Умножение «треугольником»

Название методу дано по схожести, с треугольной формой, образующейся матрицы цифр промежуточных вычислений. Данным способом можно выполнять сложение, умножение и вычитание чисел. Предлагаемый арифметический метод объединяет в себе особенности двух других известных методов вычисления. "Столбиком", когда действия производятся от разряда "единиц" к большим разрядам, с записью сумм всех промежуточных результатов по ходу основного вычисления (для чего некоторые цифры приходится держать "в уме"). И метода "переноса", когда все промежуточные вычисления записываются построчно, со смещением второго разряда (если он есть) на одну колонку влево, а окончательный результат получается последовательным сложением каждой колонки промежуточных вычислений. Приведём записи вычисления этими методами на примере сложения двух чисел: 6389+5734=12123 (рис.1)

Последовательность действий методом "треугольника" может производиться как слева направо, так и справа налево, с записью сумм промежуточных результатов сразу по ходу основного вычисления. Пример сложения тех же чисел методом "треугольника" (рис.2)

Сложение

Опишем пошагово пример сложения (слева направо)

1. Складываем цифры 6 и5 разряда "тысяч" первого и второго слагаемых. Получаем сумму 11. Правую цифру 1 числа 11 записываем в колонку разряда "тысяч", а левую цифру 1 переносим на один разряд влево и записываем в колонку разряда "десятков тысяч" (рис.3)

2. Складываем цифры 3 и 7 разряда "сотен". Из полученной суммы 10, цифру 0 записываем в колонку разряда "сотен", а цифру 1 переносим на один разряд влево, где уже записана цифра 1 из предыдущего шага вычислений. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "тысяч" (рис.4)

3. Складываем цифры 8 и 3 разряда "десятков" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 11 правую цифру 1 записываем в колонку разряда "десятков", а левую цифру 1 переносим в колонку разряда "сотен", где уже стоит цифра 0. Складываем их, и полученное число 1 записываем под цифрой 0 в колонке разряда "сотен" (рис.5)

4. Складываем цифры 9 и 4 разряда "единиц" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 13 цифру 3 записываем в колонку разряда "единиц", а цифру 1 переносим на один разряд влево, в колонку разряда "десятков", где нижней стоит цифра 1. Складываем их, и полученное число 2 записываем под цифрой 1 в колонке разряда "десятков" (рис.6)

5. Сносим все нижние цифры каждой колонки в одну строку, получаем окончательную сумму вычисления 12123 (рис.7)

Опишем пошагово пример сложения (справа налево)

1. Складываем цифры 9 и 4 разряда "единиц" первого и второго слагаемых. Из полученной суммы 13 цифру 3 записываем в колонку разряда "единиц", а цифру 1 переносим в колонку разряда "десятков" (рис.8)

2. Складываем цифры 8 и 3 разряда "десятков" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 11 складываем с уже записанной в колонке разряда "десятков" единицей. 11+1=12. Из числа 12 цифру 2 записываем ниже в колонку разряда "десятков", а цифру 1 переносим и записываем в колонку разряда "сотен" (рис.9)

3. Складываем цифры 3 и 7 разряда "сотен" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 10 складываем с записанной, в колонке промежуточных вычислений разряда "сотен", цифрой 1 и получаем окончательную сумму разряда "сотен" 11. Правую цифру 1 записываем в колонку разряда "сотен", ниже уже записанной из предыдущего вычисления единицы. А левую цифру 1 суммы 11 переносим и записываем в колонку разряда "тысяч" (рис.10)

4.Складываем цифры 6 и 5 разряда "тысяч" первого и второго слагаемых. Полученную сумму 11 складываем с цифрой 1, уже записанной в колонку разряда "тысяч" из предыдущего промежуточного вычисления. Из полученной суммы 12, цифру два записываем в колонку разряда "тысяч" ниже цифры 1, а цифру 1 суммы 12 переносим и записываем в колонку разряда "десятков тысяч" (рис.11)

5. Сносим все нижние цифры каждой колонки в одну строку, получаем окончательную сумму вычисления 12123 (рис.12)

Вычитание

Опишем пошагово пример вычитания (слева направо).

Вычтем из числа 6389 число 5734.

1. Вычитаем из цифры 6 цифру 5. Полученную разность, цифру 1, записываем в колонку разряда "тысяч" (рис.13)

2. Вычитаем из цифры 3 цифру 7. Так как промежуточное уменьшаемое 3 меньше вычитаемого 7, то сначала прибавляем к цифре 3 единицу большего разряда из предыдущего вычисления. Для этого из цифры 1 промежуточного вычисления разряда "тысяч" вычитаем 1 и получаем цифру 0, которую записываем в колонку разряда "тысяч" ниже уже записанной единицы. А прибавляемую цифру 1 разряда "тысяч" переводим в разряд "сотен" в виде цифры 10. Складываем цифры 10 и 3. Получаем промежуточное уменьшаемое число 13 разряда "сотен", которое уже больше промежуточного вычитаемого 7. Вычитаем из 13 7, полученную разность 6 записываем в колонку разряда "сотен" (рис.14)

3. Вычитаем из цифры 8 цифру 3. Полученную разность, цифру 5, записываем в колонку разряда "десятков" (рис.15)

4.Вычитаем из цифры 9 цифру 4. Полученную разность, цифру 5, записываем в колонку разряда "единиц" (рис.16)

5. Сносим в одну строку все нижние цифры промежуточных вычислений. Получаем число 0655 или 655 в виде окончательного результата (рис.17)

Умножение

Принцип записи результатов промежуточных вычислений при умножении методом "треугольника "аналогичен сложению. Приведем описание примера умножения чисел 57 и 89 (слева направо). Ход действий каждого шага вычислений показан стрелками. Каждый разряд, для удобства описания, пронумерован цифрами от 1 до 4 (нижняя строка таблиц).

1.

Умножаем цифру 5 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

1.1

5х8=40. Цифру 0 записываем в третий разряд. Запись начинается с третьего разряда т.к. цифра 5 множителя 57 – основная цифра первого промежуточного этапа вычислений стоит в колонке третьего разряда. Цифру 4(числа 40) переносим на один разряд влево и записываем в колонку четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.18)

1.2

5х9=45. Цифру 5 (числа 45) записываем в колонку второго разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно разряда, с которого начинали предыдущий шаг вычислений (третьего разряда). Цифру 4 (числа 45) переносим на один разряд влево уже относительно только что записанной цифры 5 (в третий разряд), где нижней стоит цифра 0, складываем их. Сумму 4 записываем под цифрой 0 третьего разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.19)

2.

Умножаем вторую цифру 7 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

2.1

7х8=56. Запись начинаем со второго разряда, т.к. цифра 7, основная цифра этого этапа промежуточных вычислений, стоит в этом столбце. Число 56 складываем с цифрой 5, которая стоит нижней в этом разряде (из предыдущих вычислений). Получаем сумму 61. Цифру 1 (числа 61) записываем под цифрой 5 в столбец второго разряда, а цифру 6 переносим в третий разряд таблицы, где уже стоит цифра 4(нижняя в столбце третьего разряда). Складываем их, в сумме получаем число 10. Цифру 0 (числа 10) записываем под цифрой 4 в столбец третьего разряда, а цифру 1 переносим в четвертый разряд и складываем её со стоящей в этом разряде цифрой 4. Сумму 5 записываем под цифрой 4 в столбец четвертого разряда. Получаем следующий вид промежуточного вычисления (рис.20)

2.2

7х9=63. Цифру 3 (числа 63) записываем в столбец первого разряда, т.е. смещаемся на один разряд вправо относительно предыдущего шага вычислений (в предыдущем шаге запись начинали со второго разряда, где стоит цифра 7 – основная цифра этого этапа вычислений). Цифру 6 (числа 63) переносим на один разряд влево относительно цифры 3 (во второй разряд), где нижней в столбце стоит цифра 1. Складываем их, в сумме получаем 7. Записываем цифру 7 под цифрой 1 в столбец второго разряда. Окончательное вычисление имеет следующий вид (рис.21)

2.3

Записав нижние цифры каждого столбца в одну строку, получаем итоговый результат вычислений: 5073 (рис.22)

Приведем описание примера умножения чисел 57 на 89 (справа налево).

Ход действий каждого шага вычислений показан стрелками. Каждый разряд, для удобства описания, пронумерован цифрами от 1 до 4 (нижняя строка таблиц).

1.

Умножаем цифру 7 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

1.1

7х9 = 63. Цифру 3 записываем в колонку разряда, обозначенного под номером 1. Запись начинается с того разряда, где стоит цифра 7 множителя 57 – основная цифра первого промежуточного этапа вычислений. Цифру 6, промежуточного произведения 63, переносим на один разряд влево, в колонку под номером 2 (рис.23)

1.2

7х8=56. Запись начинаем с колонки второго разряда, сместившись на один разряд влево относительно начала предыдущего промежуточного вычисления. Из предыдущего вычисления в колонку второго разряда уже была записана цифра 6. Складываем её с произведением текущего вычисления, числом 56. Из полученной суммы 62, цифру 2 записываем в колонку второго разряда, а цифру 6 переносим на один разряд влево и записываем в колонку разряда под номером 3 (рис.24)

2.

Умножаем цифру 5 первого множителя 57 последовательно слева направо на каждую цифру второго множителя 89.

2.1

5х9=45. Запись промежуточного вычисления начинаем с колонки разряда под номером 2. Т.к. в этом разряде стоит основной множитель данного промежуточного этапа вычисления – цифра 5. Предварительно складываем текущее произведение – число 45 с уже записанной в эту колонку, из предыдущего вычисления, цифрой 2. Из полученной суммы 47, цифру 7 записываем во вторую колонку, а цифру 4 переносим на один разряд влево, в третью колонку. Где складываем её с уже записанной из предыдущего промежуточного вычисления, цифрой 6. Из полученной суммы 10 цифру 0 записываем в колонку под номером 3, а цифру 1 переносим и записываем в колонку разряда под номером 4. Получаем следующий вид промежуточных вычислений (рис.25)

2.2

5х8=40. Запись результата данного этапа вычислений начинается с колонки номер 3. Т.е. смещением на один разряд влево относительно начала записи предыдущего промежуточного этапа вычислений. Складываем число 40 с цифрой 0, записанной в колонку под номером 3 из предыдущего вычисления. 40+0=40. Из полученной суммы, цифру 0 записываем в колонку номер 3, а цифру 4 переносим на разряд влево, в колонку с номером 4, где складываем с уже записанной из предыдущих вычислений цифрой 1. Полученную сумму 5 записываем под цифрой 1. Получаем окончательный вид вычислений произведения чисел 57 на 89 справа налево. (Рис.26)

2.3

Записав нижние цифры каждого столбца в одну строку, получаем итоговый результат вычислений: 5073 (рис.27)

Примеры сложения методом "треугольника" (слева направо)

Примеры сложения методом "треугольника" (справа налево)

Примеры вычитания методом "треугольника" (слева направо)

Примеры вычитания методом "треугольника" (справа налево)

Примеры умножения методом "треугольника" (слева направо)

Примеры умножения методом "треугольника" (справа налево)

Список использованных источников:

http://umnojenie.narod.ru

2004 г.