Домино

Предисловие

В соответствии с библейскими представлениями, первоначально мир представлял собой сплошной хаос, то есть зияющую бездну, наполненную туманом и мраком. В русском языке это слово понимается как полный беспорядок. Потом за дело принялся Бог, он же Создатель, и упорядочил всё, начиная с элементарных частиц, сотворив за определенное время мир, где порядок побеждает хаос. И увидел Бог, что это хорошо, когда есть порядок. Отсюда идет наше понимание порядка, как божественного проявления, созидательного начала, в противоположность хаосу, беспорядку, как порождению темных разрушительных сил. Чтобы человек понял значение порядка, пришлось Богу прибегнуть к крайним мерам – подвергнуть человека наказанию: пожизненной ссылкой из Эдема и рядом других, мягко выражаясь, неудобств.

И вот теперь всю свою жизнь человек наводит порядок вокруг себя, а беспорядок как будто сам по себе, так и продолжает проявляться то там, то здесь. Попробуйте месяц совсем не убирать в квартире, и вы поймете, что такое хаос. Пыль проникнет через любые окна и ляжет слоем, на кухне возникнут горы немытой посуды, в ванной появятся ворохи грязного белья. Вещи по всей квартире, как ни старайся класть их на свои места, окажутся не там, где вы надеетесь их найти, путаница в бумагах и книгах, залежи ненужного мусора и хлама. Это, почувствовав, что вы с ним не боретесь, из тьмы поднимается хаос. Ведь чтобы был порядок, нужно затрачивать на его наведение время и энергию, а хаос возникает сам, там, где лень и апатия.

Мир нашего бытия в целом стабилен, хотя в природе не все идеально и окончательно гармонично с точки зрения человека. Постоянно прорывается хаос в виде землетрясений, смерчей, наводнений, эпидемий, падающих метеоритов и прочих катаклизмов, пугающих людей. Быть может, в этом есть своя необходимость, пока не доступная нашему пониманию. Взаимоотношение порядка и хаоса, как нельзя лучше, иллюстрирует философскую концепцию единства и борьбы противоположностей.

Создав персональный компьютер, приученный к порядку, человек предусмотрел в операционной системе Windows корзину для мусора, куда отправляются ненужные файлы. Не забыто периодическое проведение чистки дисков с их последующей дефрагментацией, то есть упорядочением файлов – положительный пример стремления к порядку. Пример другого плана – Internet: благое дело, вырождающееся в международную свалку нужной и не нужной, а порой опасной, информации. Каждый маньяк может бесконтрольно «сливать» сюда всё, что пожелает, не заботясь о последствиях доступа к этой информации других людей.

Какую бы область деятельности мы ни взяли, борьба хаоса и порядка продолжается. С одной стороны – добро, порядок, гармония, Бог, с другой – зло, хаос, разрушение, Дьявол. Даже во время отдыха, в играх, человек моделирует борьбу порядка и хаоса. Настольная игра домино может служить иллюстрацией борьбы порядка с хаосом. Рассыпая косточки домино в начале игры, мы моделируем изначальный хаос. Потом отбираем несколько, не видя их значений, тем самым вводя в игру элемент случайности, который всегда присутствует в реальной жизни. Цель игры – выложить упорядоченную цепь по определенным правилам. Эта направленность домино от хаоса к порядку привлекает в этой игре.

Такого нет ни в шахматах, ни в шашках, где игра начинается с упорядоченного расположения фигур, а потом через хаос борьбы приходят к краху одного из игроков.

С сожалением приходится констатировать, что ушли те времена, о которых пел Иосиф Кобзон в цикле песен «А у нас во дворе» Аркадия Островского и Льва Ошанина. Нет тех двориков, нет тех столиков во дворе, за которыми сидели старички и играли в домино. Кажется хаос берет верх: герой одной рекламы, после того как «сникерснёт», меняет цвет кожи, становится меньше ростом и вместо лирической и поэтичной песни начинает гнать рэп. Это просто деградация какая-то.

Сборник занимательных материалов о домино я написал много лет назад. Учительская профессия, постоянное общение с детьми накладывает свой отпечаток, делает взрослого человека немного ребенком. Читая книги, газеты, журналы всегда выделял материалы, которые можно интересно использовать в педагогической деятельности, с помощью которых удастся увлечь детей, привить интерес к учебе и наукам. Так складывались папки и тетради с выписками, вырезками, перепечатками – своеобразная коллекция занимательных материалов. Появилось стремление коллекционера сделать свою коллекцию наиболее полной, добиться максимума охвата по некоторым узким направлениям. Первой была написана книга о спичках, в которой был собран разнообразный материал по одному объекту рассмотрения – коробке спичек. Книга предназначалась учителям и увлекающимся учащимся и была построена в виде уроков по математике, физике, химии и даже литературе. На каждом из этих уроков рассказывалось, как можно соотнести и нестандартно использовать спички при изучении программного материала или во внеклассной работе по предмету. Учитывая методическую направленность книги, она была напечатана в издательстве «Учитель», с очень громоздким названием: «Занимательные задачи, упражнения и игры со спичками в средней школе на уроках и внеклассных занятиях». В рукописи она называлась просто: «Со спичкам не шутят». Работа с издательством меня сильно огорчила. Процесс проходил так: я приношу им сверстанную и отформатированную на компьютере книгу в готовом виде. Они начинают критиковать, вмешиваться в верстку, делают книгу хуже, зато приписывают в выходных данных ответственных за выпуск, методистов, технического редактора, корректора, верстальщика. Издав с грехом пополам две книги, но потеряв желание продолжать эту работу, с готовой книгой о домино я завис. Она не заинтересовала ни одно издательство и лежала мертвым грузом, что называется в столе. Теперь появилась возможность опубликовать ее через ЛитРес Самиздат. Здесь полный простор для автора, но возникают ограничения по конвертации книги. Многое приходится переделывать, не проходят формулы, отдельно нужно менять формат иллюстраций, конечная верстка не зависит от тебя, и нет возможности сделать ее красивой и оригинальной. Но плюсы перевешивают отдельные неудобства, так как в любом случае, можно достать из стола наработанное и показать людям.

Главный вопрос: нужно ли это? Пока на него есть только один ответ – если что-то еще не сделано, то почему бы ни сделать, возможно, кому-то пригодится. Ведь в нашей повседневной жизни мы ходим за покупками как в универсамы, где есть все основные товары, так и в узкоспециализированную булочную, в которой ассортимент хлебобулочных продуктов гораздо шире. Мы смотрим не только широковещательные телевизионные каналы с передачами на все вкусы, но можем включить спортивный канал или музыкальный канал. У нас есть выбор, и кто-то потрудился для этого. Большинство ранее изданных занимательных книг имели вид ассорти, то есть содержали головоломки и задачи различной направленности. Здесь же применен принцип концентрации материала, относящегося только к одному объекту. В данном случае – комплекту игры домино.

Сразу отмечу свое скромное положение систематизатора и коллекционера, не претендующего на авторство головоломок и задач, по собственному желанию взявшего на себя кропотливый труд по просеиванию руды. Наоборот, по возможности я пытаюсь установить истинных авторов, если это достижимо при массовых перепечатках одной и той же задачи из книги в книгу. Максимум, что я себе позволяю – это, выявив основную идею задания, сделать обобщения, показать возможности дальнейшего исследования.

Часть 1. Увертюра

Ab incunabulis – С самого начала.

Согласно китайским легендам игра «домино» родом из древнего Китая, где эту игру изобрели приблизительно в XII веке и называли «костяные таблички». Произошли костяшки домино как результат развития и усовершенствования всем известных игральных костей – кубиков с точками от 1 до 6 на их гранях. Первоначально «костяные таблички» предназначались исключительно для гадания и магических церемоний. Каждая косточка домино представлялась при этом как результат бросания двух игральных костей: одна половинка домино – результат бросания одной кости, вторая – другой. Кстати, в Корее и Индии домино до сих пор служит инструментом для предсказания судьбы. На китайских табличках, как и на костях, не было нулевого очка.

В китайские комплекты были введены вторые экземпляры (дубликаты) некоторых косточек и кости разделены на гражданские (дубли) и военные (все остальные), костей с пустышкой нет совсем. По всей видимости, китайское домино со временем развилось в игру, получившую коммерческое название маджонг.

Сейчас трудно достоверно утверждать, каким образом игра очутилась в Европе. По одной из версий, она была завезена туда венецианским путешественником Марко Поло.

Первое время игра была распространена в католических монастырях, в частности среди монахов-доминиканцев, где и получила свое современное название «домино». Во-первых, так называлась одежда духовных лиц – преимущественно плащ с капюшоном, который был черным снаружи и белым внутри. «Домино» – это также тип маски, представляющей черный и белый мотив. Во-вторых, название игры в домино, возможно, происходит от латинского слова «dominans», что означает – господствующий, главный и является началом обращения в католической мессе: «Dominus vobiscum» («Господь, да пребудет с вами»). Возможно, оно происходит от радостного латинского восклицания «Dominus gratias!» («Благодарение Господу!»), произносимого, когда какому-нибудь монаху случалось одолеть своего соперника в игре. Фраза могла быть и другой, но то, что это было латинское высказывание, обращенное к Богу – бесспорно. Монахам свойственно было постоянно поминать Господа.

При переходе в европейскую культуру игра частично видоизменилась. Европейские комплекты не содержат ни различных классов костей, ни одинаковых косточек. Вместо этого европейские комплекты содержат семь дополнительных домино, в которых одна из половинок не имеет очков-точек – «пусто». В европейской литературе упоминания о домино не встречается до первой половины XVIII века, хотя в Испании и Италии в эту игру начали играть значительно раньше. Затем домино проникло во Францию, а позднее, распространилось по всей континентальной Европе, проникло в Англию и Америку. Через Германию, с ним познакомилась и Россия, где в него охотно играли при царском дворе. Красивые и дорогие наборы домино из перламутра и кости предназначались для знати. К началу XX века домино в России стало излюбленной игрой рабочих и ремесленников, причем игроки так азартно били костяшками об столы в трактирах и чайных, что столешницы не выдерживали и трескались. Посетителей, не принимавших участие в игре, сильно раздражал шум и треск. Поэтому играть в домино в этих заведениях запретили. Газета «Санкт-Петербургские ведомости» в 1903 году писала: «Игра в домино, процветавшая в чайных, трактирах и кофейнях, с 1-го января воспрещена». Хотя этот запрет был, скорее всего, единственным в истории домино. Игра, родственная по происхождению играм в кости и в карты, всегда пользовалась благосклонностью властей церковных и светских. Тогда как игры в кости и в карты постоянно были под запретом, подвергались гонениям и считались делом предосудительным, причем не только в нашем отечестве, но в большинстве стран мира и при любой власти. А в домино играли свободно, и не только взрослые, но и дети в школе при полном одобрении учителей, даже в детских садиках было домино с картинками.

Есть много причин терпимости властей к игре и ее повсеместного распространения. Во-первых, игра первоначально прошла через монастыри, то есть имела благословение властей церковных. На косточках домино стоят абстрактные точки, а не какие-то валеты и дамы, которых можно по-всякому изобразить, в том числе и предосудительно. Во-вторых, домино – игра созидательная, ибо в отличие от карт, шахмат, шашек и многих других игр, в ней никто никого не «съедает». Далее в традиционном домино не стремятся набрать побольше очков себе, здесь тот, у кого больше очков, проигрывает. Кроме того, в домино практически не играют на деньги в чистом виде, а только «на интерес». Проигравших могут заставить прокукарекать под столом или сбегать за пивом.

Сама игра существовала в различных формах, начиная от самих наборов костяшек и заканчивая правилами игры. Первоначально было три основных варианта наборов костяшек домино: с очками от нуля до 6, кроме этого, от нуля до 9 и даже до 12 на каждой половинке. Соответственно, если перебрать все возможные пары, в наборе получалось 28, 55 или 91 костяшка. Более сложные модификации с большим количеством костей позволяли увеличить число играющих, но встречались редко и, не получив распространения, постепенно ушли в небытие.

На Востоке известно около пятидесяти различных игр с использованием домино. Существуют комплекты домино с цветными костяшками, где цвет обозначает достоинство. В уже упомянутом китайском наборе домино – «куат пай» – нет пустых половинок: набор содержит 21 кость со всеми комбинациями от 1-1 до 6-6 и еще одиннадцать «копий» некоторых костей, то есть всего 32 кости. Единица и четверка в китайском домино отмечаются красными точками. Остальные числа изображаются белыми точками, если кости черные и черными точками на белых косточках. У дубля 6-6 на каждой половинке ставятся по три красные точки. Каждая кость в китайском домино имеет свое название: 6-6 называется «небо», 6-5 – «голова тигра», 5-5 – «цветок сливы» и т. д. Нечто подобное наблюдается в русском лото, где бочонок 11 называется «барабанные палочки», 44 – «стульчики», 90 – «дед», и у опытных игроков почти к каждому бочонку есть свое название. Китайское домино часто делают из картона и при игре раздают и выкладывают на стол так же как карты. В корейском варианте домино кости выглядят так же, как и в китайском, только единица изображается более крупной точкой. Японцы используют европейский вариант домино.

Еще одним косвенным подтверждением происхождения костяшек домино от гадальных костей стало открытие в конце XIX века в ходе этнологических исследований аналогичной игры у некоторых племен эскимосов, среди которых шаманство и гадание на костях убитых животных было очень распространено. Игра под названием «а ма зу а лат», что приблизительно переводится как – «стоя в полный рост рядом друг с другом», ведется наборами от 60 до 148 костяных пластинок неправильной формы, вырезанных из клыков моржей или тюленей, с узорами из отдельных пятен и точек. С другой стороны это несколько колеблет приоритет китайцев в изобретении игры, а говорит о том, что идея усовершенствования игры в кости витала в воздухе, и домино вполне могли изобрести в разных странах независимо друг от друга.

Обычный европейский набор для игры в домино содержит 28 фишек. Лицевая сторона каждой фишки или камня, или костяшки, или кости, как их по-разному называют, разделена на два квадратика с числом очков от нуля до шести в различных сочетаниях, нанесенных в виде точек. Из этих 56 квадратиков восемь «пустых», восемь содержат 1 очко, восемь – 2 очка и так далее.

Традиционное европейское домино выпускается в двух вариантах: черные точки на белом фоне и наоборот, белые точки на черном фоне. Набор костяшек домино интересен тем, что кроме игр придуманы различные головоломки с их использованием. Уже во Франции в XVIII веке домино было популярно в двух разновидностях: как игра для нескольких игроков, и как материал для разнообразных головоломок, которые можно решать одному человеку. Практически любая хорошая настольная игра или хорошая предметная головоломка неисчерпаемы по количеству различных упражнений, которые с ней можно придумать. Это будут упражнения для человека разумного, которые можно решать в часы досуга, когда надоест смотреть многочисленные телевизионные сериалы и захочется с пользой провести свободное время. Хорошо, если взрослые заинтересуют подобным занятием детей, привлекут их к игре, помогут в трудных заданиях, будут думать вместе. Нельзя точно определить, для какого возраста предназначено каждое конкретное упражнение. Решение подобных заданий не требует каких-то особых базовых знаний. Формулировки понятны даже школьнику младших классов, но решить их порой очень не просто – требуется смекалка. Задания будут от самых легких, до очень сложных. Выбирайте по силам. Комплект домино есть во многих семьях, а если нет, то приобрести его можно без проблем. Постараемся раскрыть новые, не всем известные стороны в этой старой, кому-то надоевшей, а кому-то неизвестной игре.

Основное правило игры в домино: к любому из квадратов, выложенной на стол кости, следует приставлять такую кость, половинка которой имеет столько же очков, сколько на половинке ранее выставленной кости. Иначе говоря, соприкасающиеся половинки соседних костей должны иметь одинаковое количество очков. Это правило носит название принцип домино, которое не нужно путать с эффектом домино, который относится к паданию выстроенных специальным образом косточек домино. В результате расклада по принципу домино получается цепь из соприкасающихся костей домино. Кости с одинаковым количеством очков на обеих половинках называются дублями и при игре их выставляют перпендикулярно линии строящейся цепи.

Начнем с разминки: выложите цепочку из полного комплекта косточек домино, соблюдая правило игры и ведя выкладку только в одном направлении. Начать можете с любой кости. Пустяковая задача, скажете вы? Действительно, это легко сделать, ведь существует огромное количество возможных вариантов выкладки цепочки из 28 косточек домино. Не найти один из них просто невозможно.

Только один шаг отделяет простое от сложного. Попробуйте сосчитать, сколько существует различных вариантов выкладки цепочки из 28 косточек домино по основному правилу? Этот вопрос впервые был поставлен в 1849 во французском математическом журнале и, после того как в течение трех лет никакого решения не поступило, в 1852 вопрос повторили. Наконец, немецкий математик М. Райсс решил задачу для стандартного набора домино. В 1871, после его смерти, решение было впервые опубликовано. Выложить одну такую цепочку может любой ребенок за пять минут, но потребовалось двадцать два года для решения задачи о количестве различных цепочек. Соответствующий раздел математики называется комбинаторика, и первоначально он развивался именно на исследованиях различных игр. Попробуйте и вы, читатель, свои силы в решении задачи на перебор вариантов. Только для начала мы возьмем задачу легче той, над которой ломали голову более двадцати лет, чтобы сразу не отбить у вас желание заниматься этим делом. Кроме того, рассмотрим еще несколько упражнений с косточками домино, не проводя пока никакой систематизации заданий. Просто постарайтесь понять, что собой представляют головоломки с использованием комплекта косточек домино.

1. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то есть, чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях).

2. Весь комплект домино выложен цепочкой в соответствии с правилом игры так, что на одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков должно быть на другом конце цепочки? Сначала сообразите в уме, а потом можете выложить «экспериментальную» цепочку согласно условию и проверить свое предположение.

3. Сосчитайте сумму очков, содержащихся на всех косточках домино. Это значение пригодится в дальнейшем при решении некоторых других задач.

4. Выложите из 28 костей домино по правилу игры цепь так, чтобы ее можно было разделить на два отрезка по 14 костей в каждом с одинаковой суммой очков.

5. Теперь попробуйте сложить цепь, которую можно разделить на четыре части по 7 костей в каждой, чтобы сумма очков во всех группах была одна и та же.

6. Число 28 делится 2, на 4 и еще на 7. Может быть, вы сможете построить цепь, которая разрывается на семь частей по четыре кости в каждой и с равной суммой очков?

7. На рисунке показаны две кости домино, обладающие интересным свойством.

Объединяя между собой группы очков, непосредственно прилегающих друг к другу, можно получить все числа от 1 до 9. Так 1, 2 и 3 непосредственно есть на косточках. Остальные числа получаются при сложении очков, имеющихся на соседних половинках: 4=1+3, 5=2+3, 6=3+3, 7=1+3+3, 8=3+3+2, 9=1+3+3+2.

Выберите из полного комплекта домино четыре кости так, чтобы можно было получить числа от 1 до 23. Не обязательно располагать их по правилу игры.

8. Из полного комплекта домино отбросьте 7 косточек, содержащих число 6, и из оставшихся 21 кости, выложите цепь по правилам домино.

Не будем отсылать вас за ответами в конец книги, а на первых упражнениях покажем, как происходит сам процесс размышлений. Из любой задачи и ее решения нужно стараться взять максимум возможной информации. Не только получить ответ, но и выделить основные идеи, возникающие в процессе обдумывания. Они могут пригодиться в дальнейшем.

1. В разминке легко удается выложить цепь из 28 костей домино. Что можно узнать еще из этого упражнения? Внутри цепи числа очков располагаются парами, так как кости приставлены одна к другой равными числами, а при дубле стоят сразу четыре одинаковых половинки. Каждое число очков повторяется восемь раз, то есть – четное число раз. Это позволяет выложить цепь.

Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами, потому что мы можем взять любую кость. При этом в 7 случаях кость окажется дублем, а в 21 случае – костью с различными числами очков на половинках. В случае первого дубля, вторую кость можно выбрать шестью способами. Во втором же случае вторую кость можно выбрать 12 способами, по шесть для каждой стороны. По правилу произведения (рассматривается в математическом курсе основы комбинаторики и теории вероятностей) в первом случае получается 7∙6= 42 варианта, а во втором 21∙12=252 варианта. В итоге по правилу суммы, получаем 294 способа выбора пары. Это и есть ответ нашей упрощенной задачи.

Чтобы узнать количество различных вариантов для выкладки целой цепочки, мы должны аналогично продолжить наши рассуждения еще для 26 косточек. Если у вас хватит терпения, то – вперед, если не хватит, никто не станет вас осуждать – очень уж хлопотное дело. В конце книги можно посмотреть решение и ответ, так сказать, для общего развития.

2. Предположим, что на концах выложенной цепи окажутся разные числа. Внутри цепи, как мы уже заметили, числа расположены парами или «четверкой» у дублей. Значит, из нашего предположения следовало бы, что числа, стоящие на концах, повторяются нечетное число раз. Этого не может быть, так как каждое число повторяется ровно восемь раз. Значит, на концах должны стоять одинаковые числа. Рассуждения подобного рода в математике называются – доказательством от противного.

3. Сумму очков на всех косточках домино легче считать, зная, что каждое число повторяется восемь раз:

(0+1+2+3+4+5+6)∙8=21∙8=168.

Получилось очень интересное число. Оно имеет 24=42=16 различных делителей, если считать единицу и само это число: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168.

Кстати, ровно столько часов в одной неделе! И через столько месяцев от своего рождения человек в нашей стране получает паспорт. Правда, интересные совпадения? Не зря некоторые астрологи выдвигают даже версию, что в домино зашифрована некая система устройства мироздания – Закон Гармонии макро- и микрокосмоса: семь цифровых знаков символизируют, принятое в астрологии семеричное строение Вселенной. Здесь можно найти еще много интересного, но вдаваться в мистику не было нашей целью.

4. Половина полной суммы очков равна 84. Задача имеет много решений, поэтому приводить ответ не будем, скорее всего, он не совпадет с вашим результатом.

5. Продолжая решать, мы наглядно видим проявления философского закона перехода количественных изменений в качественные. Чем больше делений цепи, тем меньше различных решений, и тем труднее найти хотя бы одно из них. В данном случае сумма очков каждой части цепи равна 42. Вот одно из решений.

6.Одно из решений на рисунке:

7. Два решения показаны на рисунке. Причем второе решение позволяет получить все числа от 1 до 29, то есть оно лучше, чем требовалось по условию.

8. Вы, наверное, даже удивились, когда прочитали задание: зачем давать опять такое простое? А оказалось всё не так просто. Отбросив 7 костей, содержащих число 6, мы вместе с тем уменьшили количество костей с каждым числом очков на единицу. Теперь каждое число встречается только семь раз. Нечетное число пары не образует и цепь сложить невозможно!