Los problemas de matemática en la práctica didáctica

• preguntar “sobre la marcha”, sin esperar que el estudiante haya terminado;

• hacer que el estudiante sea consciente por sí mismo de sus propios éxitos;

• crear una escala de recompensas y premios;

es obvio que, para ser críticos, ninguno de estos métodos es por sí solo la clave mágica; por ejemplo, el refuerzo positivo (estudiado por Skinner, 1968) es muy valioso, pero no es la solución.

Hay también dos tendencias opuestas que tal vez convenga conocer; hay quienes sostienen que la motivación más fuerte es la de las tareas, mientras que la del desempeño es apenas una consecuencia, especialmente Ausubel (1968), a quien cito:

La relación causal entre la motivación y el aprendizaje no es unidireccional, sino recíproca. Por este motivo, no es necesario postergar las actividades de aprendizaje en aras del desarrollo del interés y las motivaciones adecuadas; ya que la motivación no es una condición necesaria para el aprendizaje. Frecuentemente, la mejor manera de enseñar a un estudiante no motivado es indagar sobre el hecho y concentrarse en la manera más eficaz posible de enseñarle. Habrá en todo caso cierto grado de aprendizaje, a pesar de la falta de motivación, y se puede esperar que, de la satisfacción inicial de haber aprendido, el estudiante desarrolle la motivación para seguir aprendiendo. Por lo tanto, en algunos casos, el modo más apropiado para suscitar motivaciones para aprender y para focalizar los aspectos cognitivos del aprendizaje es confiar en que la motivación generada por el buen desempeño académico dé energías para el aprendizaje futuro.

Entonces, los estudios entorno a la motivación han arrasado con la llamada “teoría de los intereses”, poniendo en evidencia todos los procesos internos que influencian el empeño (en sus varios “tipos”) y las elecciones y los resultados consecuentes (en términos de éxito-fracaso). Los primeros pasos para intentar buscar una definición de la “motivación” nos llevan a hacer una distinción entre los investigadores que incluyen la disposición heredada o los que la excluyen, aceptando solo los aprendizajes explícitos; mientras que todos aceptan las disposiciones conscientes e inconscientes. En últimas, la motivación va hacia el estudio de las características del comportamiento (individual y social). Desde esta perspectiva, la familia y el profesor juegan roles centrales, ya que ellos son elementos insustituibles en la educación, en la estimulación y en la orientación, explícita o no, del niño. El profesor es un activador de comportamientos, positivos y no, y de alteraciones; es por esto que, una visión clínica lleva al profesor a autoanalizar sus propios comportamientos como base para analizar los del niño. Especialmente en el caso de los niños pequeños, pues la figura del profesor es un hecho nuevo, es la primera vez que un adulto, que está atento a las necesidades del niño, comparte el mismo comportamiento con otros sujetos extraños (y es esencialmente por esta razón que el preescolar puede desarrollar un rol socializador positivo).

Retomando a D. P. Ausubel, parecen relevantes tres “campos motivacionales” que caracterizan la interacción entre el profesor y el alumno; los cuales tomo de M. Groppo (1970):

• la motivación explorativa: en la familia reina una buena relación afectiva, por lo cual el niño tiene un buen nivel de estabilidad emocional e intenta establecer una relación explícita con el profesor basada en evidencia y problematización;

• la motivación incorporativa: el niño rechaza la figura del profesor porque tiene una experiencia familiar poco satisfactoria en el campo de las relaciones afectivas;

• la motivación conformista: el niño busca una relación afectiva con su profesor intentando recrear el ambiente familiar.

Es claro que tres estilos diferentes en el acercamiento con el profesor no pueden sino involucrar tres estilos didácticos diferentes; con este objetivo, el profesor debería, en su análisis de la clase, tener en cuenta estas características, distinguiendo y aislando los tipos y las diferencias y adoptando estilos individuales al menos en cuanto a la relación se refiere. Es por tanto así que P. Scilligo (1971) toma en consideración a la motivación no solo entre los factores que se deben tener en cuenta en los estudios sobre el aprendizaje, sino además en clave didáctica, poniéndola como instrumento y objetivo mismo de la educación. Siento que debo apropiarme de esta posición.

Skinner hace eco a Ausubel, diciendo que el problema de la motivación (en la escuela) no consiste en “impartir” motivaciones, sino en predisponer las condiciones para el estudio y el aprendizaje de manera tal que sean reforzadas. Llamaremos esta posición “motivación por las tareas”.

En cambio, la otra tendencia puede ser denominada “motivación por el desempeño”. La posición es inversa y por tanto no requiere muchas explicaciones. Entre los primeros en sustentar esta tesis se encuentra McClelland (1961) quien no estudió el caso particular de la escuela, sino el del grupo en general; para este estudioso, una motivación por el desempeño duradera es un motor y puede ser obtenida mediante una definición clara de las metas individuales, la percepción de mejoría individual, la disposición a asumir responsabilidades individuales en lo referente a las actividades propias, etc. Entonces, es necesario primero motivar para el desempeño; la motivación por las tareas es una consecuencia.

Otros autores prefieren, siempre en el ámbito de la motivación por el desempeño, ver como base de la motivación el aumento de las competencias o un “sentimiento de eficacia”, y esto puede y debe ser aprovechado en el ambiente educativo, hasta llegar a hacer que se “aprenda” la motivación misma.

Me parece que hay verdad en ambas posiciones, como sucede frecuentemente, sin tener que ser sectarios forzosamente.

Cuando no hay motivación, activar igualmente una tarea es también una forma de comunicación y, si el profesor es hábil, no se excluye que tal acción pueda crear motivación. Pero esto significa, al mismo tiempo, crear condiciones adecuadas para hacer que, mediante un desempeño positivo (que los estudiantes se vean a sí mismos incluidos positivamente en el contexto social de la clase), sea en sí un elemento de motivación. Me parece que hay un intercambio entre las dos posiciones.

Ni quisiera que se olvidase que nos estamos ocupando de la resolución de problemas de Matemática. Aquí no hay alternativa: ¿cómo se puede convencer a una persona que no tenga motivación a resolver un problema? En esta actividad, más que en otras, a mi modo de ver, la cuestión de la motivación es fuerte y hay que ponerla en evidencia con cuidado. Ignorar este hecho, empecinándonos en el desempeño, puede ser tiempo perdido y un modo para no poder recuperar en el ámbito personal.

Un sabio acuerdo motivacional relacionado no solo con la Matemática en general, sino de manera específica con la resolución de problemas matemáticos, pasa de manera forzosa por aquí.

No quiero olvidar el tema de la atención. «No está atento», no es una afirmación inteligente, ni puede ser una acusación significativa. No se trata de una afirmación circunstancial, sino genérica, si es cierto que los estudios de la Psicología de la educación han “sembrado” el tema de la atención en un set de componentes diversas.

No estar atento no es un hecho específico de por sí; puede querer decir mil cosas diferentes, desde la típica falta de atención (el profesor muestra algo en el tablero, mientras el niño mira sus propios dibujos) hasta la falta de respuesta (que puede tener a su vez causas muy diferentes), de la incapacidad para establecer un orden secuencial (lo cual hace que se den respuestas poco pertinentes) hasta la incapacidad para explorar el ambiente (lo cual, en cambio, el profesor da por descontado).

En el conjunto de las capacidades que se deben poner en juego para resolver un problema, también es fundamental la capacidad de estar atento. A mi modo de ver, en este caso juega un rol excepcional la motivación. Pero “motivar” de tal manera que el niño vea el texto del problema con atención y curiosidad, en cambio de ver sus propios dibujos, hace parte del profesionalismo del educador.

Aquí encontraría espacio una problemática sobre la cual me limito a dar la siguiente referencia: la importancia de la organización de la situación didáctica.

Nota bibliográfica

En la redacción de esta sección, hice uso de (Ausubel, 1968, sobre todo del cap. 10; Azrin, 1958; Bereiter, Englemann, 1966; Cobb, 1985; D’Amore, 1999b; Gagné, 1973, sobre todo el cap. 11; Goldiamond, Dyrud, Miller, 1965; Hewett, 1968; Holland, Skinner, 1961; Kleinmuntz, 1976; Mager, 1962; McClelland, 1961; Nicholls, 1983; Skinner, 1968).

En relación con la asimetría en las relaciones escolares específicamente, ver (Caroni, Iori, 1989; Groppo, 1970; Scilligo, 1971).

Consultar también (Barth, 1990, en particular desde la p. 181; Racle, 1983).

Según Racle la motivación no es un estado innato del receptor, ni una reacción voluntaria, más bien es un mecanismo fisiológico que se ejercita en dos planos: uno específico que conduce hacia un sujeto deseable y un plano no específico que asegura un estado de actividad general del organismo, adaptado y adecuado para reaccionar a estímulos externos. Por lo tanto, la motivación es un mecanismo de tipo acción/retroalimentación que puede ser manejado desde el exterior.

A propósito de la vasta e importante problemática de las relaciones afectivas con los profesores, consultar (Aspy, Roebuck, 1977). Me gusta traducir el muy significativo título del libro apenas citado: Kids don’t learn from people they don’t like, Los niños no aprenden de las personas que no les gustan. Hecho confirmado por (Tausch, 1978).

Sobre la capacidad del profesor de entender el desarrollo de las relaciones, ver (Abraham, 1984).

Evito cuidadosamente, para no perderme en caminos infinitos, toda cuestión inherente al Psicoanálisis, por confesada incompetencia. Sin embargo, en esta sección, podría muy bien encontrar lugar una mención relacionada con la problemática del así llamado “mecanismo del placer preliminar”.

Sobre la problemática general de la motivación para aprender, consultar también (Boscolo, 1986, especialmente las pp. 235-260).

Sobre las problemáticas del niño como elemento social, también ligadas a la capacidad o incapacidad de resolver problemas, ver el libro (Gardner, 1987, especialmente de la p. 270 en adelante).

2.2. Motivación y resolución de problemas

El modelo de escuela que los padres tienen en mente, incluidos los padres jóvenes, es muchas veces bastante diferente al modelo que la escuela en realidad ofrece al niño. Aún si los padres no estudiaron de memoria las tablas de multiplicar, han recuperado un modelo viejo consolidado en el tiempo, con niños que realizan operaciones continuamente y que resuelven “problemas” (que son sólo ejercicios) todo el día. A veces el profesor es consciente de esta diferencia de modelos, pero no siempre. Incluso el profesor más experto puede creer erróneamente que los padres (hasta los padres que aparentemente están de acuerdo) afianzarán en casa el trabajo educativo y didáctico. La realidad enseña que de hecho no es sí: los padres a veces critican, delante del niño, la labor del profesor. Esta discrepancia crea un ansia para nada irrelevante. Quedándonos en el tema de los problemas, el profesor puede estar convencido del hecho que a veces se entiende automáticamente que la tarea del niño es una cuestión de aplicación, otras veces en cambio es una deducción obtenida a partir de la observación y el razonamiento, a veces es la planificación de algo que requiere autonomía u otras veces puede ser una creación (o, para no exagerar, una demostración de autonomía). En fin, se puede pasar de una simple operación escrita (aplicación), al análisis de las propiedades particulares de una figura (observación, deducción de propiedades), a inventar una cosa hecha de tal o cual manera (idear, planear), hasta una creación autónoma (inventar un problema imposible). Esta escala de solicitudes, entre otras cosas muy razonables, no es banalmente reconocida por parte del niño, lo que le puede causar vergüenza. Parece preferible, entonces, crear una serie de acuerdos explícitos, haciendo que la calidad de la solicitud sea evidente para el estudiante, es decir hacer la solicitud de manera crítica. Tal vez los niños más “fuertes” pueden, basados en la experiencia, más o menos explícitamente “reconocer” la calidad del trabajo que se les pide. Pero, para los niños más “débiles” esta incerteza puede convertirse en una desventaja y por tanto puede ser contraproducente. Por lo anterior es que parece razonable fijar bien los criterios de evaluación (ver D’Amore, Zan, 1996b):

• se evalúa solo el “razonamiento seguido en la resolución de los problemas”; lo cual significa que no se podrá más adelante recriminar un eventual descuido en la ejecución de los cálculos;

• se evalúa con meticulosidad extrema la ejecución de los cálculos: viceversa.

Estos acuerdos explícitos deben ser respetados por ambas partes. Por lo tanto, es indispensable entrar en detalles sobre las fases de corrección de los trabajos escritos sobre la resolución de problemas, dando sugerencias, completando, y no solo señalando los errores (especialmente, de manera acumulativa, ya que esto no tiene ningún valor).

El lado afectivo hace siempre parte del gran capítulo sobre la motivación; un bloqueo que perdura y que es difícil de eliminar puede ser inducido en los niños que se equivocan frecuentemente si no hay una intervención tendiente al refuerzo afectivo. Para eliminar tales dificultades, Boero (1986) sugiere:

[…] elegir situaciones problemáticas bien contextualizadas, es decir problemas contextualizados en ámbitos culturales ricos y estimulantes para los niños: los “intercambios económicos”, las “producciones hechas en clase”, los “cambios estacionales”, el análisis del fenómeno de las “sombras”, las comparaciones históricas cuantitativas, la geografía económica, las “comparaciones de costo beneficio” entre diferentes tipos de carros (por ejemplo, en los medios de transporte).

Efectivamente, también las experiencias hechas o seguidas por mi muestran que los niños emotivamente o culturalmente más débiles pueden recuperarse (hablo de interés y de motivación, primero; de éxito y de capacidad, después), proponiendo temas de reflexión problemática más cercanos a su realidad. Sin embargo, debo decir que no siempre es así; si la realidad es adversa y cotidianamente difícil, en más de una oportunidad se ha demostrado la eficacia de una situación problemática ficticia, sobre la que se ha establecido un acuerdo. Por ejemplo, la planeación de un viaje de vacaciones a Zaire para una niña (R) que tiene graves dificultades familiares, conllevó al planteamiento de estrategias ficticias y reales sobre una problemática enteramente ficticia, consciente y agradablemente ficticia. Por otro lado, se trataba de un caso humano en el cual cualquier referencia a la realidad personal o familiar podría haber sido perjudicial: la niña necesitaba evadir la realidad y crear problemas atractivos. Lo anterior no tiene el ánimo de contrastar la propuesta de hacer referencia a situaciones reales en el caso de los niños más débiles, sino que tiene el ánimo de decir que no siempre el más débil (muchas veces por privación propiamente de la realidad) ama solo los contextos reales. (El discurso sobre los “más fuertes” es muy diferente: la motivación ya existe, generalmente, y la contextualización es casi del todo irrelevante).

El papel de los padres parece notable en lo concerniente con todo dicho en esta sección.

Nota bibliográfica

Para profundizar lo dicho en esta sección, sugiero (Boero, 1986) donde se puede encontrar una amplia bibliografía.

A propósito de la revelación de errores en los textos de Matemática por parte del profesor, especialmente en la actividad de resolución de problemas, encuentro muy pertinente (Baruk, 1985).

Ver también (D’Amore, Zan, 1996b).

2.3. Motivación, volición y afectividad

Que un elemento afectivo sea parte de cada descubrimiento o invención es bastante evidente, y muchos pensadores han insistido sobre esto: es claro que ningún descubrimiento o invención significativa puede realizarse sin la voluntad de descubrir.

Así se lee en Hadamard (1993). Claro, cuando el gran matemático Jacques Hadamard (1865-1963) habla de descubrimiento o invención, se refiere a ejemplos de descubrimiento o invención de alto nivel matemático.

¿Pero, ya que todo se relativiza (y a mi modo de ver cada descubrimiento o invención puede ser de alto nivel, según las bases de las cuales se parte), por qué no considerar la frase de Hadamard como una frase adaptable a una situación de clase en la cual la didáctica sea, por lo menos en parte, inspirada en las técnicas del aprendizaje por descubrimiento? Nos podemos referir al original discovery learning de Bruner (1961) o a una de sus tantas variantes sucesivas.

Por otra parte, dado que las emociones juegan un rol fundamental en la construcción personal del saber matemático, hecho que ha sido afirmado con fuerza también por parte de Kruteskii (1976) precisamente en el ambiente de clase y en los primeros niveles de escolaridad. Kruteskii habla de las emociones positivas experimentadas por los estudiantes que logran buenos resultados en Matemática, exactamente en los mismos términos en los cuales lo hacían Hadamard y otro gran matemático, Henri Poincaré (1854-1912),

[…] con la consecuencia que los aspectos relacionados con el conocimiento, tan evidentes en la investigación científica, aparecen profundamente conectados a aspectos emocionales» (Zan, 1995) [ver Poincaré (1906, 1914)].

El mismo Hadamard concluye: «Vemos nuevamente cómo la dirección del pensamiento implica elementos afectivos».

Lo cual, en una línea rápida, me gusta resumir de la siguiente manera: «Todo acto cognitivo presupone un ámbito afectivo» o sea: «No existe lo cognitivo sin lo afectivo».

La máxima gratificación posible para un profesor dispuesto a aceptar este tipo de consideraciones es, basándose en ellas, ver críticamente la didáctica propia. Lo cual se puede ejemplificar a partir de una frase con la que concluye Zan (1995), haciendo referencia a los que no lo logran resultados positivos en el campo de la Matemática:

El reto propuesto por quien “no lo logra” (más que un reto, es un llamado […]) no prevé caminos delineados a priori, ni admite soluciones técnicas. Pero si se tiene suficiente voluntad, paciencia y sobre todo fantasía para recoger tal reto —para escuchar el llamado— quizá se tenga la gran emoción de escuchar a nuestro alumno decir: «Una vez, en Matemática yo no lo lograba».

Pero: ¿qué se entiende por “afectividad” exactamente? Cito a Pellerey (1992):

Por afectividad se entiende en general un amplio espectro de sentimientos y estados de ánimo que se presentan con características diferentes respecto a la cognición pura. En este espectro se incluyen normalmente los valores, las creencias, las concesiones relacionadas con el sentido y el porqué de un área de estudio, las concesiones en sí relacionadas con tal área, los comportamientos, las motivaciones y las emociones. Las creencias o concesiones de referencia se constituyen a partir de un conjunto de apreciaciones y valoraciones subjetivas, relativas a la matemática, elaboradas bien sea por el alumno o por los profesores (…). En este caso prevalece el componente cognitivo, aunque tal conjunto constituya una parte importante del contexto personal en el que se desarrolla la dimensión afectiva.

Entre los múltiples componentes de esta “afectividad”, hay dos puntos que consideramos, dada nuestra experiencia, de extraordinaria importancia:

• la imagen de sí mismo en el quehacer matemático

• la motivación que tengan los alumnos al hacer Matemática.

Existe una amplísima bibliografía sobre cada uno de estos puntos. Por ejemplo, sugerimos la lectura de: Pellerey y Orio (1996) quienes hacen énfasis en este tipo de investigación (más de tres páginas de bibliografía en el contexto internacional); Cornoldi y Caponi (1997) y Zan (1997).

Indudablemente, el componente de la “motivación” tiene un peso relevante en los procesos de aprendizaje. Se puede advertir tal peso en modo epidérmico, hablando con los profesores, pero se advierte aún más como motivo recurrente en las investigaciones de carácter meta cognitivo.

Tal vez convenga, en primera instancia, distinguir entre motivación y volición:

En esta5 perspectiva, la motivación debe ser vista como el proceso mediante el cual se forman nuestras intenciones; es decir, la elaboración de las razones que nos llevan a hacer algo. Mientras que la voluntad es el proceso base en el cual nuestras intenciones se producen; en otras palabras, el querer conseguir concretamente el objetivo expresado por nuestras intenciones (Pellerey, 1993);

pero, refiriéndose a Heckhausen (1990), el mismo Pellerey (1993) afirma:

La motivación es concebida por Heckhausen según una perspectiva un poco restringida y precisa con respecto al concepto global tradicional. En este sentido, Heckhausen considera, de hecho, los procesos que incorporan la expectativa de resultados deseables o no deseables que se derivan de las acciones emprendidas y la percepción de la capacidad de lograr tales resultados por medio de éstas. El proceso se produce en el contexto de la relación entre persona y situación y constituye el primer paso del actuar, en cuanto elaboración cognitiva marcada por componentes afectivos, que insta más o menos fuertemente a una conclusión operativa (tendencia motivacional). El proceso motivacional, aun siendo el primer paso hacia la acción, no incluye la generación de la intención en sí. Es necesario que se desarrolle al menos un acto de consenso interno para transformar la finalidad de una acción en una intención de actuar explícita. Se trata del momento decisivo propiamente dicho, que no está relacionado tanto con el hacer o no algo, sino con hacer algo en este mismo momento, en este contexto preciso. Es entonces cuando se pasa del deseo a la elección.

Por lo tanto, aceptando la posición de Heckhausen, se pude decir que el paso del deseo a la acción no es tan banal e inmediato6: hablar de motivación en general, entonces, resulta un poco vago; se necesita por lo menos un acto decisivo y este acto parece estar fuertemente influenciado por:

• las decisiones personales previas del estudiante

• la capacidad por parte del profesor de crear el contexto propicio.

Solo que el contexto en el cual se desarrolla la Matemática parece estar a menudo ya confeccionado; las expectativas del estudiante y las decisiones previas (del profesor) en este sentido parecen cristalizadas por un modelo matemático ya pre constituido, ya decidido a priori por alguien más o, lo que es aún peor, por la naturaleza misma de la asignatura.

Nos podríamos limitar a pensar en una situación estándar en la que el profesor

• adopta una estrategia para reforzar la motivación intrínseca, haciéndola lo más extrínseca posible; por ejemplo, la estrategia del incentivo (o, en líneas más generales, técnicas para aumentar la autoconfianza)

y, por lo tanto

• favorezca la creación de una motivación interna [el límite de todo esto es que parece casi inevitable recaer en un modelo preconcebido; ver: Franta (1993)].

• O, y es aquí donde entra en juego nuestra experiencia (la cual describiremos más adelante), se necesitaría:

• por un lado, desplazar la expectativa preconcebida en relación con la Matemática (estándar: la de la escuela); se trata sustancialmente de poner en cuestión las viejas convicciones;

• por otro lado, convencer implícitamente (para evitar la demagogia; es decir, basándose en la tarea asignada y no en recomendaciones ni prédicas estériles) que cualquiera está capacitado para construir Matemática (e incluso que la Matemática son un producto construible de manera personal); se trata entonces de elaborar nuevas convicciones;

• en fin, incluir en la evaluación (que frecuentemente es un paso motivacional fuerte para el estudiante) precisamente el fruto de las tareas asignadas, sin dar a la Matemática escolar tradicional un tratamiento diferente, en el momento de la evaluación, al de la Matemática construida sobre la instancia no estándar (de manera que se dé dignidad tanto a la parte estándar como a la no estándar); sustancialmente se trata de una elección de tipo didáctico con el fin de llevar a cabo los primeros dos puntos.