 81 не являются простыми. Поэтому, простых чисел не так много. В первой тысяче их 168.

Переходим к формулировке основной теоремы арифметики.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел. Такое представление называется разложением числа на простые множители.

Рассмотрим пример разложения числа на простые множители

Таким образом, 1421 = 7×7×29 = 7² ×29.

Как научиться правильно делать разложение чисел на простые множители? Обычно такое разложение записывают столбиком в две колонки. В левую колонку записывается исходное число.

1 шаг. Берём самое маленькое простое число 2 и проверяем делится ли исходное число на 2.

2 шаг. Если делится, то в правую колонку выписываем 2, далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом

3 шаг. Если же число не делится на 2, то берём следующее простое число 3. И так далее.

Повторяем эти шаги при работе с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано простое число.

Чтобы лучше понять этот алгоритм разберём несколько примеров.

Пример 1: Разложить число 298 на простые множители.

Берём число 2 и проверяем делится ли 298 на 2. Делится. В остатке получаем 149. Записываем число 2 в правую колонку, а число 149 в левую. Число 149 простое. Поэтому, 298 = 2×149. Разложение закончено.

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.