Риск-менеджмент. Учебное пособие

Рассмотрим основную задачу классической портфельной теории.

Пусть задан отрезок времени Delta t = [0,1], называемый инвестиционным периодом: в момент t =0 инвестор приобретает активы, в момент t=1 продает их и оценивает свое благосостояние. Он принимает решение в условиях неопределенности, т.к. будущая доходность ценной бумаги есть величина неопределенная, следовательно, в инвестиционном решении присутствует риск.

Как известно, ценные бумаги характеризуются доходностью и риском. Исходя из здравого смысла инвестиционную задачу можно сформулировать: «как путем управления инвестициями достичь максимума доходности при минимуме риска», что в математической постановке распадается на два случая:

(а) задача максимизации доходности при ограничении риска сверху заданным значением

и (б) задача минимизации риска при ограничении доходности снизу заданным значением

В портфельной теории рассматривается первая задача.

Отметим, что при прочих равных условиях диверсификация3 портфеля дает возможность уменьшения риска при заданном уровне доходности.

Рассмотрим более подробно портфельную теорию Г. Марковица4.

По определению, доходность некоторой ценной бумаги есть ri = (p1-p0)/p0, где p0, p1 – цены в моменты времени t0, t1.

Доходность портфеля определяется аналогично: rp=(w1-w0)/w0, где w0 и w1 – начальное и конечное благосостояние потребителя. Отсюда имеем: w0(1+rp)=w1, то есть доходность rp можно трактовать как некоторую эффективную ставку, по которой растет благосостояние.

В теории Марковица делаются следующие предположения:

1) Доходность ценной бумаги – это случайная величина, а значит, доходность портфеля – тоже случайная величина;

2) Инвестор при принятии инвестиционного решения (в какие активы вложить имеющиеся денежные средства на время инвестиционного периода) ориентируется только на ожидаемую доходность (математическое ожидание доходности) и риск, понимаемый как стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг.

Последнее предположение является очень жестким, так как все статистические свойства случайной величины – доходности – сводятся только к математическому ожиданию и дисперсии (которая является мерой «разброса» данных относительно «среднего»), и инвестиционное решение принимается только на их основе. Таким образом, не учитываются особенности распределения случайной величины.

С точки зрения оценки риска у теории Марковица есть свои достоинства и недостатки.

Достоинства:

1. Если распределения доходности ценных бумаг симметричны и «близки» по форме, то среднеквадратичное отклонение s рассматривается как мера риска, так как отклонения в обе стороны, благоприятную и неблагоприятную, равны.

2. Теория вычислительно проста.

Недостатки теории:

1. Для нормального распределения s – хорошая мера разброса, а для прочих – плохая, риск оценивается неадекватно, с грубым приближением.

2. Эта мера разброса показывает отклонения в обе стороны, а нас интересует риск, то есть мера отклонения только в неблагоприятную сторону.

Рис. 1.

Нарисуем график, где на горизонтальной оси отложим стандартное отклонение s, на вертикальной – доходность r. При условии сделанного предположения для инвестора достаточно знания этих двух величин. Это значит, что портфель можно изобразить точкой, а инвестиционное решение должно приниматься на основании анализа допустимого множества портфелей и предпочтений инвестора.

В теории Марковица обычно считается, что инвестор, во-первых, обладает свойством ненасыщения, то есть таким свойством, что чем больше доходность инвестиционного портфеля, тем ему лучше при прочих равных условиях. Во-вторых, инвестор обладает свойством избегания риска, свойством несклонности к риску.

Бывает три вида инвесторов: склонных к риску, избегающих риска и нейтральных к риску. Рассмотрим честную игру. Бросая монетку, с вероятностью ½ мы либо получаем, либо платим одну денежную единицу. Математическое ожидание выигрыша равно нулю (½*(+1)+½*(-1)=0). Для инвестора, несклонного к риску, моральное удовлетворение от выигрыша в одну единицу будет меньше, чем разочарование от проигрыша. Хотя он знает, что в среднем получается ноль, он откажется от игры. Склонный к риску инвестор рассуждает ровно наоборот. Нейтральный к риску скажет, что ему все равно, играть, или не играть.

Для инвесторов, несклонных к риску и обладающим свойством ненасыщения, рассматриваемых в теории Марковица, кривые безразличия выглядят следующим образом: положительно наклоненные и выпуклые вниз.

Кривая безразличия – это множество портфелей, обладающих свойствами доходности и риска, полностью описываемыми величинами r и s, одинаковых для инвестора с точки зрения его предпочтения – инвестиционного выбора. Кривая безразличия положительно наклонена, так как считается, что больший риск должен компенсироваться большей доходностью. Аналогичный подход используется в теории полезности.

Кривые безразличия не пересекаются. Между любыми двумя можно нарисовать третью. Для инвестора лучше, когда наш портфель оказывается левее и выше на приведенном рисунке, потому что при таком смещении либо увеличивается доходность, либо уменьшается риск, либо то и другое одновременно; поэтому кривая безразличия, расположенная левее и выше, предпочтительнее для инвестора.

Пусть:

N – количество активов,

x1 , …, xN –доли активов в портфеле,

Тогда доходность портфеля, rp, исходя из определения доходности, есть

Отсюда, очевидно, что ожидаемая доходность портфеля определяется формулой

Соответственно, для s получается, что риск портфеля есть

– коэффициент корреляции между доходностями i-ой и j-ой ценными бумагами.

Таким образом, риск5 портфеля sp2 будет отличаться от средневзвешенной суммы рисков каждой из входящих в него ценных бумаг на слагаемое

,

содержащее коэффициенты корреляции. Коэффициенты корреляции могут быть как положительны, так и отрицательны; а следовательно, знак числа указанного выше может быть любой.

Таким образом, объединение бумаг в портфель может значительно изменить (уменьшить или увеличить) риск по сравнению со взвешенной суммой рисков бумаг, входящих в портфель (эффект диверсификации).

Посмотрим на рисунок 1. Нарисуем допустимое множество портфелей, т.е. все портфели, которые можно составить из рассматриваемого множества ценных бумаг с заданными характеристиками (ожидаемой доходностью и стандартным отклонением) и заданными коэффициентами корреляции. Обратим внимание, что поскольку x1 , …, xN (доли активов в портфеле) – это числа, принимающие любые значения, лежащие между нулем и единицей, то количество портфелей, которое можно составить из данных активов, бесконечно велико.

Пусть есть два объекта A и B, которые оцениваются по k критериям. Оценки объектов будут иметь вид a1…ak и b1…bk. По определению, объект А доминирует объект B по Парето (или по Эджворту-Парето, так как недавно обнаружили, что Эджворт ввел этот критерий раньше) или объект А сильно доминирует объект B, если оценки объекта A по всем критериям не хуже, чем оценки объекта B по всем критериям и хотя бы по одному критерию строго лучше, то есть

(где знаки «>=» и «>» означают «не хуже» и «строго лучше» при сравнении оценок по критерию).

Когда производится выбор из ряда альтернатив, оцениваемым по многим критериям, первым логичным шагом выбора всегда является их сравнение по Парето – ведь альтернатива, доминируемая по Парето заведомо хуже, чем доминирующая ее. Таким образом, перед тем, как производить дальнейшие действия, нужно выбрать из исходного множества альтернатив подмножество недоминируемых никакими другими по Парето и из них производить дальнейший выбор.

Рассмотрим это на примере портфельной теории Марковица. Обратимся к допустимому множеству X. Выберем один из портфелей из «середки» этого множества (пусть это будет портфель A). Утверждение: этот портфель доминируется по Парето другими, у которых риск такой же, а доходность выше (например, портфель B), или доходность такая же, а риск ниже (например, портфель С), или риск ниже, а доходность выше (например, портфель D).

Портфели, доминируемые по Парето, выбирать в качестве оптимальных не следует. Соответственно, первый этап решения инвестиционной задачи – отбросить варианты, доминируемые по Парето, то есть инвестиционные решения следует принимать только из портфелей эффективного множества. Эффективное множество – это множество портфелей из допустимого множества, не доминируемых по Парето никакими другими портфелями. На нашем рисунке они находятся левее и выше.

Можно доказать, что в общем случае эффективное множество всегда выпукло вверх. Тогда оптимальное решение находится как точка касания кривой безразличия и эффективного множества.

На этом мы закончим рассмотрение классической портфельной теории для целей изучения риска. Сделаем только еще одно замечание. В этой теории также вводится понятие безрискового актива, с которым связана теорема о том, что структура эффективного портфеля при наличии такого актива не будет зависеть от конкретного вида предпочтений инвестора.

Остановимся на вопросе, что такое безрисковый актив: предположим, что у нас период инвестирования составляет один год. Рассмотрим разные бумаги, которые могут претендовать на роль безрискового актива. Обычно это бумаги Казначейства США, но с тем же успехом мы можем взять еврооблигации России с погашением в 2030-м году. Через год они могут стоит по-разному. Значит, мы не можем называть в данных условиях этот актив безрисковым, поскольку безрисковость означает определенность. Если мы возьмем актив со сроком погашения меньшим, чем год, то он тоже не будет безрисковым, потому что полученные до окончания периода деньги нужно будет снова инвестировать, и, опять же, будет иметь место неопределенность (неизвестно, по какой ставке можно будет вложить денежные средства). Вывод: на практике безрисковым будет являться только тот актив, чей срок погашения совпадает с окончанием периода инвестирования и инвестору которого мы можем безоговорочно доверять.

Случайный и систематический риск. Рыночный риск и собственный риск актива

Рассмотрим следующую модель:

ri =Ai +BIrI + eiI (***)

Это типичная регрессионная модель. Здесь:

I – индекс рынка,

ri – доходность ценной бумаги,

rI – доходность рынка,

eiI – случайное отклонение.

Записав такую модель, мы предполагаем, что доходность ценной бумаги линейно связана с доходностью рынка. Здесь eiI – случайное отклонение (регрессионный остаток) от этой зависимости, которое считается «малым».

Тогда риск ценной бумаги, измеряемый, как и ранее, в терминах стандартного отклонения или дисперсии, есть:

s2i = BiI2s2I + s2ei

Таким образом, риск в данной модели, при некоторых предположениях относительно вероятностных характеристик, делится на два вида риска:

BiI2s2I – рыночный или систематический риск, то есть риск, связанный с поведением рынка;

s2ei – собственный риск ценной бумаги, то есть риск, обусловленный особенностями самой бумаги, отличающими ее от «типичного представителя» рынка.

Теперь аналогично предыдущему разделу рассмотрим портфель ценных бумаг. Запишем соотношение (***) для каждой из бумаг портфеля:

ri =Ai +BIrI + eiI

Домножим его почленно на долю ценной бумаги в портфеле :

ri xi =Aixi +BIrIxi + eiIxi

и сложим полученные соотношения для всех для всех i от 1 до N. В итоге получим:

rp =Ap +BpIrI + epI.

Получаем, что из предположения о линейной связи каждой бумаги с рынком следует аналогичное соотношение для портфеля (если говорить точнее, это утверждение верно при некоторых дополнительных предположениях о статистических свойствах регрессионных остатков и их связи).

Соответственно, для риска мы имеем:

s2p = BpI2s2I + s2ep.

Можно считать, что все ценные бумаги тем или иным образом связаны, так как их доходности связаны с рынком, зависят от него. Если исключить эту зависимость от рынка (рыночный риск), то с некоторой долей приближения можно считать, что собственное поведение акций независимо, то есть случайные величины – их доходности – некоррелированы. Для портфеля, содержащего большое количество разных акций, такое предположение довольно правдоподобно.

В этом случае получим следующее:

s2ep = сумма x2is2iI

Пример:

Пусть xi =1/N, i =1, …, N (доли всех ценных бумаг в портфеле равны).

Тогда

siI2 – риск каждой ценной бумаги

s2ep = сумма (1/N)2 (сумма s2 iI) =(1/N)*(сумма s2 iI /N) – риск портфеля.

Заметим, что (сумма s2 iI /N) – средний риск бумаг, входящих в портфель.

Значит, риск портфеля есть 1/N от среднего риска ценных бумаг портфеля. Таким образом, собственный риск портфеля значительно меньше, чем средний собственный риск бумаг, входящих в него (один видов проявления упомянутого выше явления диверсификации портфеля).

При этом рыночный риск при диверсификации не уменьшается, но усредняется.

Глава 3. Рыночный риск. Конценцпия Value-at-Risk

Виды рыночных рисков

Напомним, что рыночный риск – это риск неблагоприятного изменения рыночной ситуации. В зависимости от того, есть ли у нас какой-либо актив или мы должны его поставить кому-либо (длинная или короткая позиция по активу6), рост (уменьшение) его цены может быть как благоприятным, так и неблагоприяным изменением. Поэтому будем использовать более общий термин «неблагоприятное изменение» рыночной ситуации.

Рынок имеет много разных сегментов: денежный, фондовый, в частности, валютный, акций, облигаций, производных финансовых инструментов и др. Поэтому в целях оценки рыночного риска нужно определиться, какие из видов риска присущи нашему портфелю, какие значимы (подлежат оценке).

Обычно выделяют следующие виды риска:

• ценовой риск или риск неблагоприятного изменения цен финансовых инструментов;

• валютный риск или риск неблагоприятного изменения курсов валют;

• процентный риск или риск неблагоприятного изменения процентных ставок;

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «Литрес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на Литрес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Примечания

1

Базельский комитет по банковскому надзору и регулированию (Basel Committee on Banking Supervision) (название происходит от города Базель, Швейцария) создан в 1975 году центральными банками стран «группы десяти», в которую входят Бельгия, Великобритания, Германия, Италия, Канада, Люксембург, Нидерланды, США, Швейцария, Швеция, Франция и Япония. Заседания комитета, как правило, проходят в Банке международных расчетов в Базеле, где и находится его постоянный секретариат. Комитет подготовил два основных документа – всеобъемлющий перечень основополагающих принципов эффективного банковского надзора (Базельские принципы), применимых как в странах «группы десяти», так и в не входящих в нее, и компендиум существующих рекомендаций, руководств и стандартов Базельского комитета.

2

Риск-менеджер – специалист по оценке и управлению рисками. Риск-менеджмент – деятельность по оценки и управлению рисками.

3

Диверсификация портфеля – составление портфеля из большого количества активов (ценных бумаг), то есть разнообразие при вложении денежных средств.

4

Гарри Марковиц – лауреат Нобелевской премии по экономике 1990 года (совместно с М. Миллером и У. Шарпом).

5

Здесь, говоря риск, мы рассматриваем дисперсию s2 вместо среднеквадратичного отклонения s поскольку это тоже самое для рассматриваемой задачи (*) максимизации доходности при ограниченном уровне риска, так как s2 – строго монотонно возрастающая функция s.

6

Длинная позиция по какому-то активу – это рыночная позиция, когда наши обязательства на его поставку меньше обязательств на поставку актива нам (например, мы должны 2 облигации X, а нам должны пять облигаций X). В этом случае говорят о количестве актива.

Короткая позиция по какому-то активу – это рыночная позиция, когда наши обязательства на его поставку превышают обязательства на поставку актива нам (например, мы должны 3 облигации X, а нам должны только одну облигацию X). В этом случае говорят об «отрицательном» количестве актива (в нашем примере мы имеем (-2) штуки облигации X.