Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Гёдель доказал свои теоремы о неполноте в 24 года (он был тогда немного моложе, чем Эйнштейн, когда создал теорию относительности). В тот период к вящему неудовольствию родителей, придерживавшихся строгой лютеранской морали, Гёдель ухаживал за разведенной католичкой по имени Адель, которая была старше его и в довершение всего работала танцовщицей в венском ночном клубе Der Nachtfalter («Ночная бабочка»). Когда к власти в Германии пришел Гитлер, политическая ситуация в Австрии окончательно запуталась, но Гёдель, похоже, ничего не замечал. В 1936 году Венский кружок распался после того, как его основателя убил сумасшедший студент. Через два года произошел аншлюс. Гёдель наконец понял, что времена настали скверные: к нему на улице пристала компания юных нацистов – хулиганы сбили с него очки, но были вынуждены отступить, когда Адель осыпала их ударами зонтика. Тогда Гёдель решил уехать в Принстон, где ему предлагали место в Институте передовых исследований. Но поскольку война уже началась, Гёдель решил, что плыть через Атлантический океан опасно. Поэтому Курт и Адель – к этому времени они уже поженились – двинулись кружным путем через СССР, Тихий океан и США и попали в Принстон в начале 1940 года. В институте Гёделю отвели кабинет почти прямо над кабинетом Эйнштейна. Остаток жизни Гёдель провел в Принстоне практически безвыездно и считал, что этот город «в десять раз приятнее» некогда обожаемой Вены.

В большом мире Гёделя еще не знали, однако среди понимающих он считался чуть ли не богом. «Просто в голове не укладывалось, что в ярко-оранжевой принстонской телефонной книге значилось и “К. Гёдель” – как будто так и надо, среди всех прочих фамилий, – рассказывает в интеллектуальной биографии Гёделя «Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя» (Goldstein, R., Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel) Ребекка Голдштейн, приехавшая в Принстон в начале семидесятых, чтобы писать диссертацию по философии. – Все равно что открыть телефонную книгу – а там значатся Б. Спиноза и И. Ньютон». Далее Ребекка Голдштейн вспоминает, как «однажды обнаружила в супермаркете Дэвидсона философа Ричарда Рорти – тот буквально застыл на месте. И приглушенным голосом сообщил мне, что только что видел Гёделя в отделе замороженных продуктов».

Великий логик был так наивен, совсем не от мира сего, что Эйнштейн считал своей обязанностью следить за бытовой стороной его жизни. Часто рассказывают историю о том, как Гёдель после войны решил получить американское гражданство. К этому вопросу Гёдель относился с крайней серьезностью и для подготовки к экзамену досконально проштудировал Конституцию США. В назначенный день Эйнштейн пошел вместе с ним в здание суда в Трентоне и был вынужден вмешаться и успокоить Гёделя, когда разволновавшийся логик принялся объяснять судье, что в Конституции содержится лазейка, допускающая возникновение диктатуры[3].

Примерно в то же время, когда Гёдель изучал Конституцию, он присмотрелся и к теории относительности Эйнштейна. Главный принцип теории относительности гласит, что законы физики должны быть одинаковы для всех наблюдателей. Когда Эйнштейн впервые сформулировал этот принцип в своей революционной статье 1905 года, то ограничил круг «всех наблюдателей» теми, кто движется равномерно и прямолинейно друг относительно друга. Но вскоре он понял, что это ограничение произвольно. Чтобы законы физики описывали природу с подлинной объективностью, они должны иметь силу для наблюдателей, движущихся друг относительно друга как угодно – хоть по кругу, хоть по спирали, хоть с ускорением. Так Эйнштейн перешел от «специальной» теории относительности, которую выдвинул в 1905 году, к «общей» теории относительности, над уравнениями которой работал следующие десять лет и опубликовал их в 1916 году. Мощь этих уравнений в том, что они описывали гравитацию – силу, которая задает общую форму мироздания.

Прошло несколько десятков лет, и Гёдель во время прогулок с Эйнштейном получил возможность обсудить тонкости теории относительности с самим ее творцом. Эйнштейн показал, что течение времени зависит от движения и гравитации, а разделение событий на прошлое и будущее относительно. Гёдель занял более радикальную позицию: он полагал, что времени в его интуитивном понимании и вовсе не существует. Как всегда, простой словесной аргументации Гёделю было мало. Об этом говорили самые разные философы – и Парменид во времена античности, и Иммануил Кант в XVIII веке, и Джон Эллис Мак-Таггарт уже в начале XX века, – но они никого не убедили. Гёделю требовалось доказательство, обладающее строгостью и определенностью математики. И он обнаружил, что в глубинах теории относительности таится именно то, что ему нужно. Свои рассуждения он подарил Эйнштейну в день его семидесятилетия в 1949 году вместе с гравюрой (жена Гёделя связала Эйнштейну свитер, но в последний момент решила его не дарить).

Гёдель обнаружил, что теория относительности допускает существование вселенной, которую до этого нельзя было даже вообразить. У уравнений общей теории относительности много разных решений. Каждое из этих решений – это, в сущности, модель возможной вселенной. Эйнштейн из философских соображений считал, что Вселенная вечна и неизменна, и поэтому подправил уравнения, чтобы они допускали такую модель, а впоследствии назвал эту поправку «своей величайшей ошибкой»[4]. Другой физик (кстати, священник-иезуит) нашел решение, соответствующее расширяющейся вселенной, которая родилась в какой-то момент в прошлом. А поскольку это решение, получившее название «модель Большого взрыва», совпадает с наблюдениями астрономов, видимо, именно оно и только оно описывает реальную Вселенную.

Однако Гёдель придумал третью разновидность решения уравнений Эйнштейна, согласно которой Вселенная не расширяется, а вращается. (При этом все не схлопывается под воздействием гравитации благодаря центробежной силе, возникающей при вращении.) Наблюдатель в такой вселенной видел бы, как вокруг него медленно вращаются галактики, но знал бы, что вращается именно вселенная, а не он, поскольку не ощущал бы головокружения. Однако самое диковинное в такой вращающейся вселенной, как показал Гёдель, – то, как ее геометрия смешивает пространство и время. Обитатель вселенной Гёделя, совершив достаточно длительный круговой полет на ракете, мог бы вернуться в любую точку в собственном прошлом. Эйнштейну не очень понравилось, что его формулы допускают какие-то приключения Алисы в Стране чудес – пространственные траектории, замкнутые назад во времени; он даже признавался, что вселенная Гёделя его «беспокоит». Других физиков удивляло, что путешествия во времени, которые до той поры считались уделом научной фантастики, оказывается, не противоречат законам физики. (Потом они дружно задались вопросом, что будет, если вернуться в прошлое до своего рождения и убить своего дедушку.) Сам Гёдель сделал другой вывод. Если возможно путешествие во времени, заключил он, значит, невозможно само время. Если в прошлое можно вернуться, значит, оно не прошло. И тогда неважно, что на самом деле Вселенная не вращается, а расширяется. Время подобно Богу – его либо нет, либо оно не нужно, и если оно исчезает в одной возможной вселенной, его существование сомнительно во всех возможных вселенных, и в нашей в том числе.

Удивительный космологический подарок от Гёделя Эйнштейн получил не в самую счастливую пору своей жизни. Поиски единой теории физики, которым посвятил себя Эйнштейн, плодов не принесли, а неприятие квантовой теории заставило его отдалиться от основных направлений в физике того времени. Семейная жизнь едва ли служила утешением. Эйнштейн был женат дважды, и оба раза неудачно, о судьбе его внебрачной дочери ничего не известно, один из двоих сыновей заболел шизофренией, другой не стремился общаться с отцом. Круг друзей Эйнштейна сузился до нескольких человек, в числе которых был Гёдель, а также бельгийская королева Елизавета, которой он в марте 1955 года признался, что «мои труды пользуются чрезмерным уважением, и это меня очень смущает. Мне волей-неволей приходится считать себя самозванцем». Через месяц Эйнштейн умер; ему было 76 лет. Когда Гёдель с коллегой пришли в кабинет, чтобы разобрать его бумаги, они обнаружили, что доска исписана уравнениями, заводящими в тупик.

После смерти Эйнштейна Гёдель еще сильнее ушел в себя. Он предпочитал вести разговоры только по телефону, даже если собеседник находился в соседней комнате. Если ему особенно сильно хотелось избежать встречи с кем-то, он назначал точное время и место для рандеву и нарочно оказывался оттуда подальше. Когда ему пытались воздать почести, он относился к этому с настороженностью. В 1953 году он приехал в Гарвард, чтобы получить звание почетного доктора, поскольку его теоремы о неполноте назвали важнейшим математическим открытием столетия, но впоследствии жаловался, что ему «незаслуженно навязали компанию отъявленного спорщика» Джона Фостера Даллеса, который получал такую же степень вместе с ним. Когда Гёдель в 1974 году получал Национальную медаль за научные достижения, то отказался ехать в Вашингтон на прием к президенту Джеральду Форду в Белый дом, хотя тот предложил прислать своего шофера за ним и его супругой. У Гёделя случались приступы галлюцинаций, он мрачно намекал, что некие силы «непосредственно стремятся погубить все доброе» в мире. И упорно отказывался от пищи, поскольку боялся заговора с целью его отравить. В конце концов он попал в Принстонскую больницу – по словам друга, он выглядел тогда «как живой труп». И две недели спустя, 14 января 1978 года, скончался там, уморив себя голодом. Согласно свидетельству о смерти, причиной стали «недоедание и истощение», вызванные «расстройствами личности».

Последние годы обоих, и Гёделя, и Эйнштейна, прошли под знаком тщетности усилий. Но самыми тщетными были их сознательные усилия поверить в нереальность времени. Понятно, почему эта мысль казалась им такой соблазнительной. Если время существует только в нашем сознании, можно надеяться сбросить его оковы и очутиться в вечности, где времени нет. И тогда мы сможем вслед за Уильямом Блейком сказать: «Я вижу прошлое, настоящее и будущее – все одновременно / Пред собою». В случае Гёделя мысль о вселенной без времени была такой привлекательной, возможно, из-за страха смертельной болезни сердца, который преследовал ученого с детства. К концу жизни Гёдель как-то признался, что давно ждал откровения, которое позволило бы ему увидеть мир в новом свете, но так и не дождался.

Эйнштейну тоже не удалось окончательно порвать отношения со временем. «Те из нас, кто верит в физику, – писал он вдове недавно умершего друга, – считают разделение между прошлым, настоящим и будущим лишь иллюзией, пусть и очень стойкой». А когда всего недели через две настал его черед, он сказал: «Время уходить».

Глава вторая. Время – великая иллюзия?

У Исаака Ньютона было особое представление о времени. Он считал его чем-то вроде вселенских напольных часов, которые стоят выше всей природы и наслаждаются полной независимостью. И полагал, что время идет плавно и непрерывно и течет из прошлого в будущее («Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, безо всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно»). Тем, кого влечет временной вихрь повседневной жизни, это кажется полной чепухой. Время вовсе не представляется нам трансцендентным и математическим, это что-то глубоко личное и субъективное. И оно вовсе не шествует ровной неменяющейся поступью. Мы знаем, что у времени может быть разный темп. Например, перед Новым годом время прямо-таки летит. А потом, в январе-феврале, еле тащится. Более того, время для одних бежит быстрее, для других медленнее. Стариков тащит в будущее с беспощадной быстротой. Когда ты взрослый, Рождество наступает каждые пять минут, как заметила Фрэн Лебовиц. А с точки зрения маленьких детей время идет довольно медленно. Бесконечная новизна детского жизненного опыта растягивает одно-единственное лето на целую вечность. По оценкам психологов, к восьми годам человек субъективно проживает две трети жизни.

Исследователи давно пытались измерить субъективное течение времени и для этого просили людей разных возрастов выждать заданный промежуток времени и сказать, когда он кончится. Молодые люди едва за двадцать, как правило, очень точно отмечали, когда пройдет три минуты, и ошибались не более чем на три секунды. Люди за шестьдесят, напротив, опаздывали секунд на сорок, то есть для них проходило всего три минуты, а на самом деле – три минуты сорок секунд. Внутренние часы у стариков идут медленно, поэтому настоящие часы с их точки зрения спешат. У этого есть свои преимущества: на концертах Джона Кейджа пожилые зрители с облегчением замечают, что композиция «4 минуты 33 секунды» заканчивается раньше обычного.

На реке времени есть и спокойные участки, и быстрины, но одно несомненно: она влечет за собой всех нас, хотим мы этого или нет. Непреодолимо и необратимо мы движемся к смерти со скоростью одна секунда в секунду. Прошлое скользит в небытие за спиной, будущее, когда-то неведомое и загадочное, обретает банальную реальность впереди, и его подминает под себя вечно спешащее настоящее. Однако ощущение потока – чудовищная иллюзия: так говорит современная физика. И Ньютон стал жертвой этой иллюзии точно так же, как и все мы.

Переворот в нашем понимании времени произвел Альберт Эйнштейн. В 1905 году Эйнштейн показал, что время в понимании и физиков, и обычных людей – фикция. Эйнштейн доказал, что два события в разных местах кажутся наблюдателю «одновременными» или нет в зависимости от его движения.

Предположим, к примеру, что Джонс идет по Пятой авеню по направлению от центра города, а Смит – к центру. Их относительное движение приводит к разнице в несколько дней в том, что они сочтут «сейчас» в галактике Андромеды в момент, когда они пройдут друг мимо друга по тротуару. С точки зрения Смита космический флот, цель которого – истребить все живое на Земле, уже отправился в путь, а с точки зрения Джонса Андромедианский совет тиранов еще не решил, стоит ли посылать армаду.

Эйнштейн показал, что нет никакого вселенского «сейчас». Об одновременности событий можно судить только относительно наблюдателя. А если мы сбрасываем одновременность за борт, само деление моментов на прошлое, настоящее и будущее теряет смысл. События, которые один наблюдатель считает прошлыми, для другого еще в будущем, поэтому прошлое и настоящее одинаково определенны, одинаково «реальны». Вместо быстротекущего настоящего нас окружают бескрайние ледяные просторы времени, четырехмерная «блок-вселенная». Здесь вы только родились, там вы празднуете рубеж тысячелетия, а еще дальше вы мертвы, но это ненадолго. Ничего не «течет» от события к событию. Согласно достопамятному выражению математика Германа Вейля, «объективный мир не происходит, а просто существует».

Эйнштейн своей теорией относительности обеспечил научное доказательство философских представлений о времени, восходящих еще к Спинозе, Блаженному Августину и даже Пармениду и получивших название «этернализм». Согласно этим представлениям, время относится к царству видимого, а не реального. Объективно взглянуть на Вселенную можно лишь с точки зрения Бога: sub specie aeternitatis.

После смерти Эйнштейна физики десятилетиями подвергали наше привычное представление о времени еще более радикальному переосмыслению. Оказалось, что ледяные просторы времени вовсе не ровные, в них есть дыры – черные дыры. Дело в том, что гравитация «искажает» время. Чем сильнее гравитационное поле, тем медленнее ползут стрелки часов. Если вы живете на первом этаже, то стареете чуть-чуть медленнее, чем ваш сосед из пентхауса. Этот эффект будет гораздо заметнее, если вас засосет в черную дыру, где гравитационное искажение времени бесконечно. Черные дыры – это буквально врата к концу времен, в царство вечного Никогда.

В окрестностях черных дыр время ведет себя очень затейливо, а на самых малых масштабах, вероятно, и вовсе исчезает: ткань пространства-времени растворяется там в «квантовую пену», где у событий нет определенного порядка во времени. Картина времени становится еще непостижимее, если заглянуть в момент Большого взрыва – катаклизма, в результате которого возникла наша Вселенная, причем не просто Вселенная, но еще и ее пространственно-временное вместилище. Всем нам хочется спросить, что же творилось до Большого взрыва? Но этот вопрос не имеет смысла. По крайней мере, так учит нас Стивен Хокинг в «Краткой истории времени». Он прибегает к идее так называемого мнимого времени, которая, как известно, ставила в тупик даже его коллег-физиков, и утверждает, что спрашивать, что было до Большого взрыва, так же глупо, как спрашивать, что находится севернее Северного полюса: естественно, ничего!

Есть ли у времени будущее? Да, но долгим ли оно будет, это будущее, зависит от дальнейшей судьбы космоса. Вероятности сводятся к выбору Роберта Фроста: пламя или лед? С момента появления при Большом взрыве – примерно 13,82 миллиарда лет назад – Вселенная расширяется. Если расширение продлится вечно, Вселенная превратится в лед – по крайней мере, в переносном смысле. Звезды сгорят, черные дыры испарятся, атомы и их субатомные компоненты распадутся. В самом далеком будущем оставшиеся частицы (в основном фотоны и нейтрино) разойдутся в вакууме на такие расстояния, что перестанут взаимодействовать. Пространство опустеет, останется лишь легчайший намек на «энергию вакуума». Однако в этой грядущей пустыне, состоящей почти из ничего, время будет идти по-прежнему, и по-прежнему будут происходить случайные события, какие-то «флуктуации», при которых благодаря магии квантовой неопределенности что-то будет возникать, но сразу же исчезнет в пустоте. По большей части эти эфемерные сущности будут одинокими частицами – электронами и протонами. Но иногда могут спонтанно возникать и очень большие и гораздо более сложные структуры – ну, например, человеческий мозг. Да, квантовая физика допускает, что на всем протяжении времени может появляться и исчезать бесконечное множество таких мозгов без тел – с запасом воспоминаний (ложных). В научной литературе такую печальную мимолетную сущность принято называть «больцмановский мозг» (в честь Людвига Больцмана, одного из основателей современной термодинамики). Один такой больцмановский мозг в далеком будущем окажется точно таким же, как ваш в этот самый момент. То есть в какую-то немыслимо далекую эпоху ваше нынешнее состояние сознания воссоздастся из пустоты лишь для того, чтобы миг спустя исчезнуть – должно быть, не на такое воскресение из мертвых вы уповали.

Все это может быть правдой, как говорит современная физика, если Вселенная и правда будет расширяться вечно и становиться все более пустой, темной и холодной – этот сценарий можно назвать большим охлаждением. Но есть и другой сценарий конца света. Мало-помалу в какой-то момент в далеком будущем нынешнее расширение Вселенной, вероятно, затормозится – под воздействием то ли гравитации, то ли какой-то иной силы, о которой мы пока не знаем. И тогда все сотни миллионов галактик начнут схлопываться и сжиматься и в итоге слипнутся вместе, и произойдет мощный взрыв, в результате которого все исчезнет – Большое сжатие, конец всему. Или не конец? Некоторые оптимисты вселенского масштаба утверждают, что в последний миг перед Большим сжатием высвободится бесконечное количество энергии. Наши далекие потомки, по мнению оптимистов, сумеют обуздать эту энергию, запустить бесконечное количество вычислений и породить бесконечное множество мыслей. Поскольку эти мысли будут разворачиваться все быстрее и быстрее, субъективное время будет идти вечно, даже если объективное остановится. Последний миг перед Большим сжатием будет словно бесконечное лето детства – виртуальная вечность.

Виртуальная вечность, врата в Никогда, нереальность времени… Какое отношение все эти праздные фантазии имеют к нам, к нашей жизни в реальном мире? Вероятно, никакого. Мы, по примеру великого Эйнштейна, упорно держимся за свою иллюзию времени. И ничего не можем поделать с ощущением, что мы рабы одной части временной шкалы (прошлого) и заложники другой (будущего). Как ничего не можем поделать с ощущением, что время у нас буквально истекает. Артур Эддингтон, один из первых физиков, уловивших суть теории относительности Эйнштейна, объявил, что наше интуитивное ощущение хода времени настолько сильно, что у него обязательно должно быть какое-то соответствие в реальном мире. И если наука не может понять, в чем тут дело, тем хуже для науки, вправе заметить читатель.

Однако наука способна многое рассказать о психологии хода времени. Наше сознательное сейчас, которое Уильям Джемс называл ускользающим настоящим, на самом деле представляет собой промежуток примерно в три секунды. Это период, за который наш мозг успевает сплести поступающие чувственные данные в единое впечатление. Кроме того, совершенно очевидно, что природа времени имеет какое-то отношение к ощущению, что мы движемся во времени. Реальность прошлого и будущего может быть совершенно одинаковой, но по причинам, которые, как ни странно, имеют некоторое отношение ко второму закону термодинамики, мы не можем «помнить» события будущего, только прошлое. Воспоминания накапливаются только в одном временном направлении, а в другом – нет. Видимо, это объясняет психологическое направление оси времени. Но, увы, не объясняет, почему нам кажется, что эта ось летит, как стрела.

Если от всего этого вы окончательно перестали понимать, как относиться ко времени, вы в хорошей компании видных ученых. Джон Арчибальд Уилер, один из величайших физиков XX века, даже привел в научной статье цитату: «Время – способ, которым природа не допускает, чтобы случилось все сразу». А в сноске пояснил, что увидел этот афоризм среди граффити на стене мужского туалета в кафе «Олд-Пекан-стрит» в Остине, столице штата Техас. Однако не стоит удивляться, что такому выдающемуся мыслителю пришлось цитировать надпись на стене мужского туалета: ведь среди современных физиков, философов и философов физики встречаются какие угодно мнения о природе времени. Одни считают, что время – фундаментальный ингредиент Вселенной, другие говорят – нет, оно следует из еще более глубинных особенностей физической реальности. Одни утверждают, что у времени есть встроенное направление, другие это отрицают. (Стивен Хокинг как-то заявил, что когда-нибудь время пойдет в обратном направлении, из будущего в прошлое, но впоследствии нашел ошибку в своих расчетах.) Большинство современных физиков и философов согласны с Эйнштейном и считают, что ход времени – иллюзия: это так называемые этерналисты. Но меньшинство, именующие себя презентистами, полагают, что сейчас – это особый момент, который действительно приближается, будто огонек на хронологической оси, и так будет, по их мнению, даже тогда, когда во Вселенной не останется наблюдателей вроде нас.

Если и есть одно предположение о природе времени, с которым согласятся все мыслители научного склада, это, пожалуй, афоризм, приписываемый Гектору Берлиозу – человеку далекому от науки: «Время – великий учитель, но, к несчастью, всех своих учеников оно убивает».

Часть вторая. Числа в мозге, в обществе и на платоновских небесах

Глава третья. С числами в ладу, или Нейрофизиология математики

Как-то сентябрьским утром 1989 года молодой парижский нейрофизиолог Станислас Деан провел в смотровую посетителя – бывшего торгового представителя лет сорока пяти. Тремя годами раньше у посетителя, которого ученые условились называть господин N, произошло кровоизлияние в мозг, необратимо поразившее огромную область в задней половине левого полушария. У больного было множество различных нарушений – он носил правую руку на перевязи, разучился читать, говорил медленно и с огромным трудом. Когда-то он был женат, у него было две дочери, но теперь он не мог себя обслуживать и жил с престарелыми родителями. Деана пригласили осмотреть господина N, поскольку в число последствий инсульта входила тяжелая акалькулия – этим общим термином называют патологическое нарушение арифметических способностей (на самом деле таких нарушений несколько). Когда господина N просили сложить два и два, он отвечал «Три». Он сохранил способность считать и мог воспроизвести последовательность вроде 2, 4, 6, 8, но был не в силах сосчитать в обратном порядке от 9 до 1, не различал четные и нечетные числа, не узнавал вспыхивающую на экране цифру 5.

Однако Деана больше интересовали не эти нарушения, а фрагментарные способности, которые господин N сумел сохранить. Когда испытуемому показывали цифру 5 на несколько секунд, он понимал, что это цифра, а не буква, начинал считать от 1, пока не доходил до нужного числа, и в конце концов соображал, что это 5. Точно так же он поступал, когда его спрашивали, сколько лет его семилетней дочери. В своей книге «Числовое чутье», вышедшей в 1997 году (Dehaene, S., The Number Sense), Деан писал: «Похоже, он сразу понимал, какое количество хочет выразить, но не мог вспомнить нужное слово, не повторив всю последовательность чисел».